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微专题 06 函数的图像
一、基础知识
1、做草图需要注意的信息点：
做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作
图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符
号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知
识点讲解与分析”的第 3 点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结
合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常
见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点
（1）一次函数： ,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定
直线
特点：两点确定一条直线
信息点：与坐标轴的交点
（2）二次函数： ，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧
的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则
标出交点坐标可使图像更为精确
特点：对称性
信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点
（3）反比例函数： ,其定义域为 ，是奇函数，只需做出正版轴图像
即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线
特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线
信息点：渐近线
注：
（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线
在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中， 轴是渐近线，那
么当 ，曲线无限向 轴接近，但不相交，则函数在 正半轴就不会有 轴下方的部分。
（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若 （或 ）时， 常数
，则称直线 为函数 的水平渐近线
y kx b= +
( )2y a x h k= − +
1y x
= ( ) ( ),0 0,−∞ +∞
x
x → +∞ x x x
x → +∞ −∞ ( )f x →
C y C= ( )f x- 2 -
例如： 当 时， ，故在 轴正方向不存在渐近线
当 时， ，故在 轴负方向存在渐近线
（3）竖直渐近线的判定：首先 在 处无定义，且当 时， （或
），那么称 为 的竖直渐近线
例如： 在 处无定义，当 时， ，所以 为
的一条渐近线。
综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与
对称中心；极值点；渐近线。
例：作出函数 的图像
分析：定义域为 ，且 为奇函 数，
故先考虑 正半轴情况。
故函数单调递增，
，故函数为上凸函数，当 时，
无水平渐近线， 时， ， 所以
轴为 的竖直渐近线。零点： ，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性
得到 完整图像：
2、函数图象变换：设函数 ，其它参数均为正数
（1）平移变换：
： 的图像向左平移 个单位
： 的图像向右平移 个单位
： 的图像向上平移 个单位
： 的图像向下平移 个单位
（2）对称变换：
：与 的图像关于 轴对称
2xy = x → +∞ y → +∞ x
x → −∞ 0y → x 0y =
( )f x x a= x a→ ( )f x → +∞
−∞ x a= ( )f x
2logy x= 0x = 0x → ( )f x → −∞ 0x = 2logy x=
( ) 1f x x x
= −
( ) ( ),0 0,−∞ +∞ ( )f x
x
( )'
2
11 0f x x
= + >
( )''
3
2 0f x x
= − < x → +∞
( )f x → +∞ 0x → ( )f x → −∞
y ( )f x ( )1,0
( )f x
( )y f x=
( )f x a+ ( )f x a
( )f x a− ( )f x a
( )f x b+ ( )f x a
( )f x b− ( )f x a
( )f x− ( )f x y- 3 -
：与 的图像关于 轴对称
：与 的图像关于原点对称
（3）伸缩变换：
： 图像纵坐标不变，横坐标变为原来的
： 图像横坐标不变，纵坐标变为原来的
（4）翻折变换：
： 即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半
轴图像关于 轴对称的图像
： 即 轴上方的图像不变，下方的图像沿 轴对称的翻上
去。
3、二阶导函数与函数的凹凸性：
（1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有 3 种情况，
若一个函数的增减图像为 则称函数为下凸函数
若一个函数的增减图像为 则称函数为上凸函数
（2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快
下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢
（3）与导数的关系：设 的导函数为 （即 的二阶导函数），如图所示：增长
速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随 的增大而增大，即 为增
函数 ；上凸函数随 的增大而减小，即 为减函数 ；
综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。
二、方法与技巧：
1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，
( )f x− ( )f x x
( )f x− − ( )f x
( )f kx ( )f x 11
0 1
k
k k
>
<
< ( )1,1x ∈ − ( )' 0f x <
( )
2
'
2 3 0
0
x x
f x
− − > > ( )
2
'
