2020 届江苏省南通市通州区高三第一次调研抽测
数学试题
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为高.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1.已知集合 ， ，则 =________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合交集的概念，可直接得出结果.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.
2.设 i 为虚数单位，则复数 的实部为________.
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算，化简 ，即可得出结果.
【详解】因为 ，
所以其实部为 .
故答案为
【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型.
3.某校共有学生 2400 人，其中高三年级 600 人.为了解各年级学生 兴趣爱好情况，用分层
抽样的方法从全校学生中抽取容量为 100 的样本，则高三年级应抽取的学生人数为_______.
【答案】25
的
1
3V Sh=锥体 S h
{ 1,1,2}A = − {1,2,4}B = A B
{1,2}
{ 1,1,2}A = − {1,2,4}B =
{1,2}A B =
{1,2}
3(1 )i+
3(1 )i+
3 2(1 ) (( 1 ) 2 (1 ) 2 21 ) = + + = + − ++ =i i i ii i
2−
2−【解析】
【分析】
先由题意确定抽样比，进而可得出结果.
【详解】由题意，从全校 2400 人中抽取 100 人，抽样比为 ，
又高三年级共有 600 人，所以高三年级应抽取的学生人数为 .
故答案为 25
【点睛】本题主要考查分层抽样各层样本数的问题，熟记分层抽样的概念，会求抽样比即可，
属于常考题型.
4.若从甲乙丙丁 4 位同学中选出 3 位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．
【答案】
【解析】
分析：先确定 4 位同学中选出 3 位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型
概率公式求结果.
详解：因为 4 位同学中选出 3 位同学共有 种，甲被选中事件数有 ,所以甲被选
中的概率为 .
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无
序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目
具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
5.在如图所示的算法流程图中，若输出的 y 的值为-2，则输入的 x 的值为_______.
100 1
2400 24
=
1600 2524
× =
3
4
3
4 4C = 2
3 3C =
3
4【答案】
【解析】
【分析】
先由程序框图，得到该算法流程图表示求分段函数 的函数值，由输出的 值
为 ，分类讨论，即可求出结果.
【详解】由题意可得，程序框图表示求分段函数 的函数值；
因为输出的 的值为 ，
当 时，有 ，所以 ，满足题意；
当 时，有 ，所以 ，不满足题意；
所以输入的 的值为 .
故答案为
【点睛】本题主要考查条件结构的流程图，会分析流程图的作用即可，属于常考题型.
6.已知双曲线 的焦距为 4.则 a 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
1
4
2
2
2, 1
log , 1
x xy
x x
− >= ≤
y
2−
2
2
2, 1
log , 1
x xy
x x
− >= ≤
y 2−
1x ≤ 2log 2x = − 1
4x =
1x > 2 2 2x − = − 0x =
x 1
4
1
4
2
2
2 1( 0)x y aa
− = >
3根据双曲线方程，得到焦距为 ，求解，即可得出结果.
【详解】因为双曲线 的焦距为 4，
所以 ，解得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常
考题型.
7.不等式 的解集为_______.
【答案】(﹣1，2)
【解析】
【分析】
利用指数函数 单调性求解即可
【详解】由题 则 ，故
故填(﹣1，2)
【点睛】本题考查指数函数的单调性及指数运算，是基础题
8.设 A，B 分别为椭圆 C： (a＞b＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆 C 过点 P(2，1)，
当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意得到 ， ，再由椭圆过点 ，得到 ，由基本不等式，确
定 取最小值时的条件，进而可得出结果.
的
2 2 22 2 2 1= + = +c a b a
2
2
2 1( 0)x y aa
− = >
2 2 22 2 2 1 4= + = + =c a b a 3a =
3
2 3 12 2
x x− − <
2 3 12 2
x x− − < 2 3 112 22
x x− − −< = 2 3 1 1 2x x x− − < − ⇒ − < <
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2
2
( ,0)A a (0, )B b (2,1)P 2 2
4 1 1a b
+ =
2 2AB a b= +【详解】因为 A，B 分别为椭圆 C： (a＞b＞0)的右顶点和上顶点，
所以 ， ，
又椭圆 C 过点 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
此时 ，所以离心率为 .
