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高二质量调研试题
数 学 2020.01
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和 2B 铅
笔分别涂写在答题卡上；
2. 将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知 是等比数列，且 ， ，那么 的值等于
A. B. C. D.
2.已知 ， ，那么下列不等式成立的是
A. B. C. D.
3.已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
4.条件 ，条件 ，若 是 的充分条件，则 的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.如图，在正方体 中， ， 分别是上底棱的中点， 与平面 所
成的角的大小是
A. B. C. D.
6.若正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最小值 4
7.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，
初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢
A．2 B．3 C．4 D．6
8.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，
若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有错选的得 0 分.
9.以下说法正确的有
A. 实数 是 成立的充要条件
B. 对 恒成立
C.命题“ ，使得 ”的否定是“ ，使得 ”
D.若 ，则 的最小值是
10.如图，在边长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 在底面 上
移动，且满足 ，下列结论正确的是
A. 的长度的最大值为 B. 的长度的最小值为
C. 的长度的最大值为 D. 的长度的最小值为
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的左支上，
若 ，则双曲线的离心率可以是
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若方程 有 4 个零点，则 的可能
的值为
A. B. C. D.
{ }na 0na > 2 4 3 5 4 62 25a a a a a a+ + = 3 5a a+
5 10 15 30
0a < 1 0b− < <
2a ab ab> > 2ab ab a> > 2ab a ab> > 2ab ab a> >
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> > 2 5
2 0x y+ =
2
2 14
x y− =
2
2 14
yx − =
2 23 3 120 5
x y− =
2 23 3 15 20
x y− =
:| | 2p x m− ≤ : 1q x n− ≤ ≤ p q n
1 1 1 1ABCD A B C D− E F 1AB 1 1B D EF
30 45 60 90
a b 1a b+ =
ab 1
4 a b+ 2
2 2a b+ 2
2
1 1
a b
+
R ( )y f x= ( )y f x′= 0x ≠ ( )( ) 0f xf x x
′ + <
2 2( )3 3a f= 2 ( 2)b f= − − 1 1ln (ln )3 3c f= a b c
a b c< < b c a< < a c b< < c a b< <
0x y> > 1 1
x y
<
2 2 2a b ab+ ≥ , Ra b∈
Rx∃ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ Rx∀ ∈ 2 1 0x x+ + <
2 1 1x y
+ = +2x y 8
1 1 1 1ABCD A B C D− E BC P ABCD
1 1B P D E⊥
1B P 3 1B P 6
1B P 2 2 1B P 6 5
5
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F M
2 12 | | 5| |MF MF=
3 7
3 2 5
3
| ln |, 0 e( ) (2e ), e< > 1F 2F A
1
2e =
M
A k M B 2BF M C
1FC AB⊥ k
( ) e 2 1xf x kx= − − ( ) 2 ln( 1) ( R)g x k x x k= + − ∈
( )f x
( ) ( ) 0f x g x+ ≥ 0x ≥ k高二数学参考答案第 1 页 共 4 页
高二质量调研试题
数学参考答案
一、单项选择题： ADACB DCB
二、多项选择题： 9.BC 10.AD 11.BCD 12.ABC
二、填空题：13. 14. 15. 16. ，
三、解答题：
17. 解：（1） 因为 ，
当 时， ， …………………………………………1 分
两式相减，得 ，即 ，
所以当 时， ， …………………………………………2 分
所以 ． …………………………………………3 分
因为 ，所以 ． …………………………………………4 分
（2） 因为 ，令 ， ，
所以 ． ……………………………6 分
