第 13 章 全等三角形 检测题
【本检测题满分：100 分，时间：90 分钟】
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.下列命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直
线都相等.其中真命题有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.已知 中， 和 的平分线交于点 ，则 一定（ ）
A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定
3.已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为 3，斜边为 4，则另一个直角三
角形斜边上的高为（ ）
A. B. C. D.6
4.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A.∠1=50°，∠2=40° B.∠1=50°，∠2=50°
C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°，∠2=40°
5.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）
A.垂直 B.两条直线
C.同一条直线 D.两条直线垂直于同一条直线
6.如图，在 中， ， ， ,点 在
边上，连结 ， ，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定
与 全等（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在 中， ， ， 的平分线 ， 相交
于点 ，且 交 于点 ， 交 于点 ．某同学分析图形后得出以
下结论：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ .上述结论一
定正确的是（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④
ABC△ ABC∠ ACB∠ O BOC∠
2
3
3
4
3
2
△ABC >AB AC ∥DE BC 1
2
=DE BC F
BC DF EF
△BFD △EDF
∥EF AB =BF CF
∠ =∠A DFE ∠ ∠=B DEF
△ABC =AB AC ∠ABC ∠ACB BD CE
O BD AC D CE AB E
△ ≌△BCD CBE △ ≌△BAD BCD
△ ≌△BDA CEA △ ≌△BOE COD △ ≌△ACE BCE
第 6 题图
第 7 题图8.已知：如图， ， ， 三点在同一条直线上， ，
， ，则不正确的结论是（ ）
A. 与 互为余角 B.
C. D.∠1=∠2
第 8 题图
9.如图，点 ， ， 在同一条直线上， 与 都是等边三角形，则下列结论不
一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
① ②
第 9 题图 第 10 题图
10.（2014•山东泰安中考）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中
， ， ．把 绕点 顺时针旋转 15°得到 ，如
图②，连结 ，则 的度数为（ ）
A.10° B. 20° C.7.5° D.15°
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11.（2014•广州中考）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相
等．”写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”
或“假”）．
12.如图，在 中， ， ， ，在 上取一点 ，使
，过点 作 交 的延长线于点 ，若 ，则 ＝ cm.
13.命题：“如果 ，那么 ”的逆命题是________________，该命题是_____命题
（填“真”或“假”）．
14.如图，已知 的周长是 21， ， 分别平分 和 ， 于点
，且 ，则 的面积是 ．
B C E AC CD=
B∠ = 90E∠ = ° AC CD⊥
A∠ D∠ 2A∠ = ∠
ABC CED△ ≌△
B C E ABC△ CED△
ACE BCD△ ≌△ BGC AFC△ ≌△ DCG ECF△ ≌△ ADB CEA△ ≌△
=ACB∠
90CED∠ = ° 45A∠ = ° 30D∠ = ° DCE△ C 1 1D CE△
1D B 1 1E D B∠
Rt ABC△ 90ACB∠ = ° 2 cmBC = CD AB⊥ AC E
EC BC＝ E EF AC⊥ CD F 5 cmEF＝ AE
a b= 2 2a b=
ABC△ BO CO ABC∠ ACB∠ OD BC⊥
D 3OD = ABC△第 12 题图 第 14 题图 第 15 题图
15.如图，在 中， ， 是 的角平分线， ， ，垂
足分别是 ， ．则下面结论中① 平分 ；② ， ；③ 上的
点到 ， 两点的距离相等；④图中共有 3 对全等三角形，正确的有： .
16.如图，已知等边 中， ， 与 相交于点 ，则 = 度.
17.如图， ， ， ，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= .
18.（2014•浙江湖州中考改编）如图，已知在 中， ，点 是 边的
中点，分别以 ， 为圆心，大于线段 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线 上方
的交点为 ，直线 交 于点 ，连结 ，则下列结论：① ；②
；③ 平分 ；④ 中，一定正确的是 （填写正确选项的序
号）.
第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图
三、解答题（共 46 分）
19.（6 分）下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出
它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
ABC△ AB AC= AD ABC△ DE AB⊥ DF AC⊥
E F DA EDF∠ AE AF= DE DF= AD
B C
ABC△ BD CE= AD BE P APE∠
AB AC= AD AE= BAC DAE∠ = ∠
Rt ABC△ 90ABC∠ = ° D BC
B C BC BC
P PD AC E BE ED BC⊥ A∠
EBA= ∠ EB AED∠ 1
2ED AB=（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
20.（8 分）已知：如图， ，∠1=∠2， .
求证： .
