2018-2019 学年第二学期高二年级期末名校联考
数学（文科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由分式不等式的解法求出集合 ,再由集合并集的运算即可得解.
【 详 解 】 解 ： 由 题 得 集 合 ， 所 以 ， 又 集 合
，所以 .
故选 B.
【点睛】本题考查了补集及集合的运算,属基础题.
2.已知 为虚数单位，复数 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的运算可得： ，再由复数模的运算即可得解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
即 2.
U = R 3| 01
xA x x
− = > − { | 0 2}B x x= < < ( )U A B =
[1,2) (0,3] [1,3) ( )0,2
A
{ | 1 3}A x x x= < >或 { |1 3}U A x x= ≤ ≤
{ | 0 2}B x x= < < ( ) { | 0 3}U xA xB = < ≤∪
i 1 1 (1 )z ii
= − + | |z =
5 3
2z i= −
1 1 (1 )z ii
= − +
21- 1 2(1 ) 2i iz i ii i i
− = + = = = −
| |z =故选 B.
【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的运算，属基础题.
3.已知 2016-2018 年文科数学全国Ⅱ卷中各模块所占分值百分比大致如图所示：
给出下列结论：
①选修 1-1 所占分值比选修 1-2 小；
②必修分值总和大于选修分值总和；
③必修 1 分值大致为 15 分；
④选修 1-1 的分值约占全部分值的 .
其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】
由对图表信息的分析、成立结合百分比逐一运算即可得解.
【详解】解：对于①，选修 1-1 所占分值比为 选修 1-2 所占分值比为 即选修 1-1
所占分值比选修 1-2 大；
对于②，必修分值总和为 大于选修分值总和 必修分值总和大于选修分值
总和；
对于③，必修 1 分值大致为 150 =15 分；
对于④，选修 1-1 的分值约占全部分值的 = .
即正确的是②③④，
故选 C.
1
5
20%， 6.8%，
66.5%， 33.5%，即
× 10%
20
100
1
5【点睛】本题考查了对图表信息的分析处理能力，属基础题.
4.设 ， 分别是椭圆 的左右焦点，点 在椭圆 上，且
，若线段 的中点恰在 轴上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆的定义有 ，即 ， ，
再结合题意运算即可得解.
【详解】解：由定义得 ，又 ，所以 ， .
因为线段 的中点在 轴上， 为 的中点，由三角形中位线平行于底边，得
，所以 ，所以 ，所以 .
故选 C.
【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属中档题.
5.如图在 中， ，动点 ， ， 分别在边 ， ， 上，四
边形 为矩形，剪去矩形 后，将剩余部分绕 所在直线旋转一周，得到一个几
何体，则当该几何体的表面积最大时， （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】B
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > P C
21 3PF PF= 1PF y
3
3
3
6
2
2
1
2
1 2 2PF PF a+ = 2 2
aPF = 1
3
2
aPF =
1 2 2PF PF a+ = 21 3PF PF= 2 2
aPF = 1
3
2
aPF =
1PF y O 1 2F F
2 1 90PF F∠ = °
2 2
2 3(2 )2 2
a ac + = 2a c= 2
2e =
Rt ABC 6AB BC= = D E F BC AC AB
BDEF BDEF AF
BD =
3 2【解析】
分析】
由题意可知，将剩余部分绕 所在直线旋转一周，所得组合体为三棱锥挖去一个棱柱，再
求其表面积即可.
【详解】解：设 ， ，其中 ，由题易得 ，
所以 ，则所求几何体的表面积为：
，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选 B.
【点睛】本题考查了空间组合体表面积的求法，属基础题.
6.已知函数 ，则函数 的图象在 处的切线的斜率为（ ）
A. -21 B. -27 C. -24 D. -25
【答案】A
【解析】
【分析】
由导数的运算可得： ，
再由导数的几何意义，即函数 的图象在 处的切线的斜率为 ，求解即可.
【详解】由题得 ，所以 ，解得 ，所以
.
