皖东县中联盟 2018～2019 学年第二学期高二期末考试
数学试题（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，若 ，则实数 值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 或
【答案】D
【解析】
【分析】
就 和 分类讨论即可.
【详解】因为当 时， ，满足 ；当 时， ，若
，所以 或 .综上， 的值为 0 或 1 或 2.故选 D.
【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互
异性、确定性、无序性）合理分类讨论.
2.已知 均为实数，若 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知等式整理为 ，根据复数相等可求得结果.
【详解】由题意得： ，即：
则：
本题正确选项：
【点睛】本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运算，属于基础题.
3.“ ， ”是“双曲线 的离心率为 ”的（ ）
的{ }2| , {0,1,2}A x ax x B= = = A B⊆ a
1 2 0 1 0 2 0 1 2
0a = 0a ≠
0a = { }2| 0 {0}A x x= = = A B⊆ 0a ≠ {0, }A a=
A B⊆ 1a = 2 a
,a b 11 1
a b
i i
+ =− + i a b+ =
( ) ( ) 2a b a b i+ + − =
( ) ( )1 1 2i a i b+ + − = ( ) ( ) 2a b a b i+ + − =
2
0
a b
a b
+ =
− = 2a b∴ + =
C
3a = 2 3b =
2 2
2 2 2( 0, 0)x y a ba b
− = − > > 7
2A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必
要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
当 时 ， 计 算 可 得 离 心 率 为 ， 但 是 离 心 率 为 时 ， 我 们 只 能 得 到
，故可得两者之间的条件关系.
【详解】当 时，双曲线 化为标准方程是 ，
其离心率是 ；
但当双曲线 的离心率为 时，
即 的离心率为 ，则 ，得 ，
所以不一定非要 .
故“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充分不必
要条件.故选 D.
【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 则 ”是真命题，“若
则 ”是假命题，则 是 的充分不必要条件；若“若 则 ”是真命题，“若 则 ”是
真命题，则 是 的充分必要条件；若“若 则 ”是假命题，“若 则 ”是真命题，则
是 的必要不充分条件；若“若 则 ”是假命题，“若 则 ”是假命题，则 是 的既不
充分也不必要条件.
4.某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有 20 名同学参加篮球投篮比赛，已知
每名同学投进的概率均为 0.4，每名同学有 2 次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规
3, 2 3a b= = 7
2
7
2
3
2
a
b
=
3, 2 3a b= =
2 2
2 2 2x y
a b
− = −
2 2
124 18
y x− =
42 7
224
e = =
2 2
2 2 2( 0, 0)x y a ba b
− = − > > 7
2
2 2
2 2 1( 0, 0)2 2
y x a bb a
− = > > 7
2
2 2
2
2 2 7
22
b a
b
+ = 3
2
a
b
=
3, 2 3a b= =
3, 2 3a b= =
2 2
2 2 2x y
a b
− = − ( 0, 0)a b> > 7
2
p q
q p p q p q q p
p q p q q p p
q p q q p p q定：投进两个得 4 分，投进一个得 2 分，一个未进得 0 分，则其中一名同学得 2 分的概率为
（ ）
A. 0 5 B. 0.48 C. 0.4 D. 0.32
【答案】B
【解析】
【分析】
事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可
求“其中一名同学得 2 分”的概率.
【详解】设“第一次投进球”为事件 ，“第二次投进球”为事件 ，则得 2 分的概率为
.故选 B.
【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间
的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两
个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.
5.《九章算术》中 玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，
中有玉，并重十一斤（176 两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉 1 立方寸重 7 两，石料
1 立方寸重 6 两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是 3 寸，质量是 11 斤（176
两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求
解算法，运行该程序框图，则输出的 ， 分别为（ ）
A. 96,80 B. 100,76 C. 98,78 D. 94,82
.
的
A B
( ) ( ) 0.4p P AB P AB= + = × 0.6 0.6 0.4 0.48+ × =
x y【答案】C
【解析】
【分析】
流程图的作用是求出 的一个解，其中 且 为偶数，逐个计算可
得输出值.
