立体几何重难点突破

; 1 重难点突破：立体几何常见题型汇编 模块一：知识梳理 一、空间几何体的结构及其三视图与直观图 1．空间几何体的结构 （1）多面体 几何体 结构特征 备注 棱柱 ①底面互相平行. ②侧面都是平行四边形. ③每相邻两个平行四边形的公共边互 相平行. 按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜 棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱 柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱 叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的 直棱柱叫做正棱柱. 棱锥 ①底面是多边形. ②侧面都是三角形. ③侧面有一个公共顶点. 三棱锥的所有面都是三角形，所以四个 面都可以看作底. 三棱锥又称为四面体. 棱台 ①上、下底面互相平行，且是相似图形. ②各侧棱的延长线交于一点. ③各侧面为梯形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥; 2 （2）旋转体 几何体 结构特征 备注 圆柱 ①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互 相平行，且底面是圆面而不是圆. ②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与 圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互 相平行且相等. ③平行于底面的截面是与底面大小相同的 圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 圆柱可以由矩形绕其任一边所在 直线旋转得到. 圆锥 ①底面是圆面. ②有无数条母线，长度相等且交于顶点. ③平行于底面的截面是与底面大小不同的 圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰 三角形. 圆锥可以由直角三角形绕其直角 边所在直线旋转得到. 圆台 ①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. ②有无数条母线，等长且延长线交于一点. ③平行于底面的截面是与两底面大小都不 等的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等 圆台可以由直角梯形绕直角腰所 在直线或等腰梯形绕上、下底中 点连线所在直线旋转得到，也可 由平行于底面的平面截圆锥得到.; 3 的等腰梯形. 球 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面. ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截 面 圆 的 半 径 r 之 间 满 足 关 系 式 ： . 球可以由半圆面或圆面绕直径所 在直线旋转得到. 2．空间几何体的三视图 （1）三视图的概念 ①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图； ②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图； ③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图. 2 2d R r= −; 4 （2）三视图的画法规则 ①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图： 正 侧 俯 ②画法规则 ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”； ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”； ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”. ③线条的规则 ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示. （3）常见几何体的三视图 常见几何体 正视图 侧视图 俯视图 长方体 矩形 矩形 矩形 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆; 5 圆台 等腰梯形 等腰梯形 两个同心的圆 球 圆 圆 圆 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法及其规则 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直 观图的方法，其画法规则是： ①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对 应的 x′轴和 y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′=45°(或 135°)，确定平面表示水平面. ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. ③已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长 度为原来的一半. （2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 ①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox，Oy，再作 Oz 轴使∠ xOz=90°，且∠yOz=90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴 O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或 135°)，∠ x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴 或 z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的 位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线 段，长度变为原来的一半. ⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 易错梳理; 6 直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为 ，即原图面积是直观图面积的 倍， ②直观图面积是原图面积的 倍. 