哈六中 2019-2020 学年度上学期高三学年第一次调研考试 理科数学试卷
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.设全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得： , ，
∴ = ，
∴( ) A=
故选：D
点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明
确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元
素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取
舍．
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得原式 ，即可求解
【详解】由题意，得
U = R { }2log 2A x x= ≤ ( )( ){ }3 1 0B x x x= − + ≥ ( )U B A∩ =
( ], 1−∞ − ( ] ( ), 1 0,3−∞ − ( ]0,3 ( )0,3
{ }0 x 4xΑ = < ≤ { }x 1, 3x xΒ = ≤ − ≥或
UC B ( )1,3−
UC B ( )0,3
2 2cos15 sin1952 2
−
3
2
1
2
3
2
− 1
2
−
45 1cos( )5= −
2 2 2 2cos15 sin195 cos15 sin(180 +152 2 2 2 )− −= ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角差的余弦公式的化简求值，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题.
3.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的单调性判断 的大小关系，由 判断出三者的大小关系.
【详解】由 ， ， ，则 .故选 C.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基
础题.
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将条件中所给的式子的两边平方后化简得 ，解得 后再根据两角
差的正切公式求解．
【详解】条件中的式子两边平方，得 ，
即 ，
所以 ，
3cos(2 2cos15 sin15 45 15 ) cos32 2 0 2
= = =+ − =
3a e= 3 3log 5 log 2b = − 2ln 3c = a b c
a c b> > b c a> >
c a b> > c b a> >
3logy x= ,a b 1a c< <
3log 1a e= < 3 3
5log log2b ae= < = ln3 1c = > c a b> >
10,2sin cos 2Rα α α∈ − = tan(2 )4
πα − =
4
3 7− 3
4
− 1
7
23tan 8tan 3 0α α− − = tanα
2 2 54sin 4sin cos cos 2
α α α α− + =
2 33sin 4sin cos 2
α α α− =
( )2 2 233sin 4sin cos sin cos2
α α α α α− = +即 ，
解得 或 ，
所以 ，
故 ．
故选 B．
【点睛】解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到 后再根据公式求
解，考查变换能力和运算能力，属于基础题．
5.要得到函数 的图象，可将函数 的图象（ ）
A. 沿 轴向左平移 个单位长度 B. 沿 轴向右平移 个单位长度
C. 沿 轴向左平移 个单位长度 D. 沿 轴向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】
【详解】由函数 ，
所以将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，
即可得到函数 的图象故选 B.
6.已知函数 ，点 和 是其相邻的两个对称
中心，且在区间 内单调递减，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
23tan 8tan 3 0α α− − =
tan 3α = 1tan 3
α = −
2
2tan 3tan2 1 tan 4
αα α= = −−
2 1tan 2 74 1 2
tan
tan
π αα α
− − = = − +
tanα
3sin 2y x= 3cos 2 4y x
π = −
x
8
π x
8
π
x
4
π x
4
π
3sin 2 3cos(2 ) 3cos[2( ) ]2 8 4y x x x
π π π= = − = − −
3cos 2 4y x
π = − x
8
π
3sin 2y x=
( ) tan( )( 0, )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + ≠ < 03
π
， 5 06
π
，
2
3 3
π π
， ϕ =
2
π
6
π
3
π−
6
π−【解析】
【分析】
根据正切函数 图象与性质，求出 得值，进而得出 的值，得到答案.
【详解】由正切函数相邻的两个对称中心的距离为 ，
所以函数 的周期为 ，即 ，解得 ，
由函数 在区间 内单调递减，所以 ，
所以 ，
又由 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了正确函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与
性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.若 是方程 的解， 是方程 的解，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将方程 的解，方程 的解转化为函数 与函数 的图象的
公共点 的横坐标，即可求解.