【 详 解 】 执 行 程 序 ：
，
， ，故输出的 分别为 98,78.故选 C.
【点睛】本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础
题.
6.在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A. -832 B. -672 C. -512 D. -192
【答案】A
【解析】
【分析】
求出 展开式中 的系数减 2 倍 的系数加 的系数即可.
【详解】含 的项的系数即求 展开式中 的系数减 2 倍 的系数加 的系数
即含 的项的系数是 ．
故选 A.
【点睛】本题考查二项式定理，属于中档题。
7.某莲藕种植塘每年的固定成本是 1 万元，每年最大规模的种植量是 8 万斤，每种植一斤藕，
成本增加 0.5 元.如果销售额函数是 （ 是莲藕种植量，单位：
万斤；销售额的单位：万元， 是常数），若种植 2 万斤，利润是 2.5 万元，则要使利润最大，
每年需种植莲藕（ ）
1 1 277 6x y+ = 90, 86x y≥ ≤ x
90, 86, 27; 92, 84, 27; 94, 82, 27; 96x y s x y s x y s x= = ≠ = = ≠ = = ≠ =
80, 27; 98y s x= ≠ = 78, 27y s= = ,x y
2 6( 1) ( 2)x x− − 3x
6( 2)x − 3x 2x x
3x 6( 2)x − 3x 2x x
3x 5 5 4 4 3 3
6 6 62 2 2 2 832C C C− − × − = −
3 21 9 1( ) 8 16 2f x x ax x= − + + x
aA. 8 万斤 B. 6 万斤 C. 3 万斤 D. 5 万斤
【答案】B
【解析】
【分析】
销售的利润为 ，利用 可得 ，再利用导数确
定函数的单调性后可得利润的最大值.
【详解】设销售的利润为 ，由题意，得 ，
即 ，当 时， ，解得 ，
故 ，
当 时， ，当 时， ，所以
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 时，利润最大，故选 B.
【点睛】一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在
上为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则
．
8.如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3 21 9 1 1( ) 18 16 2 2g x x ax x x= − + + − − (2) 2.5g = a
( )g x 3 21 9 1 1( ) 18 16 2 2g x x ax x x= − + + − − ( ]0,8x∈
3 21 9( ) 8 16 1g x x ax= − + − 2x = 9 5(2) 1 14 2g a= − + − = 2a =
3 21 9( ) 1,8 8g x x x= − + − 23( ) 8g x x′ = − + 9 3 ( 6)4 8x x x= − −
(0,6)x∈ '( ) 0g x > (6,8)x∈ )'( 0g x <
( )g x (0,6) (6,8) 6x =
( )f x ( ),a b ( ) ( )( )' 0 ' 0f x f x> < ( )f x ( ),a b
( )f x ( ),a b
( ) ( )( )' 0 ' 0f x f x≥ ≤
12 2 4 3 4+ + 8 2 4 3 4+ +
8 2 4 3 8+ + 8 2 12 3 8+ +【解析】
【分析】
根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.
【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥 ，
其中 是棱长为 4 的正方体的顶点， 为正方体的底面中心，注意到
所以 ，
， ，
因此该三棱锥的表面积等于 .故选 A.
【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．
9.设数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为 成等差数列，所以 ，当 时， ；当
时 ， ， 即 ， 即
， 数 列 是 首 项 ， 公 比 的 等 比 数 列 ，
，故选 B.
