揭阳市 2018－2019 学年度高中二年级期末质量测试
数学（理科）
一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由集合 M＝{x|x＞﹣1}，得 N＝{y|y＝﹣2x，x∈M}＝{x|x＜2}，由此能求出 M∩N．
【详解】∵集合 M＝{x|x＞﹣1}，
∴N＝{y|y＝﹣2x，x∈M}＝{x|x＜2}，
则 M∩N＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
2.已知复数 z 满足 ，则 z 的共轭复数 （ ）
A. i B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件求出 z，可得复数 z 的共轭复数．
【详解】∵z（1+i）＝1﹣i，
∴z i，
∴z 的共轭复数为 i，
故选：A．
【点睛】本题主要考查共轭复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于
{ }| 1M x x= > − 2 ,{ }|N y y x x M= = − ∈ M N =
( )1,− +∞ ( )2,+∞ ( )1,2− ( ),2−∞
(1 ) 1i z i+ ⋅ = − z =
1
2 i 1
2 i− i−
( )( )
21 (1 )
1 1 1
i i
i i i
− −= = = −+ + −基础题．
3.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求值得解．
【详解】∵cosθ•tanθ＝sinθ ，
∴sin（ ）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角 余弦函数公式在三
角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
的
3cos tan 4
θ θ⋅ = sin 22
π θ − =
3 7
8
7
4
± 1
2
− 1
8
−
3
4
=
22
π θ− 23 1( )4 8
× = −
( ) ln | | (ln | | 1)f x x x= +根据题意，分析函数 f（x）的奇偶性以及在区间（0， ）上，有 f（x）＞0，据此分析选项，
即可得答案．
【详解】根据题意，f（x）＝ln|x|（ln|x|+1），有 f（﹣x）＝ln|﹣x|（ln|﹣x|+1）＝ln|x|
（ln|x|+1）＝f（x），
则 f（x）为偶函数，排除 C、D，
当 x＞0 时，f（x）＝lnx（lnx+1），
在区间（0， ）上，lnx＜﹣1，则有 lnx+1＜0，则 f（x）＝lnx（lnx+1）＞0，排除 B；
故选：A．
【点睛】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题．
5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个
理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单
音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数．若
第一个单音的频率为 f，第三个单音的频率为 ，则第十个单音的频率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，设单音的频率组成等比数列{an}，设其公比为 q，由等比数列的通项公式可得 q 的
值，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，设单音的频率组成等比数列{an}，设其公比为 q，（q＞0）
则有 a1＝f，a3 ，则 q2 ，解可得 q ，
第十个单音的频率 a10＝a1q9＝（ ）9f f，
故选：B．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是求出该等比数列的公比，属于基础题．
6.已知两条不同直线 a、b，两个不同平面 、 ，有如下命题：
1
e
1
e
6 2 f
2 2 f 4 32 f 3 22 f 6 52 f
6 2 f= 6 2= 12 2=
12 2 4 32=
α β①若 ， ，则 ； ②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ； ④若 ， ， ，则
以上命题正确的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．
【详解】①若 a∥α，b⊂α，则 a 与 b 平行或异面，故①错误；
②若 a∥α，b∥α，则 a∥b，则 a 与 b 平行，相交或异面，故②错误；
③若 ，a⊂α，则 a 与 β 没有公共点，即 a∥β，故③正确；
④若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 无公共点，∴平行或异面，故④错误．
∴正确的个数为 1．
故选：C．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平
行的判定与性质定理，是基础题．
7.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
已知 x，y 满足约束条件 ，画出可行域，目标函数 z＝y﹣2x，求出 z 与 y 轴截
距的最大值，从而进行求解；
/ /a α b α⊂ / /a b / /a α / /b α / /a b
/ /α β a α⊂ / /a β / /α β a α⊂ b β⊂ / /a b
/ /α β
1 0
2 1 0
3
x y
x y
x
− + ≥
− − ≤
≤
2z y x= −
2−
1 0
2 1 0
3
x y