【详解】由题意， 是方程 的解， 是方程 的解，
即 是函数 和 与函数 的图象的公共点 的横坐标，
而 两点关于直线 对称，
的 ,T w ϕ
2
Td =
( )f x 52 2 ( )6 3T d
π π π= = × − =
w
π π= 1w = ±
( )f x 2
3 3
π π
， 1w = −
( ) tan( )f x x ϕ= − +
,3 2
k k Z
π πϕ− + = ∈ ,2 3
k k Z
π πϕ = + ∈
2
πϕ <
6
πϕ = −
1x 4xxe = 2x ln 4x x = 1 2x x+
4 2 e 1
4xxe = ln 4x x = , lnxy e y x= = 4y x
=
,A B
1x 4xxe = 2x ln 4x x =
1 2,x x xy e= lny x= 4y x
= ,A B
1 2
1 2
4 4( , ), ( , )A x B xx x
y x=又由 ，解得 ，所以 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合问题，其中解答中把方程的解转化为两函数与
的图象公共点的横坐标，再利用对称性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以
及推理与运算能力，属于中档试题.
8.已知函数 在区间 为单调递减函数，则 的最
大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进
行求解即可．
【详解】f（x）=cos（2ωx+ ），
由 2kπ≤2ωx+ ≤2kπ+π，k∈Z，
得 ﹣ ≤x≤ + ，即函数的单调递减区间为[ ﹣ ， + ]，
k∈Z，
若 f（x）在区间[ ]内单调递减，
则满足 得 ，
同时 ≥ ﹣ = ，则 ≥ ，则 ω≤3
当 k=0 时，0＜ω≤ ，
4
y x
y x
= =
2x = 1 2 4x x+ =
4y x
=
( ) ( )21 2sin 06f x x
πω ω = − + > ,6 2
π π
ω
1
2
3
5
2
3
3
4
3
π
3
π
kπ
ω 6
π
ω
kπ
ω 3
π
ω
kπ
ω 6
π
ω
kπ
ω 3
π
ω
6 2
π π，
6 6
3 2
k
k
π π π
ω ω
π π π
ω ω
− ≤
+ ≥
6 1
22 3
k
k
ω
ω
≥ − ≤ +
2
T
2
π
6
π
3
π 2
2
π
ω 3
π
2
3当 k=1 时，不等式无解，
故 ω 的最大值为 ，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关
键．
9.在 中， ，BC 边上的高等于 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 设 边 上 的 高 线 为 ， 则 ， 所 以
．由正弦定理，知 ，即 ，解得
，故选 D．
【考点】正弦定理
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使
用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定
理与余弦定理求解．
10.已知方程 在 上有两个不等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2
3
ABC 4B
π= 1
3 BC sin A =
3
10
10
10
5
5
3 10
10
BC AD 3 , 2BC AD DC AD= =
2 2 5AC AD DC AD= + = sin sin
AC BC
B A
=
5 3
sin2
2
AD AD
A
=
3 10sin 10A =
2mxe x= ( ]0,8 m
1 ln 2,8 4
1 ln 2,16 4
3ln 2 2,4 e
1 2 2,4
n
e
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得方程 在 上有两个不等的实数根，设 ，求得函
数的导数和单调性，可得极值和最值，画出 的图象，可得 的不等式，即可求解.
【详解】由题意，方程 在 上有两个不等的实数根，
即为 在 上有两个不等的实数根，
即 在 上有两个不等的实数根，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 递减，
当 时， ，函数 递增，
所以当 时，函数 取得最大值 ，且 ，
所以 ，解得 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的
根转化为 在 上有两个不等的实数根，利用导数求得函数 的单调
性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.