10.函数 的图象是由函数 的图像向左平移 个
P ABC−
、 、P A B C
,PC BC AB PB⊥ ⊥ 1= 2 2 4 4 22PCAS∆ × × =
1 12 6 2 2 4 3, 4 4 2 8 22 2PCB ABPS S∆ ∆= × × = = × × = 1 2 2 2 2 42ABCS∆ = × × =
12 2 4 3 4+ +
{ }na n nS 2 nS 3 na 5S
243− 242− 162− 243
2, ,3n nS a 2 2 3n nS a= + 1n = 1 1 12 2 3 , 2S a a= + ∴ = −
2n ≥ 1 1 1
3 3 3 31 12 2 2 2n n n n n n na S S a a a a− − −= − = + − − = − 1
1 3
2 2n na a −=
( )
1
3 2n
n
a na −
= ≥ ∴ { }na 1 2a = − 3q =
( ) ( )5 5
1
5
1 2 1 3
2421 1 3
a q
S q
− − −
∴ = = = −− −
1 sin cos ( 0)y x a x a= + > 2 5sin 5cosy x x= + ϕ单位得到的，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把 的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 后 得 到
的图像，化简后可得 的值，利用两角和的
余弦和正弦展开后可得 的值.
【详解】把 的图像向左平移 个单位后得到所得图像
的解析式为 ，
根据 可得 ①，
所以 即 （ 舍），
又对①化简可得 ，故 ，故选 B.
【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变
量 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，
比如 ，它可以由 先向左平移 个单位，再纵坐标不变，横坐标变
为原来的 ，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，再向左平移 .
．
cosϕ =
3
5
4
5
3 2
10
2 2
5
2 5sin 5cos 5 2 sin 4y x x x
π = + = +
ϕ
5 2 sin 4y x
π ϕ = + + cos ,sin4 4
π πϕ ϕ + +
cosϕ
2 5sin 5cos 5 2 sin 4y x x x
π = + = +
ϕ
5 2 sin 5 2 sin cos 5 2 cos sin4 4 4y x x x
π π πϕ ϕ ϕ = + + = + + +
1 sin cos ( 0)y x a x a= + > 5 2 cos 1,5 2 sin4 4 a
π πϕ ϕ + = + =
2 1 50a + = 7a = 7a = −
1cos sin 10
7sin cos 10
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− =
+ =
4cos 5
ϕ =
x
sin 2 3y x
π = + siny x=
3
π
1
2
1
2 6
π11.在三棱锥 中， ，二面角 的大小为
，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取 的中点为 ，由二面角平面角的定义可知 ；根据球的性质可知若
和 中心分别为 ，则 平面 ， 平面 ，根据已知的长度关系可
求得 ，在直角三角形 中利用勾股定理可求得球的半径，代入球的表面积公式可
得结果.
【详解】
取 的中点为
由 和 都是正三角形，得 ，
则 是二面角 的平面角，即
设球心为 ， 和 中心分别为
由球的性质可知： 平面 ， 平面
又 ， ，
外接球半径：
外接球的表面积为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，关键是能够利用球的性质确定球心的
S ABC− 2SB SC AB BC AC= = = = = S BC A− −
60 S ABC−
14
3
π 16
3
π 40
9
π 52
9
π
BC D 60SDA∠ = ABC∆
SBC∆ ,E F OE ⊥ ABC OF ⊥ SBC
,OD BD OBD
BC D
SBC∆ ABC∆ SD BC⊥ AD BC⊥
SDA∠ S BC A− − 60SDA∠ =
O ABC∆ SBC∆ ,E F
OE ⊥ ABC OF ⊥ SBC
3
3DE = tan tan30OEODE DE
∠ = = 1
3OE∴ = 2 2 2
3OD OE DE= + =
∴
2
2 2 22 1313 3R OD BD = + = + =
∴
2
2 13 524 4 3 9S R
ππ π = = =
D大致位置，从而可利用勾股定理求解出球的半径.
12.已知抛物线 的焦点为 F，点 是抛物线 C 上一点，
以点 M 为圆心的圆与直线 交于 E，G 两点，若 ，则抛物线 C 的方程是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作 ，垂足为点 D．利用点 在抛物线上、 ，
结合抛物线的定义列方程求解即可.