x y
x
− + ≥
− − ≤
≤【详解】∵x，y 满足约束条件 ，画出可行域，如图：
由目标函数 z＝y﹣2x 的几何意义可知，z 在点 A 出取得最大值，A（﹣3，﹣2），
∴zmax＝﹣2﹣2×（﹣3）＝4，
故选：D．
【点睛】在解决线性规划的小题时，常用步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②理解目标函数
的几何意义，找出最优解的坐标⇒③将坐标代入目标函数，求出最值；也可将可行域各个角点
的坐标代入目标函数，验证，求出最值．
8.已知 ， ， ，（e 为自然对数的底）则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出 log23＞log2e＞1，ln2＜1，从
而得出 a，b，c 大小关系．
【详解】∵ ；
∴ ；
的
1 0
2 1 0
3
x y
x y
x
− + ≥
− − ≤
≤
2a e= 2be = 1 1
2 3
e =
c a b> > c b a> >
b a c> > a b c> >
1 12 2 ( )2 3
a b ce e= = =， ，
2 1 2
2
12 33a log e b ln c log log= = = =， ，∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；
∴c＞a＞b．
故选：A．
【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性
比较大小的问题，属于基础题．
9.从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中有放回地随机抽取 5 次，每次抽取 1 张．则恰好有 2
次抽到奇数的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出每次抽到奇数的概率，再利用 n 次独立重复试验中恰好发生 k 的概率计算公式求出结
果．
【详解】每次抽到奇数的概率都相等，为 ，
故恰好有 2 次抽到奇数的概率是 • • ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查 n 次独立重复试验中恰好发生 k 的概率计算公式的应用，属于基础
题．
10.双曲线 C： 的左、右焦点分别为 、 ，P 在双曲线 C 上，且 是等
腰三角形，其周长为 22，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2 35 4
9 9
2 3
2
5
5 4
9 9C
2 34 5
9 9
3 2
3
5
5 4
9 9C
5
9
2
5C
25
9
34
9
2 2
2 19
x y
b
− = 1F 2F 1 2PF F△
8
9
14
9
8
3
14
3【解析】
【分析】
根据双曲线 定义和等腰三角形的性质，即可得到 c，化简整理可得离心率．
【详解】双曲线 ，可得 a＝3，
因为 是等腰三角形，当 时，
由双曲线定义知|PF1|＝2a+|PF2|，
在△F1PF2 中，2c+2c+|PF2|＝22，
即 6c﹣2a＝22，
即 c ，
解得 C 的离心率 e ，
当 时，由双曲线定义知|PF1|＝2a+|PF2|=2a+2c，
在△F1PF2 中，2a+2c +2c+2c＝22，
即 6c＝22﹣2a=16，
即 c ，
解得 C 的离心率 e ( )2 8f = − ( )2019f =
2− 1−偶性可得 f（﹣2）＝8，结合函数的解析式求出 a 的值，进而求出 f（﹣1）的值，进而结合
函数的奇偶性与对称性分析可得答案．
【详解】根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，则 f（﹣x）＝﹣f（x），
若函数 f（x）满足 f（x+2）＝f（2﹣x），则有 f（﹣x）＝f（x+4），
则有 f（x+4）＝﹣f（x），变形可得 f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
则函数 f（x）是周期为 8 的周期函数，
又由函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（2）＝﹣8，则 f（﹣2）＝8，
若当﹣2≤x＜0 时，f（x）＝ax﹣1（a＞0），且 f（﹣2）＝a﹣2﹣1＝8，解可得 a ，
则 f（﹣1）＝（ ）﹣1﹣1＝2，
则 f（1）＝﹣2，
又由函数 f（x）是周期为 8 的周期函数，则 f（2019）＝f（3+2016）＝f（3）＝f（1）＝
﹣2；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于中档题．
12.已知数列 前 n 项和为 ，满足 ， ，若
，则 m 的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 an＝sn﹣sn﹣1 可以求出{an}的通项公式，再利用裂项相消法求出 sm，最后根据已知，解出
m 即可．
【详解】由已知可得， ， ，
，（n≥2），
1 ，即
的
1
3
=
1
3
{ }na nS 1 1a = ( )1
1 21n n nnS nS a nn−= + + ≥+
13
8mS >
( )1
1
1n n nn s s a n−− = + + ( ) 11 1nn a n
− = +
( )( )
1 1 1 1
1 1 2 1 1na n n n n
= = − − + − +
1 1 1 1 1 11 12 3 2 4 1 1ms m m
= + − + − + + − = − +
1 1 1 1 1312 2 1 8m m
+ + − − + ＞，
解之得， 或 7.5，
故选：C．
【点睛】本题考查前 n 项和求通项公式以及裂项相消法求和，考查了分式不等式的解法，属