2 3 0
0
x x
f x
− − > β α γ> > γ α β> > β γ α> >
( ) ( ) ( )' ' ', ,g x h x xϕ
( ) 3 211,ln 1 , 1 31x x x xx
= + = − =+
( ) ( ) ( ) ( ) 3 2
1 1 1
11, ln 1 , 3 11g x x h x x x x xx
ϕ= − = + − = − −+
, ,α β γ
( ) ( ) ( )' ' ' 211, , 31g x h x x xx
ϕ= = =+
, ,α β γ ( ) 3 211,ln 1 , 1 31x x x xx
= + = − =+- 32 -
的零点
在 单调减，在 单调增，而
， 时， ，而
答案：C
例 6：若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ， 则
可以是（ ）
A． B．
C． D．
思路：可判断出 单增且连续，所以至多一个零点，但 的零点无法直接求出，而各
选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判断 的零点所在区间即可
解：设各选项的零点分别为 ，则有
对于 ，可得：
，所以 C 选项符合条件
答案：C
例 7：设函数 ，若实数 分别是 的
零点，则（ ）
A. B.
C. D.
思路：可先根据零点存在定理判断出 的取值范围： ，
( ) ( ) ( ) ( ) 3 2
1 1 1
11, ln 1 , 3 11g x x h x x x x xx
ϕ= − = + − = − −+
1α = ( ) ( )1 1
10 1 0, 1 ln2 02h h= − < = − > ( ) ( ) ( )1 10 1 0 0,1h h β∴ ⋅ < ⇒ ∈
( ) ( )' 2
1 3 6 3 2x x x x xϕ = − = − ( )1 xϕ∴ ( )0,2 ( ) ( ),0 , 2,−∞ +∞
( )1 0 1 0ϕ = − < ( ),2x∴ ∈ −∞ ( )1 0xϕ < ( )1 4 15 0ϕ = >
( ) ( )1 12 4 0ϕ ϕ∴ ⋅ < ( )2,4γ∴ ∈
β α γ∴ < <
)(xf ( ) ln 2 8g x x x= + − 5.0 )(xf
63)( −= xxf 2)4()( −= xxf
1)( 1 −= −xexf )2
5ln()( −= xxf
( )g x ( )g x
( )g x
, , ,A B C Dx x x x 72, 4, 1, 2A B C Dx x x x= = = =
( ) ln 2 8g x x x= + − ( ) ( )3 ln3 2 0, 4 ln4 0g g= − < = >
( )0 3,4x∴∃ ∈ ( )0 0g x =
7 7=ln 1 02 2g − > 0
73, 2x ∴ ∈
( ) ( ) 22 4, ln 2 5xf x e x g x x x= + − = + − ,a b ( ) ( ),f x g x
( ) ( )0g a f b< < ( ) ( )0f b g a< <
( ) ( )0 g a f b< < ( ) ( ) 0f b g a< <
,a b ( ) ( )0 3 0, 1 2 4 0f f e= − < = + − >- 33 -
从 而 ； ， 从 而 ， 所 以 有
， 考 虑 ， 且 发 现 为 增 函 数 。 进 而
，即
答案：A
例 8：已知定义在 上的函数 ，求证： 存在唯一的零点，且零
点属于
思路：本题要证两个要素：一个是存在零点，一个是零点唯一。证明零点存在可用零点存在
性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性
解：
在 单调递增
，使得
因为 单调，所以若 ，且
则由单调性的性质： 与题设矛盾
所以 的零点唯一
小炼有话说：如果函数 在 单调递增，则在 中， ，
即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性
例 9：（2011 年，天津）已知 ，函数 （ 的图像连续不断）
（1）求 的单调区间
（2）当 时，证明：存在 ，使得
解：（1） 令
( )0,1a ∈ ( ) ( )1 3 0, 2 ln2 3 0g g= − < = + > ( )1,2b∈
0 1 2a b< < < < ( ) ( )0 f a g b= = ( ) ( ),f x g x
( ) ( ) ( ) ( )0, 0g a g b f b f a< = > = ( ) ( )0g a f b< <
( )1,+∞ ( ) ln 2f x x x= − − ( )f x
( )3,4
( )' 1 11 xf x x x
−= − = ( )1,x ∈ +∞
( )' 0f x∴ > ( )f x∴ ( )1,+∞
( ) ( )3 1 ln3 0, 4 2 ln2 0f f= − < = − >
( ) ( )3 4 0f f∴ < ( )0 3,4x∴∃ ∈ ( )0 0f x =
( )f x ( )' '
0 0 03,4 ,x x x∃ ∈ ≠ ( ) ( )'
0 00f x f x= =
'
0 0x x=
( )f x
( )f x ( ),a b ( ),a b ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x= ⇔ =
