人教A版高中数学必修4课时跟踪检测（十八） 向量数乘运算及其几何意义 Word版含解析

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 课时跟踪检测（十八） 向量数乘运算及其几何意义 层级一 学业水平达标 1．若|a|＝5，b 与 a 的方向相反，且|b|＝7，则 a＝(  ) A．57b          B．－57b C．75b D．－75b 解析：选 B b 与 a 反向，故 a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，则 5＝－λ×7，所以 λ＝－57，∴ a＝57b. 2．已知 a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则 2a－3b＋c＝(  ) A．5e B．－5e C．23e D．－23e 解析：选 C 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e. 3．已知 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3(a－b)，则(  ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线 解析：选 B  ＝ ＋ ＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝ ， 又∵ 与 有公共点 B，∴A，B，D 三点共线． 4．在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 ＝23 ＋13 ，又 ＝t ，则 t 的值为(  ) A．13 B．23 C．12 D．53 解析：选 A 由题意可得 ＝ － ＝23 ＋13 － ＝13( － )＝ 13 ，又 ＝t ，∴t＝13. 5．在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长 线交 DC 于点 F，若 ＝a， ＝b，则 ＝(  ) A．13a＋b B．12a＋b C．a＋13b D．a＋12b 解析：选 A 由已知条件可知 BE＝3DE，∴DF＝13AB，∴ ＝ ＋ ＝ ＋13 ＝13a＋b. 6．若 3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则 x＝______. 解析：由已知得 3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， AB BC CD BD BC CD AB BD AB CP CA CB AP AB AP CP CA CA CB CA CB CA AB AP AB AB AD AF AF AD DF AD AB 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a. 答案：4b－3a 7．下列向量中 a，b 共线的有________(填序号)． ①a＝2e，b＝－2e； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－25e2＝ 4\a\vs4\al\co1(e1－\f(110)e2)＝4b；④中，当 e1，e2 不共线时，a≠λb.故填①②③. 答案：①②③ 8．已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma－3b 与 a＋(2－m)b 共线，则实数 m 的值为________． 解析：因为向量 ma－3b 与 a＋(2－m)b 共线且向量 a，b 是两个不共线的向量，所以存 在实数 λ，使得 ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为 a 与 b 不共线， 所以 m＝λ，mλ－2λ－3＝0，)解得 m＝－1 或 m＝3. 答案：－1 或 3 9．计算： (1)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)； (2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n 为实数)． 解：(1)原式＝\a\vs4\al\co1(\f(22415)a＋\a\vs4\al\co1(－\f(242615)b＝0. (2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b) ＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb ＝ma－nb. 10．已知 e1，e2 是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若 a 与 b 是共线 向量，求实数 k 的值． 解：∵a 与 b 是共线向量，∴a＝λb， ∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2， ∴λk＝2，λ＝－1，) ∴k＝－2，λ＝－1，) ∴k＝－2. 层级二 应试能力达标 1．设 a 是非零向量，λ 是非零实数，则下列结论中正确的是(  ) A．a 与 λa 的方向相同 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ B．a 与－λa 的方向相反 C．a 与 λ2a 的方向相同 D．|λa|＝λ|a| 解析：选 C 只有当 λ>0 时，a 与 λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa|＝λ|a|. 因为 λ2>0，所以 a 与 λ2a 的方向相同． 2．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边 BC 的中点，且 2 ＋ ＋ ＝0， 则(  ) A． ＝         B． ＝2 C． ＝3 D．2 ＝ 解析：选 A ∵在△ABC 中，D 为边 BC 的中点，∴ ＋ ＝2 ，∴2( ＋ )＝0，即 ＋ ＝0，从而 ＝ . 3．已知向量 a，b 不共线，若 ＝λ1a＋b， ＝a＋λ2b，且 A，B，C 三点共线， 则关于实数 λ1，λ2 一定成立的关系式为(  ) A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1 C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1 解析：选 C ∵A，B，C 三点共线， ∴ ＝k (k≠0)． ∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b. 又∵a，b 不共线， ∴λ1＝k，1＝kλ2，)∴λ1λ2＝1. 4．已知平面内有一点 P 及一个△ABC，若 ＋ ＋ ＝ ，则(  ) A．点 P 在△ABC 外部 B．点 P 在线段 AB 上 C．点 P 在线段 BC 上 D．点 P 在线段 AC 上 解析：选 D ∵ ＋ ＋ ＝ ， ∴ ＋ ＋ － ＝0， ∴ ＋ ＋ ＋ ＝0，即 ＋ ＋ ＝0， ∴2 ＝ ，∴点 P 在线段 AC 上． 5．设 e1，e2 是两个不共线的向量，若向量 ke1＋2e2 与 8e1＋ke2 方向相反，则 k＝ ______. 解析：∵ke1＋2e2 与 8e1＋ke2 共线， ∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2. OA OB OC AO OD AO OD AO OD AO OD OB OC OD OA OD OA OD AO OD AB AC AB AC PA PB PC AB PA PB PC AB PA PB PC AB PA PB BA PC PA PA PC PA CP 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴k＝8λ，2＝λk，)解得 λ＝\f(12k＝4 或 λ＝－\f(12k＝－4. ∵ke1＋2e2 与 8e1＋ke2 反向， ∴λ＝－12，k＝－4. 答案：－4 6.如图所示，在▱ABCD 中， ＝a， ＝b，AN＝3NC，M 为 BC 的中点，则 ＝________(用 a，b)表示． 解析： ＝ ＋ ＝ － ＝12 －14 ＝12b－14(a＋b)＝14b－14a＝14(b－a)． 答案：14(b－a) 7．已知：在四边形 ABCD 中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－3b，求证： 四边形 ABCD 为梯形． 证明：如图所示． ∵ ＝ ＋ ＋ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴ ＝2 . ∴ 与 共线，且| |＝2| |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且 AD＝2BC. ∴四边形 ABCD 是以 AD，BC 为两条底边的梯形． 8.如图，已知△OCB 中，点 A 是 BC 的中点，D 是将 OB 分成 2∶1 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设 ＝a， ＝b. (1)用 a，b 表示向量 ， ； (2)若 ＝λ ，求 λ 的值． 解：(1)由 A 是 BC 的中点，则有 ＝12( ＋ )， 从而 ＝2 － ＝2a－b. 由 D 是将 OB 分成 2∶1 的一个内分点，得 ＝23 ， 从而 ＝ － ＝(2a－b)－23b＝2a－53b. (2)由于 C，E，D 三点共线，则 ＝μ ， AB AD MN MN MC CN MC NC AD AC AB BC CD AD AB BC CD AD BC AD BC AD BC OA OB OC DC OE OA OA OB OC OC OA OB OD OB DC OC OD EC DC 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又 ＝ － ＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b， ＝2a－53b， 从而(2－λ)a－b＝μ\a\vs4\al\co1(2a－\f(53)b)， 又 a，b 不共线，则 2－λ＝2μ，53)μ，解得 λ＝45. EC OC OE DC