于中等难度．
二、填空题．
13.已知两直线的方向向量分别为 ， ，若两直线平行，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得出 ，从而得出 m2﹣4＝0，解出 m 即可．
【详解】∵ ；
∴m2﹣4＝0；
∴m＝±2．
故答案为：±2．
【点睛】考查直线的方向向量的概念，以及平行向量的坐标关系．
14.曲线 在点 处的切线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程．
【详解】曲线 y＝（1﹣3a）ex 在点（0，1），可得：1＝1﹣3a，解得 a＝0，
函数 f（x）＝ex 的导数为 f′（x）＝ex，
可得图象在点（0，1）处的切线斜率为 1，
1 1 1
1 4m m
+ ＞
( ),1a m= ( )4,b m= m =
2±
a b
a b
( )1 3 xy a e= − ( )0,1
1 0x y− + =则图象在点（0，1）处的切线方程为 y＝x+1，
即为 x﹣y+1＝0．
故答案为：x﹣y+1＝0．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，
属于基础题．
15.直线 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在抛物线 上，则
面积的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
通过三角形的面积公式可知当点 P 到直线 AB 的距离最小时面积最小，求出与直线 2x﹣y﹣2＝
0 平行且为抛物线的切线的直线方程，进而利用两直线间的距离公式及面积公式计算即得结论．
【详解】依题意，A（﹣2，0），B（0，﹣2），
设与直线 x+y+2＝0 平行且与抛物线相切的直线 l 方程为：x+y+t＝0，
联立直线 l 与抛物线方程，消去 y 得：y2+4y+4t＝0，
则△＝16﹣16t＝0，即 t＝1，
∵直线 x+y+2＝0 与直线 l 之间的距离 d ，
∴Smin |AB|d 1．
故答案为：1．
2 0x y+ + = 2 4y x= ABP△
2 1 2
22
−= =
1
2
= 1 22 22 2
= × × =【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，数形结合是解决本题的关键，
属于中档题．
16.已知 P 是底面为正三角形的直三棱柱 的上底面 的中心，作平面
与棱 交于点 D．若 ，则三棱锥 的体积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求出 AD 的长度，代入棱锥体积公式求解．
【详解】如图，
∵P 为上底面△A1B1C1 的中心，∴A1P ，
∴tan ．
设平面 BCD 交 AP 于 F，连接 DF 并延长，交 BC 于 E，
可得∠DEA＝∠PAA1，则 tan∠DEA ．
∵AE ，∴AD ．
∴三棱锥 D﹣ABC 的体积为 V ．
1 1 1ABC A B C− 1 1 1A B C△
BCD AP⊥ 1AA 1 2 2AA AB= = D ABC−
3
48
3
3
=
1
1
1
3
6
A PPAA AA
∠ = =
3
6
=
3
2
= 3 3 1
2 6 4
= × =
1 1 3 1 313 2 2 4 48
= × × × × =故答案为： ．
【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中
档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ，
．
（1）求 b 的值；
（2）求 的值．
【答案】(1) ．(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求 sin（ B ）＝0，结合范围 B ∈
（ ， ），可求 B 的值，由余弦定理可得 b 的值．
（2）由（1）及余弦定理可得 cosC 的值，计算出 sinC，根据两角差的余弦函数公式即可计算
得解 cos（C﹣B）的值．
【详解】（1）∵a＝2，c＝3， ，可得：cosB sinB cosB，
∴可得： sin（B ）＝0，
∵B∈（0，π），B ∈（ ， ），
∴B 0，可得：B ，
∴由余弦定理可得：b ．
（2）由余弦定理得 ．可知 ，
3
48
ABC△ 2a = 3c =
cos sin 6B B
π = −
( )cos C B−
7b = 5 7
14
3 3
π−
3
π−
3
π− 2
3
π
6cosB sin B
π = −
3
2
= 1
2
−
3 3
π−
3
π−
3
π− 2
3
π
3
π− =
3
π=
2 2 12 4 9 2 2 3 72a c accosB= + − = + − × × × =
2 2 2 4 7 9 7cos 02 144 7
a b cC ab
+ − + −= = = > 0, 2C
π ∈ 故由 得 ，
．
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，两角差的余弦函数公式在解
三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.如图，在三棱锥 P-ABC 中， ，O 是 AC 的中点， ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ABC；
（2）若 ， ，D 是 AB 的中点，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）利用 PO⊥AC，OP2+OB2＝PB2，即 PO⊥OB．可证明 PO⊥面 ABC，即可得平面 PAC⊥平面
ABC；
