潮州市 2018 -2019 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷
数学(理科)
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.复数 ( 为虚数单位)等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算法则求解.
【详解】 故选 ．
【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.
2.一位母亲根据儿子 岁身高的数据建立了身高 与年龄 (岁)的回归模型
，用这个模型预测这个孩子 岁时的身高，则正确的叙述是（）
A. 身高在 左右 B. 身高一定是
C. 身高在 以上 D. 身高在 以下
【答案】A
【解析】
【分析】
由线性回归方程的意义得解.
【详解】将 代入线性回归方程求得
由线性回归方程的意义可知 是预测值，故选 ．
【点睛】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.
3.“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（ ）
A. 正方形都是对角线相等的四边形 B. 矩形都是对角线相等的四边形
C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形 D. 矩形都是对边平行且相等的四边形
【答案】B
2)(1z i i= + i
2 2− 2i 2i−
( )21 2 2.z i i i i= + = = − B
3 9− ( )y cm x
7.19 73.93y x= + 10
145.83cm 145.83cm
145.83cm 145.83cm
10x = ( )7.19 10 73. 145.93 83 ,cmy = × + =
145.83cm A【解析】
【分析】
根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．
【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的
依据，
∵由四边形是矩形，得到四边形 对角线相等的结论，
∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选 B．
【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.
4.已知数列 是等比数列，若 则 的值为（ ）
A. 4 B. 4 或-4 C. 2 D. 2 或-2
【答案】A
【解析】
【分析】
设数列{an}的公比为 q，由等比数列通项公式可得 q4＝16，由 a3＝a1q2，计算可得．
【详解】因
故选：A
【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题．
5.在某项测量中，测量结果 ，且 ，若 在 内取值的概率为 ,则
在 内取值的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ，得到正态分布图象的对称轴为 ，根据在 内取值的概率为
0.3，利用在对称轴为 右侧的概率为 0.5，即可得出答案．
【详解】∵测量结果 ，∴正态分布图象的对称轴为 ，
的
{ }na 1 51, 16,a a= = 3a
4 2 2
5 1 3 116, 4, 4a a q q a a q= = = = =
( )2~ 0,X N σ 0σ > X ( )0,1 0.3
X ( )1,+∞
0.1 0.2 0.3 0.4
( )2~ 0,X N σ X 0= ( )0,1
X 0=
( )2~ 0,X N σ X 0=∵在 内取值的概率为 0.3，
∴随机变量 在 上取值的概率为 ，故选 B．
【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、概率的基本性质等基础
知识，考查运算求解能力，属于基础题．
6.在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线 所围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦函数图象的对称性可得 ，求出积分值即可得结果.
【详解】根据余弦函数图象的对称性可得 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．
7.欧拉公式 eix＝cos x＋isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函
数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，
被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得 ，得到复数在复平面内对应的点 ，即可作出解答.
【详解】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈ ，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
( )0,1
X ( )1,+∞ 0.5 0.3 0.2− =
3cos 0 2y x x
π = ≤ ≤
2 5
2 3 4
2
0
3 cos xdxS
π
= ∫
( )2
2
0
0
3 cos 3sin 3 1 0 3S xdx x
π
π
= = = − =∫
2 cos2 sin 2ie i= + (cos2,sin 2)∴e2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选 B.
【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
8.函数 的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图
象，可得答案．
【详解】∵ ，∴ ，
令 得 ；当 时， ，即函数在 内单调递减，
可排除 B,D；又 时， ，排除 C，故选 A.
【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.
