皖东县中联盟 2018～2019 学年第二学期高二期末考试
数学试题（文科）
―、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. 0 或 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
求得集合 ，根据 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，集合 ，因为 ，所以 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关
键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2.已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的运算和复数模的运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，复数 .故
选 A.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算，
准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
2{ | }A x x x= = {1, ,2}B m= A B⊆ m
{0,1}A = A B⊆
2{ | } {0,1}A x x x= = = A B⊆ 0m =
3
iz i
= + i z =
10
10 10 5
5 5
2 2i(3 i) 1 3 1 3 1 10| | i(3 i)(3 i) 10 10 10 10 1010
z
− = = + = + = = + −
2 1x > 2 4x− < −C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，得 ，不可以推出 ；又由 时，能推出 ，推得
，即可得到答案.
【详解】由题意，因为 ，得 ，不可以推出 ；
但 时，能推出 ，因此可以能推出 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选 D.
【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，其中解答中熟记不等式的性质，以及充要
条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.已知向量 , ，若 ，则实数 m 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标运算解得.
【详解】由 ，得 ．即 .故选 C．
【点睛】本题考查向量的平行条件，属于基础题.
5.已知函数 在区间 上的最大值为 ，则抛物线 的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
2 1x > 2 1x− < − 2 4x− < − 2 4x− < − 2 4x >
2 1x >
2 1x > 2 1x− < − 2 4x− < −
2 4x− < − 2 4x > 2 1x >
2 1x > 2 4x− < −
( )2,a m= ( )3,1b = / /a b
1
4
1
3
2
3
1
2
/ /a b 3 2m = 2
3m =
2xy = [0,1] a
2
12
y ax=
3x = − 6x = − 9x = − 12x = −【分析】
由指数函数单调性，求得 ，化简抛物线的方程 ，即可求解抛物线的准线方程，
得到答案.
【详解】由题意，函数 在区间 上的最大值为 ，所以 ，
所以抛物线 化为标准方程 ，其准线方程是 .
故选 B.
【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及抛物线的几何性质的应用，其中解答中熟
记指数函数的性质和抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
6.若执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
执行循环结构的程序框图，逐次运算，根据判断条件终止循环，即可得到运算结果，得到答
案.
【详解】由题意，执行循环结构的程序框图，可知：
是
2a = 2 24y x=
2xy = [0,1] a 12 2a = =
2
212
y x= 2 24y x= 6x = −
S
9− 16− 25− 36−第一次运行时， ；
第二次运行时， ；
第三次运行时， ；
第四次运行时， ；
第五次运行时， ；
第六次运行时， ，
此时刚好满足 ，所以输出 的值为 .故选 D.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中熟练应用给定
的程序框图，逐次运算，根据判断条件，终止循环得到结果是解答的关键，着重考查了推理
与运算能力，属于基础题.
7.若函数 在 上是增函数，当 取最大值时， 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据辅助角公式化简成正弦型函数，再由单调性得解.
【详解】 ，
由于 在 上是增函数，所以 ，α 最大值为 ，
则 .故选 B.
【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性，属于基础题.
8.统计某校 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：
的
1( 1) 1 1, 0 ( 1) 1, 3T S n= − = − = + − = − =•
3( 1) 3 3, 1 ( 3) 4, 5T S n= − = − = − + − = − =•
5( 1) 5 5, 4 ( 5) 9, 7T S n= − = − = − + − = − =•
7( 1) 7 7, 9 ( 7) 16, 9T S n= − = − = − + − = − =•
9( 1) 9 9, 16 ( 9) 25, 11T S n= − = − = − + − = − =•
11( 1) 11 11, 25 ( 11) 36T S= − = − = − + − = −•
9n > S 36−
( ) sin cosf x x x= + [0 ]α， α sinα
5
5
2
2
2
2
− 5
5
−
2 2( ) sin cos 2 sin cos 2 sin2 2 4f x x x x x x
π = + = + = +
( )f x [ ]0,a
4 2
π πα+ 4
π
2sin sin 4 2
πα = =
n，得到频率分布直方图如图
所示，若不低于 140 分的人数为 110.① ；② ；③100 分的人数为 60；④分
数在区间 的人数占大半．则说法正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解.
【 详 解 】 由 题 意 ， 根 据 频 率 分 布 直 方 图 的 性 质 得
，
解得 .故①正确；
因为不低于 140 分的频率为 ，所以 ，故②错误；
由 100 分以下的频率为 ，所以 100 分以下的人数为 ，
故③正确；
分数在区间 的人数占 ，占小半.故④错误.