（2）由（1）得 PO⊥面 ABC，过 O 作 OM⊥CD 于 M，连接 PM，则∠PMO 就是二面角 P﹣CD﹣B 的
补角．解三角形 POM 即可．
【详解】（1）∵AP＝CP，O 是 AC 的中点，∴PO⊥AC，
∵PO＝1，OB＝2， ．∴OP2+OB2＝PB2，即 PO⊥OB．
∵AC∩OB＝O，∴PO⊥面 ABC，
∵PO⊂面 PAC，∴平面 PAC⊥平面 ABC；
（2）由（1）得 PO⊥面 ABC，过 O 作 OM⊥CD 于 M，连接 PM，
2 2sin cos 1C C+ = 2 3 21sin 1 cos 14C C= − =
( ) 7 1 3 21 3 5 7cos cos cos sin sin 14 2 14 2 14C B C B C B∴ − = + = × + × =
AP CP= 1PO = 2OB = 5PB =
PAC ⊥
AC BC⊥ 3BC = P CD B− −
30
10
−
5PB =则∠PMO 就是二面角 P﹣CD﹣B 的平面角的补角．
∵OC 1，∴AC＝2，AB ，∴CD ．
∴S△COD
∴ ，∴OM ．PM ．
∴
∴二面角 P﹣CD﹣B 的余弦值为 ．
【点睛】本题考查了空间面面垂直的证明，空间二面角的求解，作出二面角的平面角是解题
的关键，属于中档题．
19.已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工 60 人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样
获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）
甲部门 6 7 8
乙部门 5.5 6 6.5 7 7.5 8
丙部门 5 5.5 6 6.5 7 8.5
（1）求该单位乙部门的员工人数？
（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为 A，乙部门
2 2OB CB= − = 3 4 7= + = 1 7
2 2AB= =
1 1 1 32 34 4 2 4ABCS= = × × × =
1 3
2 4CD OM⋅ = 3
7
= 2 2 10
7OM OP= + =
3
10
OMcos PMO PM
∠ = =
30
10
−选出的员工记为 B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求 A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间
的概率；
（3）若将每天睡眠时间不少于 7 小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取 3 人
做进一步的身体检查．用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，求随机变量 X 的分布列
与数学期望．
【答案】(1)24 人；(2) ；(3)X 的分布列见解析；数学期望为 1
【解析】
【分析】
（1）分层抽样共抽取：3+6+6＝15 名员工，其中该单位乙部门抽取 6 名员工，由此能求出该
单位乙部门 员工人数．
（2）基本事件总数 n 18，利用列举法求出 A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间包含的
基本事件个数，由此能求出 A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间的概率．
（3）X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 E
（X）．
【详解】（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+6＝15 名员工，
其中该单位乙部门抽取 6 名员工，
∴该单位乙部门的员工人数为：6 24 人．
（2）由题意甲部门抽取 3 名员工，乙部门抽取 6 名员工，
从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，
基本事件总数 n 18，
A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有 12 个：
（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，
6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），
∴A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间的概率 p ．
（3）由题意从丙部门抽出的员工有 6 人，其中睡眠充足的员工人数有 2 人，
从丙部门抽出的员工中随机抽取 3 人做进一步的身体检查．用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足
的员工人数，
则 X 的可能取值为 0，1，2，
的
2
3
1 1
3 6C C= =
60
15
× =
1 1
3 6C C= =
12 2=18 3
=P（X＝0） ，
P（X＝1） ，
P（X＝2） ，
∴X 的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X） 1．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，涉及到古典概型及分层抽样
的基本知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.已知椭圆 C： 与圆 M： 的一个公共点为