二、空间几何体的表面积与体积 1．旋转体的表面积 圆柱（底面半径为 r，母线长为 l） 圆锥（底面半径为 r， 母线长为 l） 圆台（上、下底面半径分 别为 r′，r，母线长为 l） 侧面展开图 底面面积 侧面面积 表面积 易错梳理 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： 2 2S S =′ 2 2 1 2= 42 2 2π底S r= 2π底S r= 2 2,π π上底 下底S r S r= ′ = 2π侧S rl= π侧S rl= ( )π侧S l r r= ′+ ( )2π表S r r l= + ( )π表S r r l= + ( )2 2π表S r r r l rl= ′ + + ′ +; 7 2．柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 (S 为底面面积，h 为高) (r 为底面半径，h 为高) 锥体 (S 为底面面积，h 为高) (r 为底面半径，h 为高) 台体 (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)， (r′、r 分别为上、下底面半径，h 为高) 柱体V Sh= 2π圆柱V r h= 1 3锥体V Sh= 21 3 π圆锥V r h= (1 3 )台体V S S S S h= ′+ ′ + ( )2 2 3 π1 圆台V h r r r r= ′ + ′ +; 8 易错梳理 （1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系 （2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 3．球的表面积和体积公式 设球的半径为 R，它的体积与表面积都由半径 R 唯一确定，是以 R 为自变量的函数，其 表面积公式为 ，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍；其体积公式为 . 易错梳理 球的切、接问题（常见结论） 24πR 34 π3 R; 9 （1）若正方体的棱长为 ，则正方体的内切球半径是 ；正方体的外接球半径是 ；与正方体所有棱相切的球的半径是 ． （2）若长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则长方体的外接球半径是 ． （3）若正四面体的棱长为 ，则正四面体的内切球半径是 ；正四面体的外接球 半径是 ；与正四面体所有棱相切的球的半径是 ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的 直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． a 1 2 a 3 2 a 2 2 a a b h 2 2 21 2 a b h+ + a 6 12 a 6 4 a 2 4 a; 10 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理 1 如果一条直线上的两点在同一个平 面内，那么这条直线在这个平面内 A l ， B l ， 且 A α ， B α⇒l⊂α 公理 2 过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面 A，B，C 三点不共线⇒有且只 有一个平面 α，使 A α，B α，C α 推 论 1 经过一条直线和直线外的一点，有 且只有一个平面 若点 直线 a，则 A 和 a 确 定一个平面 推 论 2 经过两条相交直线，有且只有一个 平面 ⇒有且只有一个平 面 ，使 ， 公 理 2 的 推 论 推 论 3 经过两条平行直线，有且只有一个 平面 ⇒有且只有一个平面 ， 使 ， 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 P α，且 P β⇒α∩β=l，P l， 且 l 是唯一的 公理 4 ———l1 ———l2 平行于同一直线的两条直线平行 l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ A∉ α a b P= α a α⊂ b α⊂ ∥a b α a α⊂ b α⊂ ∈ ∈ ∈; 11 ———l 2．等角定理 （1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言：如 图 （ 1）、（ 2） 所 示 ， 在 ∠ AOB 与 ∠ A′O′B′中 ， ， 则 或 . 图（1） 图（2） 3．空间两直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类： （2）从是否共面的角度分类： 4．异面直线所成的角 ,OA O A OB O B′ ′ ′ ′∥ ∥ AOB A O B∠ = ∠ ′ ′ ′ 180AOB A O B∠ + ∠ ′ ′ ′ = °     两条直线有且仅有一个公共点：相交直线 平行直线 两条直线无公共点： 异面直线 直线     相交直线 共面直线 直线 平行直线 不共面直线：异面直线; 12 （1）异面直线所成角的定义 如图，已知两异面直线 a，b，经过空间任一点 O，分别作直线 a′∥a，b′∥b，相交直线 a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 与 b 所成的角（或夹角）. （2）异面直线所成角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是 . （3）两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直 的异面直线 a，b，记作 a⊥b. 5．