所以说法正确的是①③.
故选 B.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以
及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和
等于 1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9.在钝角 中，角 所对的边分别为 ，且 ，已知
[ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]90,100 , 100,110 , 110,120 , 120,130 , 130,140 , 140,150
0.031m = 800n =
[ )120,140
10( 0.020 0.016 0.016 0.011 0.006) 1m + + + + + =
0.031m =
0.011 10 0.11× = 110 10000.11n = =
0.006 10=0.06× 1000 0.06=60×
[120,140) 0.031 10 0.016 10 0.47× + × =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c a b> 8,sin sina B C= − =， ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理可得 ，再利用二倍角公式可求 ，再利用余弦定理求出
后可求 的面积.
【详解】由正弦定理，得 ，由 ，得 （舍），
由余弦定理，得
，
即 ，解得 .
由 ，得 ，所以 的面积 ，故
选 C.
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边 二次形式，我们可以利用余弦定理化简该
条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦
定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为
角的关系式或边的关系式.
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
的
sin
4
A 7cos2 8A = − ABC∆
3 6 3 15 6 15
2b c− = 1cos 4A = − 24bc =
ABC∆
24
ab c− = = 2cos2 2cos 1A A= − 1cos 4A =
1cos 4A = −
2 2 2 2 12 cos ( ) 2 (1 cos ) 2 2 1 4a b c bc A b c bc A bc
= + − = − + − = + − −
54 82 bc+ = 24bc =
1cos 4A = − 15sin 4A = ABC∆ 1 1 15sin 24 3 152 2 4S bc A= = × × =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定的三视图，得到该几何体是一个组合体，其中上面是一个半圆锥，圆锥的底面直径
是 4，圆锥的高是 3；下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，利用体积公式，
即可求解.
【详解】由三视图，可得该几何体是一个组合体，其中上面是一个半圆锥，圆锥的底面直径
是 4，圆锥的高是 3；下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，
所以该几何体的体积是 .
故选 C.
【点睛】本题考查了几何体 三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形
状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在
三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定
直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
11.某莲藕种植塘每年的固定成本是 1 万元，每年最大规模的种植量是 8 万斤，每种植一斤藕，
成本增加 0.5 元.如果销售额函数是 （ 是莲藕种植量，单位：
万斤；销售额的单位：万元， 是常数），若种植 2 万斤，利润是 2.5 万元，则要使利润最大，
每年需种植莲藕（ ）
A. 6 万斤 B. 8 万斤 C. 3 万斤 D. 5 万斤
【答案】A
【解析】
的
12π 14π 18π 24π
2 21 12 4 2 3 182 3V π π= × × + × × × × = π
3 21 9 1( ) 8 16 2f x x ax x= − + + x
a【分析】
设销售的利润为 ，得 ，当 时， ，解得 ，
得出函数 ，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，设销售的利润为 ，得 ，
即 ，当 时， ，解得 ，
故 ，则 ，
可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 时，利润最大，
故选 A.
【点睛】本题主要考查了导数在实际问题中的应用，其中解答中认真审题，求得函数的解析
式，利用导数得出函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能
力，属于基础题.
12.在三棱锥 中， ，侧面 与底面 垂直，
则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设球心为 ， 和 中心分别为 、 ，得 平面 ， 平面 ，
根据球的截面的性质，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，取 的中点为 ，由 和 都是正三角形，得 ，
由侧面 与底面 垂直，得 ，
设球心为 ， 和 中心分别为 、 ，则 平面 ， 平面 ，
又由 ， ，所以 ，
所以外接球的表面积为 ，故选 B.