．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 A 是线段 MB 的中点，求 的面积．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）将公共点代入椭圆和圆方程可得 a，b，进而得到所求椭圆方程；
（2）设过点 M（0，﹣2）的直线 l 的方程为 y＝kx﹣2，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及
三角形的面积公式可得所求值．
3
4
3
6
1
5
C
C
= =
2 1
4 2
3
6
3
5
C C
C
= =
1 2
4 2
3
6
1
5
C C
C
= =
1
5
3
5
1
5
1 3 10 1 25 5 5
= × + × + × =
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( )22 2 5
2x y b+ + =
6 , 12
−
OAB
2 2
13 2
x y+ = 42
8【详解】（1）由题意可得 1， （b2﹣1）2 ，
解得 a2＝3，b2＝2，则椭圆方程为 1；
（2）设过点 M（0，﹣2）的直线 l 的方程为 y＝kx﹣2，
联立椭圆方程 2x2+3y2＝6，可得（2+3k2）x2﹣12kx+6＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2 ，x1x2 ，
A 是线段 MB 的中点，可得 x2＝2x1，
解得 k2 ，x12 ，
可得△OAB 的面积为 •2•|x1﹣x2|＝|x1| ．
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与圆锥曲线位置关系，其中联立直线方程
和圆锥曲线方程，运用韦达定理，是解题的常用方法．
21.已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， ，求证： ．
【答案】(1) 见解析；(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由 f（x）含有参数 a，单调性和 a 的取值有关，通过分类讨论说明导函数的正负，进而
得到结论；
2 2
3 1
2a b
+ = 3
2
+ 5
2
=
2 2
3 2
x y+ =
2
12
2 3
k
k
= + 2
6
2 3k
= +
6
7
= 21
32
=
1
2
42
8
=
( ) ( )( )ln 1 1, 0f x ax x a x a= + − > ≠
( )f x
1x > ( ) ( )2f x ax< 2
1a e
>（2）法一：将已知变形，对 a 分类讨论研究 的正负，当
与 时，通过单调性可直接说明，当 时，可得 g（x）的最大值为 ,利用导
数解得结论．
法二：分析 时， 且 使得已知不成立；当 时，利用分离变量法求解证
明.
【详解】（1） ，
①当 时，由 得 ，得 ，所以 在 上单调递增；
②当 时，由 得 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 在 上单调递减；
（2）法一：由 得 （*），
设 ，则 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
，可知 且 时，
， ，可知（*）式不成立；
②当 时， ，所以 在 上单调递减，
，可知（*）式成立；
③当 时，由 得 ，
所以 在 上单调递增，可知 在 上单调递减，
所以 ，由（*）式得 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，而
( ) ( )ln 1 1g x x ax a x= − + − > 0a <
1a ≥ 0 1a< < 1g a
0a < 0 1x∃ > 0 1x → 0a >
( ) ( )1ln 1 lnf x a x a x a x ax
′ = + − + ⋅ = +
0a > 1x > ln 0x a+ > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,+∞
0a < ( ) 0f x′ > ln 0x a+ < 1 ax e−< <
( )f x ( )1, ae− ( )f x ( ),ae− +∞
( ) ( )2f x ax< ( )ln 1 0ax x ax a− + − <
( ) ( )ln 1 1g x x ax a x= − + − > ( ) ( )1 1g x a xx
′ = − >
0a < ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,+∞
( ) ( )1 1g x g> = − 0 1x∃ > 0 1x →
( )0 0g x < ( )0 0 0ax g x⋅ >
1a ≥ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1,+∞
( ) ( )1 1 0g x g< = − <
0 1a< < ( ) 0g x′ > 11 x a
< <
( )g x 11, a
( )g x 1 ,a
+∞
( )max
1 ln 2g x g a aa
= = − − ln 2 0a a− − <
( ) ln 2h a a a= − − ( ) 11 0h a a
′ = − < ( )h a ( )0,1，h（1）=1-2=-1
2
1 1e
∈（ ，） ( ) 2
10h a h e
< <
2
1 1t ae
< < <
2
1a e
>
( ) ( )2f x ax< ( )ln 1 0ax x ax a− + − <
0a < ln 1 0x ax a− + − > 0 1x∃ > 0 1x →
0 0ln 1 0x ax a− + − <
0a > ln 1 0x ax a− + − < ln 1
1
xa x
−> −
