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2019—2020 学年度第二学期一调考试
高三年级数学试卷（文科）
命题人：张立娜 审核人：侯杰
第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）
1．已知复数 z＝ （其中 a∈R，i 为虚数单位），若复数 z 的共轭复数的虚部为﹣ ，则复数 z
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集 U＝R，A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的
集合为（ ）
A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤2 或 x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤2}
3．已知 a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数 f（x）＝ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数 n 被 3 除
余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 4，求 n 的最小值．按此口诀的算法如图，则输出 n 的结果为（ ）
A．53 B．54 C．158 D．263
5．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图
三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一
个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是 400cm2，900cm2，高为 9cm，长方体形凹槽的
体积为 4300cm3，斗的密度是 0.70g/cm3．那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是
．
A．3990g B．3010g C．7000g D．6300g
6．在△ABC 中， ，则△ABC 的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
7．已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， 为双曲线左支上一点， 为等
腰三角形且外接圆的半径为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．已知 a＞1，设函数 f（x）＝ax+x﹣2 的零点为 m，g（x）＝logax+x﹣2 的零点为 n，则
的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B． C．（4，+∞） D．
2 2
2 2 1x y
a b
− = ,A B P ABP∆
5a
15
5
15
4
15
3
15
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9．已知函数 f（x）＝x3+x+1+sinx，若 f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC 中，AD⊥AB， ＝3 ，| |＝1，则 • 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在三棱锥 P﹣ABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，PA＝ PB＝1，Q 是棱 BC 上一个动点，若
直线 AQ 与平面 PBC 所成角的正切的最大值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．6π B．7π C．8π D．9π
12．已知关于 x 的方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0 恰有四个不同的实数根，则当函数 f（x）＝x2ex
时，实数 k 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（ ）
C．（ ） D．（2， ）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置.）
13．f（x）是定义域为 R 的偶函数，对∀x∈R，都有 f（x+4）＝f（﹣x），当 0≤x≤2 时，
，则 ＝ ．
14．若正实数 a，b 满足 a+b＝1，则下列选项中正确的是
（1）ab 有最大值 （2） + 有最小值
（3） + 有最小值 4 （4）a2+b2 有最小值
15．在△ABC 中，D 是 AB 的中点，∠ACD 与∠CBD 互为余角，AD＝2，AC＝3，则 sinA 的值
为 ．
16．如图，曲线 y2＝x（y≥0）上的点 P1 与 x 轴的正半轴上的点 Qi 及原点 O 构成一系列正三角
形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形 Qn﹣1PnQn 的边长为 an，n∈N*（记
Q0 为 O），Qn（Sn，0）．数列{an}的通项公式 an＝ ．
