2020 届楚州中学高三年级第三次阶段测试高三数学（文）试卷
一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把正确答案填写在答题卡相应
的位置.）
1.函数 的最小正周期为________．
【答案】
【解析】
分析】
利用正切型函数 周期求解公式求解.
【详解】因为正切型函数的周期为 ，所以最小正周期为 .
【点睛】本题主要考查正切型函数的周期求解方法，熟记求解公式 是解决本题的关键，
侧重考查数学运算的核心素养.
2.已知向量 ，且 ，则实数 的值是______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据 ，即可得出 ，从而求出 的值。
【详解】解： ， ， ，故答案为：1。
【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，是简单题。
3.设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的
切线方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据奇函数的定义，得到 ，即 ，从而确定出函数的解析式，之后对函数求
【
的
y 2tan(3 )3x
π= −
3
π
= = 3T ω
π π
3
π
=T ω
π
(2, ), (1, 2)a bm= = − a b⊥ m
a b⊥ 2 2 0a b m⋅ = − = m
a b⊥
2 2 0a b m∴ ⋅ = − = 1m∴ =
( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= ( )0 0，
y x=
1 0a − = 1a =导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成
一般式，得到结果.
【详解】因为函数 是奇函数，
所以 ，从而得到 ，即，
所以 ，所以 ，所以切点坐标是 ，
因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
故答案是 .
【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，
导数的几何意义，属于简单题目.
4.已知向量 ， ， ，则 ________.
【答案】5
【解析】
【分析】
本题首先可以根据 得出 ，然后根据 得出 ，最后通过
化简即可得出结果。
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ， 。
【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若 ，则
，考查计算能力，是简单题。
5.已知函数 ，若不等式 的解集为 ，则
的值为___________．
3 2( ) ( 1)f x x a x ax= + − +
( ) ( )f x f x− = − 1 0a − =
3( )f x x x= + (0) 0f = (0,0)
2( ) 3 1xf ' x= + '(0) 1f =
( )y f x= (0,0) y x=
y x=
(2,1)a = 10a b⋅ = 5 2a b+ = b =
(2,1)a = 2
5a = 5 2a b+ = 2
50a b + =
(2,1)a = 2
5a =
5 2a b+ = 2 2 2
2 50a b a b a b + = + + ⋅ =
2
5 20 50b+ + = 5b =
( , )a x y=
2 2 2xa y = +
( ) ( )3 2 0ax bx d af x cx= + + + ≠ ( ) 0f x x′ + > ( )1,1−
c ba
+【答案】
【解析】
【详解】试题分析： ，整理为 的解集是 ，所以
，即 ， ，所以 ，故填： .
考点：一元二次方程与韦达定理
6.已知 θ 是第四象限角，且 cosθ＝ ，那么 的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系得 sinθ，利用两角和公式及二倍角公式化简 求解
即可.
【详解】依题意，有：sinθ＝－ ，
＝ ＝ ＝
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于
基础题.
7.已知函数 f(x)的导函数 ，x∈(－1,1)，f(0)＝0，若
，则实数 x 的取值范围__________.
7
2
−
( ) 0f x x′ + > 23 (2 1) 0ax b x c+ + + > ( 1,1)−
2 1 0b + = 1
2b = − 13
c
a
= − 1 73 2 2
c ba
+ = − − = − 7
2
−
4
5
sin( )4
cos(2 6 )
πθ
θ π
+
−
5 2
14
( )
sin 4
cos 2 6
πθ
θ π
+
−
3
5
sin( )4
cos(2 6 )
πθ
θ π
+
−
sin cos cos sin4 4
cos2
π πθ θ
θ
+
2
3 2 4 2
5 2 5 2
42 ( ) 15
− × + ×
× −
5 2
14
5 2
14
( ) 5 cosf x x= +′
2(1 ) (1 ) 0f x f x− + − ∴ ( ) 5 sinf x x x a= + + 0a =
( ) 5 sinf x x x= + 2(1 ) (1 ) 0f x f x− + − <
( )2 2(1 ) (1 ) 1f x f x f x− < − − = − 2
2
1 1 1
1 1 1
1 1
x
x
x x
− < − a
3 +4
− ∞ ，
1 1( )4 2x xa > − + ( ],1x∈ −∞
1 1( )4 2x xy = − +
0y > 1 1( )4 2x xa > − + ( ],1x∈ −∞
1
2xt = 1[ , )2t ∈ +∞ 2 21 1( ) ( )2 4a t t t> − + = − + +
1[ , )2t ∈ +∞ 21 1 3( )2 4 4t− + + ≤ −
3
4a > −11.设函数 是偶函数，当 时， ，若函数
有四个不同的零点，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出函数 的图象，将问题转化为当直线 与函数 的图象有四个交点
时，求实数 的取值范围，利用数形结合思想可求解.