0a > ( ) 2lnf x x ax= − ( )f x
( )f x
1
8a = ( )0 2,+x ∈ ∞ ( )0
3
2f x f =
( ) 2
' 1 2 12 axf x axx x
−= − = − ( )' 0f x >- 34 -
解得： 在 单调递减，在 单调递增
（2）思路：由（1）可得 在 单调递减，在 单调递增，从而从图像上看必
然会在 存在 使得 ，但由于是证明题，解题过程要有理有据。所以
可以考虑将所证等式变为 ，构造函数 ，从而只需利
用零点存在性定理证明 有零点即可。
解：设
由（1）可得：当 时， 在 单调递减，在 单调递增
，因为
根据零点存在性定理可得：
，使得
即存在 ，使得
小炼有话说：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一
侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。
（ 2 ） 本 题 在 寻 找 小 于 零 的 点 时 ， 先 观 察 表 达 式 的 特 点 ：
，意味着只要 取得足够大，早晚 比 要大的多，所以只
需要取较大的自变量便可以找到 的点。选择 也可，选择 等等也
1
2x a
> ( )f x∴ 10, 2a
1 ,2a
+∞
( )f x ( )0,2 ( )2,+∞
( )2,+∞ 0x ( )0
3
2f x f =
( )0
3 02f x f − =
( ) ( ) 3
2g x f x f = −
( )g x
( ) ( ) 3
2g x f x f = −
( ) ( )' 'g x f x∴ =
1
8a = ( )f x ( )0,2 ( )2,+∞ ( ) 32 2f f ∴ >
( ) ( ) 32 2 02g f f ∴ = − >
( ) 21 3 3 3 9ln , ln8 2 2 2 32g x x x f f = − − = −
( ) 3 9100 ln100 1250 ln 2 32g∴ = − − − ln100 1250 0− <
( )100 0g∴ < ( ) ( )2 100 0g g∴ <
( )0 2,100x∃ ∈ ( ) ( )0 0
3 02g x f x f = − =
( )0 2,+x ∈ ∞ ( )0
3
2f x f =
( )g x ( )g x
( ) 21 3ln 8 2g x x x f = − − x 21
8 x ln x
( ) 0g x < 100x = 10,271x =- 35 -
可以。
例 10 ： 已 知 函 数 ， 其 中 常 数 ， 若 有 两 个 零 点
，求证：
思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证 且
，即只需判断 的符号，可先由 存在两个零点判断出
的取值范围为 ，从而 ，只需将 视为关于 的函数，再利
用函数性质证明均大于零即可。
解：
令
设 ，可得 为增函数且
时，
时，
在 单调递减，在 单调递增
所以在 ，
有两个零点
( ) lnxf x e a x a= − − 0a > ( )f x
( )1 2 1 2, 0x x x x< < 1 2
1 1x x aa
< < < <
( )1 1 0f fa
( )1 0f e a= − < ( )1 ,f f aa
a
( ) 1ln 0 ln 1
x
x ef x e a x a a xx e
= − − = ⇒ = ≠ +
( )
ln 1
xex x
ϕ = + ( ) ( )
'
2
1ln 1
ln 1
xe x xx
x
ϕ
+ − ∴ =
+
( ) 1ln 1g x x x
= + − ( )g x ( )1 0g =
1 10, ,1x e e
∴ ∈ ( ) ( )'0 0g x xϕ< ⇒ <
( )1,x ∈ +∞ ( ) ( )'0 0g x xϕ> ⇒ >
( )xϕ∴ 1 10, , ,1e e
( )1,+∞
1,x e
∈ +∞
( ) ( )min 1x eϕ ϕ= =
( )f x a e∴ > ( )1 0f e a∴ = − <
( ) lnaf a e a a a= − −
( )' ln 2af a e a∴ = − −
( )'' 1 1 1 0a a ef a e e ea e e
= − > − > − >- 36 -
在 单调递增
在 单调递增
而
，使得 即
另一方面：
而
，使得 即
综上所述：
微专题 10 函数零点的个数问题
一、知识点讲解与分析：
1、零点的定义：一般地，对于函数 ，我们把方程 的实数根 称
为函数 的零点
2、函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开
区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 。
（1） 在 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设 连续）
① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若 ，那么 在 不一定有零点
③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号
( )'f a∴ ( ),e +∞
( ) ( )' ' 23 3 0ef a f e e e∴ > = − > − >
( )f a∴ ( ),e +∞
