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2020 届“三省十二校”联考
数学（理科）试题
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 2 2 0A x R x x ， 1,0,1B ，则 A B （ ）
A． 1,0,1 B． 1,0 C． 0,1 D． 0
2.已知 izi 43 为虚数单位i ,则复数 z 在复平面上所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 4log 0.4m , 0.44n , 0.50.4p ，则( )
.A m n p .B m p n .C p m n .D n p m
4．如图， 为等腰直角三角形， ， 为斜边 的高， 为线段 的中
点，则 （ ）
A． B． C． D．
5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网
行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形
图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980—1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前
出生．
A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20％
C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
2020.2.19
（（考试时间：150 分钟总分：150 分）
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6.已知 , ,A B C 是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b 上的三个点， AB 经过原点O ， AC 经过右
焦点 F ，若 BF AC 且 2 AF CF ，则该双曲线的离心率是（ ）
A.
3
5 B.
3
17 C.
2
17 D.
4
9
7.函数 2
2( ) logf x x x ，则不等式 0)3()1( fxf 的解集为（ ）
),4()1,.( A ),1()4,.( B
)2,1()1,4.( C )4,1()1,1.( D
8.已知函数 2sin 0, 2f x x
的两条相邻对称轴的距离为
2
，把
f x 的图象向右平移 6
个单位得函数 g x 的图象，且 g x 为偶函数，则 f x 的单调增
区间为（ ）
A. 42 ,2 ,3 3k k k Z
B. 4, ,3 3k k k Z
C. 2 ,2 ,6 3k k k Z
D. , ,6 3k k k Z
9．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C ，的各顶点都在球 O 的球面上，且 32,2 BCACAB ，
若球 O 的体积为 3
5160 ，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
A． 24 B． 38 C． 8 D． 54
10．在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , , ,a b c S 为 ABC 的面积，
sin A C 2 2
2S
b c
，且 , ,A B C 成等差数列，则C 的大小为（ ）
A．
3
B．
3
2 C．
6
D．
6
5
11．已知函数 2
, 0( ) e , 0x
x xf x x
， ( ) exg x （e 是自然对数的底数），若关于 x 的方程
( ( )) 0g f x m 恰有两个不等实根 1x 、 2x ，且 1 2x x ，则 2 1x x 的最小值为（ ）
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A． 1 (1 ln 2)2 B． 1 ln22 C．1 ln 2 D． 1 (1 ln 2)2
12．.设 M ， N 是抛物线 2y x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的
斜率之积为 1
2 ，则（ ）
A．| | | | 4 2OM ON B．以 MN 为直径的圆的面积大于 4
C.直线 MN 过抛物线 2y x 的焦点 D．O 到直线 MN 的距离不大于 2
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横
线上。
13．已知 1 12 1 1 2 32 2
， ， ， ，，， ，若幂函数 af x x 为奇函数，且在 0 ， 上递
减，则 a ____．
14. 函数 ( ) cosxf x e x 的图象在点(0, (0))f 处的切线的倾斜角为____．
15. 有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游， 假设
每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为
_______
16．如图，三棱锥 A－BCD 中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB
＝8，CD＝12，点 P 在侧面 ACD 上，且到直线 AB 的距离为 21 ，
则 PB 的最大值是________．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。
17．已知公差不为 0 的等差数列 }{ na 满足 93 a ， 2a 是 71,aa 的等比中项.
(1)求数列 }{ na 的通项公式；
(2)数列 }{ nb 满足
)7(
1
n
n anb ,求数列 }{ nb 的前 n 项的 nS .
18．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 1 PA AB ， 2PB PD .
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（1）证明： BD 平面 PAC ；
（2）若 E 是 PC 的中点，F 是棱 PD 上一点，且 / /BE 平面 ACF ，求二面角 F AC D
的余弦值.
19. 已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)5
x yC bb b 的一个焦点坐标为(2,0) ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点 (3,0)E ，过点(1,0) 的直线l （与 x 轴不重合）与椭圆C 交于 ,M N 两点，直
线 ME 与直线 5x 相交于点 F ，试证明：直线 FN 与 x 轴平行．
20．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一
块地的 *( )n n N 个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 1
2
，且每粒
种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，
否则要补播种．
（1）当 n 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当 4n 时，用 X 表示要补播种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望．
21.（本小题 12 分）
已知函数 1( ) sin ln 12 2
mf x x x x ， ( )f x 是 ( )f x 的导函数.