【详解】令 ，得 ，则问题可转化为：当直线 与函数
的图象有四个交点时，求实数 的取值范围.
作出函数 的图象如下图所示，当 时，直线 与函数 的图象
有四个交点，因此，实数 的取值范围是 ，故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数的交点个数，
利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12.设函数 则满足 的 x 的取值范围是____________.
( )f x 0x ≥ ( )
( )3 ,0 3
3 1, 3
x x x
f x
xx
− ≤ ≤= − + >
( )y f x m= −
m
91, 4
( )y f x= y m= ( )y f x=
m
( ) 0f x m− = ( )f x m= y m= ( )y f x=
m
( )y f x= 91 4m≤ < y m= ( )y f x=
m 91, 4
91, 4
1 0( ) 2 0x
x xf x x
+ ≤= >
， ，
， ，
1( ) ( ) 12f x f x+ − >【答案】
【解析】
由题意得： 当 时， 恒成立，即 ；当 时，
恒成立，即 ；当 时， ，即 .综上，x
的取值范围是 .
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数
解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到
及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
13.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若
四点均位于图中的“晶格点”处，且 的位置所图所示，则 的最大值
为________．
【答案】24
【解析】
先 建 立 直 角 坐 标 系 ， 由 向 量 投 影 知 取 最 大 值 时
, 即
1( , )4
− +∞
1
2x > 1
22 2 1xx −+ >
1
2x > 10 2x< ≤ 12 1 12
x x+ − + >
10 2x< ≤ 0x ≤ 1 11 1 12 4x x x+ + − + > ⇒ > − 01
4 x− < ≤
1( , )4
− +∞
, , ,A B C D ,A B AB CD⋅
AB CD⋅
3 9(0,5), ( 3,0), ( , ), (0,0)2 2C D A B− AB CD⋅
3 9 3 45( , ) ( 3, 5) 242 2 2 2
= − − ⋅ − − = + =点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式 a·b＝
x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行
化简.
14.在 中， ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 与 诱 导 公 式 化 简 可 得 ， 即
，可得 为锐角， 为钝角， 展开代入利用基本不等
式的性质即可得出 的最大值，结合 的范围即可得解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，可得 为锐角， 为钝角．
∴
，
当且仅当 时取等号，
∴ 的最大值是 ，
∵A 为锐角，∴A 的最大值是 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了
ABC△ sin 2sin cos 0A B C+ = A
6
π
3sin cos cos sin 0B C B C+ =
3tan tanB C= − B C ( )tan tanA B C= − +
tan A A
sin 2sin cos 0A B C+ =
( )sin 2sin cos 0B C B C+ + =
3sin cos cos sin 0B C B C+ =
cos 0C ≠ cos 0B ≠
3tan tanB C= − B C
( ) ( )
2
tan 3tantan tantan tan 1 tan tan 1 3tan
B BB CA B C B C B
− −+= − + = − =− +
2 2 3
1 32 33tantan BB
= ≤ =
+
3tan 3B =
tan A 3
3
6
π
6
π推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15.已知函数 ．
（1）求函数 的最小值，并写出 取得最小值时自变量 x 的取值集合；
（2）若 ，求函数 的单调增区间．
【答案】（1） 取得最小值 0， （2）单调增区间是 和
．
【解析】
试 题 分 析 ： （ 1 ） 根 据 二 倍 角 的 正 弦 公 式 、 二 倍 角 的 余 弦 公 式 以 及 辅 助 角 公 式 化 简
， 再 根 据 余 弦 函 数 的 性 质 可 得 当 ， 即
时 ， 取 得 最 小 值 ； （ 2 ） 令
， 解 得 ， 结 合
，分别令 ， 可得函数在 的单调增区间是 和
.
