高中数学讲义微专题01---05

- 1 - 第 1 练 命题形式变化及真假判定 一、基础知识： （一）命题结构变换 1、四类命题间的互化：设原命题为“若 ，则 ”的形式，则 （1）否命题：“若 ，则 ” （2）逆命题：“若 ，则 ” （3）逆否命题：“若 ，则 ” 2、 ， （1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即 可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为 3、命题的否定 ：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的 命题也有不同的方法 （1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多 个→至少 个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时 均变为 ： 或 → 且 且 → 或 （3）全称命题与存在性命题的否定 全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变 ① 两变：量词对应发生变化（ ），条件 要进行否定 ② 一不变： 所属的原集合 的不变化 （二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题 中，真假性也存在一定的关联。 p q p¬ q¬ q p q¬ p¬ p q∨ p q∧ p q∨ p q∧ p¬ n 1n + ,p q ,p q¬ ¬ p q p¬ q¬ p q p¬ q¬ ( ): , : , ( )p x M p x p x M p x∀ ∈ → ¬ ∃ ∈ ¬ ( ): , : , ( )p x M p x p x M p x∃ ∈ → ¬ ∀ ∈ ¬ ∀ ⇔ ∃ ( )p x ( )p x⇒ ¬ x M- 2 - 1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真 假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联 2、 ， ，如下列真值表所示： 或 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、 ：与命题 真假相反。 4、全称命题： 真：要证明每一个 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题： 真：只需在 举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明 中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题 例 1：命题“若方程 的两根均大于 ，则 ”的逆否命题是（ ） A. “若 ，则方程 的两根均大于 ” B. “若方程 的两根均不大于 ，则 ” C. “若 ，则方程 的两根均不大于 ” D. “若 ，则方程 的两根不全大于 ” 思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“ ”的对立面是 “ ”，“均大于 ”的对立面是“不全大于 0”（注意不是：都不大于 0），再调换顺序即 可，D 选项正确 且 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p q∨ p q∧ p q p q p¬ p M M M 2 0ax bx c− + = 0 0ac > 0ac > 2 0ax bx c− + = 0 2 0ax bx c− + = 0 0ac ≤ 0ac ≤ 2 0ax bx c− + = 0 0ac ≤ 2 0ax bx c− + = 0 0ac > 0ac ≤ 0 p q p q- 3 - 答案：D 例 2：命题“存在 ”的否定是（ ） A． 存在 B．不存在 C． 对任意 D．对任意 思 路 ： 存 在 性 命 题 的 否 定 ： 要 将 量 词 变 为 “ 任 意 ”， 语 句 对 应 变 化 ，但 所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意 ” 答案：D 例 3：给出下列三个结论 （1）若命题 为假命题，命题 为假命题，则命题“ ”为假命题 （2）命题“若 ，则 或 ”的否命题为“若 ，则 或 ” （3）命题“ ”的否定是“ ”，则以上结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 思路：（1）中要判断 的真假，则需要判断 各自的真值情况， 为假命题，则 为真命题，所以 一假一真， 为真命题，（1）错误 （2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“ 或 ”的否定应该为“ 且 ”，所以（2）错误 （3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且 的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以 （3）正确 综上只有（3）是正确的 答案：C 例 4 ：有下列四个命题 ① “若 ，则 互为相反数”的逆命题 ② “全等三角形的面积相等”的否命题 ③ “若 ，则 有实根”的逆否命题 2, 2 0x Z x x m∈ + + ≤ 2, 2 0x Z x x m∈ + + > 2, 2 0x Z x x m∈ + + > 2, 2 0x Z x x m∈ + + ≤ 2, 2 0x Z x x m∈ + + > 2 22 0 2 0x x m x x m+ + ≤ → + + > x 2, 2 0x Z x x m∈ + + > p q¬ p q∨ 0xy = 0x = 0y = 0xy ≠ 0x ≠ 0y ≠ ,2 0xx R∀ ∈ > ,2 0xx R∃ ∈ ≤ p q∨ ,p q q¬ q ,p q p q∨ 0x = 0y = 0x ≠ 0y ≠ x 0x y+ = ,x y 1q ≤ 2 2 0x x q+ + =- 4 - ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为（ ） A. ①② B.②③ C. ①③ D. ③④ 思路：①中的逆命题为“若 互为相反数，则 ”，为真命题。②中的否命题为“如 果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若 要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。 时，判别式 ，故方程 有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三 角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确 答案：C 小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑 其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解 例 5：下列命题中正确的是（ ） A. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ，均有 ” B. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题 D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题 思路：分别判断 4 个选项的情况，A 选项命题的否定应为“ ，均有 ”，B 选 型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C 选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D 选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相 同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D 错误 答案：B 例 6：如果命题“ 且 ”是假命题，“ ”也是假命题，则（ ） A. 命题“ 或 ”是假命题 B. 命题“ 或 ”是假命题 C. 命题“ 且 ”是真命题 D. 命题“ 且 ”是真命题 思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的 真假，再根据真值表进行判断。题目中以 为入手点，可得 是真命题，而因为 且 是假 ,x y 0x y+ = 1q ≤ 4 4 0q∆ = − ≥ x R∃ ∈ 2 1 0x − < x R∀ ∈ 2 1 0x − < 3x = 2 2 3 0x x− − = 3x ≠ 2 2 3 0x x− − ≠ cos cosx y= x y= x R∀ ∈ 2 1 0x − ≥ p q q¬ p¬ q p q p¬ q p q¬ q¬ q p q- 5 - 命题，所以 只能是假命题。进而 是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有 C 的判 断是正确的 答案：C 例 7：已知命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 ，在命题① ；② ；③ ；④ 中，真命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 思路：可先判断出 的真假，从而确定出复合命题的情况。命题 符合不等式性质，正确， 而 命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为 为假， 为真，所以③正确，④ 不正确。综上可确定选项 D 正确 答案：D 例 8：下列 4 个命题中，其中的真命题是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 为 存 在 性 命 题 ， 所 以 只 要 找 到 符 合 条 件 的 即 可 。 可 作 出 的 图 像 ， 通 过 观 察 发 现 找 不 到 符 合 条 件 的 ； 同 样 作 图 可 得 ， 所 以 正 确 ； 通 过 作 图 可 发 现 图 像 中 有 一 部 分 ， 所 以 错 误 ； 在 中 ， 可 得 当 时 ， ， 所 以 ， 正 确 。 综 上 可 得 ： 正确 答案：D 小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进 p p¬ p x y> x y− < − q x y> 2 2x y> p q∧ p q∨ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∨ ,p q p q p¬ q¬ ( )1 1 1: 0, , 2 3 x x p x    ∃ ∈ +∞ ( )3 1 2 1: 0, , log2 x p x x ∀ ∈ +∞ >   4 1 3 1 1: 0, , log3 2 x p x x   ∀ ∈ 2p 3p 1 2 1 log2 x x  =           1 3 1 1 log2 x x  < p q∨ m 2 2m− ≤ ≤ 2m ≤ − 2m ≥ 2m ≤ − 2m ≥ p q∨ ,p q ,p q¬ ¬ 2 2: , 1 0; : , 1 0p x R mx q x R x mx¬ ∀ ∈ + > ¬ ∃ ∈ + + ≤ p q∨ ,p q∴ 2 2: , 1 0; : , 1 0p x R mx q x R x mx¬ ∀ ∈ + > ¬ ∃ ∈ + + ≤ ,p q∴¬ ¬ 2: , 1 0p x R mx¬ ∀ ∈ + > 2 2 11 0mx m x + > ⇒ > − x R∈ 2 1 0x − < 0m∴ ≥ 2: , 1 0q x R x mx¬ ∃ ∈ + + ≤ ( ) 2 1f x x mx= + + q¬ 2 4 0m∆ = − ≥ 2m ≥ 2m ≤ − 2m ≥ :p ( ) ( )2 2lg 4f x x x a= − + R [ ]: 1,1q m∀ ∈ − 2 25 3 8a a m− − ≥ + p q∨ p q∧ a p q∨ ,p q p q∧ ,p q- 7 - 有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明 是一真一假。所以分为 假 真与 真 假进行讨论即可 解： 命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题 一真一假 若 假 真，则 函数 的定义域不为 恒成立 或 若 真 假，则 函数 的定义域为 或 ，不等式 解得 综上所述： 三、近年模拟题题目精选： 1、（2014 河南高三模拟，9）已知命题 ，命题 ， 则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 2、（2014，，3）下列有关命题的叙述: ① 若 为真命题，则 为真命题 ② “ ”是“ ”的充分不必要条件 ③ 命题 ，使得 ，则 ，使得 ,p q p q p q  p q∨ p q∧ ,p q∴ p q :p¬ ( ) ( )2 2lg 4f x x x a= − + R 216 4 0 2 2a a∴∆ = − ≥ ⇒ − ≤ ≤ 2 2: 5 3 8q a a m− − ≥ + ( )2 2 max 5 3 8 3a a m∴ − − ≥ + = 2 5 6 0 1a a a∴ − − ≥ ⇒ ≤ − 6a ≥ 2 1a∴− ≤ ≤ − p q :p ( ) ( )2 2lg 4f x x x a= − + R 216 4 0 2a a∴∆ = − < ⇒ < − 2a > [ ]: 1,1q m¬ ∃ ∈ − 2 25 3 8a a m− − < + ( )2 2 max 5 3 8 3a a m∴ − − < + = 1 6a− < < 2 6a∴ < < [ ] ( )2, 1 2,6a ∈ − −  : ,ln 2 0p x R x x∃ ∈ + − = 2: ,2xq x R x∀ ∈ ≥ p q∧ p q¬ ∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬ p q∨ p q∧ 5x > 2 4 5 0x x− − > :p x R∃ ∈ 2 1 0x x+ − < :p x R¬ ∀ ∈ 2 1 0x x+ − ≥- 8 - ④ 命题：“若 ，则 或 ”的逆否命题为：“若 或 ，则 ” 其中错误命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 　 D．