( ) ( ) ( )22 2 2 0ef a f e e e e e e e∴ > = − > − = − > ( )1 0f <
( ) ( )1 0f f a∴ < ( )2 1,x a∴∃ ∈ ( )2 0f x = 21 x a< <
( )1 1 11 1ln ln ln 1a a af e a a e a a a e a aa a
= − − = + − = + −
a e> ln 1 0a∴ − >
1 0f a
∴ >
( )1 0f < ( ) 11 0f f a
∴ ( )f x [ ],a b
( )f x [ ],a b ( ) ( )f a f b- 37 -
3、若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设 函 数 为 ， 则 的 零 点 即 为 满 足 方 程 的 根 ， 若
,则方程可转变为 ，即方程的根在坐标系中为
交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在
解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详
见方法技巧）
二、方法与技巧：
1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一
个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程
，无法直接求出根，构造函数 ，由 即可判定
其零点必在 中
2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用
（1）函数的零点：
工具：零点存在性定理
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关
（2）方程的根：
工具：方程的等价变形
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可
对方程进行变形，构造出便于分析的函数
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判
断根的个数
（3）两函数的交点：
工具：数形结合
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变
( )f x [ ],a b ( ) ( ) ( )0f a f b f x< ⇒ ( ),a b
( )y f x= ( )f x ( ) 0f x =
( ) ( ) ( )f x g x h x= − ( ) ( )g x h x= ( ) ( ),g x h x
ln 0x x+ = ( ) lnf x x x= + ( ) 11 0, 02f f > 1x < −
1x > 3 3y x x= − ( ) ( ), 1 , 1,−∞ − +∞
( )1,1− ( )1 2f − =
( )1 2f = − y a= y a=
( )2,2a ∈ −
( ) ( )2 2 2ln 1f x x x x= + − + x ( ) 2f x x x a= + + [ ]0,2
a
( ) ( )2 22 2ln 1 2ln 1x x x x x a a x x+ − + = + + ⇒ = − + y a=
( ) ( )2ln 1g x x x= − +- 39 -
的单调性并作出草图： 令 解得：
在 单调递减，在 单调递增， ，由图像
可 得 ， 水 平 线 位 于 之 间 时 ， 恰 好 与 有 两 个 不 同 的 交 点 。
答案：
小炼有话说：（1）本题中的方程为 ，在构造函数时，进行
了 与 的分离，此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像由于不含
所以为一条水平线，便于上下平移，进行数形结合。由此可得：若关于 的函数易于作出图像，
则 优 先 进 行 参 变 分 离 。 所 以 在 本 题 中 将 方 程 转 变 为 ， 构 造 函 数
并进行数形结合。
（2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意 能否取到边界值。
例 3：已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：函数 有三个零点，等价于方程 有三个不同实数根，进而等
价于 与 图像有三个不同交点，作出 的图像，则 的正负会导致 图
像不同，且会影响 的位置，所以按 进行分类讨论，然后通过图像求出 的
范围为 。
答案：D
( )g x ( )' 2 11 1 1
xg x x x
−= − =+ + ∴ ( )' 0g x > 1x > ( )g x∴
( )0,1 ( )1,2 ( ) ( ) ( )1 1 2ln2, 0 0, 2 2 2ln3g g g= − = = −
y a= ( ) ( )1 , 2g g ( )g x ∴
1 2ln2 2 2ln3a− < ≤ −
1 2ln2 2 2ln3a− < ≤ −
( )2 22 2ln 1x x x x x a+ − + = + +
x a x
x
( )2ln 1a x x= − +
( ) ( )2ln 1g x x x= − +
a
( ) ( )2, 0
ln , 0
kx xf x k Rx x
+ ≤= ∈ >
( )y f x k= + k
2k ≤ 1 0k− < < 2 1k− ≤ < − 2k ≤ −
( )y f x k= + ( )f x k= −