【详解】作 ，垂足为点 D．
由题意得点 在抛物线上，则 得 ．①
由抛物线的性质，可知， ，
因为 ，所以 ．
所以 ，解得： ．②．
由①②，解得： （舍去）或 ．
故抛物线 C 的方程是 ．
故选 C．
【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.
二、填空题．
2: 2 ( 0)C y px p= > ( )0 0,2 2 2
pM x x >
2
px = 1
3sin MFG∠ =
2y x= 2 2y x=
2 4y x= 2 8y xy=
MD EG⊥ ( )0 ,2 2M x 1 | |sin =3 | |
DMMFG MF
∠ =
MD EG⊥
( )0 0,2 2 2
pM x x > 08 2px= 0 4px =
0| | 2
pDM x= −
1sin 3MFG∠ = 0
1 1| | | |3 3 2
pDM MF x = = +
0 0
1
2 3 2
p px x − = + 0x p=
0 2x p= = − 0 2x p= =
2 4y x=13.已知向量 与 共线且方向相同，则 _____.
【答案】3
【解析】
【分析】
先根据向量平行，得到 ，计算出 t 的值 ，再检验方向是否相同。
【详解】因为向量 与 共线且方向相同
所以得 ．解得 或 ．
当 时， ，不满足条件；
当 时， ， 与 方向相同，故 ．
【点睛】本题考查两向量平行的坐标表示，属于基础题.
14.设 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先画出可行域，根据 表示可行域内的点到定点 的距离的平方，即可
求出最小值。
【详解】作出不等式组表示的可行域为一个三角形区域（包括边界），
( ), 3a t t= − ( )3,2b t= + t =
2 2 3 0t t− − =
( ), 3a t t= − ( )3,2b t= +
2 2 3 0t t− − = 1t = − 3t =
1t = − ( 3 1)b a= − −
3t = 3 3
3b a
+= a b 3t =
1
1
2 4
x y
x y
x y
−
+
−
( )22 2z x y= + +
9
2
2 2( 2)z x y= + + ( )0, 2−表示可行域内的点到定点 的距离的平方，
由图可知，该距离的最小值为点 到直线 的距离 ，
故 .
【点睛】本题考查线性规划，属于基础题。
15.在 中，内角 所对的边分别为 ，且 的外接圆半径为 1，若 ，
则 的面积为______．
【答案】
【解析】
分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由 及由公式 求得面积.
详解：由题意得 ，即 ，
∴ ，
故答案为 .
点睛：正弦定理： ，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联
系，这样可得三角形面积为 .
16.已知函数 有四个零点，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知 是偶函数，根据对称性问题转化为直线 与曲线 有
两个交点.
2 2( 2)z x y= + + ( )0, 2−
( )0, 2− 1x y+ = |0 2 1| 3
2 2
d
− −= =
max
9
2z =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 6abc =
ABC∆
3
2
6abc = in1
2 sS ab C=
2 2sin
c RC
= = sin 2
cC =
1 sin2ABCS ab c∆ = = 1 1 1 362 2 4 4 2
cab abc× = = × =
3
2
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
4
abcS R
= 22 sin sin sinR A B C=
( ) 4 2
4 2
3 , 0,
3 , 0,
x x ax xf x
x x ax x
− − >= − + 【详解】因为 是偶函数，根据对称性， 在 上有两个不同的实
根 ， 即 在 上 有 两 个 不 同 的 实 根 ， 等 价 转 化 为 直 线 与 曲 线
有 两 个 交 点 ， 而 ， 则 当 时 ，
，当 时， ，所以函数 在 上是减函数，在 上是增函
数，于是 ，故
故答案为：
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结
合求解．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 的内角 所对的边分别是 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ， ，求 ， .
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得
；（2）由 ，再由余弦订立的得
.
