2018-2019 学年第二学期期末考试卷
高二理科数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果
【详解】 ，故 共轭复数 .
故选 B.
【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.已知线性回归方程 相应于点 的残差为 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线性回归方程估计 y，再根据残差定义列方程，解得结果
【 详 解 】 因 为 相 对 于 点 的 残 差 为 ， 所 以 ， 所 以
，解得 ，故选 B
【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长
方体中（ ）
A. 正方体的体积取得最大
B. 正方体的体积取得最小
C. 正方体的各棱长之和取得最大
的
1
1 2
iz i
−= + i
1 3
5
i+ 1 3
5
i− + 1 3
5
i− 1 3
5
i− −
1 i 1 3i
1 2i 5z
− − −= =+ z 1 3i
5z
− +=
ˆˆ 0.6y bx= + ( )3,6.5 0.1− ˆb
0.5− 3−
( )3,6.5 0.1− ˆ6.5 0.1y− = −
6.5 0.1 3 0.6b+ = +$ 2b =D. 正方体的各棱长之和取得最小
【答案】A
【解析】
【分析】
根据类比规律进行判定选择
【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正
方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最
大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选 A.
【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.
4.在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）
A. 两个分类变量关系较强
B. 两个分类变量关系较弱
C. 两个分类变量无关系 ^
D. 两个分类变量关系难以判断
【答案】A
【解析】
分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.
详解：从等高条形图中可以看出 2，在 中 的比重明显大于 中 的比重，所以两个分类
变量的关系较强.
故选：A
点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给
出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.
5.独立性检验显示：在犯错误的概率不超过 0. 1 的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那
么下列说法中正确的是（ ）
1x 1y 2x 1yA. 在 100 个男性中约有 90 人喜爱喝酒
B. 若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为 10%
C. 认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为 10%
D. 认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为 90%
【答案】D
【解析】
【分析】
根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率
【详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故 A，B
错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为 10%，故 C 错误，
D 正确.选 D.
【点睛】本题考查独立性检验的含义，考查基本分析判断能力，属基础题.
6.将 6 位女生和 2 位男生平分为两组，参加不同 两个兴趣小组，则 2 位男生在同一组的不
同的选法数为（ ）
A. 70 B. 40 C. 30 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定与 2 位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果
【详解】2 位男生在同一组的不同的选法数为 ，选 C.
【点睛】本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
7.函数 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
的
2 2 2
2 6 2C C A 30=
( )y f x=A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数几何意义，结合图象确定选择
【 详 解 】 、 是 分 别 为 1 、 2 时 对 应 图 像 上 点 的 切 线 斜 率 ，
， 为图像上 为 2 和 1 对应两点连线的斜率
，由图可知， ，故选 B.
【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析判断能力，属基础题.
8.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
'(1) '(2) (2) (1)f f f f< < − '(1) (2) (1) '(2)f f f f< − <
'(2) (2) (1) '(1)f f f f< − < '(2) '(1) (2) (1)f f f f< < −
( )1f ′ ( )2f ′ x ,AC ADk k
( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 2 1
f ff f
−− = −
( ) ( )2 1f f∴ − x
ABk ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f f f f′ ′< − <
1(5, )3X B
3 7( )2 2P X≤ ≤ =
80
243
40
243
40
81
80
81【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布求对应概率
【详解】 ，
所以选 C.
【点睛】本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
9.若 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用特殊值排除 A,B,C，再根据组合数公式以及二项式定理论证 D 成立.
【详解】令 得， ，在选择项中，令 排除 A，C；在选择项
中，令 ， 排除 B，
,故选 D
【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.
10.某人射击一次命中目标的概率为 ，且每次射击相互独立，则此人射击 7 次，有 4 次命中
且恰有 3 次连续命中的概率为（ ）
( ) ( )3 7 2 32 2P X P X P X ≤ ≤ = = + =
2 3 3 2
2 3
5 5
1 2 1 2 40C C3 3 3 3 81
= + =
0 k m n≤ ≤ ≤ , ,m n k N∈
0
m
n m k
n k n
k
C C−
−
=
=∑
2m n+
2
m
n
m
C 2n m
nC 2m m
nC
0m = 0
0
C C C C 1
m
n m k n
n k n n n
k
−
−
=
= =∑ 0m =
1m = 1 0 1 1
1
0
C C C C C C 2
m
n m k n n
n k n n n n n
k
n− − −
− −
=
= + =∑
0 0
( )! !