故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质，以及基本不等式的应用即可，
属于常考题型.
9.已知等比数列 的前 n 项和为 .若 ， ，则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先设等比数列的公比为 ，由题中条件，列出方程组，求出首项与公比，再由求和公式，即可
得出结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，即 ，
解得 ，因此 .
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
( ,0)A a (0, )B b
(2,1)P
2 2
4 1 1a b
+ =
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 1 4( ) 4 1 9 3 = + = + + = + + + ≥ =
a bAB a b a b a b b a
2 2
2 2
4a b
b a
= 2 22a b=
2 22a c= 1 2
2 2
= = =ce a
2
2
{ }na nS 2 1a = 3 68 0a a+ = 5S
11
2
−
q
{ }na q
2 1
2 5
3 6 1 1
1
8 8 0
a a q
a a a q a q
= =
+ = + =
1
3
1
8 0
a q
q
=
+ =
1
1
2
2
a
q
= −
= −
5
1
5
1 (1 32)(1 ) 112
1 1 2 2
− +−= = = −− +
a qS q故答案为
【点睛】本题主要考查等比数列前 项和基本量的运算，熟记通项公式与求和公式即可，属于
常考题型.
10.将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象.则
“ ”是“函数 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充
分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
先由题意得到 ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【 详 解 】 由 题 意 ， 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 ， 可 得
的图像，
当 时，可得 ，显然 为偶函数，
所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分条件；
若函数 为偶函数，则 ，
即 ，不能推出 ，
所以“ ”不是“函数 为偶函数”的必要条件，
因此“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，
属于常考题型.
11
2
−
n
( ) sin 4f x x
π = +
ϕ y g x= （ ）
3
4
πϕ = ( )g x
sin 4
（ ）=
π ϕ + − g x x
( ) sin 4f x x
π = +
ϕ
sin 4
（ ）=
π ϕ + − g x x
3
4
πϕ = 3sin sin cos4 4 2
（ ）=
π π π + − = − = − g x x x x ( )g x
3
4
πϕ = ( )g x
( )g x ,4 2
π πϕ π− = + ∈k k Z
,4
πϕ π= − − ∈k k Z 3
4
πϕ =
3
4
πϕ = ( )g x
3
4
πϕ = ( )g x11.已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为
，则 的值为_______.
【答案】3e
【解析】
【分析】
先对函数求导，得到 ，再由曲线 在点 处的切线方程为
，列出方程组，求出函数解析式，从而可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
又曲线 在点 处的切线方程为 ，
当 时， ，即 ，
所以有 ，解得 .
因此 ，所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常
考题型.
12.设 x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则 的最小值为_________.
【答案】9
【解析】
【分析】
将分式展开，利用基本不等式求解即可
【详解】
( ) ( ) xf x ax b e= + y f x= （ ） (0, (0))f
3 1 0x y− + = (1)f
(0)′ = +f a b y f x= （ ） (0, (0))f
3 1 0x y− + =
( ) ( ) xf x ax b e= + ( (( )) )+ + = + +′ = x x xax bf x ae ae x b ea
(0)′ = +f a b
y f x= （ ） (0, (0))f 3 1 0x y− + =
0x = 1y = (0) 1f =
3
1
a b
b
+ =
= 2, 1a b= =
( ) (2 1) xf x x e= + (1) 3f e=
3e
( 4)( 2)x y
xy
+ +
( 4)( 2) 8 2 4 16 161x y xy x y xy
xy xy xy xy
+ + + + + += = = +又 x＋2y＝4 即 ，当且仅当 等号成立，故原式
故填 9
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件
13. 函数 有两个零点，则 k 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先 令 ， 作 出 其 图 像 ， 根 据 函 数 有 两 个 零 点 ， 得 到
的图像与直线 有两个交点，结合图像，即可得出结果.