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类： ②按是否平行分类： ③按直线是否在平面内分类： π(0, ]2   直线和平面相交— 有且只有一个公共点 直线和平面平行— 没有公共点 直线在平面内— 有无数个公共点    直线与平面平行 直线与平面相交 直线与平面不平行 直线在平面内    直线在平面内 直线和平面相交 直线不在平面内( 直线在平面外) 直线和平面平行; 13 （2）平面和平面位置关系的分类 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线. 易错梳理 （1）唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （2）异面直线的判定方法 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 四、直线、平面平行的判定及其性质 1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行⇒线面平行; 14 图形语言 符号语言 a⊄α，b⊂α，且 a∥b⇒a∥α 作用 证明直线与平面平行 2．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该 直线平行. 简记为：线面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 ①作为证明线线平行的依据． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据. 3．平面与平面平行的判定定理 , ,a a b a bα β α β⊂ = ⇒∥ ∥; 15 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 简记为：线面平行⇒面面平行 图形语言 符号语言 a⊂β，b⊂β， ，a∥α，b∥α⇒α∥β 作用 证明两个平面平行 4．平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 简记为：面面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 证明线线平行 a b P= , ,a b a bα β α γ β γ= = ⇒ ∥ ∥; 16 易错梳理 1.平行问题的转化关系 2．常用结论 （1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． （2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那另一个平面也垂直于这条直线． （3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． （4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． （5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． （7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个 平面平行． （8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行． 五、直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记; 17 作：l⊥α.图形表示如下： 易错梳理 定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简记为：线线垂直⇒线面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， ⇒l⊥α 作用 判断直线与平面垂直 易错梳理 在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两 条相交直线垂直，而不是任意的两条直线. a b P=; 18 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 简记为：线面垂直⇒线线平行 图形语言 符号语言 ⇒ 作用 ①证明两直线平行； ②构造平行线. 4．平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面 α 与平面 β 垂直，记作 .图形表示如下： 5．平面与平面垂直的判定定理 a b α α ⊥  ⊥  a b∥ α β⊥; 19 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 简记为：线面垂直⇒面面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α， ⇒α⊥β 作用 判断两平面垂直 6．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 证明直线与平面垂直 7．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和 斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． l β⊂ =l aa a l α β α β βα   ⇒⊂  ⊥   ⊥ ⊥; 20 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 ；一条直线和平面平行， 或在平面内，我们说它们所成的角等于 .因此，直线与平面所成的角 α 的范围是 . 8．二面角 （1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平 面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的 棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平 面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. （3）二面角的范围： . 易错梳理 1.垂直问题的转化关系 2．