三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（一）必考题
17．（本小题满分 12 分）
设{an}是等差数列，公差为 d，前 n 项和为 Sn．
（1）设 a1＝40，a6＝38，求 Sn 的最大值；
（2）设 ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且对任意的 n∈N*，都有
Tn≤20，求 d 的取值范围．
)21()2
9( ff +− 高三年级数学文科 第 页(共 4 页) 3
18．（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都是 2，AA1⊥面 ABC，D，E 分别是 AC，CC 1 的中
点．
（1）求证：AE⊥平面 A1BD；
（2）求三棱锥 B1﹣ABE 的体积．
19．（本小题满分 12 分）
已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关，现收集了一只该品种昆虫的产卵数 y（个）和温度 x
（°C）的 7 组观测数据，其散点图如图所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数 y 和温度 x 可用方程 y＝ebx+a 来拟合，令 z＝
lny，结合样本数据可知：z 与温度 x 可用线性回归方程来拟合．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
（xi﹣ ）2
（zi﹣ ）2 （xi﹣ ）（zi﹣ ）
27 74 3.537 182 11.9 46.418
表中 zi＝lnyi， ．
（1）求 z 和温度 x 的回归方程（回归系数结果精确到 0.001）；
（2）求产卵数 y 关于温度 x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在 26°C～36°C 之间
（包括 26°C 与 36°C），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围
（参考数据：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈548．）
附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，vn），其回归直线 的斜率和
截距的最小二乘估计分别为 ， ． 高三年级数学文科 第 页(共 4 页) 4
20．（本小题满分 12 分）
设椭圆 ，过点 A（2，1）的直线 AP，AQ 分别交 C 于相异的两点 P，Q，直线 PQ
恒过点 B（4，0）．
（Ⅰ）证明：直线 AP，AQ 的斜率之和为﹣1；
（Ⅱ）设直线 AP，AQ 分别与 x 轴交于 M，N 两点，点 G（3，0），求|GM|•|GN|．
21（本小题满分 12 分）
已知函数 f（x）＝（x+a﹣1）ex，g（x）＝ x2+ax，其中 a 为常数．
（1）若 a＝2 时，求函数 f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若对任意 x∈[0，+∞），不等式 f（x）≥g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做
答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲
已知曲线 C 的参数方程为 ，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上
的点按坐标变换 得到曲线 C'，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系．
（Ⅰ）求曲线 C'的极坐标方程；
（Ⅱ）若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C'交于 M，N 两点，弦 MN
的中点为 P，求 的值．
23（本题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲
设函数 f（x）＝k|x|﹣|2x﹣1|．
（1）当 k＝1 时，求不等式 f（x）＞0 的解集；
（2）当 x∈（0，+∞）时，f（x）+b＞0 恒成立，求 k+b 的最小值． 高三年级数学文科 第 页(共 4 页) 5
2019—2020 学年度高三年级下一调文数答案
1-12 ADDAC DCACC AB
13 14（1）（3） 15 16
．
14．
在△ADC 中，设∠ACD＝θ，
则：∠CBD＝ ，
利用余弦定理： ＝ ．
在△ADC 中，利用正弦定理： ，
故： ，所以： ，解得：cosA＝ ，
在△ACD 中，利用余弦定理： ，
所以： ，
整理得：CD4﹣9CD2+20＝0
解得： ．
①当 CD＝2 时，cosA＝ ．
所以：sinA＝
CD＝ 时，cosA＝ ，
所以：sinA＝ ．
故答案为：
16．解：由条件可得△P1OQ1 为正三角形，且边长为 a1，
∴ ，P1 在曲线上，代入 y2＝x（y≥0）中，得 ，
∵a1＞0，∴a1＝ ，根据题意得点 ，
代入曲线 y2＝x（y≥0）并整理，得 Sn＝ ．
当 n≥2，n∈N*时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝ ，
即 ．