( )f x y k= − ( )f x k ( )f x
y k= − 0, 0k k> < k
2k ≤ −- 40 -
小炼有话说：（1）本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点 方程的根 函数图象
的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适
的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。
（2）本题所求 在图像中扮演两个角色，一方面决定 左侧图像直线的倾斜角，另一方
面决定水平线的位置与 轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。
例 4：已知函数 满足 ，当 ，若在区间 内，
函数 有三个不同零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B. C． D．
思路： ，当 时， ，所以
，而 有三个不同零点 与 有三
个不同交点，如图所示，可得直线 应在图中两条虚线之间，所以可解得：
答案：B
小炼有话说：本题有以下两个亮点。
（1）如何利用 ，已知 的解析式求 的解析式。
（2）参数 的作用为直线 的斜率，故数形结合求出三个交点时 的范围
例 5 ： 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 当 时 ，
，则函数 的零点个数为（ ）
⇔ ⇔
k ( )f x
x
( )f x ( ) ( )3f x f x= [ ) ( )1,3 , lnx f x x∈ = [ )1,9
( ) ( )g x f x ax= − a
ln3 1,3 e
ln3 1,9 3e
ln3 1,9 2e
ln3 ln3,9 3
( ) ( ) ( )3 3
xf x f x f x f = ⇒ = [ )3,9x ∈ ( ) ln3 3
x xf x f = =
( )
ln ,1 3
ln ,3 93
x x
f x x x
≤ −
≤ ( ) ( )1 22f x f x= −
( ]2,4 ( ]4,6
( )g x ( ) 1
4f x = ( )f x
1
4y = 0x > 0x <
( ) ( )1 22f x f x= −
( )f x
( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( )f x
( ) 1 24 2 3x xf x m m+= − + −
1 3 1 3m− ≤ ≤ + 1 3 2 2m− ≤ ≤
2 2 2 2m− ≤ ≤ 2 2 1 3m− ≤ ≤ −
2 24 2 2 3 4 2 2 3 0x x x xm m m m− −− ⋅ + − + − ⋅ + − =
( ) ( ) 24 4 2 2 2 2 6 0x x x xm m− −+ − + + − = ( )2
4 4 2 2 2x x x x− −+ = + −
2 2x x−+ ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 8 0x x x xm m− −+ − + + − =
2 2x xt −= + 2t ≥ 2 22 2 8 0t mt m− + − =- 42 -
即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点 大于等于 2）或相交（其中交点在 两侧），
即 或 ，解得： 或
（2）若方程有两解，则 ，解得： ，
综上所述：
答案：A
小炼有话说：本题借用“局部奇函数”概念，实质为方程的根的问题，在化简时将 视
为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于 的二次方程，将问题转化为二次方程根
分布问题，进行求解。
例 7 ： 已 知 函 数 的 图 像 为 上 的 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 当 时 ，
，则关于 的函数 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0 或 2
思路： ，结合 的零点个数即
为 方 程 ， 结 合 条 件 中 的 不 等 式 ， 可 将 方 程 化 为 ， 可 设
，即只需求出 的零点个数，当 时， ，即 在
上单调递增；同理可得： 在 上单调递减， ，故
，所以不存在零点。
答案：A
小炼有话说：
（1）本题由于 解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用
单调性与零点存在性定理进行解决。
( ) 2 22 2 8 0g t t mt m= − + − =
x m= 2x =
0
2m
∆ =
≥
( )2 0g ≤ 2 2m = 1 3 1 3m− ≤ ≤ +
( )
0
2 0
2
g
m
∆ >
≥
>
2 2 2 2
1 3, 1 3 1 3 2 2
2
m
m m m
m
− < <
≥ + ≤ − ⇒ + ≤
1 3 2 2m− ≤ ≤
2 2x x−+
2 2x x−+
( )y f x= R 0x ≠
( ) ( )' 0f xf x x
+ > x ( ) ( ) 1g x f x x
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )''
