高三理科数学下一调 1 / 10
2019-2020 学年度高三年级下学期一调考试
数学（理科）试卷
命题人：李翠 审核人：王战普
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请
将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1 ． 已 知 全 集 ， 集 合 ， 集 合
，则阴影部分所示集合为（ ）
A． B．
C． D．
2. 复数 (其中 ， 为虚数单位)，若复数 的共轭复数的虚部为 ，则复数 在
复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
4．函数 图象的大致形状是
A． B． C． D．
5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和
三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，
若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和
口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知△ABC 外接圆的圆心为 O，若 AB=3，AC=5，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．给出下列五个命题：
①若퐩 ∨ 퐪为真命题，则퐩 ∧ 퐪为真命题；
②命题“∀퐱＞ퟎ，有퐞퐱 ≥ ퟏ”的否定为“∃퐱ퟎ ≤ ퟎ，有퐞퐱ퟎ＜ퟏ”；
③“平面向量퐚与퐛的夹角为钝角”的充分不必要条件是“퐚•퐛 < ퟎ”；
④在锐角三角形퐀퐁퐂中，必有퐬퐢퐧퐀 + 퐬퐢퐧퐁 > 퐜퐨퐬퐀 + 퐜퐨퐬퐁；
⑤{퐚퐧}为等差数列，若퐚퐦 + 퐚퐧 = 퐚퐩 + 퐚퐪(퐦,퐧,퐩,퐪 ∈ 퐍∗)，则퐦 + 퐧 = 퐩 + 퐪
其中正确命题的个数为（ ）
U R= { }2 2A y y x x R= = + ∈，
( ){ }lg 1B x y x= = −
[ ]1 2， ( )1 2，
(1 2]， [1 2)，
3
a iz a i
+= + − a R∈ i z 1
2
− z
2πa −= ab a= aac a= , ,a b c
c b a> > b c a> > b a c> > a b c> >
( ) xexf x cos)11
2( −+=
1
5
8
15
3
5
3
20
AO BC ⋅高三理科数学下一调 2 / 10
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知定义在 上的函数 ，恒为正数的 符合 ，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C．( ) D．
9．已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其准
线相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10.定义 为 个正数 、 、…、 的“均倒数”，若已知正整数列 的前
项的“均倒数”为 ，又 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．对于任意的实数 ，总存在三个不同的实数 ，使得 成
立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．如图，在正方体 中， 平面 ，垂足为 H，给出下面结论：
①直线 与该正方体各棱所成角相等；
②直线 与该正方体各面所成角相等；
③过直线 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；
④垂直于直线 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，
其中正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③
第Ⅱ卷（共 90 分）
二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点퐎ퟏ,퐎ퟐ分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在
这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点퐎ퟏ,퐎ퟐ的距离都大于 1 的概率为___．
14．在数列{an}中，若函数 f（x）＝sin2x+2 cos2x 的最大值是 a1，且 an＝（an+1﹣an﹣2）
(0, )+∞ ( )f x ( )f x ( ) ( ) 2 ( )f x f x f x′< < (1)
(2)
f
f
( ,2 )e e 2
1 1( , )2e e
3,e e 2
1 1( , )e e
(0,2)A C 2 4y x= F FA C M
N :FM MN =
2: 5 1: 2 1: 5 1:3
1 2 n
n
p p p+ + +
n 1p 2p np { }na n
1
2 1n +
1
4
n
n
ab
+=
1 2 2 3 10 11
1 1 1
b b b b b b
+ +⋅⋅⋅+ =
10
11
1
12
1
11
11
12
[1,e]x∈ [ 1,5]y∈ − 2 1 ln 0yy xe ax x− − − =
a
2
4
25 1( , ]ee e
− 4
25 3[ , )e e 4
25(0, ]e
2
4
25 3[ , )ee e
−
1 1 1 1ABCD A B C D﹣ 1A H ⊥ 1 1AB D
1A H
1A H
1A H
1A H
2高三理科数学下一调 3 / 10
n﹣2n2，则 an＝_____．
15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以