21.（8 分）如图， ，且 ， ， ，
求 和 的度数．
第 21 题图 第 22 题图 第 23 题图
22.（8 分）如图， 是 内的一点， ， ，垂足分别为 ， ，
．
求证：（1） ；
（2）点 在 的平分线上．
23.（8 分）如图，在 中， ， 是 的平分线， 于点 ，
点 在 上， .
证明：（1） ；（2） ．
24.(8 分)已知：在 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边
上一点．
（1） 垂直 于点 ，交 于点 （如图①），求证： .
（2） 垂直 ，垂足为 ，交 的延长线于点 （如图②），找出图中与 相等的
线段，并证明．
AB AE= B E∠ = ∠
BC ED=
ABC ADE△ ≌△ 10CAD∠ = ° 25B D∠ = ∠ = ° 120EAB∠ = °
DFB∠ DGB∠
P BAC∠ PE AB⊥ PF AC⊥ E F
AE AF=
PE PF=
P BAC∠
ABC△ 90C∠ = ° AD BAC∠ DE AB⊥ E
F AC BD DF=
CF EB= 2AB AF EB= +
ABC△ AC BC= 90ACB∠ = ° D AB E AB
BF CE F CD G AE CG=
AH CE H CD M BE
第 20 题图① ②
第 24 题图
第 13 章 全等三角形检测题参考答案
1.C 解析：①②④是真命题；对于③，只有两条平行直线被截得的同旁内角才互补；对于
⑤，直线不能测量长度，所以也不存在两条直线相等的说法，故选 C.
2.C 解析：因为在 中， ，所以 ，所
以 .故选 C.
3.C 解析：设面积为 3 的直角三角形斜边上的高为 ，则 ，∴ .
4.C 解析：当∠1=∠2=45°时，∠1+∠2 也等于 90°.所以命题“如果∠1+∠2=90°，那
么∠1≠∠2”是假命题.故选 C.
5.D 解析：题设是两条直线垂直于同一条直线，结论是这两条直线互相平行.故选 D.
6.C 解析：A.∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
又∵ ，∴ ，故本选项可以判定 与 全等．
B.∵ ， ， ，∴ ，故本选项可
以判定 与 全等．
C.由 证不出 与 全等，故本选项不可以判定 与 全等．
D.∵ ， ， ，∴ ，故本选项可以判定
与 全等．故选 C．
7.D 解析：∵ ，∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
ABC△ 180ABC ACB∠ + ∠ < ° 1 1 902 2ABC ACB∠ + ∠ < °
90BOC∠ > °
h 1 4 32 h× = 3
2h =
EF AB∥ BDF EFD∠ = ∠
DE BC∥ BFD EDF∠ = ∠
DF DF= BFD EDF△ ≌△ BFD△ EDF△
1
2DE BC BF= = EDF BFD∠ = ∠ DF DF= BFD EDF△ ≌△
BFD△ EDF△
A DFE∠ = ∠ BFD△ EDF△ BFD△ EDF△
B DEF∠ = ∠ EDF BFD∠ = ∠ DF DF= BFD EDF△ ≌△
BFD△ EDF△
AB AC= ABC ACB∠ = ∠
BD ABC∠ CE ACB∠∴ ．
又 ,∴ ① （A.S.A.）.
由①可得 ，∴ ，即 .
又 ，∴ ③ （S.A.S.）.
由①可得 ， ，又 ，∴ ④
（A.A.S.）．故选 D.
8.D 解析：∵ ， ， 三点在同一条直线上，且 ，∴ ∠1+∠2=90°.
∵ ，∴ ，∴ .故 B 选项正确.
在 和 中， ∴ ，故 C 选项正确.
∵ ，∴ ，故 A 选项正确.
∵ ，∴ ，∠1+∠2=90°，∠1 与∠2 不一定相等,故 D 选项错误．故
选 D．
9.D 解析：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 .
在 和 中， ∴ ，故 A 成立.
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
在 和 中， ∴ ，故 B 成立.
∵ ，∴ .
在 和 中， ∴ ，故 C 成立.
