2020高考文科数学二轮分层特训卷方法技巧专练（三）（Word版带解析）

专练(三) 技法 9　割补法 1．如图所示，虚线网格的最小正方形的边长为 1，实线是某 几何体的三视图，则这个几何体的体积为(　　) 　 A．4π　　　　　　　　 　　B．2π C.4π 3 D．π 答案：B 解析：依题意可得所求的几何体的直观图如图所示，把所求 的几何体补成圆柱，易知该几何体刚好是底面圆的半径为 1，高为 4 的圆柱的一半，可得这个几何体的体积为 V＝1 2 ×π×12×4＝2π， 故选 B. 2．[2019·吉林白山联考]某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案：C解析：由三视图可知，该几何体是如图所示的上半部分为三 棱柱，下半部分为正方体的简单组合体．可把该几何体分割为两 部分，下半部分为正方体，棱长为 2，其体积为 V1＝23＝8；上半 部分为直三棱柱，高为 2，底面是等腰直角三角形，直角边长为 2，所以其体积为 V2＝1 2 ×( 2)2×2＝2. 所以该几何体的体积 V＝V1＋V2＝8＋2＝10，故选 C. 3．在三棱锥 P－ABC 中，已知 PA⊥底面 ABC，∠BAC＝ 120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上， 则该球的表面积为(　　) A．10 3π B．18π C．20π D．9 3π 答案：C 解析：由题意知，该三棱锥为正六棱柱内的一个三棱锥(如图 所示的三棱锥 P－ABC)且有 PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外 接球也是该正六棱柱的外接球，所以外接球的直径 2R 为该正六棱 柱的体对角线长，即 2R＝ 42＋22＝2 5⇒R＝ 5，所以该球的表 面积为 4πR2＝20π.故选 C. 4．已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形，AD∥BC， CE∥BG，∠BCD＝∠BCE＝π 2 ，平面 ABCD⊥平面 BCEG，BC＝CD ＝CE＝2AD＝2BG＝2，则五面体 EGBADC 的体积为________． 答案：7 3解析：如图所示，连接 DG，BD. 由平面 ABCD⊥平面 BCEG，∠BCD＝∠BCE＝π 2 ，可知 EC⊥ 平面 ABCD， 又 CE∥GB，所以 GB⊥平面 ABCD. 又 BC＝CD＝CE＝2，AD＝BG＝1， 所以 V 五面体 EGBADC＝V 四棱锥 D－BCEG ＋V 三棱锥 G－ABD ＝1 3 S 梯形 BCEG·DC＋1 3 S△ABD·BG＝1 3 ×2＋1 2 ×2×2＋1 3 ×1 2 ×1×2×1＝7 3 . 技法 10　整体代换法 5．若函数 f(x)是 R 上的单调函数，且对任意的实数 x 都有 f [f(x)＋ 2 2x＋1]＝1 3 ，则 f(log22 019)＝(　　) A.1 011 1 012 B.1 010 1 011 C.1 009 1 010 D．1 答案：C 解析：假设 f(x0)＝ 1 3 ，则 f(x)＋ 2 2x＋1 ＝x0，进而 f(x)＝x 0－ 2 2x＋1 ， 从而 f(x0)＝x0－ 2 2x0＋1 ，当 x0＝1 时，f(1)＝1 3 ， 因为 f(x)是单调函数，所以由 f(x0)＝1 3 ，可得 x0＝1， 所以 f(x)＝1－ 2 2x＋1 ， 所以 f(log22 019)＝1－ 2 2log22 019＋1 ＝1 009 1 010 ，故选 C.6．等比数列{an}中，已知 a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则 a9＋a11＋a13 ＋a15 的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 答案：C 解析：解法一　设等比数列{an}的公比为 q，则 a5＝a1q4，a7＝ a3q4， 所以 q4＝a5＋a7 a1＋a3 ＝4 8 ＝1 2 . 又 a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8× ( 1 2 ) 2＝2， a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8× ( 1 2 ) 3＝1， 所以 a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. 