( )!( )! !( )!
m m
n m k
n k n
k k
n k nC C n m m k k n k
−
−
= =
−= ⋅− − −∑ ∑
0 0 0
! ! 2( )! ! !( )!
m m m
m k m k m m
n m n m n
k k k
n m C C C C Cn m m k m k= = =
= ⋅ = ⋅ = =− −∑ ∑ ∑
1
2A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由于射击一次命中目标的概率为 ，所以关键先求出射击 7 次有 4 次命中且恰有 3 次连续命
中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.
【详解】因为射击 7 次有 4 次命中且恰有 3 次连续命中有 种情况，
所以所求概率为 .选 B.
【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
11.某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为 10
名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远
（单位：米）
1. 96 1. 68 1. 82 1. 80 1. 60 1. 76 1. 74 1. 72 1. 92 1. 78
30 秒跳绳
（单位：次）
63 75 60 62 72 70 63
在这 10 名学生中进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6
人，则以下判断正确的为（ ）
A. 4 号学生一定进入 30 秒跳绳决赛
B. 5 号学生一定进入 30 秒跳绳决赛
C. 9 号学生一定进入 30 秒跳绳决赛
D. 10 号学生一定进入 30 秒眺绳决赛
【答案】D
【解析】
3 7
6
1( )2C 2 7
4
1( )2A 2 7
4
1( )2C 1 7
4
1( )2C
1
2
2
4A
7
2
4
1A 2
⋅ 【分析】
先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果
【详解】进入立定跳远决赛的学生是 1，3，4，6，7，8，9，10 号的 8 个学生，由同时进入
两项决赛的有 6 人可知，1，3，4，6，7，8，9，10 号有 6 个学生进入 30 秒跳绳决赛，在这 8
个学生的 30 秒跳绳决赛成绩中，3，6，7 号学生的成绩依次排名为 1，2，3 名，1 号和 10 号
成绩相同，若 1 号和 10 号不进入 30 秒跳绳决赛，则 4 号肯定也不进入，这样同时进入立定
跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的只有 5 人，矛盾，所以 1，3，6，7，10 号学生必进入 30 秒跳绳
决赛.选 D.
【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.
12.已知随机变量 ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形 中随机投
掷 1 点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）
附：若随机变量 ，则 ，
.
A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即可得到答
案．
【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
，
故所求的概率为 .故选 D.
( )2,1X N∼ OABC
( )2,Nξ µ σ∼ ( ) 0.6826P µ σ ξ µ σ− < ≤ + =
( )2 2 0.9544P µ σ ξ µ σ− < ≤ + =
( ) ( )1(0 1) 2 2 0.13592P X P X P Xµ σ µ σ µ σ µ σ≤ ≤ = − ≤ ≤ + − − ≤ ≤ + =
0.13591 0.932052P = − =【点睛】本题主要考查了几何概型中概率的计算，以及正态分布密度曲线的应用，其中解答
中熟记正态分布密度曲线的对称性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能
力，属于基础题．
二、填空题。
13.由曲线 ， 坐标轴及直线 围成的图形的面积等于______。
【答案】1
【解析】
【分析】
根据定积分求面积
【详解】 .
【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.
14. 的展开式中的常数项为______。
【答案】240
【解析】
【分析】
根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果
【详解】 ，
令 得， ，
所以 的展开式中的常数项为 .
【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.
15.在如图的数表中，仅列出了前 6 行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第
（ ）行左起第 3 个数为_______。
cosy x= ,x y
2x
π=
2
0
cos sin 1 0 12
0
S xdx x
π π
= = = − =∫
6
2
1( 2 )xx
−
( ) ( )6
1 6 2
11 C 2
r
r rr
rT xx
−
+
= − ⋅
( ) 3 12
61 C 2r r r rx − = − ⋅
3 12 0r − = 4r =
6
2
1 2xx
−
( )4 4 4
61 C 2 240− ⋅ =
n
3n ≥【答案】
【解析】
【分析】
根据题意先确定每行最后一个数，再求结果
【详解】依排列规律得，数表中第 行最后一个数为
第 行左起第 3 个数为 .