（1）证明：当 2m 时， ( )f x 在(0, ) 上有唯一零点；
（2）若存在 1 2, (0, )x x ，且 1 2x x 时， 1 2f x f x ，证明： 2
1 2x x m .
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请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题
号。
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 6cos .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建
立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 2 cos
1 sin
x t
y t
(t 为参数).
（Ⅰ）若
2
，求曲线C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程;
（Ⅱ）设点 1,2 P ，曲线C 与直线 l 交于 BA、 两点，求 2 2PA PB 的最小值.
23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 1
3f x x a a R ．
（1）当 2a 时，解不等式 1 13x f x ；
（2）设不等式 1
3x f x x 的解集为 M ，若 1 1,3 2 M
，求实数a 的取值范围．
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2020 届“三省十二校”联考
数学（理科）答案
一、选择题：
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B B D B C D B C A D
二、填空题
13． 1 14. 4
15． 9
16 16． 57
三、解答题：
17．（1）设等差数列 的公差为 ，则
解得 或 （舍去），
.
（2） ,
.
18．（1）证明：∵ 1PA AB AD ， 2PB PD .
∴ 2 2 2PA AB PB ， 2 2 2PA AD PD ，
∴ PA AB ， PA AD ， AB AD A ， ,AB AD 平面 ABCD
∴ PA 平面 ABCD ，而 BD 平面 ABCD 第 2 页 共 6 页
∴ PA BD ． 又∵ ABCD 为正方形，
∴ AC BD ， PA AC A ， ,PA AC 平面 .PAC
∴ BD 平面 PAC ．
（2）解：如图，连接 ED ，取 ED 的中点 M ，
设 AC BD O ，连接OM ，则 BE OM ，
从而 BE 平面 ACM ，平面 ACM 与 PD 的交点即为 F ．
以OB
、OC
、OE
为 , ,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ，
20, ,02OC
，
10,0, 2OE
，
2 ,0,02OD
，
2 1,0,2 4 4
OE ODOM
，
平面 ACF 即平面 ACM ，设其法向量为 , ,n x y z ，
则
0,
0,
n OC
n OM
即
0,
2 0,
y
x z
令 1x ，得 1,0, 2n ，
易知平面 ACD 的一个法向量为 0,0,1m ，
∴
2 6cos , 33
m nm n
m n
.
因为二面角 F AC D 为锐二面角，故所求余弦值为 6
3
．
19． （Ⅰ）由题意可知 2 2
2,
5 .
c
a b
所以 2 25, 1a b .所以椭圆C 的方程为
2
2 15
x y .
（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时 MN x 轴.设 1,0D ，直线 5x 与 x 轴相交于 第 3 页 共 6 页
点G ，易得点 3,0E 是点 1,0D 和点 5,0G 的中点，又因为 MD DN ，
所以 FG DN ，所以直线 //FN x 轴.
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 1 0y k x k 1 1 2 2, , ,M x y N x y .
因为点 3,0E ，所以直线 ME 的方程为 1
1
33
yy xx .
令 5x ，所以 1 1
1 1
25 33 3F
y yy x x .
由
2 2
1 ,
5 5
y k x
x y
消去 y 得 2 2 2 21 5 10 5 1 0k x k x k .显然 0 恒成立.
所以 22
1 2 1 22 2
5 110 , .5 1 5 1
kkx x x xk k
因为
2 1 1 2 1 11
2 2
1 1 1
3 2 1 3 2 12
3 3 3F
y x y k x x k xyy y y x x x
2 2
2 2
1 2 1 2
1 1
5 1 103 55 1 5 13 5
3 3
k kk k kk x x x x
x x
2 2 2
2
1
5 1 6 5 1 05 1 3
k k k k
k x
，
所以 2 Fy y .所以直线 //FN x 轴.综上所述，所以直线 //FN x 轴.