解法二　因为{an}为等比数列，所以 a5＋a7 是 a1＋a3 与 a9＋ a11 的等比中项， 所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故 a9＋a11＝(a5＋a7)2 a1＋a3 ＝42 8 ＝ 2. 同理，a9＋a11 是 a5＋a7 与 a13＋a15 的等比中项， 所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故 a13＋a15＝(a9＋a11)2 a5＋a7 ＝22 4 ＝1. 所以 a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. 7．已知 f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若 f(2 019)＝k，则 f(－2 019) ＝(　　) A．k B．－k C．1－k D．2－k 答案：D 解析：∵f(2 019)＝a·2 0193＋b·2 019＋1＝k，∴a·2 019 3＋b·2 019＝k－1，则 f(－2 019)＝a(－2 019) 3＋b·(－2 019)＋1＝－[a·2 0193＋b·2 019]＋1＝2－k. 8．已知三点 A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共线，则1＋2a a ＋2＋b b (a>0，b>0)的最小值为(　　)A．11 B．10 C．6 D．4 答案：A 解析：由 A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共线得 －2 1＋b ＝ －1＋2 a－1 ， 整理得 2a＋b＝1， 所以1＋2a a ＋2＋b b ＝4a＋b a ＋4a＋3b b ＝7＋ b a ＋4a b ≥7＋2 b a· 4a b ＝11，当且仅当b a ＝4a b 且 2a＋b＝1 即 a＝1 4 ，b＝1 2 时，等号成立， 故选 A. 技法 11　分离参数法 9．已知函数 f(x)＝ln x＋2 x ，若不等式 f(x)≤kx 对任意的 x>0 恒 成 立 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 ________________________________________________________ ________________． 答案： [ e3 2 ，＋∞)解析：不等式 f(x)≤kx 对任意的 x>0 恒成立，即 k≥ln x＋2 x2 对 任意的 x>0 恒成立．令 g(x)＝ln x＋2 x2 ，则 g′(x)＝1－2(ln x＋2) x3 ＝ －2ln x－3 x3 ， 令 g′(x) ＝ 0 ， 得 x ＝ e ， 且 当 x∈(0 ， e ) 时 ， g′(x)>0，当 x∈(e ，＋∞)时，g′(x)VE－ABCD＝6，而四个选项里面大 于 6 的只有15 2 ，故选 D. 技法 13　等体积转化法 14．如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 是 BC 的中点， AA1＝AB＝2，则三棱锥 C1－AB1D 的体积为(　　) 2 3 − 2 3 −A. 3 3 B. 3 2 C.2 3 3 D.3 2 3 答案：C 解析：依题意，得 V 三棱锥 C1－AB1D＝V 三棱锥 A－B1DC1＝ 1 3 S△B1DC1×AD＝1 3 ×1 2 ×2×2× 22－12＝2 3 3 . 15．如图，已知三棱锥 P－ABC，底面 ABC 是边长为 2 的正 三角形，平面 PAB⊥平面 ABC，PA＝PB＝ 2，D 为 BC 的中 点． (1)求证：AB⊥PC； (2)求三棱锥 B－PAD 的体积． 解析：(1)证明：如图所示，取 AB 的中点 E，连接 PE，CE. 因为 PB＝PA，所以 AB⊥PE. 因为 AC＝BC，所以 AB⊥CE. 又 PE∩CE＝E，所以 AB⊥平面 PEC. 又 PC⊂平面 PEC，所以 AB⊥PC. (2)因为平面 PAB⊥平面 ABC，PE⊂平面 PAB，平面 PAB∩平 面 ABC＝AB，且 PE⊥AB， 所以 PE⊥平面 ABC. 由 PA＝PB＝ 2，BE＝AB 2 ＝1 得 PE＝ PB2－BE2＝1.因为 D 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AD⊥BC. V 三棱锥 B－PAO ＝V 三棱锥 P－ABD ＝1 3 PE·S△ABD＝1 3 ×1×1 2 ×1× 3 ＝ 3 6 ， 故三棱锥 B－PAD 的体积为 3 6 .