2019-2020 年复旦附中高三上 10 月月考
一.填空题
1.已知 “角 的终边在第一象限”， “ ”，则 是 的________条件（填“充分
非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分非必要
【解析】
【分析】
根据 得出角 终边的位置，然后利用充分必要性判断出 、 之间的关系.
【详解】若 ，则角 的终边在第一象限、 轴正半轴或第二象限，
所以， 是 的充分非必要条件，故答案为：充分非必要.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般利用集合的包含关系进行判断，转化条件如
下：
（1） ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件；
（2） ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件；
（3） ，则“ ”是“ ”的充分必要条件；
（4） ，则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
2.函数 的反函数 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ，得出 ，再由 可解出 ，由此可得出函数 的解析式，并
标明定义域.
【详解】当 时， ，由 ，得 ，
因此， ，故答案为： .
【点睛】本题考查反函数解析式的求解，还应注意求解原函数的值域，作为反函数的定义域，
考查计算能力，属于基础题.
:p α :q sin 0α > p q
sin 0α > α p q
sin 0α > α y
p q
A B x A∈ x B∈
A B x A∈ x B∈
A B= x A∈ x B∈
A B⊄ x A∈ x B∈
( ) ( )2 1 0f x x x= − < ( )1f x− =
( )1 1x x− + > −
0x < 1y > − 2 1y x= − x ( )1y f x−=
0x < ( ) 2 1 1f x x= − > − 2 1y x= − 1x y= − +
( ) ( )1 1 1f x x x− = − + > − ( )1 1x x− + > −3.记不等式 的解集为 ，函数 的定义域为 ，若 ，则实数
的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
解出集合 、 ，再由 可得出实数 的取值范围.
【详解】解不等式 得 ，则 ，
由 ，得 ，则 .
，所以， ，因此，实数 的取值范围是 ，故答案为： .
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数的取值范围，同时也涉及了二次不等式的解法
和对数函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
4.设 为奇函数，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
由奇函数的定义 ，结合对数的运算性质求出 的值，然后对 的值代入函数
解析式进行检验，从而得出实数 的值.
【详解】 函数 为奇函数，则 ，即 ，
即 ，即 ，所以 ，得 ， .
当 时，函数 的解析式中真数为 ，不合乎题意；
当 时， ，由 ，解得 或 ，此时，函数 的
定义域为 ，关于原点对称，且满足 ，则函数 为
奇函数.故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，在利用函数奇偶性的定义求参数时，所得出的
2 6 0x x+ − < A ( )lgy x a= − B A B⊆ a
3a ≤ −
A B A B⊆ a
2 6 0x x+ − < 3 2x− < < ( )3,2A = −
0x a− > x a> ( ),B a= +∞
A B⊆ 3a ≤ − a ( ], 3−∞ − ( ], 3−∞ −
( ) 1lg 1
axf x x
−= − a =
1−
( ) ( )f x f x− = − a a
a
( ) 1lg 1
axf x x
−= −
( ) ( )f x f x− = − 1 1lg lg1 1
ax ax
x x
+ −= −− − −
1 1lg lg1 1
ax x
x ax
+ −=− − −
1 1
1 1
ax x
x ax
+ − +=− − −
2 2 21 1a x x− = − 2 1a = 1a∴ = ±
1a = ( )y f x= 1−
1a = − ( ) 1lg 1
xf x x
+= −
1 01
x
x
+ >− 1x < − 1x > ( )y f x=
( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ ( ) ( )f x f x− = − ( )y f x=
1−答案还应检验，以便舍去不合乎要求的答案，考查计算能力，属于中等题.
5.已知 ，则代数式 的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
将代数式变形为 ，再利用基本不等式求出该代数式的最小值.
【 详 解 】 ， ， 由 基 本 不 等 式 得
，当且仅当 时，等号
成立，因此，代数式 的最小值为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，要注意对代数式进行配凑，同时注意“一
正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.
6.已知集合 ， ，则集合 的子集个数为__.
【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法求出集合 ，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.
详解】 ， ， ，
则集合 有 个元素，其子集个数为 ，故答案为： .