故选 A
【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.
7.如图，在梯形 中， ， ， 是 中点，则 （ ）
【
.
AF
BD x= BF y= , (0,6)x y∈ 6
6 6
x y−=
6x y+ =
2
21 2 6 6 2 6 2 36 2 36 2 36 2 36 2 36 2 542 2
x yS xy xyπ π π π π π π π π π π+ = × × × + × + = + + ≤ + + × = +
3x y= = 3BD =
3( ) 2 (1)f x x f x′= − − ( )f x 2x =
2( ) 6 (1)f x x f′ ′= − −
( )f x 2x = ( )2f ′
2( ) 6 (1)f x x f′ ′= − − ( ) ( )1 6 1f f′ ′= − − ( )1 3f ′ = −
( )2 21f ′ = −
ABCD CD AB 2AB CD= P BC AP =A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由平面向量基本定理及线性运算可得： ，得解.
【详解】因为 是 中点，所以 .
故选 D.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属基础题.
8.函数 的最小正周期是 ，则其图象向左平移 个单位长度
后得到的函数的一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数的周期可得 ，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为
，再求其对称轴方程即可.
【 详 解 】 解 ： 函 数 的 最 小 正 周 期 是 ， 则 函 数
， 经 过 平 移 后 得 到 函 数 解 析 式 为
1 1
2 3AD DC+ 1
2 AD DC+ 3 1
2 2DC AD−
1 3
2 2AD DC+
1 3
2 2AP AD DC= +
P BC 1 1 1 1 3( )2 2 2 2 2AP AB AC DC AD DC AD DC= + = + + = +
( ) 4sin ( 0)3f x x
πω ω = + > 3π
6
π
4x
π=
3x
π= 5
6x
π= 19
12x
π=
2
3
πω =
2 44sin 3 9y x
π = +
( ) 4sin ( 0)3f x x
πω ω = + > 3π
2( ) 4sin 3 3f x x
π = + ，由 ，
得 ，当 时， .
故选 D.
【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
9.已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，
其中四边形 为平行四边形， 轴， 为边 的中点，则平行四边形
的面积为（ ）
A. 8 B. 16 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由几何体的三视图可得 ， ，再由斜二测画法求面积即可得解.
【详解】解：由正视图与题意知 ，由侧视图与题意知 ，所以平行四边形
的面积为 .
故选 C.
点睛】本题考查了三视图及斜二测画法，属基础题.
10.一个圆锥的母线长为 2，圆锥的母线与底面的夹角为 ，圆锥内有一个内接正方体，则这
个正方体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【
2 2 44sin 4sin3 6 3 3 9y x x
π π π = + + = +
2 4 ( )3 9 2x k k
π ππ+ = + ∈Z
3 ( )2 12x k k
ππ= + ∈Z 1k = 19
12x
π=
A B C D′ ′ ′ ′ B C x′ ′ ′ O′ A B′ ′
A B C D′ ′ ′ ′
4 2 8 2
4B C′ ′ = 2A B′ ′ =
4B C′ ′ = 2A B′ ′ =
A B C D′ ′ ′ ′ 2sin 45 4 2 4 22B C A B′ ′ ′ ′× ° = × × =
4
π
2( 2 1)− 38(2 2)− 38( 2 1)−【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可设正方体的棱长为 ，则 ，求出 ， 再利用正方体的体积公式运算
即可.
【详解】解：圆锥的母线长为 2，圆锥的母线与底面夹角为 ，所以，圆锥轴截面为等腰直角
三角形，底面半径和高均为 ，设正方体的棱长为 ，则 ，
所以 ，
所以正方体的体积为 .
故选 C.
【点睛】本题考查了空间几何体及正方体的体积公式，属基础题.
11.已知双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ， ， 两点在
双曲线 的右支上， 为 中点， 为 轴上一点，且 .若 ，则
双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意运算可得 ，即 ，运算可得解.
