安徽2020届高三数学（文）下学期测试卷（五）（PDF版含答案）

1 2020 届高三年级自测试卷 文科数学（五） 命题人： 考试时间：120 分钟 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1、已知集合 {12 3 4}A  ，，， ，  | 1 3B x x    ，则 A B =（ ） A. }1{ B. }2,1{ C. }3,2,1{ D. }4,3,2,1{ 2、复数 1 i i z += 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3、设 1 52a  ， 1 31( )4b  ， 2 1log 2c  ，则（ ） A. a b c  B. a c b  C. b a c  D. b c a  4、设 ,  是两个不同的平面， ,l m 是两条不同的直线，且l  ， m  ，则（ ） A. 若 / /  ，则 //l m B. 若 / /m a ，则 / /  C. 若 m  ，则  D. 若  ，则 //l m 5、“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图 阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 2000 个点，己知恰有 800 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ） A. 16 5 B. 18 5 C. 10 D. 32 5 6、若变量 x，y 满足约束条件则 0 0 3 4 0 x y x y x y          ，则 2y x 的最小值是（ ） A. -1 B. -6 C. -10 D. -15 7、已知函数  y f x 的图像由函数   cosg x x 的图像经如下变换得到：先将  g x 的图像向 右平移 6  个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数  y f x 的对称轴方程为（ ） A. 2 12 kx    ， k Z B. 2 6 kx    ，k∈Z C. 12x k   , k Z D. 6x k   ， k Z 8、直线3 4 0x y m   与圆 2 2 2 4 1 0x y x y     相切，则 m  （ ） 2 A. -5 或 15 B. 5 或-15 C. -21 或 1 D. -1 或 21 9、已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 5 ，直线 2 10 0x y   过椭圆的左顶点，则椭 圆方程为（ ） A. 2 2 15 4 x y  B. 2 2 125 9 x y  C. 2 2 116 9 x y  D. 2 2 125 16 x y  10、已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在球面上， PB  平面 ABC． 2 3PB  ， ABC 为直角 三角形， AB BC ，且 1AB  ， 2BC  ．则球的表面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 17 D. 17 17 6  11、关于函数   sin cosf x x x  有下述四个结论： ①  f x 是偶函数②  f x 在区间( , )2   单调递减 ③  f x 最大值为 2 ④当 ( , )4 4x    时，   0f x  恒成立 其中正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 12、已知关于 x 的方程为 2 2 2 2( 3) 23 ( 3)x x x e xe e     则其实根的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分。 13、已知 0a  ， 0b  ， 2 4a b  ，则 3 ab 的最小值为____________. 14、已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 3 6 3 3 8 S S  ，则 5 6 4 2a a a  ____________. 15、已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b    0, 0a b  的实轴长为 8，右焦点为 F，M 是双曲线 C 的一条渐 近线上的点，且 OM MF ，O 为坐标原点，若 6OMFS  ，则双曲线 C 的离心率为____________. 16、在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 2cos ( 2 cos )A a C  ， 2c  ， D 为 AC 上一点， : 1:3AD DC  ，则 ABC 面积最大时， BD  ____________. 3 三、解答题：本大题共 6 个小题，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 已知等差数列 na 为递增数列，且满足 1 2a  , 2 2 2 43 5a a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）令 *1 ( )( 1)( 1)n n n b n Na a    ， nS 为数列 nb 的前 n 项和，求 nS ． 18．（本小题满分 12 分） 如图（1）在等腰直角三角形 ABC 中， 90ACB   ， 4AB  ，点 D 为 AB 中点，将 ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 1A BCD ，如图（2），其中 1 60A DB   ，点 M，N，G 分别为 1AC ，BC， 1A B 的中点． （1）求证： MN  平面 DCG． （2）求三棱锥 G-A1DC 的体积． 19．（本小题满分 12 分） 生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾 4 类．