【详解】令 ，
因为函数 有两个零点，
所以 的图像与直线 有两个交点，
作出函数 的图像如下：
因为 ，
由图像可得：
2 2 ,xy≥ 2xy ≤ 2, 1x y= = 9≥
2( ) 3f x x x k= − −
( )9 0,4
− +∞
2( ) 3= −g x x x 2( ) 3f x x x k= − −
2( ) 3= −g x x x y k=
2
2
2
3 , 0( ) 3
3 , 0
x x xg x x x
x x x
− ≥= − = +
( )9 0,4
− +∞
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD P 1 1A D 1AD =
1 3AA = Q ABCD 2QC QP= BQ
D DA DC 1DD x y z
(0,2,0)C ( )1, 0, 3P (2,2,0)B ( , , 0)Q x y
2QC QP= 2 2( 2) ( 2) 4− + + =x y
D DA DC 1DD x y z
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD
P 1 1A D 2AD = 1 3AA =
(0,2,0)C ( )1, 0, 3P (2,2,0)B
Q ABCD
( , , 0)Q x y
2QC QP=
( )22 2 2( 2) 2 1 3+ − = ⋅ − + +x y x y
2 2( 2) ( 2) 4− + + =x y即点 可看作圆 上的点，
又 ，
所以 表示圆 上的点与定点 之间的距离，
因此 （其中 表示圆
的半径.）
故答案为 6
【点睛】本题主要考查立体几何中 最值问题，通常可用建系的方法求解，灵活运用转化与
化归的思想即可，属于常考题型.
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15.如图，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形， ， 相交于点 ，
， 为 的中点， .
的
Q 2 2( 2) ( 2) 4− + + =x y
2 2( 2) ( 2)= − + −BQ x y
BQ 2 2( 2) ( 2) 4− + + =x y (2,2)
2 2
max (2 2) ( 2 2) 4 2 6= − + − − + = + =BQ r r 2 2( 2) ( 2) 4− + + =x y
P ABCD− ABCD AC BD O
OP OC= E PC PA PD⊥（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）连结 ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）根据线面垂直的判定定理，即可直接证明结论成立.
【详解】（1）连结 .
因为四边形 是平行四边形， ， 相交于点 ，
所以 为 的中点.
因为 为 中点，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 ， 为 的中点，所以 .
由（1）知， ，所以 .
因为 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 .
【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型.
16.在 中，角 的对边分别为 .已知向量 ，向量
，且 .
的
/ /PA BDE
PA ⊥ PCD
OE
OE
ABCD AC BD O
O AC
E PC
//OE PA
OE ⊂ BDE PA ⊄ BDE
/ /PA BDE
OP OC= E PC OE PC⊥
//OE PA PA PC⊥
PA PD⊥ PC PD ⊂ PCD PC PD P∩ =
PA ⊥ PCD
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin , 16a A
π = + −
( )1,cosb A= 1
2a b⋅ =（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用数量积的坐标运算，结合两角和差正弦公式和辅助角公式可求得 ，
根据角的范围可确定 ；（2）利用余弦定理求得 ，根据正弦定理求得 ；由三角
形大边对大角知道 为锐角，从而求得 ；利用二倍角公式求得结果.
【 详 解 】 （ 1 ）
，解得：
（2）由余弦定理得：
由正弦定理 得：
为锐角
【点睛】本题考查解三角形知识的应用，涉及到正弦定理和余弦定理解三角形、两角和差和
辅助角公式化简三角函数、平面向量数量积公式的应用、二倍角公式的应用等知识，属于常
考题型.