' 0 0 0xf xf x xf x f xf x x x x
++ > ⇒ > ⇒ > ( )g x
( ) 1 0f x x
+ = ( ) 1 0xf x + =
( ) ( ) 1h x xf x= + ( )h x 0x > ( )' 0h x > ( )h x
( )0,+∞ ( )h x ( ),0−∞ ( ) ( )min 0 1h x h∴ = =
( ) ( )0 1 0h x h≥ = >
( )f x- 43 -
（2）所给不等式 呈现出 轮流求导的特点，猜想可能是符合导数的乘
法法则，变形后可得 ，而 的零点问题可利用方程进行变形，从而与条件中
的 相联系，从而构造出
例 8 ： 定 义 域 为 的 偶 函 数 满 足 对 ， 有 ， 且 当
时， ，若函数 在 上至少
有三个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路： 体现的是间隔 2 个单位的自变量，其函数值差 ，联想到
周期性，考虑先求出 的值，由 为偶函数，可令 ，得
， 为周期是 2 的周期函数。已知条件中函数
有三个零点，可将零点问题转化为方程 即
至少有三个根，所以 与 有三个交点。先利用
在 的函数解析式及周期性对称性作图，通过
图像可得： 时，不会有 3 个交点，考虑
的 图 像 。 设 ， 则
，利用图像变换作图，通
过观察可得：只需当 时， 的图
像 在 上 方 即 可 ， 即
所以
答案：B
小炼有话说：本题有以下几个亮点：
( ) ( )' 0f xf x x
+ > ( )f x
( )( )'
0xf x
x
> ( )g x
( )xf x ( )h x
R ( )f x x R∀ ∈ ( ) ( ) ( )2 1f x f x f+ = −
[ ]2,3x ∈ ( ) 22 12 18f x x x= − + − ( ) ( )log 1ay f x x= − + ( )0,+∞
a
20, 2
30, 3
50, 5
60, 6
( ) ( ) ( )2 1f x f x f+ = − ( )1f
( )1f ( )f x 1x = − ( ) ( ) ( )1 1 1f f f= − −
( )1 0f = ( ) ( )2f x f x∴ + = ( )f x
( ) ( )log 1ay f x x= − + ( ) ( )log 1 0af x x− + =
( ) ( )log 1af x x= + ( )f x ( )log 1ay x= + ( )f x
[ ]2,3x ∈
1a > 0 1a< <
( ) logag x x=
( ) ( )log 1 1ay x g x= + = +
2x = ( )log 1ay x= +
( )f x
( ) ( ) 2log 2 1 2 2 log 3 2 loga a af a−+ > = − ⇒ > − = 2
1 33 0 3aa
> ⇒ < ( )3 f x x=
t
40, 3
2 ,23
4 ,33
2 ,3
+∞
( ) ( )2f x f x+ = −
( ) ( ) ( )4 2f x f x f x+ = − + = ( )f x 4
( )y f x= ( )
3
xg x = t
( )1 2y t x= − −
maxy t=
3
xy =
( )f x 2x = ( )f x ( )g x 6x =
( )f x ( )g x
( ) ( )
( ) ( )
6 6
2 2
f g
f g
(6) (2) 2
2(2) 3
f f t
f t
= =
2 23 t< <
( )
( )
sin 1, 02
log 0, 1 , 0a
x x
f x
x a a x
π − ≠ >
y a- 45 -
A. B. C. D.
思路：考虑设对称点为 ，其中 ，则问题
转 化 为 方 程 至 少 有 三 个 解 。 即
有三个根，所以问题转化为
与 有三个交点，先做出 的图像，通过
观 察 可 知 若 与 其 有 三 个 交 点 ， 则 ， 进 一 步 观 察 图 像 可 得 ： 只 要
，则满足题意，所以
，所以
答案：A
三、近年模拟题题目精选：
1、已知 是以 为周期的偶函数，当 时， ，那么在区间 内，
关于 的方程 有 个根，则 的取值范围是( )．
A． 或 B．
C． 或 D．
2、（2014 吉林九校联考二模，16）若直角坐标平面内 A,B 两点满足条件：①点 都在函数
的图像上；点 关于原点对称，则称 是函数 的一个“姊妹点对”（
与 可看作同一点对），已知 ，则 的“姊妹点对”有______
个
50, 5
5 ,15
3 ,13
30, 3
0 0,x x− 0 0x >
( ) ( )0 0f x f x= −
sin 1 log2 ax x
π − − =
( ) sin 12g x x
π = − −
( ) logah x x= sin 12y x
π = − −
logay x= 0 1a< <
( ) ( )5 5g h<
2 2
5 1 1sin 1 log 5 2 log 5 log log 5 52 a a a aa a
π − − < ⇒ − < ⇒ < ⇒ >
5
5a <
( )f x 2 [0,1]x∈ ( )f x x= ( 1,3)−
x ( ) ( )f x kx k k R= + ∈ 4 k
10 4k< ≤ 3
6k = 10 4k< ≤
10 4k< < 3
6k = 10 4k< <
,A B
( )f x ,A B ( ),A B ( )f x ( ),A B
( ),B A ( )