4 3 、（ 2014 成 都 七 中 三 月 模 拟 ， 4 ） 已 知 命 题 ， 命 题 ，则（ ） A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题 C. 命题 是假命题 D. 命题 是真命题 4、（2014 三月月考，6）已知命题“ ，使得 ”是假命 题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5、（2014 新课标全国卷 I）不等式组： 的解集记为 ，有下面四个命题： 其中真命题是（ ） A. B. C. D. 2 3 2 0x x− + = 1x = 2x = 1x ≠ 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ : ,2 xp x R x e∃ ∈ − > 2: ,log ( 1) 0aq a R a+∀ ∈ + > p q∨ ¬ p q∧ ¬ p q∨ p q∧ x R∃ ∈ ( )2 12 1 02x a x+ − + ≤ a ( ), 1−∞ − ( )3,− +∞ ( )1,3− ( )3,1− 1 2 4 x y x y + ≥  − ≤ D ( )1 : , , 2 2p x y D x y∀ ∈ + ≥ − ( )2 : , , 2 2p x y D x y∃ ∈ + ≥ ( )3 : , , 2 3p x y D x y∀ ∈ + ≤ ( )4 : , , 2 1p x y D x y∃ ∈ + ≤ − 2 3,p p 1 2,p p 1 4,p p 1 3,p p- 9 - 习题答案： 1、答案：C 解析：分别判断 真假，令 ，可得 由零点存在性定理 可知 ，使得 ， 为真；通过作图可判断出当 时， ，故 为假；结合选项可得： 为真 2、答案：B 解析：判断每个命题：①若 真 假，则 为真命题， 为假命题，故①错误；② 不等式 的解为 或 ，由命题所对应的集合关系可判断出②正确；③ 存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④ “ 或 ”的否 定应为“ 且 ”，故④错误，所以选择 B 3、答案：B 解析：对于 ：当 时， ，故 正确；对于 ：因为 ，所以当 时， ，故 错误，结合选项可知 是真命题 4、答案：C 解析：命题的否定为：“ ，使得 ”，此为真命题，所以转为恒 成立问题，利用二次函数图像可得： ，解得 ,p q ( ) ln 2f x x x= + − ( ) ( )1 2 0f f < ( )1,2x∃ ∈ ( ) ln 2 0f x x x= + − = p ( )2,4x ∈ 22x x< q p q∧ ¬ p q p q∨ p q∧ 2 4 5 0x x− − > 5x > 1x < − 1x = 2x = 1x ≠ 2x ≠ p 0x < 2 xx e− > p q 2 1 0a + > ( )0,1a ∈ ( )2log 1 0a a + < q p q∧ ¬ x R∀ ∈ ( )2 12 1 02x a x+ − + > ( )21 4 0a∆ = − − < ( )1,3a ∈ −- 10 - 5、答案：C 解析：由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线 ，观察图像可知： 阴影部分恒在 的上方，所以 成立；且阴影区域中有 在 中的点，所以 成立，综上可得： 正确 微专题 02 充分条件与必要条件 一、基础知识 1、定义： （1）对于两个条件 ，如果命题“若 则 ”是真命题，则称条件 能够推出条件 ，记 为 ， （2）充分条件与必要条件：如果条件 满足 ，则称条件 是条件 的充分条件； 称条件 是条件 的必要条件 2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系 既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若 则 ”的真假，也要判断 “若 则 ”真假 3、两个条件之间可能的充分必要关系： （1） 能推出 ，但 推不出 ，则称 是 的充分不必要条件 （2） 推不出 ，但 能推出 ，则称 是 的必要不充分条件 （3） 能推出 ，且 能推出 ，记为 ，则称 是 的充要条件，也称 等价 （4） 推不出 ，且 推不出 ，则称 是 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系 （1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判 断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如 ，构造命题： “若 ，则 ”为真命题，所以 ，但“若 ，则 ”为假命题 2 2, 2 2, 2 3, 2 1x y x y x y x y+ = − + = + = + = − 2 2x y+ = − 1p 2 1x y+ ≤ − 4p 1 4,p p ,p q p q p q p q⇒ ,p q p q⇒ p q q p p q q p p q q p p q p q q p p q p q q p p q⇔ p q ,p q p q q p p q 2: 1; : 1 0p x q x= − = 1x = 2 1 0x − = p q⇒ 2 1 0x − = 1x =- 11 - （ 还有可能为 ），所以 不能推出 ；综上， 是 的充分不必要条件 （2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系 ①充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何 谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分 也是类似的含义，是指仅由 就可以得到结论 ，而不需要再添加任何说明与补充。以上题 为例，对于条件 ，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到 所以 可以说 对 是“充分的”，而反观 对 ，由 ，要想得到 ，还要补充 一个前提： 不能取 ，那既然还要补充，则说明是“不充分的” ② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必 要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要” 体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果 不 成立，那么 必然不为 1，但是仅靠 想得到 也是远远不够的，还需要更 多的补充条件，所以仅仅是“必要的” （3）运用集合作为工具 先看一个问题：已知  ,那么条件“ ”是“ ”的什么条件？ 由  可得到： ，且 推不出 ，所以“ ”是“ ” 充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之 间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个 集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下： ①  ： 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件 ② ： 是 的充分条件 ③ ： 是 的充要条件 此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还 是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在 中，满足 的 取值集合为 ，而满足 的 取值集合为 x 1− q p p q p q : 1p x = 2: 1 0q x − = p q q p 2: 1 0q x − = : 1p x = x 1− 2: 1 0q x − = x 2: 1 0q x − = : 1p x = P Q x P∈ x Q∈ P Q x P x Q∈ ⇒ ∈ x Q∈ x P∈ x P∈ x Q∈ P Q p q q p P Q⊆ p q P Q= p q 2: 1; : 1 0p x q x= − = p x { }1P = q x { }1,1−- 12 - 所以  ，进而判断出 是 的充分不必要条件 5、关于“ ”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如： 是 的充分不必 要条件，则命题“若 ，则 ”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若 ，则 ”也为真命题。所以 是 的充分不必要条件 二、典型例题： 例 1：已知 ，则 是 的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。 ，解得： ，即 ； 或 ，即 。所以  ，进而 是 的充分不必要条件 答案：C 例 2：已知 ，那么 是 的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再 进行判断，比如“ ”等价于 ，所以只需判断 与 的关系即可。 根据 的单调性可得：如果 ，则 ，但是若 ，在 大于 零的前提下，才有 ，而题目中仅说明 。所以不能推出。综上可判断 是 的充分不必要条件 答案：C 小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条 件），再进行判断即可 （2）在 推 中，因为 是条件，表达式成立要求 ， P Q p q ,p q¬ ¬ p q p q q¬ p¬ q¬ p¬ 2: 3 1, : 6 0p x q x x− < + − > p q 3 1 1 3 1x x− < ⇒ − < − < 2 4x< < { }|2 4P x x= < < 2 6 0 3x x x+ − > ⇒ < − 2x > { }| 3 2Q x x x= < − >或 P Q p q ,a b R∈ 1 1 2 2 log loga b> 3 3a b< 3 3a b< a b< 1 1 2 2 log loga b> a b< 1 2 logy x= 1 1 2 2 log loga b> a b< a b< ,a b 1 1 2 2 log loga b> ,a b R∈ 1 1 2 2 log loga b> 3 3a b< 1 1 2 2 log loga b> a b< 1 1 2 2 log loga b> , 0a b >- 13 - 但是在 推 中， 是条件，且对 取值没有特殊要求，所以 ， 那么作为结论的 就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件， 谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。 例 3：已知 ，如果 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是_____ 思路：设 ，因为 是 的充分不必要 条件，所以  ，利用数轴可而判断出 答案： 例 4：下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（ ） A. B. C. D. 思路：求 的充分不必要条件，则这个条件能够推出 ，且不能被 推出。可以 考虑验证四个选项。A 选项 可以推出 ，而 不一定能够得到 （比 如 ），所以 A 符合条件。对于 B，C 两个选项均不能推出 A，所以直接否定。而 D 选项虽然可以得到 ，但是 也能推出 ，所以 D 是 A 的充要条件，不符题意 答案：A 例 5：（2015 浙江高二期中考试）设集合 ， 则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：先解出两个解集： ， 的解集与 的取值有关：若 ，则 ；若 ，则 ，观察条件，若 ，则 ，所以 成立；若 ，则通过数轴观察区间可得 的取值为多个（比如 ），所以“ ”是 “ ”的充分不必要条件 答案：A 例 6：对于函数 ，“ 的图象关于 轴对称”是“ 是奇函数” 的（ ） a b< 1 1 2 2 log loga b> a b< ,a b ,a b R∈ 1 1 2 2 log ,loga b 3: , : 11p x k q x ≥  +  或 p q P Q 2k > 2k > a b> 1a b> + 1a b> − 2 2a b> 3 3a b> a b> a b> a b> 1a b> + a b> a b> 1a b> + 1, 1.5a b= = a b> a b> 3 3a b> { }1| 0 , | 11 xA x B x x ax − = < = − ( )1 ,1B a a= − + 1a = ( )0,2B = A B ≠ ∅ A B ≠ ∅ a 1 2a = 1a = A B ≠ ∅ ( ),y f x x R= ∈ ( )y f x= y ( )y f x=- 14 - A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：如果 是奇函数，图像关于原点对称，则 中 位于 轴下方 的部分沿 轴对称翻上来，恰好图像关于 轴对称，但 的图象关于 轴对称未必能 得到 是奇函数（例如 ），所以“ 的图象关于 轴对称”是 “ 是奇函数”的必要不充分条件 答案：B 例 7：已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左 右，可以举出反例 ， 则 不成立，所以左边无法得到右边。