小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平
方得积”如果把以上这段文字写成公式就是 ，共中 a、b、c 是△ABC
的内角 A，B，C 的对边。若 ，且 ，2， 成等差数列，则 面积 S
的最大值为____
16.过曲线 的左焦点 作曲线 的切线，设切点为
延长 交曲线 于点 其中 有一个共同的焦点，若
则曲线 的离心率为 ．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，
， ， 分别为线段 上的点，且 ， ．
（1）求线段 的长；
（2）求 的面积．
18．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，
，平面 平面 ，
点 为棱 的中点．
（Ⅰ）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面
，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角 的余弦值为 时，求直
2 2 2
2 2 21[ ( ) ]4 2
a c bS a c
+ −= −
sin 2sin cosC A B= 2b 2c ABC△
2 2
1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F 2 2 2
2 :C x y a+ = ,M
1F M 2
3 : 2 ( 0)C y px p= > ,N 1 3,C C 1 0,MF MN+ =
1C
ABC∆ A B C a b c 4c = 2b =
2 cosc C b= D E BC BD CD= BAE CAE∠ = ∠
AD
ADE∆
P ABCD− ABCD
60 , 90DAB ADP∠ = ° ∠ = ° ADP ⊥ ABCD
F PD
AB E AF
PCE
D FC B− − 2
4高三理科数学下一调 4 / 10
线 与平面 所成的角．
19．如图， 为椭圆 的左顶点，过 的直线 交抛物线 于 、 两
点， 是 的中点.
（1）求证：点 的横坐标是定值，并求出该定值；
（2）若直线 过 点，且倾斜角和直线 的倾斜
角互补，交椭圆于 、 两点，求 的值，使得
的面积最大.
20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的
乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问
卷阶段，A，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调
查小组从所获取的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行了数
据统计，具体情况如表：
A 组统计结果 B 组统计结果组别
年龄 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车
[15，25） 27 人 13 人 40 人 20 人
[25，35） 23 人 17 人 35 人 25 人
[35，45） 20 人 20 人 35 人 25 人
（1）先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的样
本，再用分层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔
使用单车”中去．
①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数；
②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”
的人员召开座谈会，会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份（其余人员仅赠送骑行优惠
券）．已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 A 组，求 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的
分布列和数学期望；
（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作 m 岁）有关”的结论．在
用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄 m 应取 25 还是 35？
请通过比较 K2 的观测值的大小加以说明．
参考公式：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
PB ABCD
A
2 2
14 2
x y+ = A l ( )2 2 0y px p= > B C
C AB
C
m C l
M N p
BMN∆高三理科数学下一调 5 / 10
21．．已知函数퐟(퐱) = 퐞퐱−퐚퐱ퟐ−퐛퐱−ퟏ，其中퐚,퐛 ∈ 퐑， 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设퐠(퐱)是函数퐟(퐱)的导函数，求函数퐠(퐱)在区间[ퟎ,ퟏ]上的最小值；
（Ⅱ）若퐟(ퟏ) = ퟎ，函数퐟(퐱)在区间(ퟎ,ퟏ)内有零点，求퐚的取值范围
（二）选考题，满分共 10 分，请考生在 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 过原点且倾斜角为 .以坐标原点 为极点， 轴
正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 .在平面直角坐标系 中，曲线
与曲线 关于直线 对称.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 过原点且倾斜角为 ，设直线 与曲线 相交于 ， 两点，直线 与曲线
相交于 ， 两点，当 变化时，求 AOB 面积的最大值.