9.某同学通过英语听力测试的概率为 ，他连续测试 次，要保证他至少有一次通过的概率
大于 ，那么 的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
31 4 13y x x= − +
31 4 13y x x= − + 2 4y x′ = −
0y′ = 2x = ± ( )2,2x∈ − 0y′ < ( )2,2−
2x = 0y <
1
2
n
0.9 n
3 4 5 6【解析】
【分析】
由题意利用 次独立试验中恰好发生 次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得
结果．
【详解】由题意可得， ，求得 ，∴ ，
故选 B．
【点睛】本题主要考查 次独立试验中恰好发生 次的概率计算公式的应用，属于基础题．
10.函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由题意可得 恒成立，转化求解函数的最值即可．
【详解】由函数 ，得 ，
故据题意可得问题等价于 时， 恒成立，
即 恒成立，函数 单调递减，故而 ，故选 D.
【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，函数恒成立的
等价转化，属于中档题.
11.不相等的三个正数 a、b、c 成等差数列，并且 x 是 a、b 的等比中项，y 是 b、c 的等比中
项，则 x2、b2、y2 三数( )
A. 成等比数列而非等差数列
B. 成等差数列而非等比数列
C. 既成等差数列又成等比数列
n k
0 11 1 0.92
n
nC − ⋅ − >
1 0.12
n
( )2 14 0y x xx
= + > 2
18y x x
′ = − 0x >
0y′ > 1
2x > 0y′ < 10 2x< <
10, 2
1 ,2
+∞
1
2x =【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，正确求导是解题的关键，属于
基础题．
15.从字母 中选出 个字母排成一排，其中一定 要选出 和 ，并且它们必须相
邻( 在 前面)，共有排列方法__________种.
【答案】36
【解析】
【分析】
从剩余的 4 个字母中选取 2 个，再将这 2 个字母和整体 进行排列，根据分步计数原理求得
结果．
【详解】由于 已经选出，故再从剩余的 4 个字母中选取 2 个，方法有 种，
再将这 2 个字母和整体 进行排列，方法有 种，
根据分步计数原理求得所有的排列方法共有 种，故答案为 36.
【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．
16.已知 为 上的连续可导函数，当 时， ，则函数
的零点有__________个．
【答案】0
【解析】
【分析】
令 得 ，即 ，然后利用导数研究函数 的单
调性和极值，即可得到结论．
【详解】令 ，得 ，
即 ，即零点满足此等式
不妨设 ，则 ．
, , , , ,a b c d e f 4 a b
a b
ab
ab 2
4 6C =
ab 3
3 6A =
6 6 36× =
( )y f x= R 0x ≠ ( ) ( )
0f xf x x
′ + >
( ) ( ) 1g x f x x
= +
( ) ( ) 1 0g x f x x
+ == ( ) 1f x x
= − ( ) 1xf x = − ( )xf x
( ) ( ) 1 0g x f x x
+ == ( ) 1f x x
= −
( ) 1xf x = −
( ) ( )h x xf x= ( ) ( ) ( )h x f x xf x′ = + ′∵当 时， ，
∴当 时， ，
即当 时， ，即 ，此时函数 单调递增，
当 时， ，即 ，此时函数 单调递减，
∴当 时，函数 取得极小值，同时也是最小值 ，
∴当 时， ，∴ 无解，即 无解，
即函数 的零点个数为 0 个，故答案为 0．
【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调
性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分，解答要写出证明过程或解题步骤）
17.在二项式 的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等.
(1) 求 的值，并求所有项的二项式系数的和;
(2) 求展开式中的常数项.
【答案】(1)8，256；(2)1792.
【解析】
【分析】
（1）由题意利用二项展开式的通项公式，求出 的值，可得所有项的二项式系数的和；（2）
在二项展开式的通项公式中，令 的幂指数等于 0，求出 的值，即可求得常数项．
【详解】(1) ∵ 二项式 的展开式的通项公式为 ，
由已知得 ，即 ，解得 ，
所有二项式系数的和为 ；
0x ≠ ( ) ( )
0f xf x x
′ + >
0x ≠ ( ) ( )
0xf x
x
f x′ + >
0x > ( ) ( ) 0xf x f x′ + > ( ) 0h x′ > ( )h x
0x < ( ) ( ) 0xf x f x′ + < ( ) 0h x′ < ( )h x
0x = ( )h x ( )0 0h =
0x ≠ ( ) 0h x ≥ ( ) 1h x = − ( ) 1xf x = −
( ) ( ) 1 0g x f x x
+ ==
32 ( *)
n
x n Nx
+ ∈
n
n
x r
32 ( *)
n
x n Nx
+ ∈
( )3
1
2 n r
rr
r nT C xx
−
+
=
3 3 2 22 2n n
n nC C− −= 3 22n nC C= 8n =
0 1 2 8 2562 2n n
n n n nC C C C+ + + + == =(2)展开式中的通项公式 ，
若它为常数项时 .