11.已知 ，若 ,
，则 的取值范围是（ ）
2mxe x= ( ]0,8 ( ) ( ]ln , 0,8xf x xx
= ∈
( )y f x= m
2mxe x= ( ]0,8
2lnmx x= ( ]0,8
1 ln
2
xm x
= ( ]0,8
( ) ( ]ln , 0,8xf x xx
= ∈ ( ) 2
1 ln xf x x
−′ =
( ,8)x e∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
(0, )x e∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
x e= ( )f x 1
e
( ) ln8 3ln 28 8 8f = =
3ln 2 1
8 2
m
e
≤ < 3ln 2 2
4 m e
≤ <
1 ln
2
xm x
= ( ]0,8 ( ) ln xf x x
=
( ) 2 2 ln 3f x x a x= + + [ ) ( )1 2 1 2, 4, ,x x x x∀ ∈ +∞ ≠ [ ]2,3a∃ ∈
( ) ( )2 1
1 2
2f x f x mx x
− ( ) ( )2 1
1 2
2f x f x mx x
− +
( ) ( ) 2g x f x mx= + ( )g x [0, )+∞
( )g x [4, )+∞
( ) 0g x′ ≥ [4, )+∞ am x x
− ≤ + [4, )+∞
[ ]2,3a∈ ay x x
= + [4, )+∞ 4 4
am− ≤ +
[ ]2,3a∃ ∈ max
19(4 )4 4
am− ≤ + = 19
4m ≥
( ) ( )2 1
1 2
2f x f x mx x
− 1 2,x x 1 2x x> 1 2( ) ( )f x f x=
1 2 4x x+ >
2 lny x xx
= + − ( )f x kx>
2
2 ln xk x x
< +
( ) 2
2 ln xg x x x
= + ( )g x
2( ) lnf x xx
= + 2
2( ) xf x x
−′ =
( )f x (0,2) (2, )+∞
2x = ( )f x
2( ) lny f x x x xx
= − = + − 2
2
2 0x xy x
− + −′ = <
( )f x (0, )+∞当 时， ，当 时， ，所以函数 有且只有 1
个零点，所以（2）正确；
由 ，可得 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，函数无最小值，
所以不存在正整数 ，使得 恒成立，所以（3）不正确；
对于任意两正实数 ，且 ，
由（1）可知函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
若 ，则 ，所以（4）正确.
证明如下：不妨设 ，则 ，
由
令 ，则 ，
原式 ，则 ，
所以 在 上是减函数，
所以 ，所以 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，故 。
【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记利用导数研究函数的单
调性与极值（最值），以及不等式的恒成立问题的求解方法等知识点，合理应用是解答的关
键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
0x → y → +∞ x e= 2 1 0y ee
= + − < ( )y f x x= −
( )f x kx>
2
2 ln xk x x
< + ( ) 2
2 ln xg x x x
= + ( ) 3
4 lnx x xg x x
− + −′ =
( ) 4 lnh x x x x= − + − ( ) lnh x x′ = −
(1, )x∈ +∞ ( ) ( )0,h x h x′ <
(0,1)x∈ ( ) ( )0,h x h x′ > ( ) ( )1 0h x h≤ < ( ) 0g x′ <
( ) 2
2 ln xg x x x
= + (0, )+∞
k ( )f x kx>
1 2,x x 1 2x x>
( )f x (0,2) (2, )+∞
( ) ( )1 2f x f x= 1 2 4x x+ >
1 20 2x x< < < 14 2x− >
( ) ( ) 1 1
1 2 1 1 1 1
1 1 1 1 1
4( 2) 42 2(4 ) (4 ) ln(4 ) ln ln4 (4 )
x xf x f x f x f x x xx x x x x
− −− − = − − = + − − − = +− −
1
1
4 x tx
− =
1
41, 1t x t
> = +
( ) 22 ln2
tF t tt
−= + ( ) 2
2
2 1 02
t tF t t
− + −′ = <
( ) 22 ln2
tF t tt
−= + (1, )+∞
( ) ( )1 0F t F< = ( ) ( )1 24 0F x F x− − <
( )f x (1, )+∞ 1 24 x x− < 1 2 4x x+ >三、解答题（共 70 分）
17.已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设函数 ，当 时，函数 的最小值为 ，且
，求 的最小值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当 时， 化为 ，讨论 范围解得答案.