A
4b = 5c = sin 2B
3A
π= 4 3
7
1sin 6 2A
π − =
3A
π= a sin B
B cos B
3 1sin cos sin cos cos sin cos sin cos6 6 6 2 2a b A A A A A A A
π π π ⋅ = + − = + − = −
1sin 6 2A
π = − =
( )0,A π∈
5π,6 6 6
π πA ∴ − ∈ − 6 6A
π π∴ − =
3A
π=
2 2 2 2 cos 16 25 40cos 213a b c bc A
π= + − = + − =
21a∴ =
sin sin
a b
A B
=
34sin 2 72sin 721
b AB a
×
= = =
b c nT
3 3mS S T= ⋅
4 2na n= − 1 15
2
− + 2 6
4
− +
( )21 28n nS a= + 1 2a = 2n 1n n na S S −= −
22nS n= 3 3mS S T= ⋅ 2
2
9 12 q qm
= + + 1m =
2m =
1n = ( )2
1 1 1
1 28a S a= = + 1 2a =
2n ( ) ( )2 2
1 1
1 12 28 8n n n n na S S a a− −= − = + − +
2 2
1 14 4 0n n n na a a a− −− − − =
( )( )1 1 4 0n n n na a a a− −+ − − =
{ }na 1 0n na a − >+
1 4n na a −− =
{ }na
2 4( 1) 4 2na n n= + − = −
22nS n=
3 3mS S T= ⋅ ( )2 218 2 2 2 2m q q= ⋅ + +所以 .
因为 ，所以 ，即 ，
由于 ，所以 或 .
当 时， ，解得 （舍负），
当 时， ，解得 （舍负），
所以 q 的值为 或 .
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与
求和公式即可，属于常考题型.
18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A，B 两地，A 地位于东西方向的直线 MN 上的陆
地处，B 地位于海上一个灯塔处，在 A 地用测角器测得 ，在 A 地正西方向 4km 的
点 C 处，用测角器测得 .拟定铺设方案如下：在岸 MN 上选一点 P，先沿线段 AP
在地下铺设，再沿线段 PB 在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元/km 和 4
万元/km，设 ， ，铺设电缆的总费用为 万元.
（1）求函数 的解析式；
2
2
9 12 q qm
= + +
0q >
2
9 12m
> 3 2
2m <
*m∈N 1m = 2m =
1m = 2 7 02q q+ − = 1 15
2q
− ±=
2m = 2 1 08q q+ − = 2 6
4q
− ±=
1 15
2
− + 2 6
4
− +
4BAN
π∠ =
3tan BCN∠ =
BPN θ∠ = ,4 2
π πθ ∈ ( )f θ
( )f θ（2）试问点 P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.
【 答 案 】（ 1 ） ， 其 中 （ 2 ） 当 点 P 选 在 距 离 A 地
处时，铺设的总费用最少，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）过 B 作 MN 的垂线，垂足为 D，根据题中条件，得到 ， ，由
， 得 到 ， ， ， 进 而 得 到
，化简即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，先设 ， ，对 求导，用导数的方法
研究其单调性，即可求出最值.
【详解】（1）过 B 作 MN 的垂线，垂足为 D.
在 中， ，则 .
在 中， ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
2 cos( ) 12 12 sinf
θθ θ
−= + × ,4 2
π πθ ∈
(6 2 3)km−
BD AD= 3BD DC=
BPN θ∠ = 6
sinBP θ= 6
tanDP θ= 66 tanAP θ= −
6 6( ) 2 6 4tan sinf θ θ θ
= × − + ×
2 cos( ) sinh
θθ θ
−= ,4 2
π πθ ∈ ( )θh
Rt BAD∆
4BAD
π∠ = BD AD=
Rt BCD∆ tan 3BDBCD DC
∠ = =
3BD DC=
4AC = 1 43BD BD− =
6BD =由 ，则 ，
由 ，得 .
所以 ，
即 ，其中 .
（2）设 ， ，
则 .
令 ，得 ，所以 .
列表如下：
0
h(θ) ↘ 极小值 ↗
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 取得最小值 ，此时 .
答：当点 P 选在距离 A 地 处时，铺设的总费用最少，且为 万元.
【点睛】本题主要考查函数的模型的应用，以及导数的方法求最值的问题，熟记导数的方法
研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.