38( 2 1)+
x 2 2
2 2 2
x x−= x
4
π
2 x 2 2
2 2 2
x x−=
2 2( 2 1)
2 1
x = = −
+
38( 2 1)−
2 2
2 2 2: 1( 0)x yC c aa c a
− = > >− F M A B
C F AB N x AN BM⊥ | |FN a c≤ +
C
(1,2] [2, )+∞ (1, 2] [ 2, )+∞
4
2| | ( )
bFN a ca c a
= ≤ +− ( )4 2 2 2b a c a≤ −【详解】解：设 ，由题意可知 ， 轴，不妨令 ，
（其中 ）.因为 ，所以 ，解得 .
由题易知 ，
整理得 ，即 ，即 ，又 ，
所以 .
故选 C.
【点睛】本题考查了双曲线 的离心率的取值范围的求法，属中档题.
12.已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实数根，则
实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
关于 的方程 有两个不同的实数根等价于 图象与直线 有两
个不同的交点，再作图像观察交点个数即可得解.
【详解】解：作出 图象，如图所示，由题意知函数 的图象与直线 有
两个不同的交点，且直线 恒过定点 .
当 时， ，则 .设曲线 在点 处的切线过点 ，
( )0 ,0N x ( ,0)M a AB x⊥
2
, bA c a
2
, bB c a
−
2 2 2b c a= − AN BM⊥
2 2
0
1
b b
a a
c x c a
−
⋅ = −− −
4
0 2 ( )
bc x a c a
− = −
4
0 2| | ( )
bFN c x a ca c a
= − = ≤ +−
( )4 2 2 2b a c a≤ − 2 2 2c a a− ≤ 2 2e ≤ 1e >
1 2e< ≤
C
ln , 0
( ) 1 2 , 0
x x
f x xx
>
= + ( ) lnf x x= ( ) 1f x x
′ = ( )y f x= ( )0 0,lnA x x P又曲线 在点 处的切线方程为 ，将 代入上式，得
，解得 ，所以 ，结合图象知当 时，函数
的图象与直线 有两个不同的交点；
当 时， ，则 ，设曲线 在点
处的切线过点 ，又曲线 在点 处的切线方程为
，将 代入上式，得 ，解得
，所以 ，结合图象知当 时，函数 的图象与直线 有
两个不同的交点；
设点 ，则 ，由图象知当 时，方程 也有两个不同
的实数根.
综上，实数 的取值范围为 .
故选 C.
【点睛】本题考查了函数与方程的关系及数形结合的数学思想方法，属难题.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. ， ， ， 的夹角为 ，则 与 的夹角为__________．
【答案】
【解析】
( )y f x= A ( )0 0
0
1lny x x xx
− = − ( )0, 1−
( )0 0
0
11 ln x xx
− − = ⋅ −
0 1x = 1APk = 0 1k< < ( )y f x=
1y kx= −
2
1x < − 1( ) 2f x x
= + 2
1( )f x x
′ = − 1( ) 2y f x x
= = +
1 1
1
1 1, 2 2B x xx
+ < − P ( )y f x= B
( )12
1 1
1 12y x xx x
− − = − − ( )0, 1− ( )12
1 1
1 11 2 xx x
− − − = − ⋅ −
1
2
3x = − 9
4BPk = − 9
4k < − ( )f x 1y kx= −
1 ,02C − 2PCk = − 2 0k− < < (x) kx 1f = −
k 9, ( 2,0) (0,1)4
−∞ − ∪ − ∪
| | 2a = | | 1b = a b 60° b 2a b−
120°【分析】
由向量模的运算及数量积运算可得 ，
再由向量的夹角公式运算可得解.
【详解】解： ，所以 ，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
又因 ，
所以 .
【点睛】本题考查了两向量的夹角，属基础题.
14.设 ， 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值与最小值分别为
， ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数 的最值即可得解.