试题解析：（1）
．
2( ) ( 3 cos sin ) 2 3sin 2f x x x x= + −
( )f x ( )f x
,2 2x
π π ∈ − ( )f x
( )f x ,3x x k k Z
ππ = + ∈
,2 6
π π − −
,3 2
π π
( ) 2 2 23f x cos x
π = + + 2 23x k
π π π+ = +
( )
3x k k Z
ππ= + ∈ ( )f x 0
( )2 2 2 23k x k k Z
ππ π π π+ ≤ + ≤ + ∈ ( )5
3 6k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
,2 2x
π π ∈ − 1k = − 0k = ,2 2
π π − ,2 6
π π − −
,3 2
π π
( ) ( )2
3cos sin 2 3sin2f x x x x= + −
2 23cos 2 3sin cos sin 2 3sin2x x x x x= + + −
( )3 1 cos2 1 cos2 3sin22 2
x x x
+ −= + −
cos2 3sin2 2x x= − + 2cos 2 23x
π = + + 当 ，即 时， 取得最小值 0．
此时， 取得最小值时自变量 x 的取值集合为 ．
（2）因为 ，
令 ，
解得 ，
又 ，令 ， ，令 ， ，
所以函数在 的单调增区间是 和 ．
【方法点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式、三角函
数的图像与性质，属于中档题. 的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①
若 ,把 看作是一个整体，由 求得函数的
减区间， 求得增区间；②若 ,则利用诱导公式先将
的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画
出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
16.在 中，角 的对边分别为 已知 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
2 23x k
π π π+ = + ( )
3x k k Z
ππ= + ∈ ( )f x
( )f x ,3x x k k Z
ππ = + ∈
( ) 2cos 2 23f x x
π = + +
( )2 2 2 23k x k k Z
ππ π π π+ ≤ + ≤ + ∈
( )5
3 6k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
,2 2x
π π ∈ − 1k = − ,2 6x
π π ∈ − − 0k = ,3 2x
π π ∈
,2 2
π π − ,2 6
π π − − ,3 2
π π
cos( )y A xω ϕ= +
0, 0A ω> > xω ϕ+ 2k xπ ω ϕ≤ + ≤ ( )2k k Zπ π+ ∈
2 2 2k x kπ π ω ϕ π π+ ≤ + ≤ + 0, 0A ω> <
ω
ABC∆ , ,A B C , , ,a b c 5
2c b=
2C B= cosB
AB AC CA CB⋅ ⋅= cos 4B
π +
5
4
2
10
−（1）由正弦定理，边化角，及 ，可求得 ；
（2）由向量的数量积公式转化为三角形的边角等式，再利用余弦定理统一边，可得 ，
再由三边关系及角 B 的余弦定理可求 ，再由同角关系及和角公式可求.
【详解】（1）因为 ，则由正弦定理，得 ．
又 ，所以 ，即 ．
又 是 的内角，所以 ，故 ；
（2）因为 ， 所以 ，
则由余弦定理，得 ，得 ．
从而 ，
又 ，所以 ．
从而 ．
【点睛】（1）正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是
三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时
一般考虑利用余弦定理进行转化；
（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，
要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑
用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特
征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；
（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理
确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解；
（4）注意向量关系与边角关系 转化及面积中边角关系的应用.的
sin sin 2C B= 5cos 4B =
a c=
3cos 5B =
5
2c b= 5sin sin2C B=
2C B= 5sin 2 sin2B B= 4sin cos 5 sinB B B=
B ABC∆ sin 0B > 5cos 4B =
AB AC CA CB⋅ ⋅= cos coscb A ba C=
2 2 2 2 2 2b c a b a c+ − = + − a c=
2 2 2 3cos 2 5
a c bB ac
+ −= =
0 B π< < 2 4sin 1 cos 5B B= − =
2cos cos cos sin sin4 4 4 10B B B
π π π + = − = − 17.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 ，深度为 .如果池底每 的
造价为 150 元，池壁每 的造价为 120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为多
少米？
【答案】160m
【解析】
【分析】
设出池底的长为 ，表示出另一边的长度，根据造价情况表示出水池的总的造价，结合基本不
等式求解最值.
【详解】设水池底面一边的长度为 ，则另一边的长度为 ，
由题意可得水池总造价
，
则
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值 297600，
此时另一边的长度为 ，
因此，当水池的底面周长为 时，水池的总造价最低，最低总造价是 元，
故答案为 160．
【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，根据题意构建数学模型是求解的关键，侧重
考查数学建模的核心素养.
18.已知函数 为实数）
（1）若 在 处有极值，求 a 的值；
（2）若 在 上是增函数，求 a 的取值范围．
34800m 3m 21m
21m
x
xm 4800
3 mx
( ) 4800 4800150 120 2 3 2 33 3f x x x
= × + × + × ×
( )1600240000 720 0x xx
= + + >
( ) 1600 1600720 240000 720 2 240000 720 2 40 240000 297600f x x xx x
= + + ≥ × ⋅ + = × × + =
1600x x
= 40x = ( )f x
4800 403 mx
=
160m 297600
2( ) 2ln(1 )(f x ax x a= + −
( )f x 1x = −
( )f x [ ]3, 2− −【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)先求解导数 ，根据 是极值点，可得 ，从而可求 的值；
（2）根据 在 上是增函数可得 在 恒成立，再利用分离参数法
可求 的范围.
【详解】（1） ，
因为 在 处有极值，所以 ，即 ，解得 ，
经检验可得符合题意，所以 .
（2）因为 在 上是增函数，所以 在 恒成立，
即有 恒成立，
当 时， ，
所以 .
【点睛】本题主要考查利用极值求解参数和利用单调性求解参数范围，恒成立问题一般是利
用分离参数法求解，分离参数后转化为求解新函数的最值问题.