2 2 , 0
2 , 0x
x x x
f x
xe
+
( ) ( )2g x b f x= − −
b R∈ ( ) ( )y f x g x= − b
7 ,4
+∞
7, 4
−∞
70, 4
7 ,24
( ) 3
2
,
,x
x x af x
x a
≤= >
b ( ) ( )g x f x b= −
a
( ) 3 23 1f x ax x= − + ( )f x 0x
0 0x > a
( )2,+∞ ( )1,+∞ ( ), 2−∞ − ( ), 1−∞ −
( ) ( )2 1,f x x g x kx= − + = ( ) ( )f x g x=
k
10, 2
1 ,12
( )1,2 ( )2,+∞
( ) 2 3 ,f x x x x R= + ∈ ( ) 1 0f x a x− − =
a
( ) ( ) 2
0,0 1
ln , 4 2, 1
x
f x x g x x x
< ≤= = − − >
( ) ( ) 1f x g x+ =
( ) 3 23 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a
( )2,+∞ ( )1,+∞ ( ), 2−∞ − ( ), 1−∞ −
( ) ( ),f x g x ( ){ } ( ){ }| 0 , | 0m x f x n x g x∈ = ∈ = ,m n
1m n− ≤ ( )f x ( )g x ( ) ( ) 1
2log 1 xf x x e −= + −
( ) 2 3g x x ax a= − − + a- 47 -
A. B. C. D.
11 、 已 知 偶 函 数 满 足 对 任 意 ， 均 有 且
，若方程 恰有 5 个实数解，则实数 的取值范围
是 .
12、（2016，河南中原第一次联考）已知函数 在区间
内恰有 9 个零点，则实数 的值为________
13、（2014，四川）已知函数 为自然对数的
底数
（1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值
（2）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
( )f x x R∈ (1 ) (3 )f x f x+ = −
2(1 ), [0,1]( )
1, (1,2]
m x xf x
x x
− ∈= − ∈
3 ( )f x x= m
72, 3
7 ,33
[ ]2,3 [ ]2,4
( ) cos2 sinf x x a x= + ( )( )0,n n Nπ ∗∈
a
( ) 2 1, , , 2.71828xf x e ax bx a b R e= − − − ∈ =
( )g x ( )f x ( )g x [ ]0,1
( )1 0f = ( )f x ( )0,1 a- 48 -
习题答案：
1、答案：B
解析：根据周期性和对称性可作出 的图像，直线 过定点
结合图像可得：若 内有四个根，可知 。若直线与 在 相切，联立
方程： ，令 可得： ，当 时，解得
，综上所述：
2、答案：2
解析：关于原点对称的两个点为 和 ，不妨设 ，则有 ，
从而 ，所以“姊妹点对”的个数为方程 的个数，即曲线
与 的交点个数，作出图像即可得有两个交点
3、答案：D
解析：由 得 ，
( )f x ( ) ( )f x kx k k R= + ∈ ( )1,0−
( 1,3)− 10, 4k ∈
( )f x ( )2,3
22 3 0y x ky y k
y kx k
= − ⇒ − + = = +
0∆ = 3
6k = 3
6k =
( )5 2,3x = ∉ 10, 4k ∈
( ),x y ( ),x y− − 0x >
( )2
2
2
xy e
y x x
=
− = − −
2 22 xx x e
− = − 2 22 xx x e
− = −
2 2y x x= − 2
xy e
= −
( ) ( )2
2 , 2,
2 , 2,
x x
f x
x x
− ≤= − > 2
2 2 , 0
(2 )
, 0
x x
f x
x x
− − ≥− =
2
2
2, 0
( ) (2 ) 2, 0 2
5 8, 2
x x x
y f x f x x
x x x
− + <
= + − = ≤ ≤
− + >
( ) ( ) ( ) (2 )y f x g x f x f x b= − = + − − ( ) ( )y f x g x= −
( ) (2 ) 0f x f x b+ − − = y b= ( ) (2 )y f x f x= + −
7 24 b< <
( ) ( ),0 1,a ∈ −∞ +∞
( ) ( )g x f x b= − ( )f x b= ( )y f x= y b=
3 2,y x y x= = 0a <
2y x= 0 1a≤ ≤ ( )f x
1a > 3 2,y x y x= =
( ) ( ),0 1,a ∈ −∞ +∞
3 2
3
3 13 1 0ax x a x x
