人教A版高中数学必修4课时跟踪检测（十九） 平面向量基本定理 Word版含解析

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 课时跟踪检测（十九） 平面向量基本定理 层级一 学业水平达标 1．已知▱ABCD 中∠DAB＝30°，则 与 的夹角为(  ) A．30°         B．60° C．120° D．150° 解析：选 D 如图， 与 的夹角为∠ABC＝150°. 2．设点 O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平 面上表示其他所有向量的基底的是(  ) ① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 . A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 解析：选 B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中， 与 不共线， 与 不共线；而 ∥ ， ∥ ，故①③可作为基底． 3．若 AD 是△ABC 的中线，已知 ＝a， ＝b，则以 a，b 为基底表示 ＝(  ) A．12(a－b) B．12(a＋b) C．12(b－a) D．12b＋a 解析：选 B 如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点， 从而 ＝ ，即 － ＝ － ，从而 ＝12( ＋ )＝12(a＋b)． 4．在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若 ＝e1， ＝e2，则 ＝(  ) A．12(e1＋e2) B．12(e1－e2) C．12(2e2－e1) D．12(e2－e1) 解析：选 A 因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点， ＝e1， ＝e2，所以 ＝ 12( ＋ )＝12(e1＋e2)，故选 A. 5．(全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点， ＝3 ，则(  ) A． ＝－13 ＋43 AD CD AD CD AD AB DA BC CA DC OD OB AD AB CA DC DA BC OD OB AB AC AD BD DC AD AB AC AD AD AB AC BC DC OC BC DC OC BC DC BC CD AD AB AC 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ B． ＝13 －43 C． ＝43 ＋13 D． ＝43 －13 解析：选 A 由题意得 ＝ ＋ ＝ ＋13 ＝ ＋13 －13 ＝ －13 ＋43 . 6．已知向量 a，b 是一组基底，实数 x，y 满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则 x－y 的值为______． 解析：∵a，b 是一组基底，∴a 与 b 不共线， ∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， ∴3x－4y＝6，2x－3y＝3，)解得 x＝6，y＝3，)∴x－y＝3. 答案：3 7．已知 e1，e2 是两个不共线向量，a＝k2e1＋\a\vs4\al\co1(1－\f(5k2))e2 与 b＝2e1＋3e2 共线，则实数 k＝______. 解析：由题设，知 k22＝5k23，∴3k2＋5k－2＝0， 解得 k＝－2 或 13. 答案：－2 或 13 8．如下图，在正方形 ABCD 中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则在以 a，b 为基底 时， 可表示为______，在以 a，c 为基底时， 可表示为______． 解析：以 a，c 为基底时，将 平移，使 B 与 A 重合，再由三角形法则或平行四边形 法则即得． 答案：a＋b 2a＋c 9.如图所示，设 M，N，P 是△ABC 三边上的点，且 ＝13 ， ＝13 ， ＝13 ，若 ＝a， ＝b，试用 a，b 将 ， ， 表示出来． 解： ＝ － ＝13 －23 ＝13a－23b， ＝ － ＝－13 －23 ＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b， AD AB AC AD AB AC AD AB AC AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC AB AD BD AC AC BD BM BC CN CA AP AB AB AC MN NP PM NP AP AN AB AC MN CN CM AC CB 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ＝－ ＝－( ＋ )＝13(a＋b)． 10．证明：三角形的三条中线共点． 证明：如图所示，设 AD，BE，CF 分别为△ABC 的三条中线， 令 ＝a， ＝b.则有 ＝b－a. 设 G 在 AD 上，且 AGAD＝23，则有 ＝ ＋ ＝a＋ 12(b－a)＝12(a＋b)． ＝ － ＝12b－a. ∴ ＝ － ＝23 － ＝13(a＋b)－a＝13b－23a ＝23\a\vs4\al\co1(\f(12)b－a)＝23 . ∴G 在 BE 上，同理可证 ＝23 ，即 G 在 CF 上． 故 AD，BE，CF 三线交于同一点． 层级二 应试能力达标 1．在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 ＝2 ，设 ＝a， ＝b，则 可 用基底 a，b 表示为(  ) A．12(a＋b)        B．23a＋13b C．13a＋23b D．13(a＋b) 解析：选 C ∵ ＝2 ，∴ ＝23 . ∴ ＝ ＋ ＝ ＋23 ＝ ＋23( － )＝13 ＋23 ＝ 13a＋23b. 2．AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC，AC 上的中线，且 ＝a， ＝b，则 ＝ (  ) A．