而右 左能够成立，所以“ ”是 “ ”的必要不充分条件 思路二：本题也可以运用集合的思想，将 视为一个点的坐标 ，则条件所对应的集合 为 ，作出两个集合在坐标系中的区域，观察 两个区域可得 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件 答案：B 例 8（2015 菏泽高三期中考试）：设条件 ：实数 满足 ；条件 ：实数 满足 且 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 _________ 思路：本题如果先将 ， 写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但 ， 容易书写 错误。所以优先考虑使用原条件。“ 是 的必要不充分条件”等价于“ 是 的必要不 充分条件”，而 为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。 解：设 ，可解得： ， ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= x x y ( )y f x= y ( )y f x= ( ) 2f x x= ( )y f x= y ( )y f x= ,a b R∈ 2 2 1a b+ ≤ 1a b+ ≤ ⇒ 0.9, 0.4a b= = 1a b+ ≤ ⇒ 2 2 1a b+ ≤ 1a b+ ≤ ,a b ( ),a b ( ){ } ( ){ }2 2, | 1 , , | 1P a b a b Q a b a b= + ≤ = + ≤ P Q⊇ 2 2 1a b+ ≤ 1a b+ ≤ p x 2 24 3 0( 0)x ax a a− + < < q x 2 2 8 0x x+ − > p¬ q¬ a p¬ q¬ p¬ q¬ p¬ q¬ q p ,p q { }2 2| 4 3 0, 0P x x ax a a= − + < < ( )3 ,P a a=- 15 - 设 可解得： ， 是 的必要不充分条件 是 的必要不充分条件 答案： 例 9：数列 满足 ，则“ ”是“数列 成等 差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：当 时，可得 ，即 成等差数列。所以“ ”是“数列 成等 差数列”的充分条件。另一方面，如果 成等差数列，则 成等差数列，所以有 ，代入 可得： ，解得 或 ，经检验， 时， ， 利用数学归纳法可证得 ，则 也为等差数 列（公差为 0），所以 符合题意。从而由“数列 成等差数列”无法推出“ ”， 所以“ ”是“数列 成等差数列”的不必要条件 答案: A 例 10：设 ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：因为 ，所以 。故由 可得 ，即 ，对于 能 否推出 ，可考虑寻找各 自等价条件： { }2| 2 8 0Q x x x= + − > ( ) ( ), 4 2,Q = −∞ − +∞ p¬ q¬ q∴ p Q P∴ ⊇ 0a 2 2a b> { }na q 1q > { }na { }2 0 , ( )( ) 01 xA x B x x a x bx  − = < = − − − 1b ≥ − 1 2b− < < 0, 2x π ∈   sin cosk x x x< 1k < ABC△ π 4A = 2BC = 3AC = π 3B =- 17 - 8 、（2014 湖北黄冈月考，4 ）已知条件 ，条件 ：直线 与圆 相切，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9、(2014 陕西五校二模，1）命题 且满足 .命题 且满足 . 则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10、（2015 北京理科）设 是两个不同的平面， 是直线且 ．则“ ”是 “ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11、（2016，上海交大附中期中）条件“对任意 ”是“ ”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 习题答案： 1、答案：B 解析：从集合的角度来看，满足 条件的 取值范围是 或 ， 所以可知“ ”是“ ”的必要不充分条件 2、答案：C 解析： 的夹角为 ，从而等价于 3、答案：C 解 析 ： 由 不 等 式 性 质 可 知 ： ， 则 即 ， 反 之 若 ， 则 即 4、答案：D 解析：若 的项均为负项，则“ ”，“ 为递增数列”之间无法相互推出，所以两条件 既不充分也不必要 3: 4p k = q ( )2 1y k x= + + 2 2 4x y+ = p q :p x R∈ sin 2 1x = :q x R∈ tan 1x = p q ,α β m m α⊂ m β∥ α β∥ 0, , sin cos2x k x x x π ∈ ≥ 2 2a b> 2 2a b> 2 2a b> 2 2a b> a b> { }na 1q > { }na- 18 - 5、答案：B 解析： ， ，因为 ，由数轴可得： 即可 6、答案：B 解析：左侧条件中恒成立不等式可化为 ，设 ，可知 ， 所 以 若 为 减 函 数 ， 则 一 定 有 成 立 。 考 虑 ，由 可得： ，故 时， 成立，所以 为减函数， 成立。所以使不等式恒成立的 的范围包含 ，而 ，故“对任意的 ， ”是“ ”的必要不充分条件 7、答案：B 解析：由正弦定理可得： ，所以 或 ，均满足题意，由 两条件对应集合关系可知“ ”是“ ”的必要不充分条件 8、答案：C 解析：从 入手，若 与圆相切，则 解得 ，所以 9、答案：C 解析：分别解出满足两个条件 的解， ； ，可知两个集合相等，故 10、答案：B 解析：依面面平行的判定和性质可知：“ ”无法得到“ ”，但“ ”可推出 “ ” 11、答案：B 解 析 ： 将 不 等 式 变 形 为 ， 设 ， 且 ，则 。当 时，可得 ，从而 在 单 ( ): 1,2A − ( )( ): 2 0B x x b+ − < A B ≠ ∅ 1b > − sin2 02 k x x− < ( ) sin22 kf x x x= − ( )0 0f = ( )f x ( ) ( )0 0f x f< = ( )' cos2 1f x k x= − 0, 2x π ∈   ( )2 0,x π∈ 1k ≤ ( )' 0f x ≤ ( )f x ( ) ( )0 0f x f< = k ( ],1−∞ ( ) ( ],1 ,1−∞ ⊆ −∞ 0, 2x π ∈   sin cosk x x x< 1k < 3sinsin sin 2 BC AC BA B = ⇒ = 3B π= 2 3 π 3AC = π 3B = q ( )2 1y k x= + + 2 2 1 2 1 kd k += = + 3 4k = p q⇔ x ( ) ( ): 2 22 4p x k k Z x k k Z π ππ π= + ∈ ⇒ = + ∈ ( ): tan 1 4q x x k k Z π π= ⇒ = + ∈ p q⇔ m β∥ α β∥ α β∥ m β∥ sin 2 sin 2 2 02 k x x k x x< ⇒ − < ( ) sin 2 2f x k x x= − ( )0 0f = ( )' 2 cos2 2f x k x= − 1k ≤ ( )' 0f x ≤ ( )f x 0, 2 π    - 19 - 调 递 减 ， ， 即 不 等 式 恒 成 立 。 所 以 若 “ ”， 则 “ 对 任 意 ”；而 “ 对 任 意 ”，未 必 能 得 到 “ ”（ 不等式也成立），所以为“必要不充分条件” 微专题 03 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些 结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单 变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用 数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识： 1、集合运算在数轴中的体现： 在数轴上表示为 表示区域的公共部分 在数轴上表示为 表示区域的总和 在数轴上表示为 中除去 剩下的部分（要注意边界值能否取到） 2、问题处理时的方法与技巧： （1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的 问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系 （2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区 域。 （3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集 合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域 （4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置 参数即可 3、作图时要注意的问题： （1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心 点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 （2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。 二、例题精析： 例 1：（2009 安徽）集合 ， 则 =_______ 思路：先解出 的解集， ， 作出数轴，则 即为它们的公共部分。 ( ) ( )0 0f x f< = 1k < 0, , sin cos2x k x x x π ∈ < − = ≤ ≤或 ( ], 2,4A B R A B= =  b a = B ,a b 1, 4a b= − = 4b a = − 4− ( )( ){ } { } { }2 2| 2 1 0 , | 0 , | 2 0A x x x x B x x ax b A B x x= + − + > = + + ≤ = + > { }|1 3A B x x= < ≤ ,a b A ( ) ( )2, 1 1,− − +∞ B B ≠ ∅ 2 0x ax b+ + = ( )1 2 1 2,x x x x< [ ]1 2,B x x= { }| 2 0A B x x= + > B A { }|1 3A B x x= < ≤ B A ( ]1,3 [ ]1 2,B x x= 1 21, 3x x= − = 2, 3a b= − = − R : 2 xx y y ⊗ ⊗ = − x ( 1 ) 0x x a⊗ + − > { | 2 2, }x x x R− ≤ ≤ ∈ 2 2a− ≤ ≤ 1 2a− ≤ ≤ 3 1a− ≤ < − 1 1a− < ≤ 3 1a− ≤ ≤ ( 1 ) 0x x a⊗ + − > ( ) ( )1 0 01 xx x a x a ⊗ + − > ⇒ ⇒ > ⇒ ⇒ > − ( ) [ ]0, 1 2,2A a= + ⊆ − 1 2a∴ + ≤ 1a∴ ≤ 1 1a∴− < ≤ 1 0 1a a+ < ⇒ < − ( ) [ ]1,0 2,2A a= + ⊆ − 1 2a∴ + ≥ − 3a∴ ≥ − 3 1a∴− ≤ < − [ ]3,1a∈ − ( ) (0 1 )f x mx x n n m= − − < < + x ( ) 0f x < m 3 6m< < 1 3m< < 0 1m< < 1 0m− < < mx x n< − ( ) ( )1 1 0m x n m x n− + + −  ⇒ > + > ,1 1 n nx xm m = − =− + 0 1n m< < + ( )0,11 nx m = ∈+ { }0, 1, 2− − ( ) ( )3 2 2 1 3 11 n m n mm − ≤ − < − ⇒ − < < −− 0 1n m< < + ,n m ( )2 1 1m m− < + ( )1,3m∈ ( )1,3m∈ { } { }| 2, , | 1 ,M x x x R N x x a a R= < ∈ = − ≤ ∈- 25 - 若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、（2014 吉林九校二模，1）已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 3、（半月考，1）设全集为 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 4 、 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 的 定 义 域 为 ， 则 （ ） A. B. C. D. 5、（2014，浙江） 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 6、（2014，山东）设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 7、设集合 ，若 ，则实数 的取 值范围是_________ 8、已知全集 ，集合 ，那么集合 （ ） A. B. C. D. 9、若关于 的不等式 的解集中整数恰好有 3 个，则实数 的取值范围是 _______. N M⊆ a 0 1a≤ ≤ 1a ≤ 1a < 0 1a< < { } { }| 1 2 , | 3M x x N x x= − < ≤ = ≤ ( )RC M N = [ ]2,3 ( ]2,3 ( ] [ ], 1 2,3−∞ −  ( ] ( ], 1 2,3−∞ −  R { } 12 , 01A x x B x x  = ≤ = > −  A B = [ ]2,2− [ )2,1− ( ]1,2 [ )2,− +∞ ( ) 22 xf x x = − M ( ) ( )ln 1g x x= + N ( )RM C N = ( ), 2−∞ )2,− +∞ ( )2,− +∞ ( , 2−∞  { } { }2| 2 0 , |1 2P x x x Q x x= − ≥ = < ≤ ( )RC P Q = [ )0,1 ( ]0,2 ( )1,2 [ ]1,2 { } [ ]{ }| 1 2 , | 2 , 0,2xA x x B y y x= − < = = ∈ A B = [ ]0,2 ( )1,3 ( )1,4 [ )1,3 { } { }| 2 3 7 , | 1 2 1A x x B x m x m= − ≤ = + ≤ ≤ − A B A= m U R= { } { }2| 3 4 0 , | 2 8xA x x x B x= − − > = > ( )UC A B = ( )3,4 ( )4,+∞ ( ]3,4 [ ]3,4 x 22)12( axx ( ) ( )2,2 , 1, 1M N a a= − = − + N M⊆ 1 2 0 11 2 a aa − ≥ − ⇒ < ≤ + ≤ 1a ≤ ( ] ( ), 1 2,RC M = −∞ − +∞ ,RC M N ( )RC M N ,A B : 2 2, : 1A x B x− ≤ ≤ > ( ]1,2A B = ( )f x ( )22 0 2, 2x M− > ⇒ = − ( )g x ( )1 0 1,x N+ > ⇒ = − +∞ ( ), 1RC N = −∞ − ( ) ( ), 2RM C N = −∞ P 0x ≤ 2x ≥ ( )0,2RC P = ( ) ( )1,2RC P Q = A ( )1 2 2 1 2 1,3x x x− < ⇒ − < − < ⇒ ∈ − B [ ]0,2x ∈ [ ]1,4y ∈ [ )1,3A B = 3m ≤ A [ ]2,5− A B A= B A⊆ B = ∅ 1 2 1 2m m m+ > − ⇒ < B ≠ ∅ 1 2 1 2 1 2 3 2 1 5 3 m m m m m m m + ≤ − ≥   + ≥ − ⇒ ≥ −   − ≤ ≤  2 3m≤ ≤ m 3m ≤ 2 3 4 0 4x x x− − > ⇒ > 1x < − ( ) ( ), 1 4,A∴ = −∞ − +∞ [ ]1,4UC A = − 2 8 3x x> ⇒ > ( )3,B∴ = +∞ ( ) ( ]3,4UC A B∴ =- 27 - 9、答案： 解 析 ： 因 为 不 等 式 等 价 于 ， 其 中 中 的 ， 且 有 ， 故 ， 不 等 式 的 解 集 为 ， 则一定有 1，2，3 为所求的整数解集。所以 ，解得 的范围 为 微专题 04 求函数的值域 作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透 在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数 的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。 一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域 （2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域 2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点 对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些 常用的思路与工具。 （1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若 为 单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。 （2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然 （3）换元法： 的解析式中可将关于 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析 式化归为可求值域的形式。 （4）最值法：如果函数 在 连续，且可求出 的最大最小值 ，则 的值域为 注：一定在 连续的前提下，才可用最值来解得值域 3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值 域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化 归。 （1）一次函数（ ）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点 25 49,9 16a  ∈   014)4( 2 =∆ a 04 >− a 40 a a x 1 a 42y x x = + 4a = 22y x x  = +   2a = ,x a x a= = − ( ) ( ),2 , , 2a a a a− − ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ ( ), 2 2 ,a a −∞ − +∞  ( )0ay x ax = − > x 0a > x a= ±- 29 - ③ 值域： （5）指数函数（ ）：其函数图像分为 与 两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域 下的值域为 （ 6 ） 对 数 函 数 （ ） 其 函 数 图 像 分 为 与 两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下 的值 域为 （7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说 明（见附） 二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现 1、换元法：将函数解析式中关于 的部分表达式视为一个整体，并用新元 代替，将解析式 化归为熟悉的函数，进而解出值域 （1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值 范围 （2）换元的作用有两个： ① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体， 换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的 ② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 （3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项 都是与 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。 （4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常 见的复合函数分为两种 ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构， 在求值域时可先确定 的范围，再求出函数的范围 ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项， 所以可利用换元将解析式转为 的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中 R xy a= 1a > 0 1a< < ( )0,+∞ logay x= 1a > 0 1a< < ( )0,+∞ x t x ( ) ( ) ( ), log , sinf x ay a y f x y f x= = =       ( )f x ( ) ( ) ( ), log , sinx ay f a y f x y f x= = = ( )y f t=- 30 - 的项不是直接给出，而是可作转化：例如 可转化为 ， 从而可确定研究对象为 例 1：函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数， 求得值域即可。 解： 的定义域为 令 ，则 的值域为 例 2（1）函数 的值域为（ ） A. B. C. D. （2）函数 的值域为__________ （3）函数 的值域为__________ 思路：（1）本题可视为 的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域 问题：令 ，则 ，所以可得 （2）如前文所说， ，将 视为一个整体令 ， 则可将其转化为二次函数求得值域 解： 令 14 2 8x xy += − − ( )2 2 2 2 8x xy = − ⋅ − 2xt = ( ) 2 1f x x x= − − [ )0,+∞ 17 ,8  +∞  5 ,4  +∞  15,8  +∞  ( )f x [ )1,+∞ 1t x= − 0t∴ ≥ 2 1x t= + ( ) 2 2 1 152 1 2 4 8y t t t ∴ = + − = − +   [ )0,t ∈ +∞ ( )f x∴ 15,8  +∞  1 13xy −= ( )0,+∞ ( ) ( )0,1 1,+∞ { }| 1x x ≠ ( )1,+∞ ( ) [ ]14 2 8, 2,2x xf x x+= − − ∈ − 1ln 1 x x ey e += − ( )3 f xy = 1 1t x = − ( ) ( ),0 0,t ∈ −∞ +∞ ( ) ( )3 0,1 1,ty = ∈ +∞ ( ) ( )214 2 8 2 2 2 8x x x xf x += − − = − ⋅ − 2x 2xt = ( ) ( )214 2 8 2 2 2 8x x x xf x += − − = − ⋅ − 2xt = [ ]2,2x ∈ −- 31 - 的值域为 （3）所求函数为 的形式，所以求得 的范围，再取对数即可。对 进行 变形可得： ，从而将 视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求 得范围 解：定义域： 令 答案：（1）B （2） （3） 例 3：已知函数 ，则 的值域为（ ） A. B. C. D. 思路：依题意可知 ，所以可将 视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是 的定 义 域 ， 由 已 知 的 定 义 域 为 ， 则 的 定 义 域 为 ： ，解得： ，而不是 解： 1 ,44t  ∴ ∈    ( )22 2 8 1 9y t t t= − − = − − ( )f x∴ [ ]9,0− ( )ln f x   1 1 x x e e + − 1 1 x x e e + − 1 211 1 x x x e e e + = +− − 1xe − ( )1 0 0,xe x− > ⇒ ∈ +∞ 1 211 1 x x x e e e + = +− − 1xt e= − ( )0,t∴ ∈ +∞ ( )21 1,t ∴ + ∈ +∞ ( )1ln 0,1 x x ey e +∴ = ∈ +∞− [ ]9,0− ( )0,+∞ ( ) [ ]23 log , 1,4f x x x= + ∈ ( ) ( ) ( ) 22g x f x f x= −    [ ]18, 2− − [ ]11, 6− − [ ]18,6− [ ]11, 2− − ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 23 log 3 log log 4log 6g x x x x x= + − + = − − − 2log x ( )g x ( )f x [ ]1,4 ( ) ( ) ( ) 22g x f x f x= −    21 4 1 4 x x  ≤ ≤  ≤ ≤ [ ]1,2x ∈ [ ]1,4 ( ) ( )22 2 23 log 3 logg x x x= + − + ( )2 2 2 23 2log log 6log 9x x x = + − + +  ( )2 2 2log 4log 6x x= − − −- 32 - 的定义域为 ，且 ，解得： 令 ，则 ，即 的值域为 答案：C 2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常 会考虑进行数形结合 （1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但 对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。 （2） 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐 标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图像，从而利用图像求得函数的 值域 （3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形 结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式 例 4 ： （ 1 ） 设 函 数 定 义 域 为 ， 对 给 定 正 数 ， 定 义 函 数 则 称 函 数 为 的 “ 孪 生 函 数 ” ， 若 给 定 函 数 ，则 的值域为（ ） A. B. C. D. （2）定义 为 中的最小值，设 ，则 的最大值是__________ 思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以 为 分界线， 图像在 下方的图像不变，在 上方的图像则 变为 ，通过作图即可得到 的值域为 （2）本题若利用 的定义将 转为分段函数，则需要对 ( )f x [ ]1,4 ( ) ( ) ( ) 22g x f x f x= −    21 4 1 4 x x  ≤ ≤∴ ≤ ≤ [ ]1,2x ∈ 2logt x= [ ]0,1t ∈ ( )22 4 6 2 2y t t t∴ = − − − = − + − [ ]11, 6y∴ ∈ − − ( )g x [ ]11, 6− − ( )f x ( )f x ( )y f x= R M ( ) ( ) ( ) ( ) , ,M f x f x M f x M f x M ≤=  > ( )Mf x ( )f x ( ) 22 , 2 0, 1 2 1, 0x x xf x M x  − − ≤ ≤= = − > ( )My f x= [ ]2,1− [ ]1,2− ( ],2−∞ ( ], 1−∞ − { }min , ,a b c , ,a b c ( ) { }2min 2 3, 1,5 3f x x x x= + + − ( )f x y M= ( )f x y M= M y M= ( )Mf x [ ]2,1− { }min , ,a b c ( )f x- 33 - 三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下， 则 为 三 段 函 数 图 像 中 靠 下 的 部 分 ， 从 而 通 过 数 形 结 合 可 得 的 最 大 值 点 为 与 在第一象限的交点，即 ，所以 答案：（1）A （2） 2 例 5 ： 已 知 函 数 ，设 ，（ 其 中 表示 中的较大值， 表示 中的较小值） 记 的值域为 ， 的值域为 ，则 ______________ 思路：由 的定义可想到其图像特点，即若将 的图像作在同一坐标 系中，那么 为 图像中位于上方的部分，而 为 图像中位 于 下 方 的 部 分 。 对 配 方 可 得 ： ， 其 中 ，故 的顶点在 顶点的上方。由图像可得：褐色部分为 的图像，红色部分为 的图像，其值域与 的交点有关，即各自的顶点 ，所以 的值域 ， 的值域 。从而 答案： 例 6：（1）函数 的值域为__________ （2）函数 的值域为_________ 思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行 处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进 一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的 斜率，即 是 与定点 连线的斜率，那么只需 ( )f x ( )f x 2 1y x= + 5 3y x= − 2 11 25 3 xy x yy x = = + ⇒  == −  ( )max 2f x = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 , 2 2 8f x x a x a g x x a x a= − + + = − + − − + ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1 2max , , min ,H x f x g x H x f x g x= = { }max ,p q ,p q { }min ,p q ,p q ( )1H x A ( )2H x B A B = ( ) ( )1 2,H x H x ( ) ( ),f x g x ( )1H x ( ) ( ),f x g x ( )2H x ( ) ( ),f x g x ( ) ( ),f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 2 4 12 f x x a a g x x a a  = − + − −    = − − − − +    4 4 4 12a a− − < − + ( )g x ( )f x ( )1H x ( )2H x ( ) ( ),f x g x ( ) ( )2, 4 12 , 2, 4 4a a a a− − + + − − ( )1H x [ )4 4,A a= − − +∞ ( )2H x ( ], 4 12B a= −∞ − + [ ]4 4, 4 12A B a a= − − − + [ ]4 4, 4 12a a− − − + [ ]ln 3, 2,41 x xy xx += ∈− 2 24 2 10y x x x= + + − + y ( ), lnx x x ( )1, 3−- 34 - 在坐标系中作出 在 的图像与定点 ，观察曲线上的点与定点连线斜 率的取值范围即可 解：所求函数 是 与定点 连线的斜率 设 ，当 时， 恒成立 为增函数 设曲线上两点 定点 （2）思路： ，所以 可视为点 到点 距离和的取值范围。结合图形可利用对称 性求出其最小值，且当动点向 轴两侧运动时，其距离和趋向无 穷大，进而得到值域。 解： 为动点 到点 距离和，即 作 点关于 轴的对称点 （等号成立条件： 共线） 当 或 时， 函数的值域为 小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共 同的特点（例如本题中都抓住含根式中的 ，所以找到了一个共同的动点 ） 答案：（1） （2） ( ) lnf x x x= [ ]2,4 ( )1, 3− y ( ), lnx x x ( )1, 3− ( ) lnf x x x= ( )' 1 lnf x x∴ = + [ ]2,4x ∈ ( )' 0f x > ( )f x∴ ( ) ( )2 2ln2, 4 4ln4 8ln2f f= = = ∴ ( ) ( )2,2ln2 , 4,8ln2A B ( )1, 3C − 8ln2 32ln2 3, 3AC BCk k +∴ = + = [ ] 8ln2, 2ln2 3, 13BC ACy k k  ∴ ∈ = + +   ( )22 2 2 2 24 2 10 2 1 3y x x x x x= + + − + = + + − + y ( ),0x ( ) ( )0,2 , 1,3 x ( ) ( ) ( )2 2 22 2 24 2 10 0 2 1 0 3y x x x x x= + + − + = + − + − + − y∴ ( ),0P x ( ) ( )0,2 , 1,3A B y PA PB= + A x ( )' 0, 2A − ' ' 26PA PB PA PB A B∴ + = + ≥ = ', ,P A B x → +∞ x → −∞ PA PB+ → +∞ ∴ )26, +∞ ,0x ( ),0x 8ln22ln2 3, 13  + +   )26, +∞- 35 - 3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出 函数的值域 （1）判断函数单调性的方法与结论： ① 增 增 增 减 减 减 增 减 若函数的符号恒正或恒负，则 减 ② 复 合 函 数 单 调 性 ： 复 合 函 数 可 拆 成 ， 则 若 的单调性相同，则 单调递增；若 的单调 性相反，则 单调递减 ③ 利用导数：设图像不含水平线的函数 的导数 ，则 单增； 单减 （2）在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于 或 ，则要估计当 或 时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于 或 （即函数图象是否有水平 渐近线），；同样若 的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如 ，则要确定 当 时， 的值是接近与一个常数（即临界值）还是趋向 或 （即函数图象是 否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确 例 7：（1）函数 的值域为（ ） A. B. C. D. （2）函数 的值域为（ ） A. B. C. D. （3）函数 的值域为________ 思路：（1）函数的定义域为 ，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但 的导数 较易分析出单调性，所以考虑利用导数求出 的单调区 间，从而求得最值 + → + → ( )1− × → 1 → 增 ( )y f g x=    ( ) ( ),y f t t g x= = ( ) ( ),y f t t g x= = ( )y f g x=    ( ) ( ),y f t t g x= = ( )y f g x=    ( )f x ( )'f x ( ) ( )' 0f x f x≥ ⇒ ( ) ( )' 0f x f x≤ ⇒ +∞ −∞ +x → ∞ x → −∞ +∞ −∞ ( )f x ( ],x a b∈ x a→ ( )f x +∞ −∞ ( ) 1 3 1f x x x= − + + − [ ]3,1− [ )1,− +∞ 2,2 2   1,2 2 1 −  ( ) 1 1 x xf x x x − −= + − ( ),1−∞ ( ],1−∞ ( ]0,1 [ ]0,1 ( ) 3 2 5 2 2 1 xf x x − += − + [ ]3,1− ( )f x ( )' 3 1 2 1 3 x xf x x x + − −= − ⋅ + ( )f x ( )' 1 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 x xf x x x x x + − −= − + = − + − ⋅ +- 36 - 令 即解不等式： 在 单调减，在 单调递增 的值域为 小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数， 所以想到 ，从而可设 ，由 可知 ， 所 以 原 函 数 的 值 域 转 化 为 求 的 值 域 ， 从 而 有 ，由 可求得 。由此题可知：含双根式的 函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题 （ 2 ） 思 路 ： 函 数 的 定 义 域 为 ， 从 而 发 现 ， 所 以 函 数 的 解 析 式 为 ， 观 察 可 得 为 增 函 数 ， 且 时 ， ， 所 以 当 时， 的值域为 小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值 域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域 ② 本题也可用换元法，设 后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性 求解简便。 （3）思路：先确定函数的定义域： ， 为分式且含有根式，求 导则导函数较为复杂。观察分子分母可知： 且关于 单减， 且关于 单增，即 单减，所以 为减函数，由 可知 的值域为 小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的 乘法，例如 ，则当 均为增（减）函数，且 恒大 ( )' 0f x > 3 1x x+ > − 3 1 1x x x∴ + > − ⇒ > − ( )f x∴ ( )3, 1− − ( )1,1− ( ) ( ) ( )1 2 2 1, 3 1, 1 1f f f− = − − = = ( )f x∴ 1,2 2 1 −  ( ) ( )2 2 1 3 4x x− + + = 1 2sin 3 2cos x x α α  − = + = 1 0 3 0 x x  − ≥ + ≥ 0, 2 πα  ∈    2sin 2cos 1y α α= + − 2 2 sin 14y πα = + −   0, 2 πα  ∈    1,2 2 1y  ∈ −  1x ≤ 1 1x x− = − ( ) 1f x x x= − − ( )f x x → −∞ ( )f x → −∞ ( ],1x ∈ −∞ ( )f x ( ],1−∞ 1t x= − 3 2 0 31,2 2 0 2 x xx − ≥  ⇒ ∈  − ≥   ( )f x 3 2 5 0x− + > x 2 2 1 0x − + > x 1 2 2 1x − + ( ) 3 2 5 2 2 1 xf x x − += − + 31, 2x  ∈    ( )f x 5 ,62      ( ) ( ) ( )h x f x g x= ⋅ ( ) ( ),f x g x ( ) ( ),f x g x- 37 - 于 0，才能得到 为增（减）函数 答案：（1）D （2）B （3） 4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数 的关于 的方程 。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值 ，必能在定义域中找到与之对 应的 。这个特点反应在方程中，即为若 在值域中，则关于 的方程 在 时只要有一个根。从而将求值域问题转化为“ 取何值时，方程 有解”的问题。