− + = ⇒ = − 1 tx
= y a= 33y t t= −
0t > ( ) 33g t t t= − ( ) ( )( )' 23 3 3 1 1g t t t t= − = − + ( )g t
( ) ( )1,0 , 0,1− ( ) ( ), 1 , 1,−∞ − +∞ ( ) ( )1 2, 1 2g g= − = −
2a < − y a= 33y t t= − 0t >
( ) ( )f x g x= ( )y f x= ( )y g x=
k 1 ,12k ∈
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10 15- 50 -
方法二：本题还可以先对方程进行变形，再进行数形结
合 ， 中 显 然 不 是 方 程 的 解 ， 当 时 ， ， 设
，则问题转化为 与 交点为 2 个。作出图像
后即可观察到 的范围
7、答案：
解析：方程为： ， 显然不是方程的解，所以 时，
，即 ，令 ，则 与 有 4 个交
点即可，作出图像数形结合即可得到
8、答案：4
解析：方程等价于 ，即 或 共多少个
根， ，数形结合可得： 与 有两个交点；
，同理可得 与 有两个交点，所以共
计 个
9、答案：C
解析： ，令 ，依题意可知 只有一个零
点 且 ，即 与 只有一个在横轴正半轴的交点。
可知 在 减，在 增， 作出图像可得只有 时，
2 1x kx− + = 0x = 0x ≠ 2 1xk x
− +=
( )
11 , 22 1
3 1, 2
xx xh x x xx
− ≥− + = =
−
1a = 22 1 0t at− − =
(0,1) ( )g x (0,2 )π
22 ( 1) ( 1) 1 0
2 1 1 1 0
a
a
× − − × − − =
× − × − >- 52 -
．综上可知当 时， 在 内有 3 个解．再由 可
知， ．综上可知 ， ．
13、解析：（1）
当 时，
当 时，
单调递增
当 时
在 单调递减，在 单调递增
当 时，
单调递减
综上所述： 时，
时，
时，
（2） 且 在区间 内有零点
. 在 不单调，且至少有两个极值点
在 至少有两个零点
由（1）可得：若 或 ，则 在 单调，至多一个零点，均不符题意
1a = − 1a = ± ( ) cos2 sinf x x a x= + (0,2 )π 9 33
=
2 3 6n = × = 1a = ± 6n =
( ) ( )' 2xg x f x e ax b= = − −
( )' 2xg x e a∴ = −
[ ]0,1x ∈ ( ) [ ]' 1 2 , 2g x a e a∈ − −
∴ 11 2 0 2a a− ≥ ⇒ ≤ ( )' 0g x ≥
( )g x∴
( ) ( )min 0g x g b∴ = = −
11 2 0 2 2 2
ea e a a− < < − ⇒ < <
( )g x ( )( )0,ln 2a ( )( )ln 2 ,1a
( ) ( )( ) ( )min ln 2 2 2 ln 2g x g a a a a b∴ = = − −
2 0 2
ee a a− ≤ ⇒ ≥ ( )' 0g x ≤
( )g x∴
( ) ( )min 1 2g x g e a b∴ = = − −
1
2a ≤ ( ) ( )min 0g x g b= = −
1
2 2
ea< < ( ) ( )( ) ( )min ln 2 2 2 ln 2g x g a a a a b= = − −
2
ea ≥ ( ) ( )min 1 2g x g e a b= = − −
( ) ( )1 0, 0 0f f= = ( )f x ( )0,1
( )f x∴ ( )0,1
( ) ( )'g x f x∴ = ( )0,1
1
2a ≤
2
ea ≥ ( )g x ( )0,1
1
2 2
ea∴ < >
( )1 0f = 1 0 1e a b b e a− − − = ⇒ = − −
( )
( )
( )
2 2 ln 2 1 0
21 1 0 1
2 1 0
a a a a e
a ee a a
e a e a
− + + − − − − − > ⇒
( )
( )
1 1 0 2
12 1 0
e a a e
ae a e a
− − − > > − ⇒
( )2,1a e∈ − ( )2 2 ln 2 1 0a a a a e− + + − <
( ) ( ) ( )2 2 ln 2 1 3 2 ln 2 1h a a a a a e a a a e= − + + − = − + −
( ) ( ) ( )' 13 2 2ln 2 1 2ln 2h a a a aa
∴ = − ⋅ − = −
( )' 0h a >
2
ea <
( )h a∴ 2, 2
ee
−
,12
e
( )max 3 ln 1 1 02 2
e eh a h e e e e e
∴ = = ⋅ − + − = + −
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