所以常数项是
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属
于基础题．
18.某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市 12 月份中 天的日销售量
(单位：千克)与该地当日最低气温 (单位: )的数据，如下表所示:
求 关于 的线性回归方程 ；（精确到 ）
判断 与 之间是正相关还是负相关；若该地 12 月份某天的最低气温为 ，请用
中的回归方程预测该超市当日的销售量.
参考公式： ，
参考数据： ，
【答案】（1） （2） 与 负相关，预测该超市当日的销售量为
千克
【解析】
( )8
3 8 8 3 8 4 8
1 8 8 8
2 2 2
r
rr r r r r r r r
rT C x C x x C xx
−
− − − −
+
= = =
4 8 0, 2r r− = =
2 6
3 8 2 1792.T C= =
5 y
x 0 C
x 2 5 7 9 12
y 12 10 9 8 6
( )1 y x y bx a= + 0.001
( )2 y x 6 C° ( )1
( )( )
( )
1 1
2 22
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
a y bx= −
5
1
2 12 5 10 7 9 9 8 12 6 281i i
i
x y
=
= × + × + × + × + × =∑
5
2 2 2 2 2 2
1
2 5 7 9 12 303i
i
x
=
= + + + + =∑
0.586 13.102y x= − + y x 9.586【分析】
（1）根据线性回归直线的求解方法求解；
（2）根据（1）问中 的正负，判断是正相关还是负相关,再代入其值可得解.
【详解】 由题目条件可得 ，
，
故 关于 线性回归方程为
由 可知 与 负相关
将 代入 得
据此预测该超市当日的销售量为 千克
【点睛】本题考查线性回归直线方程，属于基础题.
19.在各项均为正数的数列 中， 且 .
(1)当 时，求 的值；
(2)求证:当 时， .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）推导出 ，解得 ，从而 ，由此能求出 的值；
（2）利用分析法，只需证 ，只需证 ，只需证 ，根据基本不等式即
可得到结果．
的
b
∧
( )1 1= (2 5 7 9 12) 75x + + + + = 1= (12 10 9 8 6) 95y + + + + =
2
5
1 281 5 7 9
5 303 5 72 2
1
5 34= 0.586585
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
∧
= − × ×
− ×
=
− ⋅ −∴ = = ≈ −
−
∑
∑
ˆ =9 ( 0.586) 7=13.102a y b x
∧
= − − − ×
y x 0.586 13.102y x= − +
( )2 0.586 0b
∧
= − < y x
6x = 0.586 13.102y x= − + 9.586y =
9.586
{ }na 1a a= 1
2
2
n
n
n
aa a+ = +
3 2a = a
2n ≥ 1n na a+ ≤
2a =
2
3
2
2 22
aa a
+ ==
2 2a = 1
2
1
2 22
aa a
+ == a
2
1 2 12 na
+ ≤ 2 4na ≥ 2na ≥【详解】(1) ∵ ，∴ ，∴ ，解得 ，
同理解得 即 ；
(2) 要证 时， ，
只需证 ，只需证 ，只需证 ，
只需证 ，只需证 ，
根据基本不等式得 ，
所以原不等式成立．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求
解能力，是中档题．
20.某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目 :通信设备.根据调研,投资到该项
目上，所有可能结果为:获利 、损失 、不赔不赚，且这三种情况发生 概率分别为
；项目 :新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利 、亏
损 ，且这两种情况发生的概率分别为 .经测算，当投入 两个项目的资金相等时，
它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.