( )g x 31( ) 8g x x= − + 29 116 ax − 2x = 5(2) 2g = 2a =
3 21 9( ) 18 8g x x x= − + −
( )g x 3 21 9 1 1( ) 18 16 2 2g x x ax x x= − + + − −
31( ) 8g x x= − + 29 116 ax − 2x = 9 5(2) 1 14 2g a= − + − = 2a =
3 21 9( ) 18 8g x x x= − + − 23 9 3( ) ( 6)8 4 8g x x x x x′ = − + = − −•
( )g x (0,6) (6,8) 6x =
S ABC− 2SB SC AB BC AC= = = = = SBC ABC
S ABC−
14
3
π 20
3
π 44
9
π 52
9
π
O ABC∆ SBC∆ E F OE ⊥ ABC OF ⊥ SBC
BC D SBC∆ ABC∆ ,SAD BC D BC⊥ ⊥
SBC ABC 90SDA °∠ =
O ABC∆ SBC∆ E F OE ⊥ ABC OF ⊥ SBC
3
3DE DF= = 6
3OD =
2
2 2 26 1513 3R OD BD
= + = + =
2
2 15 204 4 3 3R
ππ π = = 【点睛】本题主要考查了球与棱锥的组合体的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟
练应用球的组合体的性质，求得球的半径是解答本题的关键，着重考查了空想想象能力，以
及推理与运算能力，属于中档试题.
二、填空题．
13.已知 为等差数列 的前 项和，公差 ，且 ， ， ， 成等比数列，
则 __________．
【答案】-9
【解析】
【分析】
由 ，利用等差数列的前 n 项和公式，求得 ，又由 ， ， 成等比数
列，利用等差数列的通项公式，求得 ，联立方程组，即可求解.
【详解】由题意知 ，则 ，即 ，
又由 ， ， 成等比数列，则 ，所以 ，即
，
联立方程组，解得 .
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记
等差数列的通项和前 n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属
于基础题.
nS { }na n 0d ≠ 12 24S = 1a 7a 5a
1a =
12 24S = 12 11 4a d+ = 1a 7a 5a
12 9 0a d+ =
12 24S = 1
12 1112 242a d
×+ = 12 11 4a d+ =
1a 7a 5a 2
7 1 5a a a= ( ) ( )2
1 1 16 4a d a a d+ = +
12 9 0a d+ =
1 9a = −14.设 x，y 满足约束条件 ， 的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式组作出可行域，再由线性目标函数的几何意义求得.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示．
平移直线 ，由图可知当直线 经过点 时， 取得最大值 ．
【点睛】本题考查线性规则问题，考查数形结合的思想，属于基础题.
15.已知直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若
（ 为坐标原点）的面积为 ，且双曲线 的离心率为 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线的渐近线方程是 ，联立方程组，求得 的坐标，求得 ，
再由双曲线的离心率为 ，得 ，求得 ，再利用面积公式，即可求解.
【详解】由双曲线 ，可得渐近线方程是 ，
1
1
2 4
x y
x y
x y
−
+
−
1
2z x y= − +
1
2
1
2y x z= + 1
2y x z= + ( )3 2， z 1
2
x m= 2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > ,A B
AOB∆ O 2 C 3 m =
±1
by xa
= ± ,A B 2| | bAB ma
=
3 2b
a
= 2 2AB m=
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > by xa
= ±联立 ，得 ；联立 ，得 ，故 ，
又由双曲线的离心率为 ，所以 ，得 ，
所以 ，故 ，解得 .
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双
曲线的几何性质，准确运算求得 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于中档试题.
16.已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，
.若函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对称性， 在 上有两个不同的实根，即 在 上
有两个不同的实根，等价转化为直线 与曲线 有两个交点，利用
导数求得函数 单调性与最值，结合图象，即可求解.
【详解】由 是偶函数，根据对称性， 在 上有两个不同的实根，
即 在 上有两个不同的实根，
等价转化为直线 与曲线 有两个交点，
而 ，
则当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上是减函数，在 上是增函数，
于是 ，且 ，结合图象，可得 .
x m
by xa
= =
x m
bmy a
= =
x m
by xa
= = −
x m
bmy a
= = −
2| | bAB ma
=
3
2 2 2
2
2 2 1 2b c a ea a
−= = − = 2b
a
=
| |AB = | 2 2 |m 1 | 2 2 | | | 22AOBS m m∆ = × × = 1m = ±
2 2AB m=
( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 0x >
4 2( ) 3f x x x ax= − − ( )f x a
( 2,0)−
4 23 0x x ax− − = (0, )+∞ 3 3a x x= − (0, )+∞
y a= ( ) 3 3 ,( 0)f x x x x= − >
( )f x
( )f x 4 23 0x x ax− − = (0, )+∞
3 3a x x= − (0, )+∞
y a= ( ) 3 3 ,( 0)y f x x x x= = − >
( ) 23 3 3( 1)( 1)f x x x x′ = − = + −
0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ >
( ) 3 3f x x x= − (0,1) (1, )+∞
( )min 2f x = − ( )0 0f = ( 2,0)a∈ −【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的零点问题，其中解答中根据函数的奇偶性，把
函数的零点转化为直线 与曲线 有两个交点，利用导数得出函数
的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算
能力，属于中档试题.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 的内角 所对的边分别是 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ， ，求 ， .