【详解】解： ， 满足约束条件 的可行域如图，由 得
；
由 得 ，将目标函数化为 ，由图可知，当直线
经过点 时目标函数取得最小值，所以 ；当直线 经过点
时目标函数取得最大值，所以 ，
| 2 | 2a b− =
2 2 2| 2 | | | 4 4 | | 4a b a a b b− = − ⋅ + = | 2 | 2a b− =
b 2a b− θ
( 2 ) 1cos 2| | | 2 |
b a b
b a b
θ ⋅ −= = −
⋅ −
0 180θ° < < °
120θ = °
x y
1 0
2 3 6 0
3 2 6 0
x y
x y
x y
− + ≤
+ − ≤
− + ≥
2z x y= −
M m M m+ =
40
13
−
2z x y= −
x y
1 0
2 3 6 0
3 2 6 0
x y
x y
x y
− + ≤
+ − ≤
− + ≥
2 3 6 0
3 2 6 0
x y
x y
+ − =
− + =
6 30,13 13A −
1 0
3 2 6 0
x y
x y
− + =
− + =
( )4, 3B − − 1
2 2
zy x= −
1
2 2
zy x= − A min
66
13z = − 1
2 2
zy x= −
B max 2z =所以有 .
【点睛】本题考查了简单的线性规划，属基础题.
15.已知点 在直线 上，过点 作圆 的切线，切点分别为 ， ，
则当直线 时，弦 的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由圆的切线段长的求法可得： ，
再由等面积法即可得解.
【详解】解：如图连接 ， ， .由题易知， ，又 ，所以 ，
则 ，易知 ，所以 .
由等面积法，得 ，
所以 .
M m+ = 66 40213 13
− + = −
P : 4 0l x y+ − = P 2 2: 1O x y+ = A B
AB l AB
14
2
2 2| | | | | | 7AP OP OA= − =
OA OB OP OP AB⊥ AB l OP l⊥
4| | 2 2
2
OP = = OA AP⊥ 2 2| | | | | | 7AP OP OA= − =
1 12 | | | | | | | |2 2OA AP AB OP× × = ×
2 | | | | 2 1 7 14| | | | 22 2
OA APAB OP
× × ×= = =【点睛】本题考查了圆的切线问题，属中档题.
16.在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，
，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理可得： ，再由三角形面积公式可得 ， ，结合正弦定理运算即可
得解.
【详解】解：根据余弦定理，得 （*）.
因为 ，所以 .
代入（*）式得 ，所以 ，所以 .
又 ，
所以 ， ， ，
根据正弦定理 ，得 ，所以 .
【点睛】本题考查了正余弦定理，及同角三角关系，属中档题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在 中，角 所对的边分别为 ， ，
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2 25 2 0a b c− + = 60A = °
3 3ABCS =
tan B =
3 3
5
3
4b c= 3b = 4c =
2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + −
2 2 25 2 0a b c− + = 2 2 25 2a b c= −
2 24 3 0b bc c+ − = (4 3 )( ) 0b c b c− + = 3
4b c=
1 sin 60 3 32ABCS bc∆ = ° =
12bc = 3b = 4c =
sin sin
b c
B C
= ( )
3 4
sin sin 120B B
= °−
sin 3 3tancos 5
B BB
= =
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 3b =.
（1）求角 大小；
（2）若 的面积为 ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由正余弦定理可得： ，即 ；
（2）由三角形的面积公式可得： ，再结合余弦定理可得 ，得解.
【详解】解：（1）由题得 ，
由正弦定理得 ，即 ，所以
，
又 ，所以 .
（2）由题得 ，所以 ，
由（1）得 ，
所以
【点睛】本题考查了正余弦定理及三角形的面积公式，属中档题.
18.已知数列 前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
（3）在（2）的情况下，求证： .