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，同时也考查了集合中的新定义，解题的关键就是确
定出所求集合的元素的个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【
1a > 2
1a a
+ −
2 2 1+
( )2 21 11 1a aa a
+ = − + +− −
1a > 1 0a∴ − >
( ) ( )2 2 21 1 2 1 11 1 1a a aa a a
+ = − + + ≥ − ⋅ +− − − 2 2 1= + 1 2a = +
2
1a a
+ − 2 2 1+
2 2 1+
{ }2, 1,0A = − − { }1,0,1,2B = − { },a b a A b B− ∈ ∈
64
{ },a b a A b B− ∈ ∈
{ }2, 1,0A = − − { }1,0,1,2B = − { } { }, 4, 3, 2, 1,0,1a b a A b B∴ − ∈ ∈ = − − − −
{ },a b a A b B− ∈ ∈ 6 62 64= 647.已知 ， ，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由 得 ，所以 ，因
为 ，所以 ，由 得 ，所以
．
考点：同角间的三角函数关系．
8.已知正数 、 满足 ，且 ，则 ________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
由 ，得出 ，由 得出 解出 的值，
进而得出 的值，从而得出 的值.
【详解】 ， ，由 得出 ，
由换底公式可得 ， ，可得 或 .
①当 时， ，此时， ，则 ；
②当 时， ，此时， ，则 .
因此， 或 ，故答案为： 或 .
【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观
察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
7sin cos 13
α α+ = − π( ,0)2
α ∈ − tanα =
12
5
−
7sin cos 13
α α+ = − 2 49(sin cos ) 169
α α+ = 60sin cos 169
α α = −
( ,0)2
πα ∈ − sin 0,cos 0α α
7sin cos 13{ 60sin cos 169
α α
α α
+ = −
= −
12sin 13{ 5cos 13
α
α
= −
=
sin 12tan cos 5
αα α= = −
a b 4ab = 2log 3a b+ = a b+ =
4 5
4ab = log 4 2log 2b ba = = 2log 3a b+ = 22log 2 log 3b b+ = b
a +a b
4ab = log 4 2log 2b ba∴ = = 2log 3a b+ = 22log 2 log 3b b+ =
2
1log 2 logb b
= 2
2
2 log 3log bb
∴ + =
2log 1b = 2log 2b =
2log 1b = 2b = 22log 2 2a = = 4a b+ =
2log 2b = 4b = 4log 4 1a = = 5a b+ =
4a b+ = 5 4 59.已知函数 的定义域是 ，则 的值域是________.
【答案】
【解析】
【分析】
将函数 的解析式变形为 ，然后分 和 两种情况讨论，利
用不等式的性质求出函数 的值域.
详解】 .
①当 时， ，则 ，此时 ；
②当 时， ，则 ，此时 .
因此，函数 的值域为 ，故答案为： .
【点睛】本题考查分式型函数值域的求解，一般利用变量分离法结合不等式的性质进行计算，
考查运算求解能力，属于中等题.
10.对于函数 ，若存在正实数 ，对于任意 ，都有 ，则称函数
在 上是有界函数，下列函数：
① ；② ；③ ；④ ；
其中在 上是有界函数的序号为________.
【答案】②
【解析】
【分析】
求出①②③④中各函数 在 上的值域，结合题中的定义进行判断即可.
【详解】对于①中的函数 ，当 时， ，该函数在 上
的值域为 ，所以，不存在正实数 ，对于任意 ，使得 成立；
【
( ) 2 1
1
xf x x
−= −
( ] [ ),0 3,−∞ ∪ +∞ ( )f x
[ ) 51,2 2, 2
( )y f x= ( ) 12 2f x x
= + − 0x ≤ 3x ≥
( )y f x=
( ) 2 1 121 1
xf x x x
−= = +− −
0x ≤ 1 1x − ≤ − 11 01x
− ≤ ( ) 1 01f x x
= >−
( )1,+∞
( )0, ∞+ M ( )1,x∈ +∞ ( )f x M≤对于②中的函数 ，当 时， ，又
， ，该函数在 上的值域为 ，所以，存在正实数 ，
当 时，对于任意 ，都有 ；
对于③中的函数 ，当 时， ， ，
该函数在 上的值域为 ，所以，不存在正实数 ，对于任意 ，使得
成立；
对于④中的函数 ，取 ，则 ，
，同理，取 ，
， ，所以，函数
在 上的值域为 ，所以，不存在正实数 ，对于任意 ，
使得 成立.