23 选修 4--5：不等式选讲
已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，且对任意 ， 恒成立，求 的最小值．
高三下一调数学参考答案
⋅⋅⋅= 71828.2e
xOy 1l 0 2
πα α
0 2a< < x∈R 3( ) 2f x a
≥ a高三理科数学下一调 6 / 10
一、选择题
BABBD CBDCA BD
二、填空题
13、ퟏ
ퟑ 14、an＝2n2+n 15. 16：
17．（1）因为 ， ，所以 ．
由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
在 中， ， ，
所以 ，所以 ．
（2）因为 是 的平分线，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ．
18．（Ⅰ）在棱 上存在点 ，使得 平面 ，点 为棱 的中点．
理由如下：取 的中点 ，连结 、 ，由题意， 且 ，
且 ，故 且 .所以，四边形 为平行四边形.
所以， ，又 平面 ， 平面 ，所以， 平面 .
（Ⅱ）由题意知 为正三角形，所以 ，亦即 ，
又 ，所以 ，且平面 平面 ，平面 平面
，
所以 平面 ，故以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设 ，则由题意知 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
2 5
5
5 1
2
+
4c = 2b = 1cos 2 4
bC c
= =
2 2 2 2 4 16 1cos 2 4 4
a b c aC ab a
+ − + −= = =
4a = 4BC =
ACD∆ 2CD = 2AC =
2 2 2 2 cos 6AD AC CD AC CD ACD= + − ⋅ ⋅ ∠ = 6AD =
AE BAC∠
1 sin2 21 sin2
ABE
ACE
AB AE BAES AB
S ACAC AE CAE
∆
∆
⋅ ⋅ ∠
= = =
⋅ ⋅ ∠
ABE
ACE
S BE
S EC
∆
∆
= 2BE
EC
=
1 4
3 3CE BC= = 4 22 3 3DE = − =
1cos 4C = 2 15sin 1 cos 4C C= − =
1 15sin2 6ADES DE AC C∆ = × × × =
AB E / /AF PCE E AB
PC Q EQ FQ / /FQ DC 1
2FQ CD=
/ /AE CD 1
2AE CD= / /AE FQ AE FQ= AEQF
/ /AF EQ EQ ⊥ PEC AF ⊥ PEC / /AF PEC
ABD∆ ED AB⊥ ED CD⊥
90ADP∠ = ° PD AD⊥ ADP ⊥ ABCD ADP ∩
ABCD AD=
PD ⊥ ABCD D
FD a= ( )0,0,0D ( )0,0,F a ( )0,2,0C ( )3,1,0B
( )0,2,FC a= − ( )3, 1,0CB = −
FBC ( ), ,m x y z=高三理科数学下一调 7 / 10
则由 得 ，令 ，则 ， ，
所以取 ，显然可取平面 的法向量 ，
由题意： ，所以 .
由于 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
易知在 中， ，从而 ，
所以直线 与平面 所成的角为 .
19． 20．【解答】解：（1）①由分层抽样性质得：
从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁“的人数为：100× ＝20 人，
”年龄达到 35 岁”中偶而使用单车的人数为： ＝9 人．
②A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3，
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，
0
0
m FC
m CB
⋅ =
⋅ =
2 0
3 0
y az
x y
− = − =
1x = 3y = 2 3z a
=
2 31, 3,m a
=
DFC ( )1,0,0n =
2
2 1cos ,4 121 3
m n
a
= =
+ +
3a =
PD ⊥ ABCD PB ABCD BD
PBD∠ PB ABCD
Rt PBD∆ tan 3PDPBD aBD
∠ = = = 60PBD∠ = °
PB ABCD 60°高三理科数学下一调 8 / 10
∴X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴E（X）＝ ＝ ．
（2）按“年龄是否达到 35 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到 35 岁 125 75 200
达到 35 岁 55 45 100
合计 180 120 300
m＝35 时，K2 的观测值：
k1＝ ＝ ＝ ．
m＝25 时，按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到 25 岁 67 33 100
达到 25 岁 113 87 200
合计 180 120 300
m＝25 时，K2 的观测值：
k2＝ ＝ ，
k2＞k1，
欲使犯错误的概率尽量小，需取 m＝25．
21 试题解答：（Ⅰ）품(풙) = 풆풙−ퟐ풂풙−풃,품′(풙) = 풆풙−ퟐ풂
①当풂 ≤ ퟎ时，품′(풙) = 풆풙−ퟐ풂 > ퟎ，所以품(풙) ≥ 품(ퟎ) = ퟏ−풃.