∵an+1＞an＞0，∴an+1﹣an＝ ，
当 n＝1 时，S1＝ ，∴ 或 （舍）
∴a2﹣a1＝ ，故 an+1﹣an＝
∴数列{an}是首项为 ，公差为 的等差数列，∴an＝ ．
故答案为： ．
三．解答题
17．解：（1）a1＝40，a6＝38，可得 d＝ ＝﹣ ， 高三年级数学文科 第 页(共 4 页) 6
可得 Sn＝40n﹣ n（n﹣1）• ＝﹣ （n﹣ ）2+ ，
由 n 为正整数，可得 n＝100 或 101 时，Sn 取得最大值 2020；
（2）设 ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，
可得 an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为 2，公比为 2d 的等比数列，
若 d＝0，可得 bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；
当 d＜0 时，Tn＝ ＜ ，
对任意的 n∈N*，都有 Tn≤20，可得 20≥ ，且 d＜0，
解得 d≤log20.9．
18．解：（1）证明：∵AB＝BC＝CA，D 是 AC 的中点，
∴BD⊥AC，
∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，
∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，且平面 AA1C1C∩平面 ABC＝AC，
∴BD⊥平面 AA1C1C，
∵AE⊂平面 AA1C1C，∴BD⊥AE．
又∵在正方形 AA1C1C 中，D，E 分别是 AC，CC1 的中点，
∴A1D⊥AE，又 A1D∩BD＝D，∴AE⊥平面 A1BD．
（2）解（割补法）： ＝ ﹣VB﹣ACE﹣
＝S△ABC×AA1﹣ ×BD
＝ ﹣ ＝ ．
19．解：（1）由 z 和温度 x 可以用线性回归方程拟合，设 ，
，
．
∴z 关于 x 的线性回归方程为 ；
（2）由（1）可得 lny＝0.255x﹣3.348，
于是产卵数 y 关于温度 x 的回归方程为 y＝e0.255x﹣3.348．
当 x＝26 时，y＝e0.255×26﹣3.348＝e3.282≈27；当 x＝36 时，y＝e0.255×36﹣3.348＝e5.832≈341．
∵函数 y＝e0.255x﹣3.348 单调递增， ∴在气温在 26°C～36°C 之间时，该品种一只昆虫的
产卵数的估计范围是[27，341]内的正整数．
20．解：（Ⅰ）证明：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线 PQ、AP、AQ 的斜率分别为 k，k1，k2，由 得
（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣8＝0，
△＞0，可得： ， ， ，
＝ 高三年级数学文科 第 页(共 4 页) 7
＝ ；
（Ⅱ）设 M（x3，0），N（x4，0），
由 y﹣1＝k1（x﹣2），令 y＝0，得 x3＝2﹣ ，即 M（2﹣ ，0），
同理 ，即 N（2﹣ ，0），
设 x 轴上定点 G（3，0），
则
＝ ═ ．
21 21212212 212
解：（1）a＝2 时，f（x）＝（x+1）ex，
∴f′（x）＝（x+2）ex，
∴f′（0）＝2，又因为切点（0，1），
所以切线为 2x﹣y+1＝0；
（2）令 h（x）＝f（x）﹣g（x），
由题得 h（x）min≥0 在 x∈[0，+∞）恒成立，
h（x）＝（x+a﹣1）ex﹣ x2﹣ax，所以 h′（x）＝（x+a）（ex﹣1），
①若 a≥0，则 x∈[0，+∞）时 h′（x）≥0，
所以函数 h（x）在[0，+∞）上递增，
所以 h（x）min＝h（0）＝a﹣1，则 a﹣1≥0，得 a≥1，
②若 a＜0，则当 x∈[0，﹣a]时，h′（x）≤0，
当 x∈[﹣a，+∞）时，h′（x）≥0，
所以函数 h（x）在[0，﹣a]上递减，在[﹣a，+∞）上递增，
所以 h（x）min＝h（﹣a），又因为 h（﹣a）＜h（0）＝a﹣1＜0，所以不合题意．
综合得：a≥1．
发布22．解：（Ⅰ） ，（2 分）
将 ，代入 C 的普通方程可得 x'2+y'2＝1，（4 分）
即 C'：x2+y2＝1，所以曲线 C'的极坐标方程为 C'：ρ＝1（5 分）
（Ⅱ）点 直角坐标是 ，将 l 的参数方程 ，
代入 x2+y2＝1，可得 ，（8 分）
∴t1+t2＝ ，t1•t2＝ ，
所以 ． （10 分）
2．解 （1）当 k＝1 时，不等式化为|x|﹣|2x﹣1|＞0，
即 ，或 ，或 ；……………（3 分）
解得 x∈∅，或 ＜x＜ ，或 ≤x＜1；
综上，原不等式的解集为（ ，1）；……………（5 分） 高三年级数学文科 第 页(共 4 页) 8
（2）x∈（0，+∞）时，不等式 f（x）+b＞0 恒成立，
可化为 k|x|+b＞|2x﹣1 恒成立；
画出 y＝|2x﹣1|与 y＝k|x|+b 的图象，如图所示；
由图象知当 k≥2，且 b≥1 时，y＝k|x|+b 的图象始终在 y＝|2x﹣1|的上方，……………（8 分）
∴k+b≥3，即 k+b 的最小值为 3（这时 k＝2，b＝1）．……………（10 分）
日期：2020/1/4 11:00:25；用户：hz47；邮箱：hszx47@xyh.com；学号：8387794
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