2020高考文科数学二轮分层特训卷热点问题专练（十一）离心率（Word版带解析）

热点(十一)　离心率 1．(椭圆离心率)若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数 列，则该椭圆的离心率是(　　) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 答案：B 解析：由题意得 2b＝a＋c，所以 4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac,3a2－ 2ac－5c2＝0，两边同除以 a2 得到 3－2e－5e2＝0，因为 00)的离心率为 3， 则其渐近线方程为(　　) A．y＝± 2x B．y＝± 3x C．y＝± 2 2 x D．y＝± 3 2 x 答案：A解析：双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 的渐近线方程为 bx±ay＝0. 又∵离心率c a ＝ a2＋b2 a ＝ 3， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝ 2a. ∴渐近线方程为 2ax±ay＝0，即 y＝± 2x. 故选 A. 4．[2018·全国卷Ⅰ，4](椭圆离心率)已知椭圆 C： x2 a2 ＋y2 4 ＝1 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为(　　) A.1 3 B.1 2 C. 2 2 D.2 2 3 答案：C 解析：∵ a2＝4＋22＝8，∴ a＝2 2，∴ e＝c a ＝ 2 2 2 ＝ 2 2 . 故选 C. 5．(双曲线离心率)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的左， 右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝1 3 ，则 E 的 离心率为(　　) A. 2 B.3 2 C. 3 D．2 答案：A 解析：易知|MF1|＝b2 a ，|MF2|＝2a＋b2 a ， 因为 sin∠MF2F1＝1 3 ，所以|MF1| |MF2| ＝ b2 a 2a＋b2 a ＝1 3 ，化简得 b＝a， 故双曲线的离心率 e＝ 1＋b2 a2 ＝ 2.故选 A.6．(椭圆离心率)已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右顶点 分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为(　　) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D.1 3 答案：A 解析：由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径 为 a. 又直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切， ∴圆心到直线的距离 d＝ 2ab a2＋b2 ＝a，解得 a＝ 3b， ∴b a ＝ 1 3 ， ∴e＝c a ＝ a2－b2 a ＝ 1－( b a )2＝ 1－( 1 3 )2＝ 6 3 .故选 A. 7．[2019·济南市高考模拟试题](双曲线离心率)设 F1，F2 分别 为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1 作一条渐近线 的垂线，垂足为 M，延长 F1M 与双曲线的右支相交于点 N，若MN→ ＝3F1M→ ，则此双曲线的离心率为(　　) A. 13 2 B.5 3 C.4 3 D.2 6 3 答案：B 解析：不妨设一条渐近线方程为 y＝b a x，则过 F1 且与此渐近 线垂直的直线方程为 y＝－ a b (x＋c)，与 y＝ b a x 联立解得 x＝－ a2c a2＋b2 ＝－a2 c ，y＝－ab c ，所以 M (－a2 c ，－ab c ).由MN→ ＝3F1M→ ，得F1N→ ＝ 4F1M→ ， 设 N(m ， n) ， 由 F1( － c,0) ， 得 (m ＋ c ， n) ＝ 4 (－a2 c ＋c，－ab c )，所以 m＝－4a2 c ＋3c，n＝－ 4ab c ，代入x2 a2 －y2 b2 ＝ 1，得(－4a2 c ＋3c)2 a2 －16a2 c2 ＝1，即 c2 (－4a2 c ＋3c) 2－16a4＝a2c2，整 理得 9c4＝25a2c2，即 3c＝5a，所以 e＝5 3 . 8．(参变量范围)已知双曲线x2 4 ＋y2 m ＝1 的离心率 e∈(1,2)，则 m 的取值范围是(　　) A．(－12,0) B．(－∞，0) C．(－3,0) D．(－60，－12) 答案：A 解析：显然 m0，b>0)，|AB|＝ 2|CD| ＝ 2c ， E(xE ， yE) ， 则 A( － c,0) ， B(c,0) ， C ( c 2 ，yC )， D (－c 2 ，yC )， 由 c2 4 a2 － y2C b2 ＝ 1 ， 得 yC ＝ b 2a b2－3a2， 故 C ( c 2 ， b 2a b2－3a2 ). 因 为 AE→ ＝ (xE ＋ c ， yE) ， 2 5AC→ ＝ 2 5( 3c 2 ， b 2a b2－3a2 )＝ ( 3c 5 ， b 5a b2－3a2 )，AE→ ＝2 5AC→ ，所以Error! 又 E 在双曲线上，故 4c2 25 a2 － b2 25a2 (b2－3a2) b2 ＝1，化简整理得 4c2－ b2＋3a2＝25a2，即 c2＝7a2，故c a ＝ 7.选 A. 10．(椭圆性质)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： x2 a2 ＋y2 b2 ＝ 1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点， 且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E，若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为(　　) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 答案：A 解析：由题意设直线 l 的方程为 y＝k(x＋a)，分别令 x＝－c 与 x＝0 得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，记 BM 与 OE 的交点为 N，由 △OBN∽△FBM，得 1 2|OE| |FM| ＝|OB| |BF| ，即 ka 2k(a－c) ＝ a a＋c ，整理，得c a ＝1 3 ，所以椭圆离心率 e＝1 3 ，故选 A. 11．[2018·山东菏泽模拟](综合运用)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C2 的一个交点，F1，F2 分别是它们的左、右焦点，设 椭圆离心率为 e1，双曲线离心率为 e2.若PF1→ ·PF2→ ＝0，则 1 e21 ＋ 1 e22 ＝ (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：设椭圆方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)， 双曲线方程为x2 m2 －y2 n2 ＝1(m>0，n>0)，其中两焦点距离为 2c. 不妨令 P 在第一象限，由题意知 Error! ∴|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m， 又PF1→ ·PF2→ ＝0，∴PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴2(a2＋m2)＝4c2， ∴1 e21 ＋1 e22 ＝a2＋m2 c2 ＝2，故选 B. 12．(双曲线离心率)已知 F 是双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左 焦点，E 是双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲 线交于 A，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为(　　) A．(1,2) B．(1， 2) C．(1,3) D．(1， 3) 答案：A 解析：由题易知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角 形，所以只需∠AEFb>0)上存在一点 P， 使得∠F1PF2＝90°，F1，F2 是椭圆的两焦点，则椭圆的离心率的 取值范围为________． 答案： [ 2 2 ，1)解析：设椭圆的上顶点为 C.由题意知∠F 1CF2≥90°，则∠F1CO≥45°，所以 c≥b.因为 e2＝ c2 c2＋b2 ，所以 2 2 ≤e0，b>0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有 公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案：(1,2) 解析：设 P(x，y)，由题设条件，得动点 P 的轨迹方程为 (x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即 x2＋(y－2)2＝1， 它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆．又双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0， b>0)的渐近线方程为 y＝±b a x，即 bx±ay＝0， 由题意，可得 2a a2＋b2 >1，即2a c >1， 所以 e＝c a 1，故 1