（Ⅱ） ，再利用均值不等式求 的最小
值.
【详解】（Ⅰ）当 时， 化为 ，
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ，
综上不等式 的解集是
（Ⅱ）当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以，函数 的最小值 ，
所以 ， ．
，
( ) 2 | 1| | |( )f x x x a a= + − − ∈R
2a = ( ) 2f x x +
( ) ( ) 3| |g x f x x a= + − 1a = ( )g x t
2 1 ( 0, 0)2 t m nm n
+ = > > m n+
{ }| 3 1x x x− 或
9
8
2a = ( ) 2f x x + 2 | 1| | 2 | 2x x x+ − − ≥ + x
( ) 2 | 1| 2 | 1| 2 | 1 1 | 4g x x x x x= + + − + + − = m n+
2a = ( ) 2f x x + 2 | 1| | 2 | 2x x x+ − − ≥ +
1x − 4 2x x− − + 3x −
1 2x− < < 3 2x x + 1 2x
O x l sin 13
πρ θ − =
l C
r
C M N， 6MON
π∠ = M N， O
OMN∆ OMN∆
2 3+
( )1,M ρ θ 2 , 6N
πρ θ +
2sin 2 33OMNS
πθ∆
= + +
sin 13
πρ θ − = sin 3 cos 2ρ θ ρ θ− =
3 2y x= +
( )3,1 l
| 3 3 1 2 | 22r
⋅ − += =
4sin 3
πρ θ = + 不妨设 ， ，
则
，
当 时， ，
所以 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，面积的最大值，利用极坐标方程可以简化运
算.
20.将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的
图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象.
（1）写出函数 的解析式；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求实数 和正整数 ，使得 在 上恰有 个零点.
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数 的图象变换，即可求得函数的解析式；
（2）令 ，则 恒成立，再根据二次函数的图象与性
质，即可求解；
（3）由题意可得 的图象与 在 上有 2019 个交点，分类讨论，即可求得
和 的值.
( )1,M ρ θ ( )2 1 2, 0, 0, [0,2 ]6N
πρ θ ρ ρ θ π + > > ∈
1 2
1 1 1| || |sin sin 4sin 4sin2 2 6 4 3 3 6OMNS OM ON MON
π π π πρ ρ θ θ∆
= ∠ = = ⋅ + ⋅ + +
22sin cos 2 3cos sin2 3cos2 3 2sin 2 33
πθ θ θ θ θ θ = + = + + = + +
12
πθ = S 2 3OMN∆ = +
MON∆ 2 3+
siny x= 1
2
6
π
( )f x
( )f x
x ∈ ,6 12
π π −
( ) ( )2 1 0f x mf x− − ≤ m
a n ( ) ( )F x f x a= − [ ]0,nπ 2019
( ) 2 3f x sin x
π = + 0m ≥
( ) sin( )f x A wx ϕ= +
( ) [0,1]t f x= ∈ ( ) 2 1 0g t t mt= − − ≤
( )f x y a= [ ]0,nπ a
n【详解】（1）把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，得到函数
的图象，再向左平移 个单位长度后得到函数
的图象，
故函数 的解析式为 .
（2）若对于任意 ，则 ，所以 ，
又由 恒成立，
令 ，则 恒成立，
则 ，解得 .
（3）因为 在 上恰有 个零点，
故函数 的图象与 在 上有 2019 个交点，
当 时， ，
①当 或 时，函数 的图象与 在 上无交点；
②当 或 时，函数 的图象与 在 上仅有一个交点，
此时要使得函数 的图象与 在 上有 2019 个交点，则 ；
③当 或 时，函数 的图象与 在 上 2 个交点，
此时要使得函数 的图象与 在 上的交点个数，不能是 2019 个；
④当 时，函数 的图象与 在 上 3 个交点，
此时要使得函数 图象与 在 上有 2019 个交点，则 ；
综上可得，当 或 时， ；当 时， .