【答案】（1） （2） （3）详见解析
【解析】
的
的
(sin sin )(2 3 ) ( )sinB C c a c A− + = −
B
ABC△ 2 3 a c+
3B
π= 6a c+ =
2 2 2b c a ac− = −
3B
π=
8ac = 6a c+ =
(sin sin )(2 3 ) (sin sin )( ) ( )sinB C c B C b c a c A− + = − + = −
( )( ) ( )b c b c a a c− + = − 2 2 2b c a ac− = −
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
( )0,B π∈
3B
π=
1 3sin 2 32 4S ac B ac= = = 8ac =
2 2 2 2 2( ) 3 ( ) 24 12b a c ac a c ac a c= + − = + − = + − =
6a c+ =
{ }na n nS 12 2n
nS += −
{ }na
2 2 1
1
log logn
n n
b a a +
= × { }nb n nT
1 2
1
2nT T T× × × ≤
( )*2n
na n= ∈N
1n
nT n
= +【分析】
（1）由数列前 项和及当 时， ，求数列通项即可；
（2）先求数列 的通项公式，再利用裂项求和法求数列的前 项和即可.
（3）由（2）求出 即可得解.
【详解】解：（1）由题得当 时， ，
当 时， ，
当 时， 也符合上式，
所以 ；
（2）由（1）得
所以
；
（3）由（2）得 ，
当 ， ，
所以 .
【点睛】本题考查了数列通项公式的求法及裂项求和法，属中档题.
19.如图，在四棱锥 中， 矩形 ， ， ，点 在棱
上.
n 2n ≥ 1n n na S S −= −
{ }nb n
1 2 nT T T× × ×
1n = 1 1 2a S= =
2n ≥ 1
1 2 2 2n n n
n n na S S +
−= − = − =
1n = 1 2a =
( )*2n
na n= ∈N
1
2 2
1 1
log 2 log 2 ( 1)n n nb n n+= =× +
1 1 1
1 2 2 3 ( 1)nT n n
= + + +× × +
1 1 1 1 11 2 2 3 1n n
= − + − + + − +
11 1n
= − +
1
n
n
= +
1 2
1 2 1
2 3 1 1n
nT T T n n
× × × = × × × =+ +
1n ≥ *n∈N
1 2
1 1
1 2nT T T n
× × × = ≤+
P ABCD− PA ⊥ ABCD 4PA AD= = 3AB = E
PC（1）若 平面 ，证明： 是 的中点；
（2）当 为 的中点时，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由 平面 ， 即 .即 为 的中点，故 为 中点；
（2）由等体积法 运算可得解.
【详解】解：（1）过点 作 交 于点 ，连接 ，如图所示
则 ，所以 四点共面.
因为 平面 ，又 平面 ，
所以 .
又 ，所以 为 的中点，
所以 为 中点.
（2）因为 为 中点，所以 到平面 的距离为点 到平面 的距离的 ，
因为 矩形 ， 平面 ，所以 .
又 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离为 4，
所以点 到平面 的距离为 2.
PD ⊥ ABE E PC
E PC P ABE−
4
PD ⊥ ABE PD AF⊥ F PD E PC
P ABE E PABV V− −=三棱锥 三棱锥
E EF CD∥ PD F AF
EF AB∥ , , ,F E B A
PD ⊥ ABE AF ⊂ ABE
PD AF⊥
PA AD= F PD
E PC
E PC E PAB C PAB 1
2
PA ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD PA BC⊥
BC AB⊥ PA AB A= PA ⊂ PAB AB Ì PAB BC ⊥ PAB
C PAB
E PAB则
即三棱锥 的体积为 4.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质及三棱锥的体积，属中档题.
20.由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一讲题一再刷题”的模式，效果不理
想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一刷题一检测效果”的模式，并记录了某学生
的记题型时间 （单位： ）与检测效果 的数据如下表所示.
记题型时间
1 2 3 4 5 6 7
检测效果 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）据统计表明， 与 之间具有线性相关关系，请用相关系数 加以说明（若 ，
则认为 与 有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；
（2）建立 关于 的回归方程，并预测该学生记题型 的检测效果；
（3）在该学生检测效果不低于 3.6 的数据中任取 2 个，求检测效果均高于 4.4 的概率.
参考公式：回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，
，相关系数
参考数据： ， ， ， .