( ) ( )ln 1 11
xg x xx
−= >− ( )
( ) ( )
( ) ( )2 2
1 11 ln 1 2 ln
1 1
x x xx xg x
x x
⋅ − − − − −
′ = =
− −
( ) 12 lnh x xx
= − − ( ) 2 2
1 1 1 0xh x x x x
−′ = − = < ( )h x ( )1,+∞
( ) 11 0h e e
= − > ( )2
2
1 0h e e
= − < ( )2
0 ,x e e∃ ∈ ( )0 0
0
12 ln 0h x xx
= − − =
( )0 01,x x∈ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )01, x
( )g x ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) 0
max 0
0
ln 1
1
xg x g x x
−= = −
( )max
0
1g x x
= 2
0
1 1a x e
> >
2
1a e
>
2cos
3sin
x
y
α
α
=
=
α轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 在直线 l： 上．
（1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 的相交于点 A、B，求 的值．
【答案】(1) C： ；l： ；(2)
【解析】
【分析】
（1）直接把曲线 C 的参数方程中的参数消去，即可得到曲线 C 的普通方程，把 P 的极坐标代
入直线方程求得 m，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线 l 的直角坐标方程；
（2）写出直线 l 的参数方程，把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，化为关于 t
的一元二次方程，利用此时 t 的几何意义及根与系数的关系求解．
【详解】（1）由 为参数），消去参数α，可得曲线 C 的普通方程为
；
由 在直线 l：ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0 上，得 ，得 m ．
由 ， ，
∴直线 l：ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0 的直角坐标方程为 x﹣y 0；
（2）由（1）知直线 l 的倾斜角为 ， ，
直线 l 的参数方程为 （t 为参数），
代入 ，
得：13t2﹣20t﹣20＝0．
32, 4P
π
cos sin 0mρ θ ρ θ− + =
| | | |PA PB⋅
2 2
14 9
x y+ = 2 2 0x y− + = 20| | | | 13PA PB⋅ =
2 (3
x cos
y sin
α αα
=
=
2 2
14 9
x y+ =
32 4P
π
， 2 2 0m− − + = 2 2=
cosx ρ θ= siny ρ θ=
2 2+ =
4
π ( )2, 2P −
22 2
22 2
x t
y t
= − +
= +
2 2
14 9
x y+ =∴|PA|•|PB| ．
【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此
时 t 的几何意义的应用，是中档题．
23.已知函数 ．
（1）若 ，求 a 的取值范围；
（2） ， ，求 a 的取值范围．
【答案】(1) ．(2) ．
【解析】
【分析】
（1）f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1| ，根据 f（1）＞2 分别解不等式即可'
（2）根据绝对值三角不等式求出 f（x）的值域，然后由条件可得 f（x）min＞f（y）max﹣6，
即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出 a 的范围．
【详解】（1）∵f（x）＝|x+2a|﹣|x﹣a|，
∴f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1| ，
∵f（1）＞2，∴ ，或 ，或 ，
∴a＞1，或 a≤1，或 a＜﹣4，
20
13A Bt t= ⋅ =
( ) | 2 | | |f x x a x a= + − −
( )1 2f >
x y R∀ ∈、 ( ) ( ) 6f x f y> −
( ) 2, 4 ,3a ∈ −∞ − +∞ ( )1,1a∈ −
2 1
13 12
12 2
a a
a a
a a
+
= − ≤ ≤
− − −
＞
＜
2 1
13 12
12 2
a a
a a
a a
+
= − ≤ ≤
− − −
＞
＜
2 2
1
a
a
+
＞
＞
3 2
1 12
a
a
− ≤ ≤
＞ 2 2
1
2
a
a
− − −
＞
＜
2
3
＜∴a 的取值范围为 ；
（2）∵||x+2a|﹣|x﹣a||≤|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3|a|，
∴f（x）∈[﹣3|a|，3|a|]，
∵∀x、y∈R，f（x）＞f（y）﹣6，
∴只需 f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，
∴6|a|＜6，∴﹣1＜a＜1，
∴a 的取值范围为[﹣1，1]．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求函数的范围，考查了分
类讨论和转化思想，属中档题．
( ) 24 3
−∞ − ∪ + ∞ ， ，
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