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得
；（2）由 ，再由余弦订立的得
.
试题解析：
（1）由已知
y a= ( ) 3 3 ,( 0)f x x x x= − >
ABC△ , ,A B C , ,a b c sin 3 cos 3a B b A c+ =
B
ABC△ 3 3
2 7b = a c> a c
3B
π= 3
2
a
c
=
=
sin sin 3sin cos 3sin sin sinA B B A C A B+ = +
( )3sin cos 3 sin cos sin cosB A A B B A= + ⇒ sin sin 3sin cos tan 3A B A B B= =
⇒
3B
π= 3 3 3 64 2ac ac= =三角形面积公式可得
( ) ( )2 2 6 37 2 5 2
ac aa c ac ac a c c
= = = + − − + = =
sin 3 cos 3a B b A c+ =结合正弦定理得
所以
即 ，亦即
因为 ，所以 .
（2）由 ， ，得 ，即 ，
又 ，得
所以 ，又 ，∴
18.已知正项等比数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项的和 .
【答案】(1) .(2)
【解析】
【分析】
(1)根据等比数列的通项公式求其基本量可求解；
(2)根据错位相减法对数列求和.
【详解】解:（1）设等比数列 的公比为 ．
由 ，
得 ，
即 ，
sin sin 3sin cos 3sinA B B A C+ =
( ) ( )sin sin 3sin cos 3sin 3 sin cos sin cosA B B A A B A B B A+ = + = +
sin sin 3sin cosA B A B= tan 3B =
( )0,B π∈
3B
π=
1 sin2ABCS ac B∆ =
3B
π= 3 3 3
4 2ac = 6ac =
( )22 2 2 cosb a c ac ac B= + − − ( ) ( )2 27 2a c ac ac= + − −
6
5
ac
a c
=
+ =
a c> 3
2
a
c
=
=
{ }na 2 3 19, 24a a a= − =
{ }na
3n n
nb a= ⋅ { }nb n nS
3n
na = (2 1) 3 1
4
n
n
nS
− ⋅ +=
{ }na q
2 3 19, 24a a a−= =
9 24q q
− =
23 8 3 0q q− − =解得 或 .
又 ，则 ， .
.
（2） ，
，
，
，
.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和错位相减法求数列的和，属于中档题.
19.某县畜牧技术员张三和李四 9 年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供
了该县某山羊养殖场年养殖数量 （单位：万只）与相应年份 （序号）的数据表和散点图
（如图所示），根据散点图，发现 与 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场
的个数 （单位：个）关于 的回归方程 .
年份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
年养殖山羊
/万只
1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.7
（1）根据表中的数据和所给统计量，求 关于 的线性回归方程（参考统计量：
， ）；
3q = 1
3q = −
0na > 0q > 3q∴ =
29 3 3n n
na −∴ = ⋅ =
133
n
n n
nb a n −= ⋅ = ⋅
1 2 11 3 2 3 3 3 3n
nS n° −∴ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
1 2 13 1 3 2 3 ( 1) 3 3n n
nS n n−= ⋅ + ⋅ +…+ − ⋅ + ⋅
1 2 1 (1 2 ) 3 12 1 3 3 3 3 2
n
n n
n
nS n− − ⋅ −∴− = + + +…+ − ⋅ =
(2 1) 3 1
4
n
n
nS
− ⋅ +∴ =
y x
y x
z x 2 30z x
∧
= − +
x
y
y x
( )9 2
1
60i
i
x x
=
− =∑ ( )( )9
1
12i i
i
x x y y
=
− − =∑（2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？
②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小
二乘估计分别为 ， .