利 用方程的特点即可列出关于 的条件，进而解出 的范围即值域 例 8：（1）函数 的值域为（ ） A. B. C. D. （2）函数 的值域为_________ 思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于 的二次方程（其中 为 参数）： ，因为函数的定义域为 ，所以 的取值要求 只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为 0 进行分类讨论：当 ，方程为 ，无解；当 时，二次方程有解的条件为 ，即得到关于 的不等式，求解即 可 解：由 可得: 函数的定义域为 的取值只需让方程有解即可 当 时， 不成立，故舍去 ( )h x 5 ,62      y x ( ), 0F x y = y x 0y x ( ), 0F x y = 0y y= y ( ), 0F x y = y y 2 2 2 4 7 2 3 x xy x x + −= + + 9 ,22  −   7 ,03  −   7 ,03  −   9 ,22  −   sin 1 cos 2 xy x −= + x y ( ) ( )22 2 4 3 7 0y x y x y− + − + + = R y 2y = 13 0= 2y ≠ 0∆ ≥ y 2 2 2 4 7 2 3 x xy x x + −= + + 2 22 3 2 4 7x y xy y x x+ + = + − ( ) ( )22 2 4 3 7 0y x y x y∴ − + − + + = ( )22 2 3 1 2 0x x x+ + = + + > ∴ R y∴ 2y = 13 0=- 38 - 当 时， 即： 综上所述：函数的值域为 小炼有话说：① 对于二次分式，若函数的定义域为 ，则可像例 8 这样通过方程思想，将值 域问题转化为“ 取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定 得到关于 的不等式 从而求解，这种方法也称为“判别式法” ② 若函数的定义域不是 ，而是一个限定区间（例如 ），那么如果也想按方程的思想处 理，那么要解决的问题转化为：“ 取何值时，方程在 有根”，对于二次方程就变为了根 分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问 题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附） （2）本题不易将函数变为仅含 或 的形式，考虑去分母得： 则 的 取 值 只 要 让 方 程 有 解 即 可 。 观 察 左 侧 式 子 特 点 可 想 到 俯 角 公 式 ， 从 而 得 到 ， 可 知 方 程 有 解 的 条 件 为 ： ，解出 的范围即为值域 解： 的定义域为 且 ，即 ，其中 因为该方程有解 2y ≠ ( ) ( )( )22 4 4 2 3 7 0y y y∆ = − − − + ≥ ( )( )2 9 2 0y y+ − ≤ 9 22 y∴− ≤ ≤ 9 ,22  −   R y 0∆ ≥ y R [ ],a b y [ ],a b sin x cos x sin cos 2 1x y x y− = + y ( ) ( ) ( )2 2 2 11 sin 2 1 sin 1 yy x y x y ϕ ϕ ++ + = + ⇒ + = + 2 2 1 1 1 y y + ≤ + y sin 1 cos 2 xy x −= + R sin 1 cos 2 sin 1cos 2 xy y x y xx −= ⇒ + = −+ sin cos 2 1x y x y∴ − = + ( ) ( )21 sin 2 1y x yϕ∴ + + = + ( ) 2 2 1sin 1 yx y ϕ ++ = + tan yϕ = − ( )2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 y y y y +∴ ≤ ⇒ + = + + 2 43 4 0 ,03y y y  ∴ + ≤ ⇒ ∈ −  - 39 - 小 炼 有 话 说 ： 本 题 除 了 用 方 程 思 想 ， 也 可 用 数 形 结 合 进 行 解 决 ， 把 分 式 视 为 连线斜率的问题，从而将问题转化为定点 与单位圆上点连线斜率 的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与 的取值相 关，不过因为 ，所以均能保证只要 在 中，则必有解。但如果本题对 的范围有所限制，则用方程的思想不易列出 的不等式，所以还是用数形结合比较方便 答案：（1）D （2） 以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法， 或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅 速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。 例 9：已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：本题可视为 的复合函数，函数的值域为 ，结合对数函数的 性质可知 应取遍所有的正数（定义域可不为 ），即若函数 的值域为 ，则 ，由二次函数的图像可知，当 时，可满足以上要求。所以 解得 答案：C 例 10：在计算机的算法语言中有一种函数 叫做取整函数（也称高斯函数）， 表示不超 过 的最大整数，例如： ，设函数 ，则函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 按 的 定 义 可 知 ， 若 要 求 出 ， 则 要 将 确 定 里 面 的 范 围 ， 所 以 若 求 的 值 域 ， 则 要 知 道 的 范 围 。 观 察 到 为 偶 函 数 ， 所 以 只 需 找 到 的 值 域 即 可 ， ， ，即 成 ( ) ( )cos ,sin , 2,1x x − ( )2,1− y x R∈ ( )sin x ϕ+ [ ]1,1− x y 4 ,03  −   ( )2lg 2y x x m= + + R m 1m > 1m ≥ 1m ≤ m R∈ 2lg , 2y t t x x m= = + + R t R 2 2t x x m= + + A ( )0, A+∞ ⊆ 0∆ ≥ 4 4 0m∆ = − ≥ 1m ≤ [ ]x [ ]x x [ ] [ ] [ ]2 2, 3.1 3, 2.6 3= = − = − ( ) 2 1 1 2 2 x xf x = −+ ( ) ( )y f x f x= + −       { }0 { }1,0− { }-1,0,1 { }2,0− [ ]x [ ]x x ( ) ( )y f x f x= + −       ( ) ( ),f x f x− ( ) ( )y f x f x= + −       0x > ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 x x x xf x − − −− = − =+ + ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 x x x xf x −= − =+ + ( ) ( )f x f x= − −- 40 - 立，所以 为奇函数，只需确定 的范围即可。对 中的分式进行分离常数可得： ， 当 时 ， ， 从 而 ， 所 以 ，由 。即 ，可得 ， 再利用偶函数性质可得 时， 。当 时， ，所以 ， 综上所述： 的值域为 答案：B 小炼有话说：（1）本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求 函数为偶函数，所以关于 轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑 的情况。另外从解 析式的特点判断出 为奇函数，从而只需计算 的范围，再利用奇函数的性质推出 的范围。所以在求函数值域时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性 质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。 （2）本题在判断 的奇偶性时，由 很难直接看出 之 间的联系，但通过“通分”即可得到 ，奇偶性立即可见；在求 的范 围时，利用 的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定其范围。 但通过“分离常数”得到 则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断 奇偶性或者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分 离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围 ( )f x ( )f x ( )f x ( ) 1 1 2 2 1xf x = − + 0x > ( )2 1 2,x + ∈ +∞ 1 10,2 1 2x  ∈ +   ( ) 10, 2f x  ∈   ( ) ( ) 1 ,02f x f x  − = − ∈ −   ( ) ( )0, 1f x f x= − = −       1y = − 0x < 1y = − 0x = ( ) ( ) 0f x f x= − = 0y = ( ) ( )y f x f x= + −       { }1,0− y 0x > ( )f x ( )f x ( )f x− ( )f x ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 x x x x f x f x − −  − = − +  = − + ( ) ( ),f x f x− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 x x x x f x f x  −= + − − = + ( )f x ( ) ( ) 2 1 2 1 2 x xf x −= + ( ) 1 1 2 2 1xf x = − +- 41 - 附：分式函数值域的求法： 分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形 的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范 围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对 计算量较大，本节主要介绍的方式为如何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转 化为熟悉的函数进行求解。 一、所用到的三个函数（其性质已在前文介绍） 1、反比例函数： 2、对勾函数： 3、函数： 注意与对勾函数进行对比 二、分式函数值域的求法 请看下面这个例子： 求 的值域 思路：此函数可看为 的结果再加上 3 所得，故可利用反比例函数求出 的范围，再得到值 域 解： 问题不难，但观察可发现： ，所以当遇到的函数为 ，总可以将 分子的每一项均除以分母，从而转化为 进行求解。由此得到第一个结论： 对于形如 的函数，总可以变换成 转化为反比例函数进行求解。 注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以分母与 分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种方法称为“分离常数法”，是分式变 形常用的一种手段 例： 思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体（进行换元），则可将分式转 化成为 的形式，从而求解 解：令 1y x = ( )0ay x ax = + > ( )0ay x ax = − > [ ]13 , 1,2y xx = + ∈ 1 x 1 x [ ]1,2x ∈ 1 1 ,12x  ∴ ∈   1 73 ,42y x  ∴ = + ∈   1 3 13 xy x x += + = 3 1xy x += 13y x = + ( ) ax bf x x += ( ) bf x a x = + ( ) ( )2 3, 1,31 xf x xx −= ∈+ ( ) ax bf x x += ( )1, 2,4t x t= + ∈ 1x t∴ = −- 42 - ，进而可求出值域： 注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体，用一个变量表示， 进而将陌生的函数化归成熟悉的模型求解，这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。 由上例，我们可以总结出第二个结论： 对于形如 （分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转 化为 的形式，进而用反比例函数进行求解。 再看下一个例子： 例： 解：函数为对勾函数 ，作图观察可发现极值点 在定义域中，故最小值为 ，而最大值在 中产生， 故值域为 思考 1：那么 你是否会求呢？记住，图像是你最好的帮手！ 思考 2： ，那么是否可以仿照上面，得到第三个结论？ 形如 的函数可通过分离常数转化为 的形式，进而可依靠 的图像求出值域 继续，还能扩展么？举个例子？ 