综上所述：在 上是有界函数的序号为②，故答案为：②.
【点睛】本题考查函数新定义“有界函数”的理解，解题的关键就是求出函数的值域，结合
定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11.如图，在平面直角坐标系 中，已知曲线 、 、 依次为 ，
， 的图像，其中 为常数， ，点 是曲线 上位于第一象限
的点，过 分别作 轴、 轴的平行线交曲线 分别于点 、 ，过点 作 轴的平行线交
曲线 于点 ，若四边形 为矩形，则 的值是________.
( ) 2 1
xf x x
= + 1x > ( ) 2
1 1 1
11 212
xf x x x xx x
= = < =+ + ⋅
( ) 0f x > ( ) 10 2f x∴ < < ( )1,+∞ 10, 2
M
1
2M ≥ ( )1,x∈ +∞ ( )f x M≤
( ) 1ln 1
xf x x
−= + 1x > ( )1 21 0,11 1
x
x x
− = − ∈+ + ( ) 1ln 01
xf x x
−= B D D D
2logy k x= k
( )2,2logA t t 1t > ( )2,2logB x t ( ),D t y
2 2
2
log 2log
log
x t
y t
=
=
2
2log
x t
y t
=
=
( )2
2,2logB t t ( )2,logD t t D ( )2
2,logt t
D 2logy k x= 2
2 2log logt k t= 2 1k∴ = 1
2k =
1
2
A D
( )g x R m n ( ) ( ) ( ) 3g m n g m g n+ = + −
( ) ( )2
2
1
1
x xf x g xx
−= ++
p q p q+
6
( ) ( ) 3h x g x= − ( )y h x=的图象关于点 对称，从而得出函数 的图象也关于点 对称，由
此可得出 的值.
【详解】 ， ，
构造函数 ，则 ，
令 ，可得 ， ，令 ，则
，
，所以，函数 为奇函数，即 ，
所以， ，得 ，
所以， ，
则函数 的图象关于点 对称，则该函数最高点和最低点也会关于这个点对称，
因此， ，故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的对称性求函数最值之和，解题的关键就是利用定义推导出函数
的对称中心，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二.选择题
13.设 ， 为正实数，则“ ”是“ ”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】因为 ， 为正实数且 ，所以 ，所以 ；
若 ，即 ，两边同乘以 ，得 ，
因为 ， 为正实数，所以 ，所以 。
( )y g x= ( )0,3 ( )y f x= ( )0,3
p q+
( ) ( ) ( ) 3g m n g m g n+ = + − ( ) ( ) ( )3 3 3g m n g m g n∴ + − = − + −
( ) ( ) 3h x g x= − ( ) ( ) ( )h m n h m h n+ = +
0m n= = ( ) ( )0 2 0h h= ( )0 0h∴ = n m= −
( ) ( ) ( )0 0h m h m h+ − = =
( ) ( )h m h m∴ − = − ( )y h x= ( ) ( ) 0h x h x− + =
( ) ( ) 6 0g x g x+ − − = ( ) ( ) 6g x g x+ − =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 611
x x x xf x f x g x g x g x g xxx
− − − −− + = + − + + = − + =+− +
( )y f x= ( )0,3
6p q+ = 6
a b a b< 1 1a ba b
− < −
a b a b< 1 1 1 1> , - −
0 4x< ≤ 8 4y x= + ≥ 4x > 24 42y x
= ≥− 4 8x< ≤
4y ≥ 0 8x< ≤ 8
0m > ( )
2 ,0 44
6 , 42
mx m x
y mf x m xx
+ < ≤= =
> −
0 4x< ≤ 24
mxy m= + 2 3m y m< ≤ ( ] [ ]2 ,3 4,10m m ⊆
2 4
3 10
m
m
≥
≤
102 3m≤ ≤
4 7x< ≤ 6
2
my x
= −
6 ,35
m m
[ ]6 ,3 4,105
m m ⊆
6 45
3 10
m
m
≥
≤
10
3m =
10
3m =
( )f x R 0x ≤ ( ) ( )2log 1 2 xf x x a−= − + +
a
( ) ( )f x x R∈
m ( ) ( ) 12 2 2f x xh x m m+= + ⋅ − [ ]0,1x∈ 1
4
( ) ( )1g x x ≥ 1 x
( ) ( ) 2
2 2log 1 logf x x g x k = − + ⋅ − k 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1g g g k g k g k g k+ + + − > + + + + + − 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由函数 是 上的奇函数得出 ，可解出 ，再令 ，求出 ，
利用奇函数的定义得出 的表达式，从而得出函数 在 上的解析式；
（2）由题意得出 ，令 ，可得出
，再分 、 、 三种情况讨论，分析
该二次函数在区间 上的单调性，得出该二次函数的最小值为 ，求出 的值；
（3）先求出 ，任取 且 ，利用作差法证明出
，由此得出 ， ， ，
，再利用同向不等式的可加性可得出所证不等式成立.