②当풂 > ퟎ时，由품′(풙) = 풆풙−ퟐ풂 > ퟎ得풆풙 > ퟐ풂,풙 > 퐥퐧(ퟐ풂).
若풂 > ퟏ
ퟐ，则퐥퐧(ퟐ풂) > ퟎ；若풂 > 풆
ퟐ，则퐥퐧(ퟐ풂) > ퟏ.
所以当ퟎ < 풂 ≤ ퟏ
ퟐ时，품(풙)在[ퟎ,ퟏ]上单调递增，所以품(풙) ≥ 품(ퟎ) = ퟏ−풃.
当ퟏ
ퟐ < 풂 ≤ 풆
ퟐ时，품(풙)在[ퟎ,퐥퐧ퟐ풂]上单调递减，在[퐥퐧ퟐ풂,ퟏ]上单调递增，所以품(풙) ≥ 품(퐥퐧ퟐ풂) = ퟐ풂−ퟐ풂
퐥퐧ퟐ풂−풃.
当풂 > 풆
ퟐ时，품(풙)在[ퟎ,ퟏ]上单调递减，所以품(풙) ≥ 품(ퟏ) = 풆−ퟐ풂−풃.
（Ⅱ）设풙ퟎ为풇(풙)在区间(ퟎ,ퟏ)内的一个零点，则由풇(ퟎ) = 풇(풙ퟎ) = ퟎ可知，
풇(풙)在区间(ퟎ,풙ퟎ)上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则품(풙)不可能恒为正，也不可能恒为负.
故품(풙)在区间(ퟎ,풙ퟎ)内存在零点풙ퟏ.
同理품(풙)在区间(풙ퟎ,ퟏ)内存在零点풙ퟐ.
所以품(풙)在区间(ퟎ,ퟏ)内至少有两个零点.高三理科数学下一调 9 / 10
由（Ⅰ）知，当풂 ≤ ퟏ
ퟐ时，품(풙)在[ퟎ,ퟏ]上单调递增，故품(풙)在(ퟎ,ퟏ)内至多有一个零点.
当풂 ≥ 풆
ퟐ时，품(풙)在[ퟎ,ퟏ]上单调递减，故품(풙)在(ퟎ,ퟏ)内至多有一个零点.
所以ퟏ
ퟐ < 풂 < 풆
ퟐ.
此时，품(풙)在[ퟎ,퐥퐧ퟐ풂]上单调递减，在[퐥퐧ퟐ풂,ퟏ]上单调递增，
因此풙ퟏ ∈ (ퟎ,퐥퐧(ퟐ풂)],풙ퟐ ∈ (퐥퐧(ퟐ풂),ퟏ)，必有
품(ퟎ) = ퟏ−풃 > ퟎ,품(ퟏ) = 풆−ퟐ풂−풃 > ퟎ.
由풇(ퟏ) = 풆−풂−풃−ퟏ = ퟎ得：풂 + 풃 = 풆−ퟏ < ퟐ，有
품(ퟎ) = ퟏ−풃 = 풂−풆 + ퟐ > ퟎ,품(ퟏ) = 풆−ퟐ풂−풃 = ퟏ−풂 > ퟎ.
解得풆−ퟐ < 풂 < ퟏ.
当풆−ퟐ < 풂 < ퟏ时，품(풙)在区间[ퟎ,ퟏ]内有最小值품(퐥퐧(ퟐ풂)).