【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题.
16.若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动点，设函数
（ 为自然对数的底数），定义在 上的连续函数 满足
，且当 时， ，若存在 ，
且 为函数 一个不动点，则实数 的最小值为________。
【答案】
【解析】
【分析】
先 构 造 函 数 ， 研 究 其 单 调 性 与 奇 偶 性 ， 再 化 简 不 等 式
，解得 取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出 的范围，
即得最小值.
2 6
2
n n− +
1n − ( 1)1 2 3 ( 1) 2
n nn
−+ + + + − =
( )3n n ≥ 2( 1) 632 2
n n n n− − ++ =
t ( )F t t= t ( )F x
( ) (1 )xg x e e x a= + − − ,a R e∈ R ( )f x
2( ) ( )f x f x x− + = 0x ≤ '( )f x x< 0
1| ( ) (1 )2x x f x f x x ∈ + ≥ − +
0x ( )g x a
e
2
( ) ( ) 2
1
1
2f x f x x= −
1( ) (1 )2f x f x x+ ≥ − + 0x a【详解】由 ，令 ，
则 为奇函数，当 时， ，
所以 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
因为存在 ，
所以 ，
所以 ，即 .
因为 为函数 一个不动点，
所以 在 时有解，
令 ，
因为当 时， ，
所以函数 在 时单调递减，且 时， ，
所以只需 ，得 .
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解
能力，属难题.
三、解答题（解答应写出文字说明、解答过稃或演算步骤。）
17.在复平面内，复数 （其中 ）.
（1）若复数 为实数，求 的值；
（2）若复数 为纯虚数，求 的值；
（3）对应的点在第四象限，求实数 的取值范围。
【答案】（1） 或 4；（2） ；（3）
【解析】
( ) ( ) 2f x f x x− + = ( ) ( ) 2
1
1
2f x f x x= −
( )1f x 0x ≤ ( ) ( )1 0f x f x x′ ′= − <
( )1f x ( ],0−∞
( )1f x R
( ) ( )0
1 12x x f x f x x
∈ + ≥ − +
( ) ( )1 0 1 01f x f x≥ −
0 01x x≤ − 0
1
2x ≤
0x ( )g x
( )g x x= 1
2x ≤
( ) ( ) 1e e , 2
xh x g x x x a x= − = − − ≤
1
2x ≤ ( ) 1
2e e e e 0xh x′ = − ≤ − =
( )h x 1, 2x ∈ −∞ x → −∞ ( )h x → +∞
1 1e e 02 2h a = − − ≤
e
2a ≥
2 22 ( 3 4)z a a a a i= − − + − − a R∈
z a
z a
a
1a = − 2a = ( )2,4【分析】
（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几
何意义列不等式解得结果
【详解】（1）因为复数 为实数，所以 ，
所以 或 4；
（2）因为复数 为纯虚数，所以 ，
所以
（3）因为 对应的点在第四象限，所以
解不等式组得， ，
即 取值范围是 .
【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
18.为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各 50 名，
其中每人每天的健身时间不少于 1 小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如
下：
健身族 非健身族 合计
男性 40 10 50
女性 30 20 50
合计 70 30 100
（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于 70 分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随
机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间
分別是 1.2 小时，0.8 小时，1.5 小时，0.7 小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？
（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？
的
z 2 3 4 0a a− − =
1a = −
z
2
2
2 0
3 4 0
a a
a a
− − =
− − ≠
2a =
z
2
2
2 0
3 4 0
a a
a a
− − >
− − 100.则取 为 100）.若已知甲、乙两个学生的高二 6 次考试成绩分别都是由
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + = +
( )2
0P K k≥
0k
1.2 40 0.8 10 1.5 30 0.7 20 1.15100
× + × + × + × =
7
6
<
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= =+ + + +
( )2100 40 20 30 10 4.762 3.84070 30 50 50
× − × ≈ >× × ×
x 10x +
10x + 10x +低到高进步的，定义 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.