为了获悉高中学 生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500 名学生参加测试，从中随 机抽取了 100 名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20 )30， ，[30 )40， ，…， [80 ]90， ，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的500 名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于 60 的概率； （2）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40 )50， 内的学生 人数， （3）学校环保志愿者协会决定组织同 学们利用课余时间分批参加“垃 圾分类，我在实践”活动，以增强 学生的环保意识．首次活动从样 本中问卷成绩低于 40 分的学生中 随机抽取 2 人参加，已知样本中 分数小于 40 的 5 名学生中，男生 3 人，女生 2 人，求抽取的 2 人中男 女同学各 1 人的概率是多少？ 4 20．（本小题满分 12 分） 设曲线 2: 2 ( 0)C x py p  上一点 ( )2M m， 到焦点的距离为 3． （1）求曲线 C 方程； （2）设 P，Q 为曲线 C 上不同于原点 O 的任意两点，且满足以线段 PQ 为直径的圆过 原点 O，试问直线 PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定 点，说明理由． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 )()( 2 Rax aaxxxf  。 （1）当 1a 且 1x 时，求函数 )(xf 的单调区间； （2）当 12  e ea 时，若函数 xxxfxg ln)()( 2  的两个极值点分别为 21, xx ，证明： 1 4|)()(|0 221  exgxg 选做题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一 题记分． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 经过点 P 3(1, )2 ，其参数方程 cos 3 sin x a y     （ 为参数）， 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 E的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OA  OB，求证： 2 2 1 1 | | | |OA OB  为定值，并求出这个定值. 23. 已知函数   1 2 1f x x x m     ． （1）求不等式  f x m 的解集； （2）若恰好存在 4 个不同的整数 n，使得   0f n  ，求 m 的取值范围． 5 2020 届高三年级自测试卷 文科数学（五）参考答案 1—6 B D A C B B 7—12 AA D C D B 11、D ①，   sin cos( )) (f x x f xx      ，所以  f x 是偶函数，所以①正确. ②,当 ( , )2x   时，   sin cos 2 sin( )4f x x x x     ，此时函数  f x 在 ( , )2   单调递减，所 以②正确. ③,设sin c = 2osx x ，即 = 2+sin cosx x ，由 2+ cos 2x  ，而sin 1x  ， 显然方程无实数根，则 2 不是函数  f x 的函数值，所以③不正确. ④, 当 x [0, )4  时,   sin cosf x x x  ,由三角函数线可知，此时sin cosx x ，即   0f x  ，又  f x 是偶函数， 得 ( , )4 4x    时，   0f x  恒成立，所以④正确. 12、B 将方程 2 2 2 2( 3) 23 ( 3)x x x e xe e     变形为 2 2 2 3 3 2 ( 3) x x x e e e x e    , 设 2 3 x xt e  ，即 2 3 2t e t e   ，则 2 2 2 3 0e t et   ，解得 1t e   或 3t e  设 2 3( ) x xf x e  ，则 22 ( 3) ( 3)( 1)( ) x x x x x xf x e e        所以 ( )f x 在 ( , 1)  上单调递减，在 ( 1,3) 上单调递增，在 (3, ) 上单调递减. 又 ( 1) 2f e   ， 3 6(3)f e  ，且当 3x  时， ( ) 0f x  ,所以函数 ( )f x 的大致图像如右, 所以由 1t e   或 3t e  ，即 2 3 1 x xt e e    有 2 个根， 2 3 3 x xt e e   有 1 个根.所以方程 2 2 2 2( 3) 23 ( 3)x x x e xe e     有 3 个实数根. 13、 3 2 14、 1 3 设等比数列 na 的首项为 1a ，公比为 q. 当 1q  时显然不成立. 所以 1q  ，则由 6 1 3 3 3 6 6 3 1 (1 ) 3 1 1+1= = =3 (1 )3 8 3(1 ) 3 1 a q S q qq a qS q q      ， 6 解得： 1 2q  ，所以 5 2 6 1 4 3 4 1 15 122 2 2 14 11 31 2 a a q q a a a q a q q         15、双曲线的实轴长为 8，则 4a  ， OM MF ，即 MF 为焦点到渐近线的距离 所以 MF b ，又 OF c ，所以在直角 OFM△ 中， =OM a ， 则 1 62OFMS ab  ，得 3b  ， 5c  ，所以 5 4 ce a   .故答案为： 5 4 16、 将 2c  代入 2cos ( 2 cos )A a C  得： cos ( 2 cos )c A a C   ，由正弦定理有： sin cos sin ( 2 cos )C A A C   ,即sin cos +cos sin 2 sinC A C A A   ， 则sin( ) 2 sinA C A  ,即sin 2 sinB A ,所以 2b a . 