【点睛】本题主要考查了三角函数 图象与性质的综合应用，以及三角函数的图象变换的应
用和恒成立问题的求解，此类题目是三角函数问题中的典型题目，关键在于能利用三角函数
的
的
siny x= 1
2
sin 2y x=
6
π
( ) sin[2( )] sin(2 )6 3f x x x
π π= + = +
( )f x ( ) sin(2 )3f x x
π= +
[ , ]6 12x
π π∈ − 2 [0, ]3 2x
π π+ ∈ ( ) sin(2 ) [0,1]3f x x
π= + ∈
( ) ( )2 1 0f x mf x− − ≤
( ) [0,1]t f x= ∈ ( ) 2 1 0g t t mt= − − ≤
( ) ( )0 1 0, 1 0g g m= − ≤ = − ≤ 0m ≥
( ) ( )F x f x a= − [ ]0,nπ 2019
( )f x y a= [ ]0,nπ
[0, ]x π∈ 72 [ , ]3 3 3x
π π π+ ∈
1a > 1a < − ( )f x y a= [ ]0,nπ
1a = 1a = − ( )f x y a= [ ]0,π
( )f x y a= [ ]0,nπ 2019n =
31 2a− < < 3 12 a< < ( )f x y a= [ ]0,π
( )f x y a= [ ]0,nπ
3
2a = ( )f x y a= [ ]0,π
( )f x y a= [ ]0,nπ 1009n =
1a = 1a = − 2019n = 3
2a = 1009n =的图象变换化简函数、进一步讨论函数的性质，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复
杂式子的变形能力，属于中档试题.
21.已知函数 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）若 在 上成立，求 的取值范围．
【答案】（1） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1） ，利用 ，解得 ，即可得出单调区间．
（2）法一：由 得 ，即 ．令
，利用导数研究其单调性即可得出．
法二：由 得 ，即 ，
令 ，利用导数研究其单调性即可得出．
【详解】解：（1） ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
故 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）法一：由 得 ，即 ，
令 ， ，
， ， 在 单调递增，
又 ， ，
ln( ) ( )x af x a Rx
+= ∈ 2( ) 2xg x e= −
( )f x
( ) ( )f x g x≤ (0, )+∞ a
( )f x 1(0, )ae − 1[ , )ae − +∞ ( ,1]−∞
2
1 ln'( ) x af x x
− −= '( ) 0f x = x
( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex
+ ≤ − 2( 2) lnxa x e x≤ − −
2( ) ( 2) lnxh x x e x= − −
( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex
+ ≤ − 2 ln 22 ln (2 ln )x x xa xe x x e x x+≤ − − = − +
( ) 2 lnx x xϕ = +
2
1 ln'( ) x af x x
− −=
10 ax e −< < '( ) 0f x > ( )f x
1 ax e −≥ '( ) 0f x ≤ ( )f x
( )f x 1(0, )ae − 1[ , )ae − +∞
( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex
+ ≤ − 2( 2) lnxa x e x≤ − −
2( ) ( 2) lnxh x x e x= − − 2 21 2 1'( ) (2 1) (2 1)x xxh x x e x ex x
+ = + − = + −
2 1( ) ( 0)xF x e xx
= − > 2
2
1'( ) 2 0xF x e x
= + > ( )F x (0, )+∞
1 4 04F e = − 所以 有唯一的零点 ，
且当 时， ，即 ， 单调递减，
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 ，
又因为 所以 ，
所以 ， 的取值范围是 .
法二：由 得 ，
即 ，
令 ，因为 ， ，
所以 存在零点 ；
令 ，则 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转
化方法，考查了推理能力与计算能力．
22.已知函数 .