.BPN θ∠ = 6
sinBP θ= 6
tanDP θ=
6AD BD= = 66 tanAP θ= −
6 6( ) 2 6 4tan sinf θ θ θ
= × − + ×
2 cos( ) 12 12 sinf
θθ θ
−= + × ,4 2
π πθ ∈
2 cos( ) sinh
θθ θ
−= ,4 2
π πθ ∈
2
2 2
sin (2 cos )cos 1 2cos( ) sin sinh
θ θ θ θθ θ θ
′ − − −= =
( ) 0h θ′ = 1cos 2
θ =
3
πθ =
θ ,4 3
π π
3
π
,3 2
π π
( )θ′h − +
3
πθ = 2 cos( ) sinh
θθ θ
−= 3
( )f θ 12 12 3+ 6 2 3AP = −
(6 2 3)km− 12 12 3+19.在平面直角坐标系 xOy 中，己知椭圆 C： 的左、右顶点为 A，B，右焦
点为 F.过点 A 且斜率为 k（ ）的直线交椭圆 C 于另一点 P.
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）若 ，求 的值；
（3）设直线 l: ，延长 AP 交直线 l 于点 Q，线段 BO 的中点为 E，求证：点 B 关于直线 EF
的对称点在直线 PF 上。
【答案】（1） （2） （3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的方程，结合椭圆离心率的求法，即可求出结果；
（2）先由题意，得到直线 AP 的方程为 代入椭圆方程，求出点 P 的坐标，表示
出 与 ，进而可得出结果；
（3）由直线 AP 的方程与直线 l 的方程联立，求出 ，表示出直线 EF 的斜率，再由
结合韦达定理，以及题中条件，表示出直线 PF 的斜率，再由题意，即可
证明结论成立.
【详解】（1）因为椭圆 C： ，
所以 ， ， .
又 ，所以 ， ，
2 2
2 2 1( 0)4 3
x y tt t
− = >
0k >
1
2k = 2
2
PA
PB
2x t=
1
2
2
2
45
13
PA
PB
=
1 ( 2 )2y x t= +
2PA 2PB
(2 ,4 )Q t kt
2 2 2
( 2 )
3 4 12
y k x t
x y t
= +
+ =
，
，
2 2
2 2 14 3
x y
t t
+ =
2 24a t= 2 23b t= 2 2c t=
0t > 2a t= c t=所以椭圆 C 的离心率 .
（2）因为直线 AP 的斜率为 ，且过椭圆 C 的左顶点 ，
所以直线 AP 的方程为 .
代入椭圆 C 的方程 ，
得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
将 代入 ，得 ，
所以点 P 的坐标为 .
又椭圆 C 的右顶点 B（2t,0），
所以 ， ，
所以 .
（3）直线 AP 的方程为 ，
将 代入 ，得 ，所以 .
因为 E 为线段 BQ 的中点，所以 ，
因为焦点 F 的坐标为（t,0），
所以直线 EF 的斜率 .
联立 消 y 得， .
由于 ， ，
1
2
ce a
= =
1
2
( 2 ,0)A t−
1 ( 2 )2y x t= +
2 2 23 4 12x y t+ =
2 2 23 ( 2 ) 12x x t t+ + = 2 22 0x tx t+ − =
x t= 2x t= −
x t= 1 ( 2 )2y x t= + 3
2y t=
3, 2t t
2
2 2 23 45( 2 ) 02 4PA t t t t = + + − =
2
2 2 23 13( 2 ) 02 4PB t t t t = − + − =
2
2
45
13
PA
PB
=
( 2 )y k x t= +
2x t= ( 2 )y k x t= + 4y kt= (2 ,4 )Q t kt
(2 ,2 )E t kt
2EFk k=
2 2 2
( 2 )
3 4 12
y k x t
x y t
= +
+ =
，
，
( ) ( )2 2 2 2 23 4 16 4 4 3 0k x k tx k t+ + + − =
( )2 2
2
4 4 3
3 4A P
k t
x x k
−
= +
2Ax t= −所以 ，
所以点 P 的坐标为 ，
所以直线 PF 的斜率 .