以 AB 为 x 轴， AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系， 则 ( 1,0), (1,0)A B ，设 ( , )C x y ，由 2b a ，即| | 2 | |AC BC , 所以 2 2 2 2( 1) 2[( 1) ]x y x y     ，即 2 2( 3) 8( 0)x y y    如图，顶点C 在圆 2 2( 3) 8( 0)x y y    上,设圆心 (3,0)E ` 显然当CE AB 时，三角形 ABC 的面积最大, 由 : 1:3AO OE  ,又 : 1:3AD DC  所以 / /OD CE ,又因为CE AB ，即 D 点在 y 轴上(如图) 2 4 2 CEOD   , 1OB  所以 1 61 2 2BD    故答案为： 6 2 17、解：（1）由题意知 2 2 2(2 2 ) (2 3 ) (2 4 )d d d     23 4 4 0d d    2d  或 2 3d   { }na 为递增数列， 2d  故数列{ }na 的通项公式为 2 .na n （2） 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n       1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ... ( )]2 3 3 5 5 7 2 1 2 1nS n n            1 1(1 )2 2 1n    2 1 n n   . 18、解：（1）由题知图（1）中 2 2, 2AC BC AD BD CD     在三棱锥 1A BCD 中， 1 1,A D BD AC BC  7 ∵点G 是 1A B 的中点， 1 1,DG A B CG A B   ，又 DG CG G  1A B  平面 DGC 又 点 M 、 N 分别是 1AC 、 BC 的中点， 1/ /MN A B MN DGC  平面 . （2）由图（1）知 1 ,CD A D CD BD  ，且 CD 平面 1A DG 又 0 1 60A DB  ， 1A DB 为等边三角形， 1 1, 2,DG A B A B   1 1 1 1, 3,2AG A B DG   1 1 1 1 31 32 2 2A DGS AG DG       ， 1 1 1 1 1 3 323 3 2 3G A DC C A DG A DGV V S CD         . 19、解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于 60的频率为 (0.02 0.04 0.02) 10 0.8    ，所以样本中分数高于 60 的概率为 0.8． 故从总体的 500 名学生中随机抽取一人，其分数高于 60 的概率估计为 0.8． （2）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为 (0.01 0.02 0.04 0.02) 10 0.9     ， 分数在区间[40,50) 内的人数为100 100 0.9 5 5    ． 所以总体中分数在区间[40,50) 内的人数估计为 5500 25100   ． （3）设 3 名男生分别为 1 2 3, ,a a a ，2 名女生分别为 1 2,b b ，则从这 5 名同学中选取 2 人的结果为： 1 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 2 3 1 2{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }{ , },{ , },{ , },{ , }a a a a a b a b a b a b a b a b a a b b， 共 10 种情况.其中 2 人中男女同学各 1 人包含结果为： 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2{ , },{ , },{ , },{ , }{ , },{ , }a b a b a b a b a b a b， ，共 6 种. 设事件 {A  抽取的 2 人中男女同学各 1 人}，则 6 3( ) 10 5P A   所以，抽取的 2 人中男女同学各 1 人的概率是 3 5 . 20 解：（1）由抛物线定义得 2 32 p  ，解得 2p  ，所以曲线 C 方程为 2 4x y （2） 以 PQ 为直径的圆过原点 O ， OP OQ  设直线OP 的方程为 ( 0)y kx k  ,与曲线 C 方程 2 4x y 联立，得 2 4x kx 解得 0x  （舍去）或 4x k ，则 2(4 ,4 )P k k .又直线OQ 的方程为 1 y xk ，同理： 2 4 4( , )Q k k  . 又直线 PQ 斜率存在， PQ 的直线方程为 2 2 2 4 4 4 44 4 y k x k k kk k      即 1( ) 4.y k xk    直线 PQ 恒过定点  0,4 . 8 9 10 22、(1)将点 3(1, )2P 代入曲线 E 的方程， 得 1 cos , 3 3 sin ,2 a     解得 2 4a  ，所以曲线 E 的普通方程为 2 2 14 3 x y  , 极坐标方程为 2 2 21 1( cos sin ) 14 3     . (2)不妨设点 ,A B 的极坐标分别为 1 2 1 2( ) ( ) 0 0,2A B        ， ， ， ， ， 则 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1( cos sin ) 1,4 3 1 1( cos ( ) sin ( ) 1,4 2 3 2                  即 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1cos sin4 3 1 1 1sin cos4 3           ， 2 2 1 2 1 1 1 1 7 4 3 12     ,即 2 2 1 1 7 | | | | 12OA OB   23 解析：（1）由  f x m ，得， 1 2 1x x   , 不等式两边同时平方，得 2 2( 1) (2 +1)x x  ，即 3 ( 2) 0x x   ，解得 2 0x   . 所以不等式  f x m 的解集为{ | 2 0}x x   ． （2）设   | | 2 1| |1g x x x   ， 12, 2 1( ) 3 , 12 2, 1 x x g x x x x x               ，   0 ( )f n g n m    ， 因为 ( 2) (0) 0g g   ， ( 3) 1, ( 4) 2, (1) 3g g g        ， 又恰好存在 4 个不同的整数 n，使得   0f n  ，所以 2 1.m     故 m 的取值范围为[1,2) .