（1）讨论 在 上的零点个数；
（2）当 时，若存在 ，使 ，求实数 的取值范围.（
为自然对数的底数，其值为 2.71828……）
【答案】（1）见解析；（2）
( )F x 0
1 1( , )4 2x ∈
0(0, )x x∈ 3 — 4x x '( ) 0h x < ( )h x
0( , )x x∈ +∞ ( ) 0F x > '( ) 0h x > ( )h x
( ) ( )02
min 0 0 0( ) 2 lnxh x h x x e x= = − −
0( ) 0F x = ( )
00 0 0 02
0
1 12 ln 1 2 2 1xh x x x xx e
= − − = − + =
1a ≤ a ( ,1]−∞
( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex
+ ≤ −
2 ln 22 ln (2 ln )x x xa xe x x e x x+≤ − − = − +
( ) 2 lnx x xϕ = + 1 2( ) 1 0e e
ϕ = − < (1) 2 0ϕ = >
( )xϕ 1x
( ) xG x e x= − '( ) 1xG x e= − ( , 0)x ∈ −∞ '( ) 0G x < ( )G x
(0, )x∈ +∞ '( ) 0G x > ( )G x
min( ) (0) 1G x G= =
( )1 1ln 2ln 2
1 1(2 ln ) 2 ln 1x xx xe x x e x x++ − + ≥ − + =
a ( ,1]−∞
( ) ( )ln 1f x x x ax a R= − + ∈
( )f x ( )1,+∞
1a > ( )1,x∈ +∞ ( ) ( )( )1 3f x e a< − − a e
( )2,+∞【解析】
【分析】
（1）构造函数 ，先将讨论 在 上的零点个数问题，转化为讨论直
线 与曲线 的交点个数问题，用导数方法研究函数 单调性，求
出值域，即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，由 求出零点，得到 ，再由题
意得到 成立，构造函数 ，用导数方法
研究其单调性，进而可求出结果.
【详解】（1）由 得 ，令 ，
因此讨论 在 上的零点个数，即是讨论直线 与曲线 的交点个数，
∵ ， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增， ，
又 连续不断，所以当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上存在一个零点.
（2）当 时，由（1）得 在 上存在一个零点，
由 得 ，
由（1）可得 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，
又存在 ，使 成立，
所以，只需 成立，即 不等式成立，
令 ，
则 ，
易知 在 上恒成立，
( ) 1lng x x x
= + ( )f x ( )1,+∞
y a= ( )y g x= ( ) 1lng x x x
= +
( ) 0f x′ = ( ) ( )1 1
min 1a af x f e e− −= = −
( )( )11 1 3ae e a−− < − − ( ) ( )( )1 1 3 1xh x e e x−= + − − −
( ) ln 1 0f x x x ax= − + = 1lna x x
= + ( ) 1lng x x x
= +
( )f x ( )1,+∞ y a= ( )y g x=
( ) 2 2
1 1 1xg x x x x
−′ = − = ( ) 0g x′ > ( )1,+∞
( ) 1lng x x x
= + ( )1,+∞ ( ) ( )1,g x ∈ +∞
( )g x 1a ≤ ( )f x ( )1,+∞
1a > ( )f x ( )1,+∞
1a > ( )f x ( )1,+∞
( ) ln 1 0f x x a′ = + − = 1ax e −=
( )f x ( )11, ae − ( )1,ae − +∞
( ) ( )1 1
min 1a af x f e e− −= = −
( )1,x∈ +∞ ( ) ( )( )1 3f x e a< − −
( )( )11 1 3ae e a−− < − − ( )( )1 1 3 1 0ae e a− + − − − >
( ) ( )( )1 1 3 1xh x e e x−= + − − −
( ) 1 1xh x e e−′ = + −
( ) 1 1 0xh x e e−′ = + − > ( )1,x∈ +∞故 在 上单调递增
又 ，所以 .
故实数 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的零点、以及根据不等式能成立
求参数的问题，熟练掌握导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型.
( ) ( )( )1 1 3 1xh x e e x−= + − − − ( )1,x∈ +∞
( )2 0h = ( ) 0 2h x x> ⇒ >
a ( )2,+∞
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