2020高考文科数学二轮分层特训卷方法技巧专练（四）（Word版带解析）

专练(四) 技法 14　函数方程思想 1．已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上运动(包含端点)，则EM→ ·EC→ 的取值范围是(　　) A. [ 1 2 ，2) B. [0，3 2]C. [ 1 2 ，3 2] D．[0,1] 答案：C 解析：解法一　 将正方形 ABCD 放入如图所示的平面直角坐标系中，设 E(x,0)， 0≤x≤1.又 M (1，1 2)，C(1,1)，所以EM→ ＝ (1－x，1 2)，EC→ ＝(1－x,1)， 所以EM→ ·EC→ ＝ (1－x，1 2)·(1－x,1)＝(1－x)2＋1 2 .因为 0≤x≤1，所以1 2 ≤(1－x)2＋1 2 ≤3 2 ， 即EM→ ·EC→ 的取值范围是 [ 1 2 ，3 2]. 解法二　EM→ ·EC→ ＝ (EB→ ＋1 2BC→ )·(EB→ ＋BC→ )＝ EB→ 2＋1 2BC→ 2＝EB→ 2 ＋1 2 ，又 0≤|EB→ |≤1，所以1 2 ≤EB→ 2＋1 2 ≤3 2 ，即EM→ ·EC→ 的取值范围是 [ 1 2 ，3 2].2．将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆 柱体，能切割出的圆柱的最大体积为(　　) A. π 27 B.8π 27 C.π 3 D.2π 9 答案：B 解析： 如图所示，设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，由题意可 得r 1 ＝2－x 2 ，所以 x＝2－2r，所以圆柱的体积 V＝πr2(2－2r)＝2π(r2 －r3)(00，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，P 是双曲线 C 右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|， 若 直 线 PF1 与 圆 x2 ＋ y2 ＝ a2 相 切 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 ________． 答案：5 3 解析：取线段 PF1 的中点为 A，连接 AF2，又|PF2|＝|F1F2|， 则 AF2⊥PF1，∵直线 PF1 与圆 x2＋y2＝a2 相切，∴|AF2|＝2a，∵|PA| ＝1 2 |PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得(3c－5a)(a＋c)＝0， 则双曲线的离心率为5 3 . 7．已知函数 f(x)＝lg1＋2x＋4x·a a2－a＋1 ，其中 a 为常数，若当 x∈(－ ∞，1]，f(x)有意义，则实数 a 的取值范围为________． 答案： (－3 4 ，＋∞)解析：参数 a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直 接建立关于 a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从 原式中把 a 分离出来，重新认识 a 与变元 x 的依存关系，利用新 的函数关系，使原问题“柳暗花明”． 由1＋2x＋4x·a a2－a＋1 >0，且 a2－a＋1＝ (a－1 2) 2＋3 4 >0， 得 1＋2x＋4x·a>0，故 a>－ ( 1 4x＋1 2x). 当 x∈(－∞，1]时，y＝1 4x 与 y＝1 2x 都是减函数， 因此，函数 y＝－ ( 1 4x＋1 2x)在(－∞，1]上是增函数， 所以 [－(－1 4x＋1 2x)]max＝－3 4 ，所以 a>－3 4 . 故实数 a 的取值范围是 (－3 4 ，＋∞). 8．关于 x 的不等式 ex－x2 2 －1－ (a－9 4)x≥0 在 x∈ [ 1 2 ，＋∞)上 恰 成 立 ， 则 a 的 取 值 集 合 为 ________________________________________________________________________． 答案：{2 e} 解 析 ： 关 于 x 的 不 等 式 ex － x2 2 － 1 － (a－9 4)x≥0 在 x∈ [ 1 2 ，＋∞)上恰成立⇔函数 g(x)＝ ex－1 2x2－1 x 在 [ 1 2 ，＋∞)上的值域 为 [a－9 4 ，＋∞). 因为 g′(x)＝ ex(x－1)－1 2x2＋1 x2 ， 令 φ(x)＝ex(x－1)－1 2 x2＋1，x∈ [ 1 2 ，＋∞)， 则 φ′(x)＝x(ex－1)． 因为 x≥1 2 ，所以 φ′(x)≥0，故 φ(x)在 [ 1 2 ，＋∞)上单调递增， 所以 φ(x)≥φ ( 1 2 )＝7 8 － e 2 >0. 因此 g′(x)>0，故 g(x)在 [ 1 2 ，＋∞)上单调递增， 则 g(x)≥g ( 1 2 )＝ ＝2 e－9 4 ， 所以 a－9 4 ＝2 e－9 4 ，解得 a＝2 e， 所以 a 的取值集合为{2 e}． 9．[2018·全国卷Ⅱ节选]设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8.求 l 的方 程． 解析：由题意得 F(1,0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k>0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故 x1＋x2＝2k2＋4 k2 . 1 2 1 18 1 2 e − −所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4 k2 . 由题设知4k2＋4 k2 ＝8，解得 k＝－1(舍去)或 k＝1. 因此 l 的方程为 y＝x－1. 10．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且 a2， a3，a4＋1 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，bn＝ 1 Sn＋1 ＋ 1 Sn＋2 ＋…＋ 1 S2n ，若 对任意的 n∈N*，不等式 bn≤k 恒成立，求实数 k 的最小值． 解析：(1)因为 a1＝2，a23＝a2(a4＋1)， 又因为{an}是正项等差数列，所以公差 d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 解得 d＝2 或 d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式 an＝2n. (2)由(1)知 Sn＝n(n＋1)， 则 bn＝ 1 Sn＋1 ＋ 1 Sn＋2 ＋…＋ 1 S2n ＝ 1 (n＋1)(n＋2) ＋ 1 (n＋2)(n＋3) ＋…＋ 1 2n(2n＋1) ＝ 1 n＋1 － 1 n＋2 ＋ 1 n＋2 － 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n － 1 2n＋1 ＝ 1 n＋1 － 1 2n＋1 ＝ n 2n2＋3n＋1 ＝ 1 2n＋1 n ＋3 . 令 f(x)＝2x＋1 x (x≥1)，则 f′(x)＝2－1 x2 ， 当 x≥1 时，f′(x)>0 恒成立， 所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝3， 即当 n＝1 时，(bn)max＝1 6 ， 要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立， 则需使 k≥(bn)max＝1 6 ，所以实数 k 的最小值为1 6 .