【答案】（1） ， 与 有很强的线性相关关系.（2） 关于 的回归方程为
，预测值为 （3）
【解析】
【分析】
1 1 12 3 4 2 43 3 2PABP ABE E PABV V S− − = × = × × × × ==三棱锥 三棱锥 △
P ABE−
t h y
/t h
y
y t r | | 0.75r ≥
y t
y t 8h
y bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
∧
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y b x
∧ ∧
= −
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
4.3y = ( )7 2
1
7.08i
i
y y
=
− =∑ ( )( )7
1
14i i
i
t t y y
=
− − =∑ 198.24 14.08≈
0.99 0.75r ≈ > y t y t
0.5 2.3y t
∧
= + 6.3 3
10（1）求出相关系数即可得解；
（2）由图表信息求出 关于 的回归方程；
（3）先求出各种情况的基本事件的个数，再利用古典概型的概率求法，运算即可得解.
【详解】（1）由题得 ，
，
所以，
所以 与 有很强的线性相关关系.
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 关于 的回归方程为 .
当 时， ，
所以预测该学生记题型 的检测效果约为 6.3.
（3）由题知该学生检测效果不低于 3.6 的数据有 5 个，任取 2 个数据有 ，
， ， ， ， ， ， ，
， 共 10 种情况，其中检测效果均高于 4.4 的有 ， ，
，共 3 种结果，
故所求概率为 .
【点睛】本题考查了变量间的相关性、回归方程及古典概型，属中档题.
21.已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上， ，
y t
1 2 3 4 5 6 7 47t
+ + + + + += =
( )7 2
1
9 4 1 0 1 4 9 28i
i
t t
=
− = + + + + + + =∑
( )( )
( ) ( )7 7
7
1
2 2
1 1
14 0.99 0.75
28 7.08
i i
i
i i
i i
t y y
r
t t y
t
y
=
= =
− −
= = ≈ >
×− −
∑
∑ ∑
y t
( )( )
( )
7
1
7 2
1
14 0.528
i i
i
i
i
t t y y
b
t t
∧
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
4.3 0.5 4 2.3a y b t
∧ ∧
= − = − × =
y t 0.5 2.3y t
∧
= +
8t = 0.5 8 2.3 6.3y
∧
= × + =
8h
( )3.6,4.4
( )3.6,4.8 3.6,( 5.2) ( )3.6,5.9 ( )4.4,4.8 ( )4.4,5.2 ( )4.4,5.9 ( )4.8,5.2
( )4.8,5.9 ( )5.2,5.9 ( )4.8,5.2 ( )4.8.5.9
( )5.2.5.9
3
10
2: 2 ( 0)C y px p= > F ( ,2 3)B m C (0, 3)A且 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 作直线 ， 分别交抛物线 于 ， 两点，若直线 ， 的
倾斜角互补，求直线 的斜率.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义及两点的距离公式运算可得解；
（2）由直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线方程，利用斜率公式求解即可.
【详解】解：（1）由题得 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，①
因为点 在抛物线 上，所以 ，即 .②
联立①②得 ，
解得 或 （舍去），
所以抛物线 的标准方程为 .
（2）由题知直线 ， 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数
设 ， ，直线
由 ，
得 ，
则 ，
| | 2 | |BF AF=
C
(1,2)P PM PN C M N PM PN
MN
2 4y x= 1−
,02
pF
| | 2
pBF m= + 2
| | 34
pAF = +
| 2 | |BF AF= 2
2 32 4
P pm + = +
B C 12 2pm= 6pm =
4 28 48 0p p+ − =
2p = 2p = −
C 2 4y x=
PM PN
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y : ( 1) 2( 0)PM y k x k= − + ≠
2
( 1) 2
4
y k x
y x
= − +
=
( )2 2 2 22 4 4 4 4 0k x k k x k k− − + + − + =
( )22 2 2 22 4 4 4 ( 2) 16( 1) 0k k k k k∆ = − + − − = − >又点 在抛物线 上，所以
同理得 .