【详解】（1）由于函数 是 上的奇函数，则 ，
那么，当 时， .
当 时， ， ，
. 也适合 .
因此， ；
（2）当 时， ，
则 ，
令 ，则 ，
该二次函数图象开口向上，对称轴为直线 .
( ) ( )
( )
2
2
log 1 2 1, 0
log 1 2 1, 0
x
x
x x
f x
x x
− − + + ≤=
+ + − >
7
4
( )y f x= R ( )0 0f = 1a = 0x > ( )f x−
( )f x ( )y f x= R
( ) ( ) ( )2
2 1 2 2x xh x m m= + + ⋅ − [ ]2 1,2xt = ∈
( )2 1 2y t m t m= + + − 1 12
m +− ≤ 11 22
m +< − < 1 22
m +− ≥
[ ]0,1 1
4
m
( ) 2
1kg x x x
= + + [ ]1, 1m k∈ − m N ∗∈
( ) ( )2g m g k m> − ( ) ( )1 2 1g g k> − ( ) ( )2 2 2g g k> −
( ) ( )1 1g k g k− > +
( )y f x= R ( )0 1 0f a= − + =
0x ≤ ( ) ( )2log 1 2 1xf x x −= − + +
0x > 0x− < ( ) ( ) ( )2log 1 2 1xf x x f x− = − − + + = −
( ) ( )2log 1 2 1xf x x∴ = + + − ( )0 0f = ( ) ( )2log 1 2 1xf x x= + + −
( ) ( )
( )
2
2
log 1 2 1, 0
log 1 2 1, 0
x
x
x x
f x
x x
− − + + ≤=
+ + − >
[ ]0,1x∈ ( ) ( )2log 1 2 1xf x x= + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )212 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2f x x x x x x xh x m m m m m m+= + ⋅ − = + + ⋅ − = + + ⋅ −
[ ]2 1,2xt = ∈ ( )2 1 2y t m t m= + + −
1
2
mt
+= −①当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递增，此
时， ，解得 ，合乎题意；
②当 时，即当 时，函数 在 上取
得最小值，即 ，整理得 ，解得 ，
均不符合题意；
③当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减，
此时， ，不合乎题意.
综上所述，当 时，函数 在区间 上 最小值为 ；
（3）当 时， .
当 时， ，则 ，
整理得 ，解得 .
任取 且 ，
，
且 ， ， ，所以， ，
， ， ， ，
上述不等式全部相加得 .