常用结论 （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． （5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直． （6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 90 0 π[0, ]2 [0,π]; 21 （7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在 第一个平面内． 六、空间向量与立体几何 1．空间直角坐标系 坐标原点 点 O 坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 定 义 以空间一点 为原点，具有相同的单位 长度，给定正方向，建立两两垂直的数 轴：x 轴、y 轴、z 轴，建立了一个空间 直角坐标系 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中 指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间一点 M 的坐标 （1）空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 来表示，记作 ，其中 x 叫 做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标. （2）建立了空间直角坐标系，空间中的点 M 与有序实数组 可建立一一对应关系 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ① 设 点 ， 为 空 间 两 点 ， 则 两 点 间 的 距 离 . O O xyz− ( , , )x y z ( ), ,M x y z ( , , )x y z 1 1 1( , , )A x y z 2 2 2( , , )B x y z ,A B 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) ( )AB x x y y z z= − + − + −; 22 ②设点 ，则点 与坐标原点 O 之间的距离为 . （2）中点公式 设点 为 ， 的中点，则 . 4．共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb. 牢记两个推论： （ 1 ） 对 空 间 任 意 一 点 O ， 点 P 在 直 线 AB 上 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 t ， 使 或 （其中 ）. （2）如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 的直线，那么对空间任意一点 O， 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使 ，其中向量 叫做直线 l 的方 向向量，该式称为直线方程的向量表示式. 5．共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对(x，y)，使 . 牢记推论：空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 ；或对空间任意一点 O，有 . ( ), ,P x y z ( ), ,P x y z 2 2 2| |OP x y z= + + ( ), ,P x y z 1 1 1 1, ),(P x y z 2 2 2 2, ),(P x y z 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x xx y yy z zz + =  + =  + = (1 )OP t OA tOB= − +   OP xOA yOB= +   1x y+ = a OP OA t= +  a a x y= +p a b AP xAB yAC= +   OP OA xAB yAC= + +   ; 23 6．空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使 得 p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量. 易错梳理 （1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底. （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （3） 不能作为基向量. 7．空间向量的运算 （1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量. 0; 24 （2）空间向量的坐标运算 设 ，则 ； ， ； ， ； ， . 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a b b b= =a b 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b± = ± ± ±a b 1 2 3( , , )( )a a aλ λ λ λ λ= ∈Ra 1 1 2 2 3 3a b a b a b⋅ = + +a b 1 1 2 2 3 3, , ( )b a b a b aλ λ λ λ λ⇔ = ⇔ = = = ∈Ra b b a 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b⊥ ⇔ ⋅ = + + =a b a b 2 2 2 2 1 2 3a a a= = + +a a 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , a b a b a b a a a b b b + +⋅= = + + + + a ba b a b; 25 8．直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作 ，显然一条直线的 方向向量可以有无数个. （2）若直线 ，则该直线 的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作 ， 有无数多个，任意两个都是共线向量. 平面法向量的求法：设平面的法向量为 .在平面内找出（或求出）两个不共 线的向量 ，根据定义建立方程组，得到 ，通过赋 值，取其中一组解，得到平面的法向量. 