20．（1）当 5n 或 6n 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为
5
16 ； （2）见解
（1）将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值
时有 3 个坑要补播种的概率最大．（2）n＝4 时，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，4．分
别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．
（1）对一个坑而言，要补播种的概率
3 3
0 1
3 3
1 1 1
2 2 2P C C
，
有 3 个坑要补播种的概率为 3 1
2
n
nC
. 第 4 页 共 6 页
欲使 3 1
2
n
nC
最大，只需
1
3 3
1
1
3 3
1
1 1
2 2
1 1
2 2
n n
n n
n n
n n
C C
C C
，
解得5 6n ，因为 *n N ，所以 5,6,n
当 5n 时，
5
3
5
1 5
2 16C
；当 6n 时，
6
3
6
1 5
2 16C
；
所以当 5n 或 6n 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为
5
16
.
（2）由已知， X 的可能取值为 0，1，2，3，4. 14, 2X B ，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
X 的数学期望
14 22EX .
21（1）证明：当 2m 时， 1( ) sin ln 12f x x x x ， 1 1( ) 1 cos2f x x x
.
当 (0, )x 时， ( )f x 为增函数，且 1 3 3 31 03 4 4f
，
3 1( ) 02f
，∴ ( )f x 在 (0, ) 上有唯一零点；
当 [ , )x 时， 1 1( ) 1 cos2f x x x
1 1 1 11 02 2x 厖 ，
∴ ( )f x 在[ , ) 上没有零点.
综上知， ( )f x 在 (0, ) 上有唯一零点.
（2）证明：不妨设 1 20 x x ，由 1 2f x f x 得
1 1 1
1 sin ln 12 2
mx x x 2 2 2
1 sin ln 12 2
mx x x ，
∴ 2 1 2 1 2 1
1ln ln sin sin2 2
m x x x x x x .
设 ( ) sing x x x ，则 ( ) 1 cos 0g x x … ，故 ( )g x 在(0, ) 为增函数， 第 5 页 共 6 页
∴ 2 2 1 1sin sinx x x x ，从而 2 1 2 1sin sinx x x x ，
∴ 2 1ln ln2
m x x 2 1 2 1 2 1
1 1sin sin2 2x x x x x x ，∴ 2 1
2 1ln ln
x xm x x
，
下面证明： 2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
.
令 2
1
xt x ，则 1t ，即证明 1
ln
t tt
，只要证明 1ln 0tt
t
.（*）
设 1( ) ln th t t
t
，则 2
1
( ) 0
2
t
h t
t t
，∴ ( )h t 在(1, ) 单调递减.
当 1t 时， ( ) (1) 0h t h ，从而（*）得证，即 2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
.
∴ 1 2m x x ，即 2
1 2x x m .
22.（1）曲线 C: 2 6 cos ，将 cos , sinx y .代入得 x2+y2-6x＝0
即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y2＝9.
直线 l:
2
1
x
y t
，(t 为参数)，所以 x＝2，故直线 l 的极坐标方程为 cos 2 ……5 分
（2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得 2 2( cos sin ) ( sin 1) 9t t
即 2 2 (cos sin ) 7 0t t
设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 1 2 1 22(cos sin ), 7t t t t
因为 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t
当sin 2 1 时取等号，所以 2 2PA PB 的最小值为 14.-----------------10 分
22．解：（1） 依题意，直线 1l 的直角坐标方程为 3
3y x ，
2l 的直角坐标方程为 3y x ． ……………………………………………………………2 分
由 =2 3 cos 2sin 得 2 =2 3 cos 2 sin ，
因为 2 2 2 , cos , sinx y x y ，……………………………………………3 分 第 6 页 共 6 页
所以 2 2( 3) ( 1) 4x y ， ……………………………………………………………4 分
所以曲线C 的参数方程为
3 2cos
1 2sin
x
y
（ 为参数）…………………………5 分
（2）联立 6
=2 3 cos 2sin
得 1 4OA ，…………………………6 分
同理， 2 2 3OB ．……………………………………7 分
又 6AOB ，………………………………………………………………8 分
所以
1 1 1sin 4 2 3 2 32 2 2AOBS OA OB AOB ，………………9 分
即 AOB 的面积为 2 3 ． ………………………………………………………10 分
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