故选 D．
10.D 解析：∵ ， ，∴ ．
ABD CBD ACE BCE∠ = ∠ = ∠ = ∠
BC CB= BCD CBE△ ≌△
BE CD= AB BE AC CD− = − AE AD=
A A∠ = ∠ BDA△ ≌ CEA△
BE CD= BEO CDO∠ = ∠ EOB DOC∠ = ∠ BOE COD△ ≌△
B C E AC CD⊥
90B∠ = ° 1 90A∠ + ∠ = ° 2A∠ = ∠
ABC△ CED△
90
2,
,
B E
A
AC CD
∠ = ∠ = °∠ = ∠
=
，
ABC CED△ ≌△
2 90D∠ + ∠ = ° 90A D∠ + ∠ = °
AC CD⊥ 90ACD∠ = °
ABC△ CDE△
BC AC= CE CD= 60BCA ECD∠ = ∠ = °
BCA ACD ECD ACD∠ + ∠ = ∠ + ∠ BCD ACE∠ = ∠
BCD△ ACE△
,
,
,
BC AC
BCD ACE
CD CE
=∠ = ∠
=
BCD ACE△ ≌△
BCD ACE△ ≌△ DBC CAE∠ = ∠
60BCA ECD∠ = ∠ = ° 60ACD∠ = °
BGC△ AFC△
,
,
60 ,
CAF CBG
AC BC
GCB ACF
∠ = ∠ =
∠ = ∠ = °
BGC AFC△ ≌△
BCD ACE△ ≌△ CDB CEA∠ = ∠
DCG△ ECF△
,
,
60
CDG CEF
CD DE
GCD FCE
= =
= = ° ，
∠ ∠
∠ ∠
DCG ECF△ ≌△
90CED∠ = ° 30D∠ = ° 60DCE∠ = °∵ 绕点 顺时针旋转 15°，∴ ，
∴ ，∴ ．
在 和 中， ∴ （S.A.S.），
∴ ，∴ ．
点拨：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性
质并求出 和 全等是解题的关键．
11.如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假
12.3 解析:由条件易判定 ，所以 ，则
.
13.如果 ，那么 假 解析：根据题意，得命题“如果 ，那么 ”
的条件是“ ”，结论是“ ”，故逆命题是“如果 ，那么 ”，该命题
是假命题．
14.31.5 解析：作 ， ，垂足分别为 ， ，连结 .
∵ ， 分别平分 和 ， ，∴ .
∴
=
=
= ．
15.①②③④ 解析：在 中， ， 是 的角平分线，
已知 ， ，可证 .
故有 ， ， ，①②正确.
是 的角平分线，在 上可任意取一点 ，可证 ，
∴ ，∴ 上的点到 ， 两点的距离相等，③正确.
根据图形的对称性可知，图中共有 3 对全等三角形，④正确．故填①②③④．
16.60 解析：∵ 是等边三角形，∴ ， .
DCE△ C 1 15BCE∠ = °
1 60 15 45BCD∠ = ° − ° = ° 1BCD A∠ = ∠
ABC△ 1D CB△ 1
1
AC BC
A BCD
AB D C
=
∠ = ∠
=
，
，
，
1ABC CD B△ ≌△
1 45BD C ABC∠ = ∠ = ° 1 1 1 1 1 45 30 15E D B BD C CD E∠ = ∠ − ∠ = ° − ° = °
ABC△ 1D CB△
ABC FCE△ ≌△ 5 cmAC EF= = AE AC CE= −
=5 2 3(cm)EF BC− − =＝
2 2a b= a b= a b= 2 2a b=
a b= 2 2a b= a b=
OE AC⊥ OF AB⊥ E F OA
BO CO ABC∠ ACB∠ OD BC⊥ OD OE OF= =
ABC OBC OAC OABS S S S= + +△ △ △ △
1 1 1
2 2 2OD BC OE AC OF AB× × + × × + × ×
1 ( )2 OD BC AC AB× × + +
1 3 21 31.52
× × =
ABC△ AB AC= AD ABC△
DE AB⊥ DF AC⊥ ADE ADF△ ≌△
EDA FDA∠ = ∠ AE AF= DE DF=
AD ABC△ AD M BDM CDM△ ≌△
BM CM= AD B C
ABC△ ABD C∠ = ∠ AB BC=∵ ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ ．
17. 解析：在 与 中，
∵ ，∴ .
又∵ ， ，∴ .∴ .
∵ ， ， ，∴ ．
18.①②④ 解析：根据作图过程可知 ．
∵ 为 的中点，∴ 垂直平分 ，∴ ① 正确.
∵ ，∴ ，∴ 为 的中点，∴ ，④ 正确.
∵ ，∴ ，② 正确；③ 平分 错误．故正确的有①②
④．
点拨：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度
中等．
19.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论
写在“那么”后面．将题设与结论互换写出它的逆命题.
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，
其余 4 个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，真命题.
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，真命题；
逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交，真命题.
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，假命题；
逆命题：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，假命题.