9．利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 . （1）线线平行：若 ，则 ； 线面平行：若 ，则 ；面面平行：若 ，则 . （2）线线垂直：若 ，则 ； 线面垂直：若 ，则 ； 面面垂直：若 ，则 . 10．利用空间向量求距离 （1）两点间的距离 l l α⊥ l α ( , , )x y z=α 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a b b b= =a b 0 0 ⋅ =  ⋅ = a b α α ,l m ,l m ,α β ,α β //l m ( )λ λ⇔ = ∈Rl m l m //l α 0⊥ ⇔ ⋅ =l lα α //α β λ⇔ =α β α β l m⊥ 0⊥ ⇔ ⋅ =l m l m l α⊥ ( )λ λ⇔ = ∈Rl l α α α β⊥ 0⊥ ⇔ ⋅ =α β α β; 26 设 点 ， 为 空 间 两 点 ， 则 两 点 间 的 距 离 . （2）点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为 . 11．利用空间向量求空间角 设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 . （1）直线 所成的角为 ，则 ，计算方法： ； （2）直线 与平面 所成的角为 ，则 ，计算方法： ； （3）平面 所成的二面角为 ，则 ， 如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ ． 如图②③， 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大 1 1 1( , , )A x y z 2 2 2( , , )B x y z ,A B 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z= = − + − + − | || | | | ABBO ⋅=  n n ,l m ,l m ,α β 1 2,n n ,l m θ π0 2 θ≤ ≤ cosθ ⋅= l m l m l α θ π0 2 θ≤ ≤ 1 1 sinθ ⋅= l n l n ,α β θ 0 πθ≤ ≤ ,〈 〉AB CD  1 2,n n; 27 小 θ 满足|cosθ|＝ ，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)．1 2 1 2 ⋅n n n n; 28 模块二：例题分析 题型一 外接球与内切球问题 角度 1：球与棱柱的组合体 例题1： 已知体积为 的长方体的八个顶点都在球 的球面上，在这个长方体经过同一 个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为 、 ,那么球 的体积等于 【解析】设这两个面的边长分别为 ,则不妨设 , 则 ,则该长方体的外接球的直径 ,故球的体积为 【小结】长方体（或正方体）外接球的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体（或正方 体）的体对角线等于球体的直径． 例题2： 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用 语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三 角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面 为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ， 其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即 三棱柱 外接球的体积为_______ 4 6 O 2 3 4 3 O cba ,, 64,34,32 === abcbcab 22,6,2 === cba 4862 =++=d ππ 3 3223 4 3 =×=V 1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ 1 2AA AB= = 1 1B A ACC− 1 1 1ABC A B C−; 29 变式1： 已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高 为 2， 它的 6 个顶点都在体积为 的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为 【解析】设正三棱柱的外接球半径为 R，底面三角形外接圆半径为 r，边长为 a 则： ，解得： ， ， 结合正弦定理： 变式2： 若正三棱住的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则此三棱柱外接球的表面积是 _______ ∴ ．又 8 2 3 π 34 8 2 3 3Rπ π= 2R = ( )2 22 1 1r = − = 32 , 2 1 3sin60 2 a r a= ∴ = × × =  a 2 3 3 3233 2 =×=BO 12 1 2 1 =′=′= AAOOOD; 30 ∴ ． ∴三棱柱外接球的表面积 ． 【小结】球内接正棱柱的组合体问题，主要抓住的几何特征：正棱柱的上下底面中心连线段 的中点与正棱柱的顶点连线为球的半径． 角度 2：球与棱锥的组合体 例题3： 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ，三棱锥 的四个 顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为 【解析】三棱锥 将四个面都为直角三角形，所以只能 为直角，将三棱锥补 成长方体，可得 为球 的直径， 球 的半径为 球 的 表面积为 例题4： 在四面体 中， ，则 该四面体外接球的表面积是 3 21 3 722 ==+= ODOBBD ππ 3 284 2 =×= BDS P ABC− PA ⊥ ABC 2, 4PA AB AC= = = P ABC− O O P ABC− ABC∠ PC O 4 16 2 5,PC = + = ∴ O 5,∴ O 4 5 20π π⋅ = S ABC− , 2,AB BC AB BC⊥ = = 2, 6SA SC SB= == =; 31 【解析】因为 所以 ，设 的中点为 ，连 接 ，则三角形 的外心 为在线段 上，且 ，又三角形 的外心为 ，又 ，所以 平面 ，过 垂直于平面 的 直线与过 垂直于平面 的直线交于点 ，则 为四面体外接球的球心， 在三角形 中，由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， 设外接圆半径为 ，则 ，所以 【小结】解答本题的关键：（1）由条件中垂直确定球心在平面 上的投影为 的 斜边 中点；（2）由条件中垂直确定球心在平面 上的投影为 的外心；（3） 由（1）（2）确定出球的球心． 