(1)求 的值;
(2)若将 万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一
个合理的项目，并说明理由.
【答案】(1) ， ， ；(2) 从风险控制角度，建议该投资公司选择项目 .
【解析】
【分析】
（1）根据概率和为 1 列方程求得 的值，再利用分布列和数学期望列方程组求得 、 的值；
（2）计算均值与方差，比较即可得出结论．
的
3 2a = 2
3
2
2 22
aa a
+ == 2
2 24 4a a+ = 2 2a =
1 2a = 2a =
2n ≥ +1 ( 0)n n na aa >≤
1 1n
n
a
a
+ ≤
2
2 1
n
n
n
a
a
a
+
≤ 2
1 2 12 na
+ ≤
2 4na ≥ 2na ≥
1 1
1 1
2 22 22 2
n n
n
n n
a aa a a
− −
− −
= + ≥ =
A
40% 20%
7 1, ,12 6 a B 30%
10% b c， , A B
, , a b c
100
1
4a = 3
4b = 1
4c = B
a b c【详解】（1）依题意， ， ，
设投入到项目 的资金都为 万元，变量 和 分别表示投资项目 和 所获得的利润，
则 和 的分布列分别为
由分布列得
，
，
因为 所以 ，即 ，
又 ，解得 ， ； ， ，
（2）当投入 万元资金时，由（1）知 ，所以 ，
，
，
因为 ，说明虽然项目 和项目 的平均收益相等，但项目 更稳妥，
所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目 .
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档
题．
21.已知函数 ( 为自然对数的底数).
7 1 112 6 a+ + = 1
4a∴ =
,A B x 1X 2X A B
1X 2X
1X 0.4x 0.2x− 0
P
7
12
1
6
1
4
2X 0.3x 0.1x−
P b c
( )1
7 1 10.4 0.2 0 0.212 6 4EX x x x= × + − × + × =
2 0.3 0.1EX bx cx= −
1 2EX EX= 0.3 0.1 0.2bx cx x− = 0.3 0.1 0.2b c− =
1b c+ = 3
4b = 1
4c = 1
4a∴ = 3
4b = 1
4c =
100 100x = 1 2 20EX EX= =
( ) ( ) ( )2 2 2
1
7 1 140 20 20 20 0 20 60012 6 4DX = − × + − − × + − × =
( ) ( )2 2
2
3 130 20 10 20 3004 4DX = − × + − − × =
1 2DX DX> A B B
B
( ) ( )2 2 kxf x x x e= − ,k R e∈(1)若 ,求函数 的单调区间；
(2)在(1)的条件下，求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；(2)见解
析．
【解析】
【分析】
（1）将 代入函数 中，求出导函数大于零求出递增区间，导函数小于零求出递减区
间；（2）分为 和 和 三种情况分别判断 在 上的单
调性，然后求出最大值和最小值．
【详解】（1）若 ，则 ，求导得 ．
因为 ，令 ，即 ，
解得 或
令 ，即 ，解得
∴函数 在 和 上递增，在 上递减．
即函数 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为
（2）①当 时，∵ 在 上递减，
∴ 在区间 上的最大值为 ，
在区间 上的最小值为 ．
②当 时，
∵ 在 上递减， 在 上递增，且 ，
∴ 在 上的最大值为 ，
在区间 上的最小值为 ．
③当 时，
1k = ( )f x
( )f x [ ]0,m
( ), 2−∞ − ( )2,+∞ ( )2, 2−
1k = ( )f x
0 2m< ≤ 2 2m< ≤ 2m > ( )f x [ ]0,m
1k = ( ) ( )2 2 xf x x x e= − ( ) ( )2 2xf x e x′ = −
0xe > ( ) ( )2 2 0xf x e x′ = − > ( )2 2 0x − >
2x < − 2x >
( ) ( )2 2 0xf x e x′ = − < ( )2 2 0x − < 2 2x− < <
( )f x ( ), 2−∞ − ( )2,+∞ ( )2, 2−
( )f x ( ), 2−∞ − ( )2,+∞ ( )2, 2−
0 2m< ≤ ( )f x 2, 2 −
( )f x [ ]0,m ( )0 0f =
( )f x [ ]0,m ( ) ( )2 2 mf m m m e= −
2 2m< ≤
( )f x 2, 2 − ( )f x )2, +∞ ( ) ( )0 2 0f f= =
( )f x [ ]0,m ( )0 0f =
( )f x [ ]0,m ( ) ( ) 22 2 2 2f e= −
2m >∵ 在 上递减， 在 上递增，且 ，
∴ 在 上的最大值为 ，
在区间 上的最小值为 ．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，
属中档题．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 (其中 为参数）.现以坐标原
点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若点 坐标为 ，直线 交曲线 于 , 两点，求 的值.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
分析】
（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于 t
的二次，再由韦达定理得到 .