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题设中的数据，求得 ， ，利用公式 ，进而得到 ，即可得到
回归直线的方程；
（2）求得第 年山羊养殖的只数 ，①代入 ，即可得到第一年的
山羊的养殖只数；②根据题意，得 ，求得 ，即可得到结论
【详解】（1）设 关于 的线性回归方程为 ，
则 ，
，
则 ，所以 ，
所以 关于 的线性回归方程为 。
（2）估计第 年山羊养殖的只数 ，
①第 1 年山羊养殖的只数为 ，故该县第一年养殖山羊约 万只；
②由题意，得 ，整理得 ，
解得 或 （舍去）
所以到第 10 年该县山羊养殖的数量相比第 1 年缩小了。
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nu v u v u v v uβ α= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u u v v
u u
β =
=
− −
=
−
∑
∑
ˆˆ v uα β= −
0.2 1y x= +
5x = 2y = ˆ 0.2b = ˆ 1a =
x 2ˆ ˆ 0.4 4 30y z x x⋅ = − + + 1x =
20.4 4 30 33.6x x− + + < 9x >
y x ˆˆ ˆy bx a= +
1 2 3 4 5 6 7 8 9 59x
+ + + + + + + += =
1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.7 29y
+ + + + + + + += =
9
1
9
2
1
( )( ) 12ˆ 0.260( )
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
ˆˆ 2 0.2 5 1a y bx= − = − × =
y x ˆ 0.2 1y x= +
x 2ˆ ˆ (0.2 1)( 2 30) 0.4 4 30y z x x x x⋅ = + − + = − + +
0.4 4 30 33.6− + + = 33.6
20.4 4 30 33.6x x− + + < ( 9)( 1) 0x x− − >
9x > 1x 2 2a =
P
l′ 1( 0)x ty t= − >
1 2 8y y t+ = 1 2 8y y = 0AG BGk k =+ 60
30
m
n
=
= − BG
P l | |PF
P l O | | | |PF PO=从而 为等腰三角形，
又 为线段 的中点，所以 ，
设点 的坐标为 ，代入 ，解得 ，
故点 的坐标为 .
（2）设直线 的方程为 ，代入 ，并整理得 ，
由直线 与抛物线 交于 、 两点，得 ，
结合 ，解得 ，
由韦达定理，得 ， ，
，
所以直线 和 的倾斜角互补，从而 ，
结合 轴，得 ，故 .
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此
类题目，通常联立直线与抛物线的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此
类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、
运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
22.已知函数 ．
（1）设 ，求函数 的极值；
（2）当 时函数 有两个极值点 ，证明： .
【答案】(1) 极大值 ，无极小值．(2)证明见解析
【解析】
【分析】
POF∆
(1,0)G OF PG OF⊥
P (1, )( 0)a a > 2 8y x= 2 2a =
P (1,2 2)
l′ 1( 0)x ty t= − > 2 8y x= 2 8 8 0y ty− + =
l′ C ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 264 32 0t∆ = − >
0t > 2
2t >
1 2 8y y t+ = 1 2 8y y =
1 2
1 21 1AG BG
y yk k x x
+ = + =− −
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 1 1
y x y x y ty y ty
x x x x
− + − − + −=− − − −
( )
( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 8 2 8 01 1 1 1
ty y y y t t
x x x x
− + × − ×= = =− − − −
60
30
m
n
=
= − BG BGF AGQ∠ = ∠
PG x⊥ BGP AGP∠ = ∠ 2AGB AGP∠ = ∠
( ) ( 1) ln ( )f x ax x x a= − − ∈R
( ) ( -1)( -1)- ( )g x x a x f x= ( )g x
0a < ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< ( )2
9
4f x >
0(1)对函数求导，得其导函数的正负，研究原函数的单调性得极值；
(2)根据导函数为零，得关于这两个极值点的韦达定理，从而将两个变元的问题可转化成一个
变元的问题，再研究关于这个变元的函数的单调性和最值.
【详解】（1）解： ，
则 ．
令 ，得 .
所以当 x 变化时， 的变化情况如下表：
x
+ -
↗ 极大值 ↘
因此 有极大值 ，无极小值．
（2）证明： ．
由题意得， .
因为 ，所以 ．
由 ，得 ，
则 ，解得 ．
所以 .
由（1）得 ，
所以
( ) ( 1)( 1) ( 1) ln ln ( 1)g x x ax ax x x x x= − − − − + = − −
1 1( ) 1 xg x x x
−′ = − =
( ) 0g x′ = 1x =
( ), ( )g x g x′
( )0,1 1 ( )1,+∞
( )g x′ 0
( )g x
( )g x ( )1 0g =
21 2 1( ) 2 ax axf x ax a x x
′ − −= − − =
1 2
1
2x x+ =
1 2x x< 2
1
4x >
( )2 0f x′ = 2
2 22 1 0ax ax− − =
2
2 2
1 02a x x
= + =
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