（I）试预测：在将要进行的高三 6 次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计
算结果四舍五入，取整数值）
（Ⅱ）求 分布列和数学期望.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（I）先依题意预测出高三的 6 次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可;
（Ⅱ）由题意先写出随机变量 的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望.
【详解】（I）由已知，预测高三的 6 次考试成绩如下：
第 1 次考
试
第 2 次考
试
第 3 次考
试
第 4 次考
试
第 5 次考
试
第 6 次考
试
甲 78 86 89 96 98 100
乙 81 85 92 94 96 100
甲高三的 6 次考试平均成绩为
，
乙高三的 6 次考试平均成绩为
所以预测：在将要进行的高三 6 次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为 91，91.
（Ⅱ）因为 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，
所以 =0，1，2，3
的
X
X
X
78 86 89 96 98 100 1916 6
+ + + + + =
81 85 92 94 96 100 1916 3
+ + + + + =
X
X所以 ， ， ， .
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以
【点睛】本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题型.
20.已知函数 ，其中 为常数.
（1）证明：函数 的图象经过一个定点 ，并求图象在 点处的切线方程；
（2）若 ，求函数 在 上的值域.
【答案】（1）证明见解析， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根
据点斜式得切线方程，（2）先解出 ，再利用导数求函数值域.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以函数 的图像经过一个定点 ，
因为 ，
所以切线的斜率 ，.
所以在 点处的切线方程为 ，
即 ；
( ) 10 6P X = = ( ) 11 6P X = = ( ) 2 12 6 3P X = = = ( ) 2 13 6 3P X = = =
X
X
P
1
6
1
6
1
3
1
3
( ) 1 1 1 1 110 1 2 36 6 3 3 6E X = × + × + × + × =
2( ) 3lnf x ax x ax
= − − − a
( )f x A A
2'( ) 13f = ( )f x [1, ]e
( ) ( )1 1y a x a= − − + [ ]3ln 2, 2− −
1a =
( ) ( )2 23ln 1 3lnf x ax x a a x xx x
= − − − = − − −
( )1 2f = -
( )f x ( )1, 2A −
( ) 2
2 3f x a x x
′ = + −
( )1 1k f a′= = −
A ( ) ( )( )2 1 1y f a x− − = − −
( ) ( )1 1y a x a= − − +（2）因为 ， ，所以 ，
故 ，
则 ，
由 得 或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
1 2
0 0
单调减 单调增
从而在 上 有最小值，且最小值为 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 在 上单调减， ，
所以 ，
所以 ，所以最大值为 ，
所以函数 在 上的值域为 .
【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域，考查综合分析求解能力，属中档
题.
2
3f a ′ =
2 13f ′ = 1a =
( ) 2 3ln 1f x x xx
= − − −
( ) ( )( )
2
1 2x xf x x
− −′ =
( ) 0f x′ = 1x = 2x =
x ( )f x′ ( )f x
x ( )1,2 ( )2,e e
( )f x′ − +
( )f x 2− 3ln 2− 24e e
− +
[ ]1,e ( )f x ( )2 3ln 2f = −
( )1 2f = - ( ) 2e e 4 ef = − +
( ) ( ) 21 e e 2ef f − = − +
2 xx
− ( )0, ∞+ e 2.72<
2 2e 2 2.72 2e 2.72
− + > − + =
2 2 0.72 2.720.72 02.72 2.72
− ×− = >
( ) ( )1f f e> ( )1 2f = -
( )f x [ ]1,e [ ]3ln 2, 2− −21.（1）求方程 的非负整数解的个数；
（2）某火车站共设有 4 个“安检”入口，每个入口每次只能进 1 个旅客求—个小组 4 人进站
的不同方案种数，要求写出计算过程.
【答案】（1）56；（2）840 种，计算过程见解析
【解析】
【分析】
（1）利用隔板法求结果（2）将问题转化为不定方程非负整数解问题，再利用隔板法求结果
详解】（1）若定义 ，其中 ，
则 是从方程 的非负整数解集到方程 的正整数解集
的映射，利用隔板法得，方程 正整数解得个数是
从而方程 的非负整数解得个数也是 56；
（2）设 4 名旅客中分别有 个人在第 1 号，第 2 号，第 3 号，第 4 号安检口通过，
则 ，由（1）的思路得，此不定方程非负整数的个数为 ，
所以不同的进站方法数为 .
