第一章 集合与简易逻辑

第一章  集合与简易逻辑 一．集合的有关概念 1．集合 ①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。 ②表示方法 列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x∣P(x)}. 如： 图示法：用文氏图表示题中不同的集合。 ③分类：有限集、无限集、空集。 ④性质 确定性： 必居其一， 互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1} 2．常用数集   复数集C  实数集R  整数集Z  自然数集N  正整数集 （或N+） 有理数集Q 3．元素与集合的关系： 4．集合与集合的关系： ①子集：若对任意 都有 [或对任意 都有 ] 则A是B的子集。          记作：     ②真子集：若 ，且存在 ，则A是B的真子集。            记作： B[或“ ”]   A B，B C  A C ③ ④空集：不含任何元素的集合，用 表示，对任何集合A有 ，若 则 A 注： 5．子集的个数 若 ，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n -1个和2n -2个。 二．集合的运算 1．有关概念 ①交集：    ②并集： ③全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示。 ④补集：      2．常用运算性质及一些重要结论 ① ② ③   ④       ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 三．含有绝对值不等式 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离 ） 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如 ）； （4）图象法或数形结合法；(如讨论 的解有个数) （5）不等式同解变形原理：即                                 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 四．一元二次不等式 1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系。（见课本P20） 2、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。（见P21~22） 3、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式 或 (2)解方程 (3)据二次函数 的图象写出二次不等式的解集。 4、简单分式不等式的解法                  5、简单的高次不等式的解法：用数轴标根法解。 五、逻辑联结词与四种命题 （一）逻辑联结词四种命题 1．命题：可以判断真假的语句叫做命题 2．逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（┐）”这些词叫做逻辑联结词。 或：两个简单命题至少一个成立     且：两个简单命题都成立，   非：对一个命题的否定 3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。 4．表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s…来表示简单的命题， 复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p” 5．真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。 p q 非p P或q P且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 （二）四种命题 1．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式为： 互逆 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若 则 逆否命题 若 则 互   为 为互  否 逆 逆   否 互 否 互 否 互 逆 原命题：若p则q（ ）逆命题：若q则p 否命题：若┐p则┐q 逆否命题：若┐q则┐p 2．四种命题的关系： 3．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系： （1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。 （2）原命题为真，它的否命题不一定为真。                                                                 （3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。 （4）逆命题为真，否命题一定为真。 （三）几点说明 1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义： 以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立， 2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论 3．真值表  P或q：“一真为真”，    P且q：“一假为假” 4．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。 5．反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法 2）如何得到矛盾。 六、充要条件 （一）充分条件、必要条件和充要条件 1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。 2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。 3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。 （二）充要条件的判断 1若 成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。 2．若 且B A，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。 3．若 成立则A、B互为充要条件。 证明A是B的充要条件，分两步： （1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B； （2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。 (三)给定两个命题，p、q, 可以考虑集合A=｛x︱x满足p｝,B=｛x︱x满足q｝,则有 1．   若A B，则p 是q的充分条件。 2．   若A B，则p 是q的必要条件。 3．若A=B，则p 是q的充要条件。  记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。