而直线 EF 的斜率为 2k，
若设 ，则有 ，即 ，
所以点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 PF 上.
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，以及椭圆的应用，熟记椭圆的方程，以及椭圆的简单
性质即可，通常处理此类题型时，需联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考
题型.
20.已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）设函数 ，若 ，且 在 上恒成立，求 的取值范
围；
（3）设函数 ，若 ，且 在 上存在零点，求
的取值范围.
【答案】（1）函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；（2） ；
（3）
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据导函数的符号即可确定单调区间；（2）分别在 和 两种情况下，
判断恒成立的条件；当 时，利用二次函数的性质，结合 可构造不等式求得
( )2
2
2 3 4
3 4P
k t
x k
−
= +
( )2
2 2
2 3 4 12,3 4 3 4
k t kt
k k
−
+ +
( )
2
2 22
2
12
4 2 23 4
1 4 1 (2 )2 3 4
3 4
pF
kt
k kkk k kk t
tk
⋅+= = =− −−
−+
EFB θ∠ = tan tan 2PFB θ∠ = 2PFB EFB∠ = ∠
( ) ( )2 1f x x a x a= + + − ( ) ( )ln ,g x x b x a b R= − ∈
2b = ( )g x
( ) ( )
( )
, 1
, 1
f x xh x g x x
≤= >
0a b+ = ( ) 0h x ≥ R b
( ) ( ) ( )u x f x g x a= − + 2a b+ ≥ − ( )u x ( )0, ∞+ b
( )g x ( )0,2 ( )2,+∞ 3 2 2,e −
[ )1,− +∞
1x ≤ 1x >
1x ≤ ( )min 0h x ≥ b的范围；当 时，利用分离变量法得到 恒成立，进而通过求解右侧函数最小值得
到 的范围；两个范围取交集即为最终结果；（3 ）将函数在 上存在零点转化为
在 上有解的问题；通过讨论 的正负可分离变量变为
，利用导数求解不等式右侧函数的最大值得到结果.
【详解】（1）当 时，
令 得：
函数 的定义域为
当 时， ；当 时， ，
函数 的单调减区间为 ，单调增区间为
（2）由 得： .
当 时， 恒成立
当 ，即 时， 恒成立；
当 ，即 时，
解得：
综上所述：
当 时，由 恒成立得： 恒成立
设 ，则 .
令 得：
当 时， ；当 时，
1x >
ln
xb x
≤
b ( )0, ∞+
ln 2xx b bx
− − ⋅ ≥ − − ( )0, ∞+ lnx x−
2 2
ln
x xb x x
−≥ −
2b = ( ) 2lng x x x= − ( ) 2 21 xg x x x
−′∴ = − =
( ) 0g x′ = 2x =
( )g x ( )0, ∞+
∴ ( )0,2x∈ ( ) 0g x′ < ( )2,x∈ +∞ ( ) 0g x′ >
∴ ( )g x ( )0,2 ( )2,+∞
0a b+ = ( ) ( )2 1 , 1
ln , 1
x b x b xh x
x b x x
− − + ≤= − >
1x ≤ ( ) ( )2 1 0h x x b x b= − − + ≥
1 12
b − ≥ 3b ≥ ( ) ( )min 1 2 0h x h= = ≥
1 12
b − < 3b < ( ) 2
min
1 6 1 02 4
b b bh x h
− − + − = = ≥
3 2 2 3b− ≤ <
3 2 2b ≥ −
1x > ( ) ln 0h x x b x= − ≥
ln
xb x
≤
( ) ( )1ln
xm x xx
= > ( ) ( )2
ln 1
ln
xm x
x
−′ =
( ) 0m x′ = x e=
( )1,x e∈ ( ) 0m x′ < ( ),x e∈ +∞ ( ) 0m x′ >
综上所述： 的取值范围为：
（3）
在 上存在零点 在 上有解
即 在 上有解
又 ，即
在 上有解
设 ，则
令 得：
当 时， ；当 时，
，即 .
