人教A版必修2数学同步辅导与检测：第一章1.3-1.3.2球的体积和表面积

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 第一章 空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若一个球的体积扩大到原来的 27 倍，则它的表面积扩大到原 来的(  ) A．3 倍        B．33 倍 C．9 倍 D．93 倍 解析：由 V′＝27 V，得 R′＝3R，R′R＝3 则球的表面积比 S′∶S＝\a\vs4\al\co1(\f(R′R))2＝9. 答案：C 2．把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱，则圆 柱的高为(  ) A．R    B．2R    C．3R    D．4R 解析：设圆柱的高为 h，则 πR2h＝3×43πR3， 所以 h＝4R. 答案：D 3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(  ) 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A．9π＋42 B．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体， 其体积 V＝43π\a\vs4\al\co1(\f(32))3＋3×3×2＝92π＋18. 答案：D 4．设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球 面上，则该球的表面积为(  ) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 解析：设该球的半径为 R， 所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2， 即 4R2＝6a2. 所以球的表面积为 S＝4πR2＝6πa2. 答案：B 5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的 表面积是(  ) 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A．4π＋24 B．4π＋32 C．22π D．12π 解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为 1 的球，下部分 为底边长为 2，高为 3 的正四棱柱，几何体的表面积为 4π＋32. 答案：B 二、填空题 6．将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升 高 4 cm，则钢球的半径是________． 解析：圆柱形玻璃容器中水面升高 4cm，则钢球的体积为 V＝π× 32×4＝36π，即有 43πR3＝36π，所以 R＝3. 答案：3 cm 7．两个球的表面积之差为 48π，它们的大圆周长之和为 12π， 则这两个球的半径之差为________． 解析：由题意设两球半径分别为 R、r(R＞r)， 则：4πR2－4πr2＝48π2πR＋2πr＝12π)即 R2－r2＝12R＋r ＝6.)， 所以 R－r＝2. 答案：2 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ________． 解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为 1 的球，下 方是长方体，其底面是边长为 2 的正方形，侧棱长为 4，故其体积 V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3. 答案：16＋4π3 三、解答题 9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端 均为半球形，若图中 r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积． 解：组合体的表面积 S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积 V 圆柱＝πr2l＝π×12×3＝3π， 又两个半球的体积 2V 半球＝43πr3＝43π， 因此组合体的体积 V＝3π＋43π＝133π. 10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3 cm，瓶里所装的 水深为 8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到 8.5 cm， 求钢球的半径． 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解：设球的半径为 R，由题意可得 43πR3＝π×32×0.5， 解得：R＝1.5 (cm)， 所以所求球的半径为 1.5 cm. B 级 能力提升 1．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 π，则 球的体积为(  ) A.8π3   B.2)π3   C．82π   D.32π3 解析：截面面积为 π，则该小圆的半径为 1，设球的半径为 R， 则 R2＝12＋12＝2， 所以 R＝2，V＝43πR3＝2)π3. 答案：B 2．边长为 42 的正方形 ABCD 的四个顶点在半径为 5 的球 O 的 表面上，则四棱锥 O­ABCD 的体积是________． 解析：因为正方形 ABCD 外接圆的半径 r＝（4\r(2)）2＋（4\r(2)） 2)2＝4.又因为球的半径为 5， 所以球心 O 到平面 ABCD 的距离 d＝R2－r2＝3， 所以 VO­ABCD＝13×(42)3×3＝32. 答案：32 3．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱) 的表面积分别是 S1，S2，S3，试比较它们的大小． 解：设正方体的棱长为 a，球的半径为 R，等边圆柱的底面半径 为 r， 则 S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2. 由题意知，43πR3＝a3＝πr2·2r， 所以 R＝334πa，r＝312πa， 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 S2＝4π\a\vs4\al\co1(\r(334π))a2＝4π·3916π2a2＝336πa2， S3＝6π\a\vs4\al\co1(\r(312π))a2＝6π·314π2a2＝354πa2， 所以 S2＜S3. 又 6a2＞3312π＝354πa2，即 S1＞S3. 所以 S1，S2，S3 的大小关系是 S2＜S3＜S1.