【详解】（1）由 消去参数 ，得直线 的普通方程为
又由 得 ，
由 得曲线 的直角坐标方程为 ，
即 ；
【
( )f x 2, 2 − ( )f x )2, +∞ ( ) ( )0 0f m f> =
( )f x [ ]0,m ( ) ( )2 2 mf m m m e= −
( )f x [ ]0,m ( ) ( ) 22 2 2 2f e= −
l
21 2
2
2
x t
y t
= − +
=
t
x C 6cosρ θ=
l C
P ( 1,0)− l C A B PA PB+
1 0x y− + = ( )2 23 9x y− + = 4 2
1 2 4 2PA PB t t+ = + =
21 2
2
2
x t
y t
= − +
=
t l 1 0x y− + =
6cosρ θ= 2 6 cosρ ρ θ=
x cos
y sin
ρ θ
ρ θ
=
= C 2 2 6 0x y x+ − =
( )2 23 9x y− + =（2）其 代入 得 ，
则
所以 .
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 ， ．
（1）解不等式 ；
（2）若方程 在区间 有解，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）通过讨论 的范围得到关于 的不等式组，解出即可；
（2）根据题意，原问题可以等价函数 和函数 图象在区间 上有交点，
结合二次函数的性质分析函数 的值域，即可得答案．
【详解】解：（1） 可化为 ，
故 ，或 ，或 ；
解得： ，或 ，或 ；
不等式的解集为 ；
（2）由题意： ， ．
故方程 在区间 有解 函数 和函数 ，图像在区间
上有交点
21 2
2
2
x t
y t
= − +
=
2 2 6 0x y x+ − = 2 4 2 7 0t t− + =
1 2 1 24 2, 7 0t t t t+ = = >
1 2 1 2 4 2PA PB t t t t+ = + = + =
( ) 2 4 1f x x x= − + + x∈R
( ) 9f x ≤
( ) 2f x x a= − + [ ]0,2 a
[ ]2,4− 19 ,74
x x
y a= 2 5y x x= − + [ ]0,2
2 5y x x= − +
( ) 9f x ≤ 2 4 1 9x x− + + ≤
2
3 3 9
x
x
>
− ≤
1 2
5 9
x
x
− ≤ ≤
− ≤
1
3 3 9
x
x
< −
− + ≤
2 4x< ≤ 1 2x− ≤ ≤ 2 1x− ≤ < −
[ ]2,4−
( ) 2 2 5f x x a a x x= − + ⇔ = − + [ ]0,2x∈
( ) 2f x x a= − + [ ]0,2 ⇔ y a= 2 5y x x= − +
[ ]0,2当 时，
实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档
题．
[ ]0,2x∈ 2 195 ,74y x x= − + ∈
∴ a 19 ,74
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