人教A版必修2数学同步辅导与检测：章末复习课

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 章末复习课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧 棱(母线)延长后必交于一点． 2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同． 3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是 它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法． 4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出 错． 5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原 不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误． 6．易混侧面积与表面积的概念. 专题 1 空间几何体的三视图与直观图 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的 立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题． 主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由 三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的 难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转 化为几何体中的数据． [例 1] (1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱 柱的高和底面边长分别为(  ) A．2，23   B．22，2   C．4，2   D．2，4 (2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(  ) A．18＋365 B．54＋185 C．90 D．81 解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致， 正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中 2 为正三棱柱的高，23 为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形 边长为 4. (2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的正方形，高为 6，侧棱长为 35，则该几何体的表面积 S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 54＋185.故选 B. 答案：(1)D (2)B 归纳升华 1．第(1)题中易把 23 误认为是正三棱锥底面等边三角形的边 长．注意“长对正、高平齐、宽相等”． 2．(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、 球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为 实物图． (2)组合体的三视图要分开分析，特殊几何体要结合日常生活的 观察分析还原． [变式训练] (1)如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三 个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱 柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯 视图如下图．其中真命题的个数是(  ) A．3   B．2   C．1   D．0 (2)(2015·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱 的棱长为(  ) A．1   B.2   C.3   D．2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解析：(1)如图①②③所示的正(主)视图和俯视图与题图相同． 所以题中的 3 个命题均是真命题． (2)由三视图知，四棱锥的直观图如图所示． 其中侧棱 SA⊥底面 ABCD，SA＝l，且底面是边长为 1 的正方 形． 所以四棱锥的最长棱为 SC， 且 SC＝SA2＋CA2＝3. 答案：(1)A (2)C 专题 2 空间几何体的表面积与体积的计算 面积和体积的计算是本章的重点，熟记各种简单几何体的表面积 和体积公式是基础，复杂几何体常用割补法、等积法求解，具体问题 具体分析，灵活转化是解题策略． [例 2]如图所示的三棱锥 O­ABC 为长方体的一角．其中 OA、OB、 OC 两两垂直，三个侧面 OAB、OAC、OBC 的面积分别为 1.5 cm2、 1 cm2、3 cm2，求三棱锥 O­ABC 的体积． 解：设 OA、OB、OC 的长依次为 x cm、y cm、z cm， 则由已知可得 12xy＝1.5，12xz＝1，12yz＝3. 解得 x＝1，y＝3，z＝2. 显然三棱锥 O­ABC 的底面积和高是不易求出的，于是我们不妨 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 转换视角，将三棱锥 O­ABC 看成以 C 为顶点，以 OAB 为底面． 易知 OC 为三棱锥 C­OAB 的高． 于是 VO­ABC＝VC­OAB＝13S△OAB·OC＝ 13×1.5×2＝1(cm3)． 归纳升华 1．(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，计算组合体的表面 积时应注意衔接部分的处理． (2)求解旋转体的表面积问题时注意其侧面展开图的应用． 2．(1)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用 转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (2)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何 体的直观图，然后根据条件求解． [变式训练] 某几何体的三视图如图所示，试求该几何体的体积． 解：由三视图知，该几何体是一圆柱被平面所截后得的简单组合 体，如图所示，其中 AD＝5，BC＝2，且底面圆的半径 R＝2. 过 C 点作平行于底面的截面，将几何体分成两部分． 故该几何体的体积 V＝π×22×2＋12π×22×3＝14π. 专题 3 转化思想与函数方程思想 转化思想的核心在于把生疏和复杂的问题转化、归结为较为熟悉、 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 简单的问题解决，在本章中体现在通过展开图求其表面积、利用截面 图将立体几何问题转化成平面几 何问题等．函数方程思想是用运动变化的观点研究具体问题中的 数量关系，如表面积、体积及空间几何体表面上的距离等问题． [例 3] 一个圆锥的底面半径为 2，高为 6，在其中有一个高为 x 的内接圆柱． (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S； (2)当 x 为何值时，S 最大？ 解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示． 设圆柱的底面半径为 r， 则由三角形相似可得 x6＝2－r2， 解得 r＝2－x3. (1)圆柱的轴截面面积为： S＝2r·x＝2·\a\vs4\al\co1(2 －\f(x3))·x＝－23x2＋4x(0＜x＜6)． (2)因为 S＝－23x2＋4x＝－23(x2－6x)＝－23(x－3)2＋6， 所以当 x＝3 时，S 最大，最大值为 6. 归纳升华 1．作出圆锥的轴截面，由△SO′E∽△SOB 得比例式，进而用 x 表 示圆柱的底面半径，空间几何体平面化． 2．结合二次函数的性质求圆柱的侧面积最大值体现了函数思想 的应用． [变式训练] 轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥 的底面半径为 1 cm，求球的体积． 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解：如图作出轴截面， 因为△ABC 是正三角形， 所以 CD＝12AC. 因为 CD＝1 cm， 所以 AC＝2 cm，AD＝3 cm. 因为 Rt△AOE∽Rt△ACD，所以 OEAO＝CDAC. 设 OE＝R，则 AO＝3－R，所以 R\r(3)－R＝12， 所 以 R ＝ 3)3(cm) ， 所 以 V 球 ＝ 43π\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)3))3 ＝ 3)27π(cm3)．