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，真命题；
逆命题：如果两条射线垂直，那么这两条射线是邻补角的角平分线，假命题.
20.分析：要证 ,需证 .
证明：因为 ，所以 ，即 .
又因为 ， ，所以 ，所以 .
21.分析：由 ，可得 ，根据三角形外角
BD CE= ABD BCE△ ≌△ BAD CBE∠ = ∠
60ABE EBC∠ + ∠ = ° 60ABE BAD∠ + ∠ = ° 60APE ABE BAD∠ = ∠ + ∠ = °
55° ABD△ ACE△
1 CAD CAE CAD∠ + ∠ = ∠ + ∠ 1 CAE∠ = ∠
AB AC= AD AE= ABD ACE△ ≌△ 2 ABD∠ = ∠
3 1 1 2ABD∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ 1 25∠ = ° 2 30∠ = ° 3 55∠ = °
EB EC=
D BC ED BC ED BC⊥
90ABC∠ = ° PD AB∥ E AC EC EA= 1
2ED AB=
EB EC= EB EA= A EBA∠ = ∠ EB AED∠
BC ED= ABC AED△ ≌△
1 2∠ = ∠ 1 2BAD BAD∠ + ∠ = ∠ + ∠ BAC EAD∠ = ∠
AB AE= B E∠ = ∠ ABC AED△ ≌△ BC ED=
ABC ADE△ ≌△ 1( )2DAE BAC EAB CAD∠ = ∠ = ∠ − ∠性质可得 .由 ，即可求得 的度数；根据
三角形外角性质可得 ，即可得 的度数．
解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
．
22.证明：（1）连结 ，因为 ， , , ,
所以 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
所以点 在 的平分线上.
23.分析：（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点
到 的距离=点 到 的距离，即 ．再根据 ，得
.（2）利用角平分线性质证明 ，∴ ，再将线段 进行
转化．
证明：（1）∵ 是 的平分线， ， ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ .
（2）∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
24.（1）证明：因为 垂直 于点 ,
所以 ，所以 .
又因为 ，所以 .
因为 , ，所以 .
又因为点 是 的中点，所以 .所以 .
因为 ， ， ，
所以 ，所以 .
(2)解： .证明如下：
在 中，因为 , ，
所以 ， .
因为 ，即 ,
DFB FAB B∠ = ∠ + ∠ FAB FAC CAB∠ = ∠ + ∠ DFB∠
DGB DFB D∠ = ∠ − ∠ DGB∠
ABC ADE△ ≌△
1 1( ) (120 10 ) 552 2DAE BAC EAB CAD∠ = ∠ = ∠ − ∠ = ° − ° = °
10 55 25 90DFB FAB B FAC CAB B∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = ° + ° + ° = °
90 25 65DGB DFB D∠ = ∠ − ∠ = ° − ° = °
AP AE AF= AP AP= PE AB⊥ PF AC⊥
Rt RtAPE APF△ ≌ △ PE PF=
Rt RtAPE APF△ ≌ △ FAP EAP∠ = ∠
P BAC∠
D
AB D AC CD DE= Rt RtCDF EDB△ ≌ △
CF EB= ADC ADE△ ≌△ AC AE= AB
AD BAC∠ DE AB⊥ DC AC⊥ DE DC=
BD DF= Rt RtCDF EDB△ ≌ △ CF EB=
AD BAC∠ DE AB⊥ DC AC⊥
ADC ADE△ ≌△ AC AE=
2AB AE BE AC EB AF CF EB AF EB= + = + = + + = +
CE F
90CFB = °∠ 90ECB CBF∠ + ∠ = °
90ACE ECB∠ + ∠ = ° ACE CBF∠ = ∠
AC BC= 90ACB = °∠ 45A CBA∠ = ∠ = °
D AB 45DCB = °∠ DCB A∠ = ∠
ACE CBF∠ = ∠ DCB A=∠ ∠ AC BC=
CAE BCG△ ≌△ AE CG=
BE CM=
ABC△ AC BC= 90ACB∠ = °
45CAB CBA∠ = ∠ = ° 90ACH BCE∠ + ∠ = °
CH AM⊥ 90CHA = °∠所以 ,所以 .
因为 为等腰直角三角形斜边上的中线,所以 ， .
在 和 中, ， ， ,
所以 ,所以 .
90ACH CAM∠ + ∠ = ° BCE CAM∠ = ∠
CD CD AD= 45ACD∠ = °
BCE△ CAM△ BC CA= BCE CAM∠ = ∠ CBE ACM∠ = ∠
CAM BCE△ ≌△ BE CM=
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