试题解析：
( )f x 4 23 0x x ax− − = ( )0, ∞+
3 3a x x= − ( )0, ∞+ y a=
( )3 3 0y x x x= − > ( )( )2' 3 3 3 1 1y x x x= − = + − 0 1x< <
' 0y < 1x > ' 0y > 3 3y x x= − ( )0,1 ( )1,+∞
min 1 02, 0x xy y y= =
= = − = ( )2,0 .a∈ −
( )2,0−
ABC△ , ,A B C , ,a b c sin 3 cos 3a B b A c+ =
B
ABC△ 3 3
2 7b = a c> a c
3B
π= 3
2
a
c
=
=
sin sin 3sin cos 3sin sin sinA B B A C A B+ = +
( )3sin cos 3 sin cos sin cosB A A B B A= + ⇒ sin sin 3sin cos tan 3A B A B B= =
⇒
3B
π= 3 3 3 64 2ac ac= =三角形面积公式可得
( ) ( )2 2 6 37 2 5 2
ac aa c ac ac a c c
= = = + − − + = = （1）由已知
结合正弦定理得
所以
即 ，亦即
因为 ，所以 .
（2）由 ， ，得 ，即 ，
又 ，得
所以 ，又 ，∴
18.已知在等比数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）求出公比后可得 的通项公式.
（2）利用错位相减法可求 .
【详解】（1）设等比数列 的公比为 .
由 ，得 ，得 ，
所以 ，解得 .
故数列 的通项公式是 .
sin 3 cos 3a B b A c+ =
sin sin 3sin cos 3sinA B B A C+ =
( ) ( )sin sin 3sin cos 3sin 3 sin cos sin cosA B B A A B A B B A+ = + = +
sin sin 3sin cosA B A B= tan 3B =
( )0,B π∈
3B
π=
1 sin2ABCS ac B∆ =
3B
π= 3 3 3
4 2ac = 6ac =
( )22 2 2 cosb a c ac ac B= + − − ( ) ( )2 27 2a c ac ac= + − −
6
5
ac
a c
=
+ =
a c> 3
2
a
c
=
=
{ }na 2 3 4
1 1,9 2187a a a= =
{ }na
n nb na= { }nb n nT
1
3
n
na =
3 3 1
4 4 2 3
n
n
nT = − + •
{ }na
nT
{ }na q
2 3 4
1 1,9 2187a a a= = 2
2 2
1
2187a q a q =• 2 3
2
1
2187a q =
3 1
27q = 1
3q =
{ }na 2
2
1
3
n
n
na a q − = = （2） ，
则 ，①
，②
由①-②，得
，
，
故
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组
求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个
数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
19.在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形， ，
， ， ， 是棱 上 一点（不与
、 点重合）.
（1）若 平面 ，求 的值；
（2）求二面角 的余弦值.
的
1
3
n
n nb na n = =
2 3 11 1 1 1 11 2 3 ( 1)3 3 3 3 3
n n
nT n n
− = × + × + × + + − +
2 3 4 11 1 1 1 1 11 2 3 ( 1)3 3 3 3 3 3
n n
nT n n
+ = × + × + × + + − +
2 3 1 12 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
n n n
nT n
− + = + + +…+ + −
1
1 113 3 1
1 31 3
n
n
n
+
− = − −
11 1 1 1
2 2 3 3
n n
n
+ = − −
3 3 1
4 4 2 3
n
n
nT = − + •
A BCDE− AD ⊥ BCDE BCDE //DE BC
BC CD⊥ 2 2 2 4BC AD DC DE= = = = BD EC O∩ = H AD
A D
/ /OH ABE AH
HD
A BE C− −【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由 平面 可得 ，从而得到 .
（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，
求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量后可得二面角 的余弦值.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ,平面 平面 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
所以 .
（2）解：以 为坐标原点， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向建立如图所示的
空间直角坐标系 ，
则点 .
则 .
设平面 的一个法向量为 ，则
2AH
HD
= 3
3
/ /OH ABE / /OH AB 2AH
HD
=
D DE DC DA ， ， x y z
ABE BCDE A BE C− −
/ /OH ABE OH ⊂ ABD ABD ∩ ABE AB=
/ /OH AB
: :OD OB DH HA=
/ / , 2DE BC BC DE=
: : 1: 2OD OB DE BC= =
1 , 22
HD AH
AH HD
= =即
D C,DE D DA ， x y z
D xyz−
(0,0,2), (2,0,0), (4,2,0)A E B
(2,0, 2), (4,2, 2)AE AB= − = −
ABE ( , , )n x y z=，即 ，得 .