43a＋23b B．23a＋43b C．23a－23b D．－23a＋23b 解析：选 B 设 AD 与 BE 交点为 F，则 ＝13a， ＝23b.所以 ＝ ＋ ＝23b＋13a，所以 ＝2 ＝23a＋43b. 3．如果 e1，e2 是平面 α 内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是(  ) A．若存在实数 λ1，λ2，使得 λ1e1＋λ2e1＝0，则 λ1＝λ2＝0 B．平面 α 内任一向量 a 都可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e2 不一定在平面 α 内，λ1，λ2∈R PM MP MN NP AB AC BC AD AB BD BE AE AB BG AG AB AD AB BE CG CF BD DC AB AC AD BD DC BD BC AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC AD BE BC FD BF BD BF FD BC BD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ D．对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λ1e1＋λ2e2 的实数 λ1，λ2 有无数对 解析：选 B A 中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即 λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定 理；C 中，λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α 内；D 中，λ1，λ2 有且只有一对． 4．已知非零向量 ， 不共线，且 2 ＝x ＋y ，若 ＝λ (λ∈R)， 则 x，y 满足的关系是(  ) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：选 A 由 ＝λ ，得 － ＝λ( － )， 即 ＝(1＋λ) －λ .又 2 ＝x ＋y ， ∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，)消去 λ 得 x＋y＝2. 5．设 e1，e2 是平面内的一组基底，且 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则 e1＋e2＝________a ＋________b. 解析：由 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，)解得 e1＝\f(123113)b. 故 e1＋e2＝\a\vs4\al\co1(\f(123)b＋\a\vs4\al\co1(\f(113)b ＝23a＋\a\vs4\al\co1(－\f(13))b. 答案：23 －13 6．已知非零向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，向量 a，b 的夹角为 120°，且|b|＝2|a|，则 向量 a 与 c 的夹角为________． 解析：由题意可画出图形， 在△OAB 中， 因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠ABO＝30°，OA⊥OB， 即向量 a 与 c 的夹角为 90°. 答案：90° 7．设 e1，e2 是不共线的非零向量，且 a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b 可以作为一组基底； (2)以 a，b 为基底，求向量 c＝3e1－e2 的分解式； (3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求 λ，μ 的值． 解：(1)证明：若 a，b 共线，则存在 λ∈R，使 a＝λb， 则 e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由 e1，e2 不共线，得λ＝1，3λ＝－2)⇒λ＝1，23). ∴λ 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底． (2)设 c＝ma＋nb(m，n∈R)，则 OA OB OP OA OB PA AB PA AB OA OP OB OA OP OA OB OP OA OB 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1)⇒m＝2，n＝1.)∴c＝2a＋b. (3)由 4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3)⇒λ＝3，μ＝1.) 故所求 λ，μ 的值分别为 3 和 1. 8．若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足： ＝34 ＋14 . (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比． (2)若 N 为 AB 中点，AM 与 CN 交于点 O，设 ＝x ＋y ，求 x，y 的值． 解：(1)如图，由 ＝34 ＋14 可知 M，B，C 三点共线， 令 ＝λ ⇒ ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ( － )＝(1－λ) ＋λ ⇒λ＝14，所以 S△ABMS△ABC＝14，即面积之 比为 1∶4. (2)由 ＝x ＋y ⇒ ＝x ＋y2 ， ＝x4 ＋y ，由 O， M，A 三点共线及 O，N，C 三点共线⇒x＋\f(y2x4)＋y＝1⇒x＝\f(4767). AM AB AC BO BM BN AM AB AC BM BC AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC BO BM BN BO BM BA BO BC BN