所以
. …………………………………………7 分
因为 ，所以 ．…………………………………………8 分
因为 在 上是递减函数，………………………………9 分
所以 在 上是递增的，所以当 时， 取最小值 ．
所以 . …………………………………………10 分
18. 解：（1） 因为 ， ，
所以四边形 是平行四边形． ………………………………1 分
所以 ． ………………………………2 分
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． ………………………………………………4 分
（2）取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ．
因为平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ． ……………………………6 分
以点 为坐标原点，分别以直线 ， 为 轴，
轴建立空间直角坐标系 ，（如图所示：）
则 轴在平面 内．
因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
则 ， ． ………………………………9 分
设平面 的法向量为 ，
由 得
令 ，解得 ， ，得 ． ………………………………11 分
由题意得平面 的法向量为 ，
所以 ．
又因为二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值是 ． ……………………………………12 分
19. 解：（1）因为 ， ，……1 分
则 ， ，
函数 在点 处的切线方程为： ，……………2 分
（直线 过 点，则 ），
由题意得 即 ， ． ………………………………4 分
（2）由（ ）得 ，函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以 ， ， ……………………………6 分
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
故 在 上单调递减，在 上单调递增，……………………………8 分
所以 在 上的最小值为 ．………………………………9 分
5
8 ,1][ 0， 2ln 2 3 13
2
(3, 0)
2 ( 1)n nS n a= +
2n ≥ 1 12 n nS na− −=
12 ( 1)n n na n a na −= + − 1( 1) n nn a na −− =
2n ≥ 1
1
n na a
n n
−= −
1
1
na a
n
=
1 2a = 2na n=
2na n= 4
( 2)n
n n
b a a
= + N*n∈
4 1 1 1
2 (2 2) ( 1) 1nb n n n n n n
= = = −+ + +
1 2 3n nT b b b b= + + +
1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1n n
= − + − + + − +
11 1 1
n
n n
= − =+ +
1 01n
>+
11 11n
− = =
×
Q BC A− −
Q BC A− −
1( ) lnxf x a xx
+= + 2 2
1( ) a x af x x x x
−′ = − + =
(1) 1f a′ = − (1) 2f a=
( )f x (1, (1))f 2 (1 )( 1)y a a x− = − −
5y bx= + (1, (1))f (1) 5 2f b a= + =
1 ,
3 1 5
a b
a
− =
− = 2a = 1b = −
1( ) lnxf x a xx
+= + ( )f x (0, )+ ∞
2 2
2 1 2( ) xf x x x x
−′ = − + =
( ) 0 0 2f x x′ < ⇒ < < ( ) 0 2f x x′ > ⇒ >
1( ) 2 lnxf x xx
+= + (0, 2) (2, )+ ∞
( )f x 1[ , 2]e
[2, e]
( )f x 1[ , e]e
(2) 3 ln 2f = +高二数学参考答案第 2 页 共 4 页
又 ， ，且 ．……………………………11 分
所以 在 上的最大值为 ．
综上， 在 上的最大值为 ，最小值为 ．………………12 分
20.解：（1）由题意得： ，…………………………3 分
解得 ，
所以调整后的技术人员的人数为 ． ………………………………4 分
（2）因为 ， ，由 恒成立，
解得 ． …………………………………………………………5 分
因为 恒成立， ……………………………8 分
所以 ， ， 恒成立，………………………10 分
因为 ，当 等号成立， ………………………………11 分
所以 ．
所以存在实数 满足条件．………………………………………………12 分
21. 解：（1）设椭圆左焦点 ，依题意 ， ，
解得 ， ，所以 ，则椭圆方程为 ．…………4 分
（2）由（1）得 ，则直线 的方程为 ．………………5 分
联立 消去 得 ．……………6 分
设 ，所以 ，即 ． ………………7 分
所以 ，则 ；……………………8 分
由（1）得 ， ， ， ． …………………9 分
所以直线 ，直线 ．
联立 解得 ． ……………………………10 分
代入 ，得 ，………………………………11 分
解得 ，即 ．………………………………………………12 分
22. 解：（1）由题意，得 ． ……………………………1 分