则 ， ，
，
所以
即直线 的斜率为-1.
【点睛】本题考查了曲线与方程及直线与抛物线的位置关系，属中档题.
22.已知函数 的极小值为 .
（1）求 的单调区间；
（2）证明： （其中 为自然对数的底数）.
【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）先由函数 的极小值为 ，求出 ，利用导数的应用，求函数单调区间即可；
（2）不等式恒成立问题，通常采用最值法，方法一,令 ，可以证明
P C
2
1 2
4 4k kx k
− +=
2
2 2
4 4k kx k
+ +=
2
1 2 2
2 8kx x k
++ = 1 2 2
8 8kx x k k
− −− = =
( ) ( )1 2 1 21 2 1 2y y k x k x − = − + − − − +
( )1 2 2k x x k= + −
2
2
2 8 2kk kk
+= ⋅ −
8
k
=
1 2
1 2
8
18MN
y y kk x x
k
−= = = −−−
MN
21( ) ln ( 0)2f x ax x a= ⋅ > 1
2e
−
( )f x
( ) 2 3
4x
xf x e
> − 2.71828e =
1
20,e
−
1
2e ,
− +∞
( )f x 1
2e
− a
2 3( ) ( 0)4x
xg x xe
= − >，方法二,要证 ，即证 ，再构造函数证明
即可得解.
【详解】（1）由题得 的定义域为 ，
，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）方法一：要证 ，即证 ，
令 ，则 ，
当 时 ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以 .
由题知 .
因为 ，
所以 ，即 .
方法二：由（1）知 .
解得 ，要证 ，即证 .
min max( ) ( )f x g x>
2 3( ) 4x
xf x e
> − 2
3 1ln 04 xx x e
+ − >
( )f x ( )0, ∞+
1 1( ) ln (2ln 1)2 2f x ax x ax ax x′ = + = +
( ) 0f x′ = 1
2x e
−=
1
20 x e
−< < ( ) 0f x′ < ( )f x
1
2x e
−> ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x
1
20,e
−
1
2e ,
− +∞
2 3( ) 4x
xf x e
> −
2
min
3( ) 4x
xf x e
> −
2 3( ) ( 0)4x
xg x xe
= − > (2 )( ) x
x xg x e
−′ =
( )0,2x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x
(2, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x
max 2
4 3( ) (2) 4g x g e
= = −
min
1( ) 2f x e
= −
2 2
4 3 1 (8 3 )(2 ) 04 2 4
e e
e e e
− + − − − =
2 3( ) 4x
xf x e
> −
1
2
min
1( ) 4 2
af x f e e e
− = = − = −
2a =
2 3( ) 4x
xf x e
> − 2
3 1ln 04 xx x e
+ − >当 时，易知 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 ，即 .
令 ，则 ，
所以 在区间 内单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
则当 时，
，
所以 .
综上， .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间及证明不等式，属综合性较强的题型.
x e≥ 2
3 1 1 1ln ln 1 04 x x xx xx e e e
+ − > − ≥ − >
1( ) ln 1 (0 )m x x x ex
= − + < < 2
1( ) xm x x
−′ =
(0,1)x∈ ( ) 0m x′ < ( )m x
(1, )x e∈ ( ) 0m x′ > ( )m x
( ) ( )1 0m x m≥ = 1ln 1x x
≥ −
( ) 1(0 )xn x e x x e= − − < < ( ) 1 0xn x e′ = − >
( )n x ( )0,e
( ) ( )0 0n x n> = 1xe x> +
1 1
1xe x
− > − +
0 x e< <
2
2 2 2 2
3 1 1 3 1 4 3 1 1 4 3 1 1ln 14 4 1 4 1 4 1x
x xx x e x x x x x x x x x
++ − > − + − = − − ≥ − − =+ + +
( 3 2) 3 1 0( 1)
x
x x
− + − >+
2
3 1ln 04 xx x e
+ − >
( ) 2 3
4x
xf x e
> −
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