若품(퐥퐧(ퟐ풂)) ≥ ퟎ，则품(풙) ≥ ퟎ(풙 ∈ [ퟎ,ퟏ])，
从而풇(풙)在区间[ퟎ,ퟏ]上单调递增，这与풇(ퟎ) = 풇(ퟏ) = ퟎ矛盾，所以품(퐥퐧(ퟐ풂)) < ퟎ.
又품(ퟎ) = 풂−풆 + ퟐ > ퟎ,품(ퟏ) = ퟏ−풂 > ퟎ，
故此时품(풙)在(ퟎ,퐥퐧(ퟐ풂))和(퐥퐧(ퟐ풂),ퟏ)内各只有一个零点풙ퟏ和풙ퟐ.
由此可知풇(풙)在[ퟎ,풙ퟏ]上单调递增，在(풙ퟏ, 풙ퟐ)上单调递减，在[풙ퟐ,ퟏ]上单调递增.
所以풇(풙ퟏ) > 풇(ퟎ) = ퟎ，풇(풙ퟐ) < 풇(ퟏ) = ퟎ，
故풇(풙)在(풙ퟏ, 풙ퟐ)内有零点.
综上可知，풂的取值范围是(풆−ퟐ,ퟏ).
22.(Ⅰ)法一：由题可知， 的直角坐标方程为： ，
设曲线 上任意一点 关于直线 对称点为 ，
所以 又因为 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为：
法二：由题可知， 的极坐标方程为： ，
设曲线 上一点 关于 的对称点为 ，
所以 又因为 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为：
(Ⅱ)直线 的极坐标方程为： ，直线 的极坐标方程为：
设 ，
所以 解得 ， 解得
1C 2 2 2 0x y x+ − =
2C ( ),x y y x= ( )0 0,x y
0
0
x y
y x
=
=
2 2
0 0 02 0x y x+ − = 2 2 2 0x y y+ − =
2C 2sinρ θ=
y x=
4
πθ = ( )Rρ ∈
2C ( ),ρ θ
4
πθ = ( )Rρ ∈ ( )0 0,ρ θ
0
0
2 4
ρ ρ
θ θ π
= + =
0 02cosρ θ= 2cos 2sin2
πρ θ θ = − =
2C 2sinρ θ=
1l θ α= 2l
3
πθ α= +
( )1 1,A ρ θ ( ),B ρ θ2 2
2cos
θ α
ρ θ
=
= 1 2cosρ α= 3
2sin
πθ α
ρ θ
= +
=
2 2sin 3
πρ α = +
1 2
1 1 3sin 3 cos sin 3 cos sin cos2 3 3 2 2AOBS
π πρ ρ α α α α α∆
∴ = ⋅ = ⋅ + = ⋅ + 高三理科数学下一调 10 / 10
因为： ，所以
当 即 时， ， 取得最大值为：
23.解法：原不等式 等价于 或 或 ，
解得： 或无解或 ， 所以， 的解集为 ．
（2） ．
则
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增．
所以当 时， 取得最小值， ．
因为对 ， 恒成立，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
解得 （ 不合题意）．
所以 的最小值为 1
3 1 3 3 3 3sin2 cos2 sin 22 2 2 2 2 3 2
πα α α = + + = + +
0 2
πα≤ < 423 3 3
π π πα≤ + <
2 3 2
π πα + =
12
πα = sin 2 13
πα + = AOBS∆ +3 3
2 4
( ) 3f x > 1
3 3
x
x
< −
− >
11 2
2 3
x
x
− ≤ ≤
− + >
1
2
3 3
x
x
>
>
1x < − 1x > ( ) 3f x > ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞
1 10 2, , 2 0, 2 02a a aa
< < ∴− < + > −
( )f x 1, a
−∞ −
1 1, 2a
−
1 ,2
+∞
1
2x = ( )f x ( )min
1 12 2
af x f = = +
x R∀ ∈ ( ) 3
2f x a
≥
( )min
31 2 2
af x a
= + ≥
0a > 2 2 3 0a a+ − ≥
1a ≥ 3a ≤ −
a
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