①当 时， ， 在 上为增函数；………………………2 分
②当 时，当 时， ， 在 上为减函数，当
时， ， 在 上为增函数．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
………………………………4 分
（2）由不等式 ，对 恒成立，
即 ，对 恒成立．……………………5 分
构造函数 ，
则 ． ………………………………………………6 分
又因为 ， ………………………………………………………………7 分
所以
， …8 分
①当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增， ，
即 ，对 恒成立．………………9 分
②当 时，因为 ，所以 ，即 ， ．
当 时，
，…10 分
因为 时， ，知 在 上为减函数， ，
即在 上，不存在 使得不等式 对任意 恒成立．
综上，实数 的取值范围是 ．…………………………………………12 分
1( ) 2e 1ef = + 2(e) 3 ef = + 1( ) (e)ef f>
( )f x 1[e, ]e
1( ) 2e 1ef = +
( )f x 1[e, ]e 2e 1+ 23 e
+
(100 )(1 2 %) 100m x x m− + =
50x =
50
[45, 60]x∈ N*x∈ 3( )50
xm a m− ≥
23
5a ≥
3( ) (100 ) (1 2 %)50
xx m a x m x⋅ − ≤ − +
100 125
xa x
≤ + + [45, 60]x∈ N*x∈
100 1 525
x
x
+ + ≥ 50x =
5a ≤
23[ , 5]5a∈
1( , 0)F c− 1
2
ce a
= = 1a c− =
2a = 1c = 2 2 2 3b a c= − =
2 2
14 3
x y+ =
( 2, 0)A − AB ( 2)y k x= +
2 2
( 2),
14 3
y k x
x y
= + + =
y 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k+ + + − =
,( )B BB x y
2
2
16 122 3 4B
kx k
−− = +
2
2
8 6
3 4B
kx k
− += +
2
12( 2) 3 4B B
ky k x k
= + = +
2
2 2
8 6 12( , )3 4 3 4
k kB k k
− +
+ +
1( 1, 0)F − 2 (1, 0)F 2 2
4
1 4BF
kk k
= − 1
1
CFk k
= −
2 :BF 2
4 ( 1)1 4
ky xk
= −− 1 :CF 1 ( 1)y xk
= − +
2
4 ( 1),1 4
1 ( 1)
ky xk
y xk
= − −
= − +
2(8 1, 8 )C k k− −
2 2
14 3
x y+ = 4 2192 208 9 0k k+ − =
2 1
24k = 6
12k = ±
( ) e 2xf x k′ = −
0k ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x R
0k < ( , ln(2 ))x k∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( , ln(2 ))k−∞
( ln(2 ), )x k∈ + ∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (ln(2 ), )k + ∞
0k ≤ ( )f x R
0k > ( )f x ( , ln(2 ))k−∞ (ln(2 ), )k + ∞
( ) ( ) 0f x g x+ ≥ 0x∀ ≥
e 2 [ln( 1) ] ( 1) 0x k x x x+ + − − + ≥ 0x∀ ≥
( )=e 2 [ln( 1) ] ( 1)xx k x x xϕ + + − − +
2( )=e (2 1)1
x kx kx
ϕ′ + − ++
e 1x x≥ +
2( )=e (2 1)1
x kx kx
ϕ′ + − ++
21 (2 1)1
kx kx
≥ + + − ++
2 22 1 2 (2 1) (2 1) 2= 1 1
x x k k k x x x kx
x x
+ + + − + − + + −=+ +
( 1 2 )= 1
x x k
x
+ −
+
1
2k ≤ ( ) 0xϕ′ ≥ [0, )+ ∞ ( )xϕ [0, )+ ∞ ( ) (0) 0xϕ ϕ≥ =
( ) ( ) 0f x g x+ ≥ 0x∀ ≥
1
2k > e 1x x≥ + e 1x x− ≥ − 1e 1
x
x
≤ − [0, 1]x ∈
(0, 1)x ∈
2( )=e (2 1)1
x kx kx
ϕ′ + − ++
1 2 (2 1)1 1
k kx x
< + − +− +
2
2
(2 1) (2 1)
1
k x k x
x
+ − −= −
2 1(0, ) (0, 1)2 1
kx k
−∈ ⊂+ ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ 2 1(0, )2 1
k
k
−
+ ( ) (0) 0xϕ ϕ< =
2 1(0, )2 1
k
k
−
+ k ( ) ( ) 0f x g x+ ≥ 0x ≥
k 1( , ]2x ∈ −∞
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