变式3： 半径为 球内切于正三棱锥 中，此正三棱锥体积最小值为_________ , 2,AB BC AB BC⊥ = = 2AC SA SB= = = AC D AD SAC 1O AD 1 1 3 3 3DO AD= = ABC D ,SD AC BD AC⊥ ⊥ AC ⊥ SDB D ABC 1O SAC O O SDB 3cos 3SDB∠ = − 1 3sin sin( ) cos2 3ODO SDB SDB π∠ = ∠ − = − ∠ = 1 1 1 6tan 6OO O D ODO= × ∠ = R 2 2 2 1 1 3 2R SO OO= + = 24 6S Rπ π= = ABC ABC∆ AC SAC SAC∆ 1 ABCP−; 32 变式4： 在正三棱锥 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三 棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为 2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 __________． 【解析】由题意，设侧棱长为 ，底面边长为 ， ∴ ＝ ， 化简可得 ， ∴ ＝ ＝ ＝ 令 ， ， ∴ ，故可知 ， 即当 时，三棱锥体积取到最小值，此时高 ， ． 【小结】本题半球与三棱锥的组合体中的最值问题，解答时注意到球的半径为球心（底面三 角形中心）到侧面的距离，然后通过建立函数来解决 变式5： 如图，已知平面四边形 满足 ，将 沿对角线 翻折，使平面 平面 ，则四面体 外接球的体积为__________． —V ABC a b 2 2 21 3 1 3 4 3V ABCV b a b− = × × − 2 21 1 13 23 2 4b a b× × − × 4 2 2 2 36 3( 48) b ba b −= − 2 21 1 13 23 2 4V ABCV b a b− = × × − × 2 21 4b a b− 4 2 2 2 36 1 3( 48) 4 b bb bb − −− 6 212( 48) b b − 2 48 0b t− = > 3( 48)( ) tf t t += 2 3 2 2 3( 48) ( 48) 2( 48)( 24)'( ) t t t t tf t t t + − + + −= = min( ) (24)f t f= 2 248 24 72b b− = ⇒ = 4 2 2 2 36 363( 48) b ba b −= =− 2 21 36 24 2 33h a b= − = − = ABCD 2, 60 , 90AB AD A C= = ∠ = ° ∠ = ° ABD∆ BD ABD ⊥ CBD ABCD; 33 【解析】由题意可知，△ABD 是等边三角形，找到△ABD 的中心 ，作 平面 ， 由题意可知，外接球的球心在直线 上 由等边三角形的性质，有 ，利用面面垂直 的性质可知： 平面 ， 则外接球的球心在直线 上 结合 可知点 为外接球球心，外接球半径 为△ABD 的外接圆圆心 设外接球半径为 ，则 外接球的体积 F GF ⊥ ABD GF AF BD E⊥ = AE ⊥ BCD AE AE GF F∩ = F AF R 2 22 ,sin60 3 R R= ∴ =  3 34 4 2 32 3 3 3 273 V Rπ π π = = × =  ; 34 变式6： 平面四边形 中， ,沿直线 将 翻折成 ，当三棱锥 的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的 表面积是__________． 【解析】由余弦定理有： ， 则 ， ， 则 边上的高为 ， 由平面四边形 为筝形可知 易知当平面 平面 时，三棱锥 的体积取得最大值时 将三棱锥放入长方体，建立如图所示的空间直角坐标系 则： 设其外接球球心为 ，由球的性质可知： 则有方程组： 求解方程组可得： 则外接球半径 外接球的表面积： ABCD 2, 10, 4AB AD CB CD AC= = = = = AC ACD∆ ACD∆ ′ D ABC′− 2 10 16 1cos 2 2 10 5 B + − −= = × 2 2sin 1 cos 5 B B= − = 1 1 1sin 2 10 22 2 5ABCS ac B= = × × × =  AC 1h = ABCD AC BD⊥ ABC ⊥ ADC D ABC′− ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,1,1 , 0,4,0 , 1,1,0A B C D ( ), ,O x y z 2 2 2 2OA OB OC OD= = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 { 1 1 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z + + = + − + − + + = − + − + + + = + − + 1, 2, 1x y z= − = = − 1 4 1 6R OA= = + + = 24 24S Rπ π= =; 35 角度 3：球与圆柱的组合体 例题5： 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个 内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的 发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积 之比分别为 【小结】球外切于圆柱的组合体问题，解答时注意到球的直径为圆柱的高、底面直径相等．