【点睛】本题考查利用隔板法解决不定方程非负整数解问题，考查综合分析求解能力，属中
档题.
22.已知函数 .
（1）证明：函数 在 内存在唯一零点；
（2）已知 ，若函数 有两个相异零点 ，且
（ 为与 无关的常数），证明： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【
1 2 3 4 5x x x x+ + + =
( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4: , , , , , ,f x x x x y y y y→ ( )1 1,2,3,4i iy x i= + =
f 1 2 3 4 5x x x x+ + + = 1 2 3 4 9y y y y+ + + =
1 2 3 4 9y y y y+ + + = 3
8C 56=
1 2 3 4 5x x x x+ + + =
1 2 3 4, , ,z z z z
1 2 3 4 4z z z z+ + + = 3
7C
4 3
4 7A C 840⋅ =
1
( ) ln 2
xef x x
−
= −
'( )f x 1( ,2)2
1
( ) ( ) ( )2
xef x h x ax a R
−
− = − ∈ ( )h x 1 2,x x 1 2x x b>
b x 2b e≤【分析】
（1）先利用导数确定 单调性，再利用零点存在定理证明结论，（2）先求 ，再结合
恒 成 立 转 化 证 明 ， 即 需 证 ， 根 据 条 件
消 ，令 ，转化证 ，即需证 ，
这个不等式利用导数易证.
【详解】（1） ，令 ，则
在 上恒成立，
所以， 在 上单调递减，
， ，
根据零点存在定理得，函数 在 存在唯一零点，
当 时， ，
所以 在 存在唯一零点；
（2）因为 ， ，
所以 ，
不妨设 ，因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ， ，而要求满足 的 b 的最大值，所以只需证明 .
'( )f x ( )h x
2
1 2x x e> ( )1 2 1 2ln ln 2x x a x x+ = + >
( )1 2 1 2ln lnx x a x x− = − a 1
2
1x tx
= > ( 1)ln 21
t t
t
+ >−
2( 1)ln 1
tt t
−> +
( ) 1 1 2
2 2
x
x e xef x ex e ex
−′ = − = ( ) 2 xg x e xe= − ( ) ( 1) 0xg x x e′ = − + <
1 ,22
( ) 2 xg x e xe= − 1 ,22
1 2 02 2
eg e = − >
( ) 22 2 2 0g e e= − <
( )g x 1 ,22
1 ,22x ∈ 2e 0x >
( ) ( )
2
g xf x ex
′ = 1 ,22
( ) 1
ln 2
xef x x
−
= − ( ) ( ) ( )1
2
xef x h x ax a R
−
− = − ∈
( ) ( )lnh x x ax a= − ∈R
1 2 0x x> > ( ) ( )1 2 0h x h x= =
1 1ln 0x ax− = 2 2ln 0x ax− =
( )1 2 1 2ln lnx x a x x+ = + ( )1 2 1 2ln lnx x a x x− = −
1 > 0x 2 0x > 1 2x x b> 2
1 2x x e>所以
（*）
令 ，则 ，
所以（*） ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
即
综上， .
【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合分析论证能力，
属难题.
( )2
1 2 1 2 1 2ln ln 2 2x x e x x a x x> ⇔ + > ⇔ + >
( )1 21 2 1
1 2 1 2 2 1 2
2ln ln 2 ln x xx x x
x x x x x x x
−−⇔ > ⇔ >− + +
1
21
12
2
2 1
ln
1
x
xx
xx
x
− ⇔ >
+
1
2
x tx
= 1t >
( )2 1ln 01
tt t
−⇔ − >+
( ) ( )2 1ln , 11
tk t t tt
−= − >+
( ) 2
2 2
1 4 ( 1) 0( 1) ( 1)
tk t t t t t
− −′ = + = >+ +
( )k t ( )1,+∞
( ) (1) 0k t k> =
2b e≤
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