设 ，则
同理可证：
则 在 上单调递减，在 上单调递增
，故
的取值范围为：
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、恒成立
问题的求解、函数在区间内有零点问题的求解等知识；解决函数在区间内有零点的关键是能
够将问题转化为方程或不等式有解的问题，通过分离变量法将问题进一步转化为所求参数与
函数最值之间大小关系的比较.
数学Ⅱ（附加题）
( ) ( )minm x m e e∴ = = b e∴ ≤
b 3 2 2,e −
( ) 2 lnu x x ax b x= + +
( )u x ( )0, ∞+ 2 ln 0x ax b x∴ + + = ( )0, ∞+
ln xa x b x
= − − ⋅ ( )0, ∞+
2a b+ ≥ − 2a b≥ − −
ln 2xx b bx
∴− − ⋅ ≥ − − ( )0, ∞+
( ) lnt x x x= − ( ) 1 11 xt x x x
−′ = − =
( ) 0t x′ = 1x =
( )0,1x∈ ( ) 0t x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0t x′ <
( ) ( )1 1 0t x t∴ ≤ = − < ln x x<
2 2
ln
x xb x x
−∴ ≥ −
( ) 2 2
ln
x xF x x x
−= −
( ) ( )( )
( )2
1 2ln 2
ln
x x xF x
x x
− − +′ =
−
ln 2
xx < 2ln 2 0x x∴ − + >
( )F x ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( )min 1 1F x F∴ = = − 1b ≥ −
b∴ [ )1,− +∞21.已知矩阵 的一个特征值为 4.求矩阵 的逆矩阵 .
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，先设矩阵 M 的特征多项式为 ，由题意求出 ，进而可求出结
果.
【详解】矩阵 M 的特征多项式为 .
因为矩阵 M 的一个特征值为 4，所以方程 有一根为 4，
即 ，所以 .
所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查求矩阵的逆矩阵问题，熟记矩阵的特征多项式，会由特征值求出矩阵
中的参数即可，属于常考题型.
22.在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程是 ，直线 l 的极坐标方程是
.试判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由.
【答案】直线 l 与曲线 C 相离，详见解析
【解析】
【分析】
2 3
1M t
= M 1M −
1
1 3
4 4
1 1
2 2
M −
−
=
−
2 3( ) 1
λλ λ
− −= − −f t 2t =
2 3( ) ( 2)( 1) 31f tt
λλ λ λλ
− −= = − − −− −
( ) 0f λ =
(4) 6 3 0f t= − = 2t =
2 3
2 1M
=
1
1 3
4 4
1 1
2 2
M −
−
=
−
2cosρ θ=
cos 24
πρ θ + = 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出曲线 C 的直角坐标方程为 ，得
到直线 l 的直角坐标方程为 ，再由几何法，即可得出结果.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即曲线 C 的直角坐标方程为 为圆.
由 ，得直线 l 的直角坐标方程为 .
所以圆心（1,0）到直线 l 的距离为 ，
所以直线 l 与曲线 C 相离.
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的判断，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及
几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型.
23.如图，在直三棱柱 中， ， ，M，N 分别是 ，
的中点，且 .
（1）求 的长度；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
2 2( 1) 1x y− + =
2 2 0x y− − =
2cosρ θ= 2 2 cosρ ρ θ=
2 2 2x y x+ = 2 2( 1) 1x y− + =
cos 24
πρ θ + = 2 2 0x y− − =
| 2 2 | 22 122
− = − >
1 1 1ABC A B C− 4AC BC= = 4 2AB = AB 1CC
1 1A M B C⊥
1AA
1AB N 1B CM
2 2 3 10
10（1）先由题意得到 ，建立空间直角坐标系，设 ，根据 ，用
向量的方法，即可求出结果；
（2）由（1）的结果，用向量的方法求出平面 的一个法向量，以及平面 的一个
法向量，由向量夹角公式，求出两法向量的夹角余弦值，即可得出结果.
【详解】（1）在 中， ， ，
则 ，所以 .