例： 解：设 ， （极值点： ） 第四个结论： ( ) 2 5 52tf t t t −∴ = = − 1 3,2 4y  ∈ −   ( ) ax bf x cx d += + t cx d= + ( ) pt qf t t += ( ) 1 1, ,32f x x xx  = + ∈   ( )1a = 1x = ( )1 2f = ( )1 , 32f f    ( )1 5 10, 32 2 3f f  = =   102, 3      ( ) 1 1, ,32f x x xx  = − ∈   ( ) 21 1xf x x x x += + = 2ax bx cy x + += cy ax bx = + + ay x x = ± ( ) ( )2 3 4 , 3,51 x xf x xx + += ∈− 1t x= − ( )2,4t ∈ ( ) ( ) ( )2 21 3 1 4 5 8 8 5t t t tf t tt t t + + + + + +∴ = = = + + 8 2 2= ( )min 2 2 4 2 5y f t∴ = = = + ( ) ( )2 11, 4 11f t f t= = = = )4 2 5,11y ∴ ∈ +- 43 - 形如 的函数可通过换元 将问题转化为第三个结论，然后进行求解 那么，例： 呢 不就是取了倒数么，所以只需分子分母同除以分子（ ）即可化归为上面的情形 那么，例： 呢 分子分母最高次均为 2 次，可考虑进行下分离常数： ，从而转化为上面例子的问题，至此， 分式函数的终极形式 总可通过一系列变换，转化为前面所介绍的三个函数 模型进行求解。 小结：总结一下我们所遇到的分式类型及处理方法吧： ① ：换元→分离常数→反比例函数模型 ② ：换元→分离常数→ 模型 ③ ：同时除以分子： →②的模型 ④ ：分离常数→③的模型 共同点：让分式的分子变为常数 微专题 05 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对 称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1） 关于 轴对称（当 时，恰好就是偶函数） （2） 关于 轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如 的等式只需注意两点，一是等式 2ax bx cy dx e + += + t dx e= + ( ) ( )2 1 , 3,53 4 xf x xx x −= ∈+ + 1x − ( ) ( )2 2 2 1, 3,51 x xf x xx x + += ∈+ + ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 11 1 1 x x x x x xf x x x x x x x + + + + += = = ++ + + + + + 2 2 ax bx cy dx ex f + += + + ax by cx d += + 2ax bx cy dx e + += + ay x x = ± 2 dx ey ax bx c += + + 2 1y ax bx c dx e = + + + 2 2 ax bx cy dx ex f + += + + ( ) ( )f a x f a x− = + ⇔ ( )f x x a= 0a = ( ) ( ) ( )f a x f b x f x− = + ⇔ 2 a bx += ( ) ( )f a x f b x− = +- 44 - 两侧 前面的符号相同，且括号内 前面的符号相反；二是 的取值保证 为所给 对 称 轴 即 可 。 例 如 ： 关 于 轴 对 称 ， 或 得 到 均可，只是在求函数值方面，一侧是 更为方便 （3） 是偶函数，则 ，进而可得到： 关于 轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在 中， 仅是括号中的一 部分，偶函数只是指其中的 取相反数时，函数值相等，即 ，要与以 下的命题区分： 若 是偶函数，则 ： 是偶函数中的 占据整个括号，所 以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解， 是偶函数，则 关于 轴对称， 而 可视为 平移了 个单位（方向由 的符号决定），所以 关于 对 称。 3、中心对称的等价描述： （1） 关于 轴对称（当 时，恰好就是奇函数） （2） 关于 轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如 的等式同样需注意两点，一是 等式两侧 和 前面的符号均相反；二是 的取值保证 为所给对称中心即可。例 如： 关于 中心对称 ，或得到 均 可，同样在求函数值方面，一侧是 更为方便 （3） 是奇函数，则 ，进而可得到： 关于 轴对 称。 ① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在 中， 仅是括号中的一 部分，奇函数只是指其中的 取相反数时，函数值相反，即 ，要与以 下的命题区分： f x ,a b 2 a bx += ( )f x 1x = ( ) ( )2f x f x⇒ = − ( ) ( )3 1f x f x− = − + ( )f x ( )f x a+ ( ) ( )f x a f x a+ = − + ( )f x x a= ( )f x a+ x x ( ) ( )f x a f x a+ = − + ( )f x ( ) ( )f x a f x a+ = − +   ( )f x x ( ) ( )f x a f x a+ = − +   ( )f x a+ ( )f x a+ 0x = ( )f x ( )f x a+ a a ( )f x x a= ( ) ( )f a x f a x− = − + ⇔ ( )f x ( ),0a 0a = ( ) ( ) ( )f a x f b x f x− = − + ⇔ ,02 a b+     ( ) ( )f a x f b x− = − + f x ,a b 2 a bx += ( )f x ( )1,0− ( ) ( )2f x f x⇒ = − − − ( ) ( )3 5f x f x− = − − + ( )f x ( )f x a+ ( ) ( )f x a f x a+ = − − + ( )f x ( ),0a ( )f x a+ x x ( ) ( )f x a f x a+ = − +- 45 - 若 是奇函数，则 ： 是奇函数中的 占据整个括号，所 以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解， 是奇函数，则 关于 中心对称， 而 可视为 平移了 个单位（方向由 的符号决定），所以 关于 对 称。 4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要 分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）极值点关于对称轴（对称中心）对称 （4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关 于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 （二）函数的周期性 1 、 定 义 ： 设 的 定 义 域 为 ， 若 对 ， 存 在 一 个 非 零 常 数 ， 有 ，则称函数 是一个周期函数，称 为 的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为 的自变量函数值相等 3、若 是一个周期函数，则 ，那么 ， 即 也是 的一个周期，进而可得： 也是 的一个周期 4、最小正周期：正由第 3 条所说， 也是 的一个周期，所以在某些周期函数 中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正 周期，比如常值函数 5、函数周期性的判定： （1） ：可得 为周期函数，其周期 （2） 的周期 分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式： 所以有： ，即周期 注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通 过两个等式看能否得出周期 （3） 的周期 ( )f x ( ) ( )f x a f x a+ = − − +   ( )f x x ( ) ( )f x a f x a+ = − − +   ( )f x a+ ( )f x a+ ( )0,0 ( )f x ( )f x a+ a a ( )f x ( ),0a ( )f x D x D∀ ∈ T ( ) ( )f x T f x+ = ( )f x T ( )f x T ( )f x ( ) ( )f x T f x+ = ( ) ( ) ( )2f x T f x T f x+ = + = 2T ( )f x ( )kT k Z∈ ( )f x ( )kT k Z∈ ( )f x ( )f x C= ( ) ( )f x a f x b+ = + ( )f x T b a= − ( ) ( ) ( )f x a f x f x+ = − ⇒ 2T a= ( ) ( )2f x a f x a+ = − + ( ) ( ) ( )( ) ( )2f x a f x a f x f x+ = − + = − − = 2T a= ( ) ( ) ( )1f x a f xf x + = ⇒ 2T a=- 46 - 分析： （4） （ 为常数） 的周期 分析： ，两式相减可得： （5） （ 为常数） 的周期 （6）双对称出周期：若一个函数 存在两个对称关系，则 是一个周期函数，具体 情况如下：（假设 ） ① 若 的图像关于 轴对称，则 是周期函数，周期 分析： 关于 轴对称 关于 轴对称 的周期为 ② 若 的图像关于 中心对称，则 是周期函数，周期 ③ 若 的图像关于 轴对称，且关于 中心对称，则 是周期函数，周期 7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整 个函数的性质。 （1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值 （2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴” （3）单调区间：由于间隔 的函数图象相同，所以若 在 上 单调增（减），则 在 上单调增（减） （4）对称性：如果一个周期为 的函数 存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为 证明： 关于 轴对称 函数 的周期为 ( ) ( ) ( ) ( )1 12 1f x a f xf x a f x + = = =+ ( ) ( )f x f x a k+ + = k ( )f x⇒ 2T a= ( ) ( ) ( ) ( ), 2f x f x a k f x a f x a k+ + = + + + = ( ) ( )2f x a f x+ = ( ) ( )f x f x a k⋅ + = k ( )f x⇒ 2T a= ( )f x ( )f x b a> ( )f x ,x a x b= = ( )f x ( )2T b a= − ( )f x x a= ( ) ( )2f x f a x⇒ − = + ( )f x x b= ( ) ( )2f x f b x⇒ − = + ( ) ( )2 2f a x f b x∴ + = + ( )f x∴ ( )2 2 2T b a b a= − = − ( )f x ( ) ( ),0 , ,0a b ( )f x ( )2T b a= − ( )f x x a= ( ),0b ( )f x ( )4T b a= − ( )kT k Z∈ ( )f x ( )( ),a b b a T− ≤ ( )f x ( )( ),a kT b kT k Z+ + ∈ T ( )f x x a= ( )f x ( ) 2 kTx a k Z= + ∈ ( )f x x a= ( ) ( )2f x f a x∴ = − ( )f x T ( ) ( )f x kT f x∴ + =- 47 - 关于 轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法 二、典型例题： 例 1：设 为定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则 __________ 思路：由 可得： 的周期 ， 考虑将 用 中的函 数值进行表示： ，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇 偶性进行微调： ，所以 答案： 例 2：定义域为 的函数 满足 ，当 时， ， 则 （ ） A. B. C. D. 思路：由 ，可类比函数的周期性，所以考虑将 向 进行转化： 答案：D 小炼有话说： 虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔 2 个单 位的自变量，函数值呈 2 倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范 围进行靠拢。 例 3：定义在 上的函数 对任意 ，都有 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 由 及 所 求 可 联 想 到 周 期 性 ， 所 以 考 虑 ( ) ( )2f x kT f a x∴ + = − ( )f x∴ 2 kTx a= + ( )f x R ( 2) ( )f x f x+ = − 0 1x≤ ≤ ( )f x x= (7.5)f = ( 2) ( )f x f x+ = − ( )f x 4T = ∴ (7.5)f 0 1x≤ ≤ ( ) ( )(7.5) 3.5 0.5f f f= = − ( ) ( ) 10.5 0.5 2f f− = − = − 1(7.5) 2f = − 1(7.5) 2f = − R ( )f x ( ) ( )2 2f x f x+ = [ )0,2x ∈ ( ) 3 21 2 x f x − = −   5 2f  − =   1 4 1 8 1 2 − 1 4 − ( ) ( ) ( ) ( )12 2 22f x f x f x f x+ = ⇒ = + 5 2x = − [ )0,2x ∈ 3 3 2 25 1 1 1 3 1 1 1 2 2 2 4 2 4 2 4f f f −         − = − = = ⋅ − = −                 ( )f x R ( )f x x R∈ ( ) ( ) ( ) ( )1 12 , 21 4 f xf x ff x −+ = =+ ( )2016f 1 4 1 2 1 3 3 5 ( ) ( ) ( ) 12 1 f xf x f x −+ = + ( )2010f- 48 - ，所以 是周期为 4 的周期函数，故 ，而由已知可得 ，所以 答案：D 例 4（2009 山东）：定义在 上的函数 满足 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 所 给 的 特 点 为 才 有 解 析 式 能 够 求 值 ， 而 只 能 通 过 减少自变量的取值，由所求 可联想到判断 是否 具 有 周 期 性 ， 时 ， ， 则 有 ， 两 式 相 加 可 得 ： ， 则 ，即 在 时周期是 6，故 ，而 答案：C 小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量 靠拢，而 数较大，所以考虑判断函数周期性。 （2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除 数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题 中 ，从而 （3）本题推导过程中 也有其用处，其含义是间隔为 3 的自变量函数值互 为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调” 从而将自变量放置已知区间内 例 5：函数 是周期为 的偶函数，当 时， ，则不等式 在 上的解集为___________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111 2 14 11 2 1 1 f x f x f xf x f xf xf x f x −−− + ++ = = =−+ + + + ( )f x ( ) ( )2016 4f f= ( ) ( ) ( ) 1 2 34 1 2 5 ff f −= =+ ( ) 32016 5f = R ( )f x ( ) ( ) ( ) ( ) 2log 1 , 0 1 2 , 0 x x f x f x f x x − ≤=  − − − > ( )2009f 1− 0 1 2 ( )f x 0x < 0x > ( ) ( ) ( )1 2f x f x f x= − − − ( )2009f ( )f x 0x > ( ) ( ) ( )1 2f x f x f x= − − − ( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x− = − − − ( ) ( )3f x f x= − − ( ) ( ) ( )3 6f x f x f x= − − = − ( )f x 0x > ( ) ( ) ( )2009 5 2f f f= = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 0 1 0 1 1f f f f f f f= − = − − − = − = 2009x = 2009 6 334 5÷ =  ( ) ( )2009 5f f= ( ) ( )3f x f x= − − ( )f x 4 [ ]0,2x ∈ ( ) ( )2log 1 1f x x= + − ( ) 0xf x > [ ]1,3−- 49 - 思路：从已知出发可知 时， 为增函数，且 ，所以 时， ， 时， ，由偶函数可得： 时， ， 时， 。从而可作出草图。由所解不等式 可将 分为 两部分，当 时， ，所以 ，当 时， ， 所以 ，综上解集为： 答案： 例 6：已知 是定义在 上的函数，满足 ，当 时， ，则函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：由 可得 是周期为 2 的周期函数，所以只需要求出一个周期 内的最值即可。由 可得 为奇函数，所以考虑区间 ，在 时， ，所以 ，而由于 为奇函数，所以在 时， ，所以 即为 在 的最 小值，从而也是 在 上的最小值 答案：B 例 7：已知定义域为 的函数 满足 ，且函数 在区间 上单调递增，如果 ，且 ，则 的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小于 0 思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性， 而 可得 ，因为 ，所以 ，进而将 装入了 中 ， 所 以 由 可 得 ， 下 一 步 需 要 转 化 ， 由 可得 关于 中心对称，所以有 。代入 可得 ，从而 [ ]0,2x ∈ ( )f x ( ) 21 log 2 1 0f = − = [ )0,1x ∈ ( ) 0f x < ( ]1,2x ∈ ( ) 0f x > ( ]1,0x ∈ − ( ) 0f x < ( ) [ )2, 1f x ∈ − − ( ) 0f x > ( ) 0xf x > [ ]1,3− [ ) [ ]1,0 0,3−  0x < ( ) 0f x < ( )1,0x ∈ − 0x > ( ) 0f x > ( ) ( )1,3f x ∈ ( ) ( )1,0 1,3−  ( ) ( )1,0 1,3−  ( )f x R ( ) ( ) ( ) ( )0, 1 1f x f x f x f x+ − = − = + ( )0,1x ∈ ( ) 2f x x x= − + ( )f x 1 4 1 4 − 1 2 − 1 2 ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )f x ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( )f x ( )1,1− ( )0,1x ∈ ( ) 21 1 2 4f x x = − − +   ( )max 1 1 2 4f x f  = =   ( )f x ( )1,0x ∈ − ( )min 1 1 1 2 2 4f x f f   = − = − = −       1 2f  −   ( )f x ( )1,1− ( )f x R R ( )f x ( ) ( )4f x f x− = − + ( )f x ( )2,+∞ 1 22x x< < 1 2 4x x+ < ( ) ( )1 2f x f x+ 1 2 4x x+ < 2 14x x< − 1 2x < 14 2x− > 2 1,4x x− ( )2,+∞ 2 14x x< − ( ) ( )2 14f x f x< − ( )14f x− ( ) ( )4f x f x− = − + ( )f x ( )2,0 ( ) ( )4f x f x− = − 1x ( ) ( )1 14f x f x− = − ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 0f x f x f x f x< − ⇒ + ∈ −∞ < 1 2 1 2 4 22 x xx x ++ < ⇒ < 1 2 4x x+ < 1 2,x x ( )f x R ( )1f x + ( )1f x − ( )f x ( )f x ( ) ( )2f x f x= + ( )3f x + ( )f x ( ) ( )1 , 1f x f x+ − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 , 1 1f x f x f x f x+ = − − + − = − − − ( )f x ( ) ( )1,0 , 1,0− ( )2 1 1 4T = ⋅ − − =   C ,A B D 4T = ( ) ( ) ( )5 1 1f x f x f x+ = + = − − + ( )f x ( )3,0 ( )3f x + ( )f x 3 ( )0,0 ( )3f x + D- 51 - 例 9：已知定义域为 的函数 在 上只有 和 两个零点，且 与 都是偶函数，则函数 在 上的零点个数为（ ） A. B. C. D. 思路：已知区间仅是 ，而所求区间为 ，跨度如此之大，需要函数性质。从条件 入手 为偶函数可得 关于 轴对称，从而判断出 是 周期函数，且 ，故可以考虑将 以 10 为周期分组，先判断出一个 周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可 解： 为偶函数 关于 轴对称 为周期函数，且 将 划分为 关于 轴对称 在 中只含有四个零点 而 共 组 所以 在 中，含有零点 共两个 所以一共有 806 个零点 答案：C 小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所 求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计 （2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给 周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持 队型，结构整齐，便于分析。 （3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看 是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零 点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解） 例 10：设函数 是定义在 上以 1 为周期的函数，若 在区间 上的值域为 ，则函数 在 上的值域为（ ） R ( )y f x= [ ]0,7 1 3 ( )2y f x= + ( )7y f x= + ( )y f x= [ ]0,2013 404 804 806 402 [ ]0,7 [ ]0,2013 ( ) ( )2 , 7f x f x+ + ( )f x 2, 7x x= = ( )f x ( )2 7 2 10T = ⋅ − = [ ]0,2013 ( ) ( )2 , 7f x f x+ + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 , 7 7f x f x f x f x∴ + = − + + = − + ( )f x∴ 2, 7x x= = ( )f x∴ ( )2 7 2 10T = ⋅ − = ∴ [ ]0,2013 [ ) [ ) [ ) [ ]0,10 10,20 2000,2010 2010,2013   ( )f x 2, 7x x= = ( ) ( ) ( ) ( )4 , 14f x f x f x f x∴ = − = − ( ) ( )1 6 0f f= = ( ) ( ) ( )8 14 8 6 0f f f= − = = ( ) ( ) ( )3 4 3 1 0f f f= − = = ∴ [ )0,10 [ ) [ ) [ )0,10 10,20 2000,2010  201 201 4 804N = × = [ ]2010,2013 ( ) ( ) ( ) ( )2011 1 0, 2013 3 0f f f f= = = = ( )y f x= R ( ) ( ) 2g x f x x= − [ ]2,3 [ ]2,6− ( )g x [ ]12,12−- 52 - A. B. C. D. 思路：设 ，则 ，因为 为周期函数，故以 为突破口， ，考虑在 中 ， 所 以 ， 在 中 ，所以 ，所以 在 的 值域为 答案：B 三、近年模拟题题目精选 1、（2014，庆安高三期中）已知函数 是 R 上的偶函数，且满足 ，当 时， ，则 的值为（ ） A．0.5 B．1.5 C． D．1 2、（2014，安徽）设函数 满足 ，当 时， ， 则 （ ） A. B. C. D. 3 、（ 2014 ， 四 川 ） 设 是 定 义 在 上 的 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 时 ， ，则 _________ 4、（2014，新课标全国卷 I）设函数 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 5、（2014，会宁县校级月考）已知 ，方程 在 内有且只有一个 ，则 在区间 内根的个数为（ ） A. B. C. D. [ ]2,6− [ ]20,34− [ ]22,32− [ ]24,28− [ ]0 2,3x ∈ ( ) [ ]0 2,6g x ∈ − ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 02 2 2 2g x n f x n x n f x x n g x n+ = + − + = − − = − [ ]12, 11− − 14n = − ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]0 0 014 2 14 28 26,34g x g x g x− = − ⋅ − = + ∈ [ ]11,12 9n = ( ) ( ) ( ) [ ]0 0 09 2 9 18 20, 12g x g x g x+ = − ⋅ = − ∈ − − ( )g x [ ]12,12− [ ]20,34− )(xf 3)()1( =++ xfxf [ ]1,0x∈ − ( ) 2f x x= + )5.2007(−f 1.5− ( )f x ( ) ( ) sinf x f x xπ+ = + [ )0,x π∈ ( ) 0f x = 23 6f π  =   1 2 3 2 0 1 2 − ( )f x R [ )1,1x ∈ − ( ) 24 2, 1 0 ,0 1 x xf x x x − + − ≤