热点(十三) 数学文化
1．[2019·江西赣州联考](数列中的文化)中国古代数学著作《算
法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个
人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每
天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达
目的地．”若将此问题改为“第 6 天到达目的地”，则此人第二天
至少走了( )
A．96 里 B．48 里
C．72 里 D．24 里
答案：A
解析：根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为1
2
的等
比数列．设第一天走 a1 里，则第二天走 a2 ＝1
2
a1(里)．易知
a1
[1－(
1
2 )6
]
1－1
2
≥378，则 a1≥192.
则第二天至少走 96 里．故选 A.2．[2019·福建莆田模拟](程序框图中的文化)将元代著名数学
家朱世杰的《四元玉鉴》中的一首诗改编如下：“我有一壶酒，
携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中
酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表示如图，用 x 表
示壶中原有酒的量，可知最终输出的 x＝0，则一开始输入的 x 的
值为( )
A.3
4
B.15
16
C．4 D.7
8
答案：D
解析：这是一道函数与程序框图相结合的题．
当 i＝1 时，酒量为 2x－1；
当 i＝2 时，酒量为 2(2x－1)－1＝4x－3；
当 i＝3 时，酒量为 2(4x－3)－1＝8x－7；
当 i＝4 时，酒量为 0，
即 2(4x－3)－1＝0，
解得 x＝7
8
.
故选 D.
3．[2019·福建泉州两校联考](函数中的文化)我国古代数学著
作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而
税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五
关，第 1 关所收税金为持金的1
2
，第 2 关所收税金为剩余持金的1
3
，
第 3 关所收税金为剩余持金的1
4
，第 4 关所收税金为剩余持金的1
5
，
第 5 关所收税金为剩余持金的1
6
，5 关所收税金之和恰好重 1 斤．”
则在此问题中，第 5 关所收税金为( )
A. 1
36
斤 B. 1
30
斤
C. 1
25
斤 D. 1
20
斤
答案：C
解析：设此人持金 x 斤，根据题意知第 1 关所收税金为x
2
斤；
第 2 关所收税金为x
6
斤；第 3 关所收税金为 x
12
斤；第 4 关所收税金
为 x
20
斤；第 5 关所收税金为 x
30
斤．
易知x
2
＋x
6
＋ x
12
＋ x
20
＋ x
30
＝1，解得 x＝6
5
.
则第 5 关所收税金为 1
25
斤．故选 C.
4．(立体几何中的文化)我国古代数学名著《数书九章》中有
“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形状一样(大小不同)的器具
的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的
雨水的深度为 6 寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降
雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台
的体积 V＝1
3
πh(R2＋r2＋R·r)，其中 R，r 分别表示上、下底面的半
径，h 为高)( )A．2 寸 B．3 寸
C．4 寸 D．5 寸
答案：A
解析：由三视图可知，该器具的上底面半径为 12 寸，下底面
半径为 6 寸，高为 12 寸．
因为所接雨水的深度为 6 寸，所以水面半径为1
2
×(12＋6)＝
9(寸)，
则盆中水的体积为 1
3
π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，
所以这一天该地的平均降雨量约为 342π
π × 122
≈2(寸)，故选 A.
5．[2019·期中](数列中的文化)中国古代数学著
作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，
行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每
天走的里数是前一天的一半，连续行走 7 天，共走了 700 里．”
若该匹马按此规律继续行走 7 天，则它这 14 天内所走的总路程为
( )
A.175
32
里 B．1 050 里
C.22 575
32
里 D．2 100 里
答案：C
解析：由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，
设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为 a1，公比为1
2
，则有a1
[1－(
1
2 )7
]
1－1
2
＝700，则 a1＝350 × 128
127
，则
a1
[1－(
1
2 )14
]
1－1
2
＝22 575
32
(里)．故选 C.
6．[2019·河南商丘 12 月月考](生活中的文化)我国古代数学名
著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中
女四日一归，少女三日一归．问三女几何日相会？”大致意思是：
“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每
四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同
一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均
回夫家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一
百天内，有女儿回娘家的天数为( )
A．58 B．59
C．60 D．61
答案：C
解析：由题意知，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天
回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家，
当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天
内，
小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33,25,20，
小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回
娘家的天数分别为 8,6,5，三个女儿同一天回娘家的天数为 1，
因此，从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数为 33
＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选 C.
7．[2019·重庆七校联考](推理与证明中的文化)某市为了缓解
交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都
要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有 A，B，C，D，
E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知 E 车周四限行，
B 车昨天限行，从今天算起，A，C 两车连续四天都能上路行驶，
E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )
A．今天是周四 B．今天是周六
C．A 车周三限行 D．C 车周五限行
答案：A
解析：在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一至周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B 车昨
天限行知，今天不是周一，也不是周日；由 E 车周四限行且明天
可以上路可知，今天不是周三；由 E 车周四限行，B 车昨天限行
知，今天不是周五；从今天算起，A，C 两车连续四天都能上路行
驶，如果今天是周二，A，C 两车连续上路行驶到周五，只能同时
在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则 B 车周五限行，
又 E 车周四限行，所以 A，C 两车连续上路行驶到周二，只能同
时在周三限行，不符合题意．所以今天是周四．故选 A.
8．[2019·陕西省西安市期中](解三角形中的文化)《数书九章》
中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中
的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全
等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．其求法
是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以
小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得
积 ． ” 把 以 上 这 段 文 字 用 数 学 公 式 表 示 ， 即 S ＝
1
4[c2a2－(
c2＋a2－b2
2 )2
](S，a，b，c 分别表示三角形的面积、大斜、
中斜、小斜)．现有周长为 4 2＋2 5的△ABC 满足 sin Asin Bsin
C＝( 2＋1) 5( 2－1)，试用以上给出的数学公式计算△ABC
的面积为( )
A. 3 B．2 3
C. 5 D．2 5
答案：A
解析：因为 sin Asin Bsin C＝( 2＋1) 5( 2－1)，
则由正弦定理得 abc＝( 2＋1) 5( 2－1)．
设 a＝( 2＋1)x，b＝ 5x，c＝( 2－1)x，
又周长为 4 2＋2 5，
所以 4 2＋2 5＝( 2＋1)x＋ 5x＋( 2－1)x，解得 x＝2.
所以 S＝
＝ 3.
故选 A.
9．(程序框图中的文化)《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：“今有物不如其数，三三数之剩二；五五数之剩三；
七七数之剩二，问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，
除以五余三，除以七余二，求这个整数．此问题可以用计算机解
决．记 N≡r(MOD m)，表示正整数 N 除以正整数 m 的余数为 r，
例如 10≡2(MOD 4)．执行如图所示的程序框图，则输出的 i 等于
( )
A．7 B．10
C．8 D．23
答案：C
解析：根据框图可列表如下：
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
i 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8
故选 C.
10．[2019·湖南模拟](数列中的文化)我国古代数
学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一
尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：
“现有一根金箠，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1
尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为 M，现将
该金箠截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 ai(i＝1,2，…，
10) ，且 a1
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