令 ，得 ；
易知平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，则 .
故二面角 的余弦值为 .
【点睛】线线平行的证明可利用线面平行或面面平行来证明，空间中的角的计算，可以建立
空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结
平面图形中的角的计算.
20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上在第二象限内的一点，
且直线 的斜率为 .
（1）求 点的坐标；
（2）过点 作一条斜率为正数的直线 与椭圆 从左向右依次交于 两点，是否存
在实数 使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在 ，使得
【解析】
【分析】
（1）由 和直线 的斜率可得 方程；代入椭圆方程解方程即可求得 点坐标；
（2）由 和 点坐标得： 轴；假设直线 ： ，代入椭圆方
程 可 求 得 的 范 围 和 韦 达 定 理 的 形 式 ， 利 用 韦 达 定 理 表 示 出 ， 可 整 理 出
，从而可得 ；结合 轴可知 ，进
而得到结果.
• 0
• 0
n AE
n AB
=
=
2 2 0
4 2 2 0
x z
x y z
− =
+ − =
x z
y z
=
= −
1z = (1, 1,1)n = −
BCDE (0,0,1)m =
A BE C− − θ 1 3cos 31 3
m n
m n
θ = = =
×
A BE C− − 3
3
2
2: 12
xC y+ = 1F 2F P C
2PF 2
4
−
P
( 2,0)Q − l C ,A B
λ 1 1AF B AF Pλ∠ = ∠ λ
21, 2
−
2λ = 1 1AF B AF Pλ∠ = ∠
( )2 1,0F 2PF 2PF P
( )1 1,0F − P 1PF x⊥ l ( )2 0x ty t= − >
t 1 1AF BFk k+
1 1
0AF BFk k =+ 1 2 1BF F AFQ∠ = ∠ 1PF x⊥ 1 12AF B AF P∠ = ∠【详解】（1）由 及直线 的斜率为 得直线 的方程为：
代入椭圆方程整理得：
解得： 或 （舍），则：
点的坐标为
（2）由 及 得： 轴
设直线 的方程为：
代入椭圆方程整理得：
由直线 与椭圆 交于 ， 两点得： ，
结合 ，解得：
由韦达定理得： ，
直线 和 的倾斜角互补，从而
结合 轴得： ，故
综上所述：存在 ，使得
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到交点坐标的求解、椭圆中满足某条件
的定值问题的求解问题，考查了韦达定理在直线与椭圆问题中的应用问题，对计算能力有一
定的要求.
21.某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层抽样的方法，
( )2 1,0F 2PF 2
4
− 2PF ( )2 14y x= − −
25 2 7 0x x− − =
1x = − 7
5x = ( )2 21 14 2y = − − − =
P∴ 21, 2
−
( )1 1,0F − 21, 2P
−
1PF x⊥
l ( )2 0x ty t= − >
( )2 22 4 2 0t y ty+ − + =
l C ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )2 216 8 2 0t t∆ = − + >
0t > 2t >
1 2 2
4
2
ty y t
+ = + 1 2 2
2
2y y t
= +
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )1 1
1 2 2 1 1 2 2 11 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1AF BF
y x y x y ty y tyy yk k x x x x x x
+ + + − + −+ = + = =+ + + + + +
( )
( )( ) ( )( )
2 21 2 1 2
1 2 1 2
2 422 2 2 01 1 1 1
ttty y y y t t
x x x x
⋅ −− + + += = =+ + + +
∴ 1AF 1BF 1 2 1BF F AFQ∠ = ∠
1PF x⊥ 1 1BF P AF P∠ = ∠ 1 12AF B AF P∠ = ∠
2λ = 1 1AF B AF Pλ∠ = ∠从全区 320 名正科级干部和 1280 名副科级干部中抽取 40 名科级干部预测全区科级干部“党
风廉政知识”的学习情况.现将这 40 名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同
一份试卷分别进行预测.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：
分组 人数 平均成绩 标准差
正科级干部组 80 6
副科级干部组 70 4
（1）求 ；
（2）求这 40 名科级干部预测成绩的平均分 和标准差 ；
（3）假设该区科级干部的“党风廉政知识”预测成绩服从正态分布 ，用样本平均
数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 .利用估计值估计：该区科级干部
“党风廉政知识”预测成绩小于 60 分的约为多少人？
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ；
； .