19.已知函数 是偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）因为函数 是偶函数，所以有 ，即求出 的值；
1
2a = − 1
6a ≤ −
( )f x′ 1x = − ( 1) 0f ′ − = a
( )f x [ ]3, 2− − ( ) 0f x′ ≥ [ ]3, 2− −
a
2( ) 2 1f x ax x
′ = + −
( )f x 1x = − ( 1) 0f ′ − = 2 1 0a− − = 1
2a = −
1
2a = −
( )f x [ ]3, 2− − ( ) 0f x′ ≥ [ ]3, 2− −
1
(1 )a x x
≤ −
[ 3, 2]x∈ − − 21 1(1 ) ( ) [ 12, 6]2 4y x x x= − = − − + ∈ − −
1
6a ≤ −
4 1( ) 2
x
x
mf x
⋅ +=
m
x 22 ( ) 3 1k f x k⋅ > + ( ,0)−∞ k
1m = 1[ ,1]3k ∈
( )f x ( ) ( )f x f x− = m（2）分离参数 ，因为 ，所以不等式等价于 ，
使得不等式恒成立，只要 即可求出 的范围。
试题解析（1）因为函数 是定义域为 的偶函数，所以有 ，
即 ，即 ，故 .
（2） ，且 在 上恒成立，
故原不等式等价于 在 上恒成立，
又 ，所以 ，所以 ，从而 ，
因此， .
20.已知函数 ，其中 是自然对数的底数， .
(1) 若 是函数 的导函数，当 时，解关于 的不等式 ；
(2) 若 在 上是单调增函数，求 的取值范围；
(3) 当 时，求整数 的所有值，使方程 在 上有解．
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】
【分析】
(1)先求导数，所求不等式可化为 ax2＋(2a＋1)x>0 然后可求；
(2) 在 上是单调增函数转化为 在 恒成立，结合根的分布求解；
(3)根据零点存在定理和单调性，先确定零点所在区间，然后确定 的值.
k ( ) 24 1 0 3 1 02
x
xf x k
+= > + >， ( )2
2 1
3 1
k
k f x
>+
( )2
2 1 max3 1
k
k f x
> +
k
( ) 4 1
2
x
x
mf x
⋅ += R ( ) ( )f x f x− =
4 1 4 1
2 2
x x
x x
m m
−
⋅ + ⋅ += 4 4 1
2 2
x x
x x
m m+ ⋅ += 1m =
( ) 24 1 0 3 1 02
x
xf x k
+= > + >， ( ) 22 3 1k f x k⋅ > + ( ),0−∞
( )2
2 1
3 1
k
k f x
>+ ( ),0−∞
( ),0x∈ −∞ ( ) ( )2,f x ∈ +∞ ( )
1 10, 2f x
∈ 2
2 1
3 1 2
k
k
≥+
1 ,13k ∈
2( ) ( ) xf x ax x e= + e a R∈
( )f x′ ( )f x 0a > x ( ) xf x e′ >
( )f x [ 1,1]− a
0a = k ( ) 2f x x= + [ , +1]k k
( )2 1, 0,a
a
+ −∞ − ∪ +∞
2 ,03
−
{ }3,1−
( )f x [ ]1,1− ( ) 0f x′ ≥ [ ]1,1−
k【详解】(1) f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.
不等式 f′(x)>ex 可化为[ax2＋(2a＋1)x]·ex>0.
因为 ex>0，故有 ax2＋(2a＋1)x>0.
当 a>0 时，不等式 f′(x)>ex 的解集是 .
(2) 由(1)得 f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.
① 当 a＝0 时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)>0 在[－1，1]上恒成立，
当且仅当 x＝－1 时取等号，故 a＝0 符合要求；
② 当 a≠0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，
因为 Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，
所以 g(x)＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2，不妨设 x1>x2，
因此 f(x)既有极大值又有极小值．
若 a>0，因为 g(－1)·g(0)＝－ax2，
因为 g(x) 图象开口向下，要使 f(x)在[－1，1]上单调，又 g(0)＝1>0，
必须满足 ，即 ，解得 ≤a0，所以 x＝0 不是方程的解，
所以原方程等价于 ex－ －1＝0，令 h(x)＝ex－ －1.
因为 h′(x)＝ex＋ >0 对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，
所以 h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数．
又 h(1)＝e－30，h(－3)＝e－3－ 0，
所以方程 f(x)＝x＋2 有且只有两个实数根，
且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，
所以整数 k 的所有值为{－3，1}．
【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解单调性问题，利用导数求解方程根的问题，
的
( )2 1, 0,a
a
+ −∞ − ∪ +∞
( )
( )
g 1 0
g 1 0
−
3 2 0
0
a
a
+
−
2
3
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2 ,03
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2
x
2
x
2
2
x
1
3综合性较强，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
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