; 36 变式7： 半径为 的球 中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆 柱的表面积的比值为 【解析】设圆柱的上底面半径为 ，球的半径与上底面夹角为 ，则 ，圆柱的 高为 ，圆柱的侧面积为 ，当且仅当 时， ，圆柱的侧 面积最大，圆柱的侧面积为 ，球的表面积为 ，球的表面积与该圆柱的侧面积之 比为 角度 4：球与圆锥的组合体 例题6： 底面半径为 ，母线长为 的圆锥的外接球 的表面积为 【解析】由圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，可求得其轴截面的顶角为 ．设该圆锥 的 底 面 加 以 为 ， 其 半 径 为 ， 球 的 半 径 为 ， 则 ， ，解得 ，所以球 的表面积为 【小结】球内接圆锥的组合问题，解答时抓住圆锥底面圆心与球心连线段、底面半径、球的 半径间的勾股关系求解． 变式8： 已 知 三 棱 锥 ， 若 两 两 垂 直 ， 且 ， ，则三棱锥 的内切球半径为__________． 【解析】由题意得，设三棱锥 的内切球的半径为 ，球心为 ， 则 ， R O r α cosr R α= 2 sinR α 22 sin 2Rπ α 4 πα = sin2 1α = 22 Rπ 24 Rπ 2:1 3 2 O 3 2 3 2π 1O r O R 1 1O O R= − 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 3)R O O r R= + = − + 2R = O 24 16Rπ = π P ABC− PA PB PC， ， 2PA = 1PB PC= = P ABC− P ABC− r O B PAC O PAB O PACV V V− − −= + O ABC O PBCV V− −+ +; 37 即 ＋ ， 解得 ． 【小结】棱柱内切球的组合问题，通常利用球心到各面的距离为半径，将棱锥化为若干棱锥， 利用其体积关系求解． 角度 5：球与球的组合体 例题7： 半径为 1 的三个球 平放在平面 上，且两两相切，其上放置一半径为 2 的 球 ，由四个球心 构成一个新四面体，则该四面体外接球 的表面积为 1 1 1 1 1 12 1 1 2 1 2 1 13 2 3 2 3 2r r× × × × = × × × × × + × × × × 1 1 12 53 2 2 r× × × − × 1 4r = , ,A B C α D , , ,A B C D O; 38 【小结】解答多面相切问题主要从两个方面入手：（1）抓住各球球心构成的几何体的形状； （2）利用球相切的条件：圆心距等于半径之和． 变式9： 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球，四个球两两相 切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注 水____________ . 【解析】设四个实心铁球的球心为 ，其中 为下层两球的球心，所以注 水高为 ，其中 为两异面直线 的距离（在正四面体中求）。故应注水 ＝ 题型二 立体几何中的最值问题 角度 1：求线段与周长的最值 例题8： 已知一个几何体的三视图如图所示． （Ⅰ）求此几何体的表面积； 2 1 3cm 1 2 3 4, , ,O O O O 1 2,O O 21 2 + 2 2 1 2 3 4O O O O与 32 4 1(1 ) 42 3 2 π π  + − ×    1 2( )3 2 π+; 39 （Ⅱ）在如图的正视图中，如果点 A 为所在线段中点，点 B 为顶点，求在几何体侧面上从 点 A 到点 B 的最短路径的长． 【解析】（Ⅰ）由三视图知：该几何体是一个圆锥与圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面 积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和； 则 S 圆锥侧= ×（2π×2）•（2 ）=4 π，S 圆柱侧=（2π×2）×4=16π， S 圆柱底=π•22=4π，所以 S 表面积=4 π+16π+4π=4 π+20π； （Ⅱ）沿 A 点与 B 点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示： 则 AB= = =2 ， 所以从 A 点到 B 点在侧面上的最短路径的长为 2 ．; 40 变式10： 正方体 的棱长为 1， 、 分别在线段 与 上， 求 的最小值. 在矩形 中， 为中位线，所以 ，又因为 平面 ， 所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 . 同理可证 ，而 ， ， 所以线段 就是两异面直线 与 的共垂线段，且 . 由异面直线公垂线段的定义可得 ，故 的最小值为 1. 1 1 1 1ABCD ABC D− M N 1 1AC BD MN 1 1BDD B PQ 1//PQ BB 1BB ⊥ ABCD PQ ⊥ ABCD BD ⊆ ABCD PQ BD⊥ 1 1PQ AC⊥ PQ BD Q= 1 1PQ AC P= PQ 1 1AC BD 1PQ = 1MN PQ≥ = MN; 41 故当 时， 取得最小值 1，即 的最小值为 1. 【总结】空间中两点距离的最值，最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数，根据目标 2 2m n= = 2MN MN; 42 函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值，可以根 据这两个元素之间的关系，借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值. 变式11： 如图，正方形 ABCD、ABEF 边长都是 1，且平面 ABCD、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 。试求当 a 为何值时，MN 的值最小。 ， 由余弦定理求得 。所以 当 时， ，即 M、N 分别移到 AC、BF 的中点时， MN 的值最小，最小值为 CM BN a a= = < = = ⋅   BC ABF 6 π ),,( wvuH H PC )10(