建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， .
因为 ，
所以 ，
解得 ，即 的长为 .
（2）由（1）知， ，
由 N 是 的中点，得 .
所以 ， .
设平面 的法向量 ，
90ACB °∠ = 1A A a= 1 1A M B C⊥
1AB N 1B CM
ABC∆ 4AC BC= = 4 2AB =
2 2 2AB AC BC= + 90ACB °∠ =
1A A a= (4,0,0)A (0,4,0)B (0,0,0)C 1(4,0, )A a 1(0,4, )B a (2,2,0)M
1 ( 2,2, )A M a= − −
1 (0, 4, )= − −B C a
1 1A M B C⊥
( 2) 0 2 ( 4) ( ) ( ) 0a a− × + × − + − × − =
2 2a = 1AA 2 2
1(0,0,2 2)C
1CC (0,0, 2)N
1 ( 4,4,2 2)B A = −
1 (0, 4, 2)B N = − −
1AB N ( )1 1 1 1, ,n x y z=由 ， ，
得 取 .
又 ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ， ，
得 取 .
设平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
则 .
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查立体几何中的棱长问题，以及二面角的求法，熟记空间向量的方法求
解即可，属于常考题型.
24.已知数列 的通项公式为 ， ，记
（1）求 ， 的值；
（2）求证：对任意的正整数 n， 为定值.
【答案】（1） ； .（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，直接计算，即可得出结果；
1 1n B A⊥
1 1n B N⊥
1 1 1
1 1
4 4 2 2 0
4 2 0
x y z
y z
− + + =
− − =
，
， 1 (1, 1,2 2)= −n
1 (0, 4, 2 2)= − −B C (2,2,0)=CM
1B CM ( )2 2 2 2, ,n x y z=
2 1n B C⊥
2n CM⊥
2 2
2 2
4 2 2 0
2 2 0
y z
x y
− − = + =
，
， 2 (1, 1, 2)= −n
1AB N 1B CM θ
1 2
1 2
1 2
3 10cos cos , 10
θ
⋅
= < > = =
n n
n n
n n
1AB N 1B CM 3 10
10
{ }na 1 7 1 7
3 3
n n
na
+ −= −
*n N∈
1 2
1 2
n
n n n n nS C a C a C a= + + +
1S 2S
n 2 n
n 1
S S
S
+
+
+
1
2 7
3S = 2
16 7
9S =（2）先记 ， ，由题意可得
，进而得到 ，即可得出结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ； .
（2）记 ， .
则
.
注意到 ，
所以
，
所以 为定值.
【点睛】本题主要考查数列的应用，以及二项式的应用，熟记二项式定理，以及数列求和的
概念即可，属于常考题型.
1 7
3
α += 1 7
3
β −=
( ) ( )
1 0 0 0
n n n n
i i i i i i i i i i
n n n n n
i i i i
S C C C Cα β α β α β
= = = =
= − = − = −∑ ∑ ∑ ∑
4 7 4 7(1 ) (1 ) 3 3
n n
n nα β + −= + − + = − 2 1
8
3n n nS S S+ += −
1 2
1 2
n
n n n n nS C a C a C a= + + +
1 7 1 7
3 3
n n
na
+ −= −
1
1 1 1
2 7
3S C a= = 1 2
2 2 1 2 2
16 7
9S C a C a= + =
1 7
3
α += 1 7
3
β −=
( ) ( )
1 0 0 0
n n n n
i i i i i i i i i i
n n n n n
i i i i
S C C C Cα β α β α β
= = = =
= − = − = −∑ ∑ ∑ ∑
4 7 4 7(1 ) (1 ) 3 3
n n
n nα β + −= + − + = −
4 7 4 7 13 3
+ −× =
2 2
2
4 7 4 7
3 3
n n
nS
− +
+
+ −= −
1 1
4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7
3 3 3 3 3 3
n n n n+ + + − + − + − = − + − −
1
8
3 n nS S+= −
2
1
8
3
n n
n
S S
S
+
+
+ =
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