【答案】（1）8,32；（2）72，6；（3）36.
【解析】
【分析】
（1）首先求得样本容量与总体的比为 ，根据比例可求得 ；（2）根据平均数计算公式
可求得平均数；根据正科级和副科级干部组的标准差可分别求得正科级和副科级干部组每个
人成绩的平方和；代入方差公式可求得总体的方差，进而得到标准差；（3）首先确定 的估
计值 ， 的估计值 ；根据 原则求得 ；根据正态分
布曲线可求得 ，从而可求得预测成绩小于 分的人数.
【详解】（1）样本容量与总体的比为：
a
b
,a b
x s
( )2,N µ σ
x µ µ
∧ s σ σ
∧
Z ( )2,N µ σ ( ) 0.6826P Zµ σ µ σ− < < + =
( 2 2 ) 0.9544P Zµ σ µ σ− < < + = ( 3 3 ) 0.9974P Zµ σ µ σ− < < + =
1
40
,a b
µ
ˆ 72µ = σ ˆ 6σ = 3σ ( )60 84 0.9544P X< < =
( ) 0 0 860 . 22P X =≤ 60
40 1
320 1280 40
=+则抽取的正科级干部人数为 ；副科级干部人数为 ，
（2）这 名科级干部预测成绩的平均分：
设正科级干部组每人的预测成绩分别为 ，副科级干部组每人的预测成绩分别为
则正科级干部组预测成绩的方差为：
解得：
副科级干部组预测成绩的方差为：
解得：
这 名科级干部预测成绩的方差为
这 名科级干部预测成绩的平均分为 ，标准差为
（3）由 ， ，得 的估计值 ， 的估计值
由 得：
所求人数为： 人
【点睛】本题考查统计中的频数的计算、平均数和方差、标准差的求解、正态分布中的概率
求解问题，是对统计知识的综合考查，属于常规题型.
22.设函数 .
（1）当 时，求函数 的零点个数；
（2）若 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
1320 840a = × = 11280 3240b = × =
40 80 8 70 32 7240x
× + ×= =
1 2 3 8, , , ,x x x x⋅⋅⋅
9 10 11 40, , , ,x x x x⋅⋅⋅
( )2 2 2 2 2 2
1 1 2 8
1 8 80 68s x x x = + +⋅⋅⋅+ − × =
( )2 2 2 2 2
1 2 8 8 6 80x x x+ +⋅⋅⋅+ = × +
( )2 2 2 2 2 2
2 9 10 40
1 32 70 432s x x x = + +⋅⋅⋅+ − × =
( )2 2 2 2 2
9 10 40 32 4 70x x x+ +⋅⋅⋅+ = × +
40
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 8 9 10 40
1 4040s x x x x x x x = + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+ − ×
( ) ( )2 2 2 2 21 8 6 80 32 4 70 40 72 3640
= × + + × + − × =
36 6s∴ = =
∴ 40 72 6
72x = 6s = µ ˆ 72µ = σ ˆ 6σ =
( )2 2 0.9544P Xµ σ µ σ− < < + = ( )60 84 0.9544P X< < =
( ) ( ) ( ) ( )160 84 1 60 84 1 1 0.9544 0.0222 82P X P X P X =∴ × − =≤ = ≥ = − <
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