【点睛】本题考查奇函数解析式的求解、二次函数在定区间上的最值以及不等式的证明，在
求解二次函数在定区间上的最值时，要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，
结合二次函数的单调性进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
的
1 12
m +− ≤ 3m ≥ − ( )2 1 2y t m t m= + + − [ ]1,2
min
12 4y m= − = 7
4m =
11 22
m +< − < 5 3m− < < − ( )2 1 2y t m t m= + + − 1
2
mt
+= −
( )2
min
1 124 4
my m
+= − − = 2 10 2 0m m+ + = 5 23m = − ±
1 22
m +− ≥ 5m ≤ − ( )2 1 2y t m t m= + + − [ ]1,2
min 6y =
7
4m = ( )y h x= [ ]0,1 1
4
0x ≥ ( ) ( )2log 1 2 1xf x x= + + −
1x ≥ 2log 0x ≥ ( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 2log log log 1 1 log 1f x x x x g x k = + + − = ⋅ − −
( ) ( )2 2
2 2log logx x x g x k + = ⋅ − ( ) 2
1kg x x x
= + +
[ ]1, 1m k∈ − m N ∗∈
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 1 2 1 2 22 2
k k k kg m g k m m k m m km k m m k m
− − = + + − − + + = − + − − −
( ) ( )
( )
( )
32 22 1 2 2
k mkm k m k m m k m
−= − − = − − −
[ ]1, 1m k∈ − m N ∗∈ 0k m∴ − < 2 0k m− > ( ) ( )2g m g k m> −
( ) ( )1 2 1g g k∴ > − ( ) ( )2 2 2g g k> − ( ) ( )1 1g k g k− > +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1g g g k g k g k g k+ + + − > + + + + + − 21.若定义在 上，且不恒为零 函数 满足：对于任意实数 和 ，总有
恒成立，则称 为“类余弦型”函数.
（1）已知 为“类余弦型”函数，且 ，求 和 的值；
（2）证明：函数 为偶函数；
（3）若 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数 ，总有 ，设有理数 、
满足 ，判断 和 大小关系，并证明你的结论.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析；（3） ，理由见解
析.
【解析】
【分析】
（1）令 ， 可求出 的值，令 可求出 的值；
（2）令 ，代入题中等式得出 ，可证明出函数 为偶函数；
（3）令 ，证明出 ，即可说明对任意 、 且
，有 ，然后设 ， ， 、 是非负整数， 、 为
正整数，利用偶函数和前面的结论，即可得出 和 的大小关系.
【详解】（1）令 ， ，则有 ， ， .
令 ，则有 ，所以， ；
（2）令 ，可得 ， ，
由于函数 的定义域为 ，因此，函数 为偶函数；
（3） 时， ， ，
所以， ，
令 ，即对任意的正整数 有 ，
的R ( )y f x= x y
( ) ( ) ( ) ( )2f x y f x y f x f y+ + − = ( )f x
( )f x ( ) 51 4f = ( )0f ( )2f
( )f x
( )f x t ( ) 1f t > 1x 2x
1 2x x< ( )1f x ( )2f x
( )0 1f = ( ) 172 8f = ( ) ( )1 2f x f x<
1x = 0y = ( )0f 1x y= = ( )2f
0x = ( ) ( )f y f y= − ( )y f x=
( )y kx k N ∗= ∈ ( ) ( )1f k x f kx+ > m n ∗∈N
m n> ( ) ( )f mx f nx> 1
1
1
qx p
= 2
2
2
qx p
=
1q 2q 1p 2p
( )1f x ( )2f x
1x = 0y = ( ) ( ) ( )2 1 2 1 0f f f= ⋅ ( ) 51 4f = ( )0 1f∴ =
1x y= = ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 1 1f f f f+ = ⋅ ( ) 25 172 2 14 8f = × − =
0x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2f y f y f y f f y+ − = ⋅ = ( ) ( )f y f y∴ − =
( )y f x= R ( )y f x=
0x ≠ ( ) 1f x > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2f x y f x y f x f y f y∴ + + − = >
( ) ( ) ( ) ( )f x y f y f y f x y+ − > − −
( )y kx k N ∗= ∈ k ( ) ( ) ( ) ( )1 1f k x f kx f kx f k x+ − > − − 则 ，
所以，对于任意正整数 ， 成立，
对任意的 、 且 ，则有 成立，
、 为有理数，所以可设 ， ，其中 、 为非负整数， 、 为正
整数，则 ， ，
令 ， ， ，则 、 为正整数，
， ，所以， ，即 ，
函数 为偶函数， ， ， .
【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查抽象函数的奇偶性，考查解决抽象函数的常用方
法——赋值法，考查不等式的证明方法——递推法，属于难题.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0f k x f kx f kx f k x f x f+ − > − − > > − >
k ( ) ( )1f k x f kx+ >
m n ∗∈N m n> ( ) ( ) ( )1f nx f n x f mx< + <
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