人教A版必修2数学同步辅导与检测：第一章1.3-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 A 级 基础巩固 一、选择题 1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面 积是底面积的(  ) A．4 倍        B．3 倍 C.2 倍 D．2 倍 解析：设轴截面正三角形的边长为 2a， 所以 S 底＝πa2， S 侧＝πa·2a＝2πa2，因此 S 侧＝2S 底． 答案：D 2.如图所示，ABC­A′B′C′是体积为 1 的棱柱，则四棱锥 C­AA′B′B 的体积是(  ) A.13 B.12 C.23 D.34 解析：因为 VC­A′B′C′＝13V 柱＝13，所以 VC­AA′B′B＝1－13＝23. 答案：C 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆 锥的全面积为(  ) A．3π B．33π C．6π D．9π 解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以 2r＝l， 又 S 轴＝12×l2×sin 60°＝3)4l2＝3，所以 l＝2，r＝1. 所以 S 圆锥表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选 A. 答案：A 4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富 的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高 五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图 所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆 的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体 积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放米约有(  ) A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛 解析：由 l＝14×2πr＝8 得圆锥底面的半径 r＝16π≈163，所以 米堆的体积 V＝14×13πr2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放 的米有 3209÷1.62≈22(斛)． 答案：B 5.已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的一三 棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(  ) 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A．1∶2 B．1∶3 C．2∶2 D．3∶6 解析：棱锥 B′ ­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三 角形，设正方体的边长为 1，则 B′C＝2，S△B′AC＝3)2. 三棱锥的表面积 S 锥＝4×3)2＝23， 又正方体的表面积 S 正＝6. 因此 S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶3. 答案：B 二、填空题 6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________． 解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为 1， 2，其高为 2， 所以其母线长 l＝Error!＝5， 所以 S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π 7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是 ________． 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体， V＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π. 答案：8π 8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表 面积等于________． 解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且 底面梯形的周长为 4＋2. 则 S 侧＝8＋22，S 底＝2×（1＋2）2×1＝3. 故 S 表＝S 侧＋S 底＝11＋22. 答案：11＋22 三、解答题 9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为 2π和 4π的矩形，求 这个圆柱的体积． 解：设圆柱的底面半径为 R，高为 h， 当圆柱的底面周长为 2π时，h＝4π， 由 2πR＝2π，得 R＝1， 所以 V 圆柱＝πR2h＝4π2. 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当圆柱的底面周长为 4π时，h＝2π， 由 2πR＝4π，得 R＝2， 所以 V 圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2. 所以圆柱的体积为 4π2 或 8π2. 10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱 柱的表面积与体积． 解：由三视图知直观图如图所示，则高 AA′＝2 cm，底面高 B′D′＝23cm，所以底面边长 A′B′＝23×2\r(3)＝4(cm)． 一个底面的面积为 12×23×4＝43(cm2)． 所以表面积 S＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm2)， V＝43×2＝83(cm3)． 所以表面积为(24＋83)cm2，体积为 83(cm3)． B 级 能力提升 1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组 成的图形，则此几何体的体积是(  ) A.203π       B.103π 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ C．6π D.163π 解析：该几何体的上方是以 2 为底面圆的半径，高为 2 的圆锥的 一半，下方是以 2 为底面圆的半径，高为 1 的圆柱的一半，其体积为 V＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π. 答案：B 2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆 锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体 积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新 的底面半径为__________． 解析：底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的 圆柱的总体积为 13π×52×4＋π×22×8＝196π3. 设新的圆锥和圆柱的底面半径为 r，则 13π·r2×4＋π·r2×8＝ 28π3r2＝196π3，解得 r＝7. 答案：7 3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体 积． 解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合 体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83. 故几何体的体积 V＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm3)． 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/