陕西大荔县2019-2020高二数学（理）上学期期末试题（Word版带答案）

2019-2020 学年度高二第一学期期末考试 数学试卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1.命题“若 ，则 ”的逆命题是（ ） A. 若 ，则 . B. 若 ，则 . C. 若 ，则 D. 若 ，则 . 2.在等比数列 中，若 成等差数列，则数列 的公比为（ ） A. 0 或 1 或-2 B. 1 或 2 C. 1 或-2 D. -2 3.已知 ，则下列不等式成立的是 （ ） A. B. C. D. 4.命题“存在实数 ,，使 ”的否定是（ ） A. 对任意实数 , 都有 B. 不存在实数 ，使 C. 对任意实数 , 都有 D. 存在实数 ，使 5.不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 6.设 且 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.在 中， ，则此三角形解的情况是( ) A. 两解 B. 一解 C. 一解或两解 D. 无解 8.设实数 ，则（ ） 3 πα = 1cos 2 α = 1cos 2 α = 3 πα = 3 πα = 1cos 2 α ≠ 1cos 2 α ≠ 3 πα ≠ 3 πα ≠ 1cos 2 α ≠ { }na 4 3 5, ,a a a { }na 0a b< < 2 2a b< 2a ab< 1 1 a b < 1b a < x 1x > x 1x > x 1x ≤ x 1x ≤ x 1x ≤ 2 23 x x − ≤+ { }8 3x x x< − > −或 { }8 3x x x≤ − > −或 { }3 2x x− ≤ ≤ { }3 2x x− < ≤ 0a > 1a ≠ b a> log 1a b > ABC∆ 4, 5, 4a b A π= = = 3 1, 5 3, 7 5a b c= − = − = −A. B. C. D. 9.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值等于（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -4 10.已知等差数列 的前 项为 ,且 ，则使 取最小值时 的 为（ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 6 或 7 11.如图，在三棱锥 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， ．若 是棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成 角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”， 已知 是一对相关曲线的焦点, 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知向量 ，则 在 方向上的投影为________． 14.已知不等式 的解集是 ，则 ________． b a c> > c b a> > a b c> > c a b> > ,x y 2 2 0 2 2 x y x y y + − ≥  + ≤  ≤ x y− { }na n nS 1 5 914, 27a a S+ = − = − nS n 1 1 1ABC A B C− 14, 6AB AA= = E 1BB 1BE B E= 1A E 1AC 13 13 2 13 13 5 13 13 8 13 13 1 2F F、 P 1 2 3F PF π∠ = 3 2 2 3 3 ( 1,2,1), (2, 2,0)a b= − = − a b 2 1 0ax bx− − ≥ 1 1,2 3  − −   a b+ =15.若 ，则 的最小值是________. 16.设 是抛物线 上的一个动点， 为抛物线的焦点，记点 到点 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值为 ，若 ，记 的 最小值为 ，则 ________ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）已知 ，若 是 的充分不必要 条件，求正实数 的取值范围． 18.（12 分）等比数列 中，已知 ． （1）求数列 的通项公式 ； （2）若 分别是等差数列 的第 4 项和第 16 项，求数列 的通项公式及 前 项和 ． 19.（12 分）在锐角 中，内角 所对的边分别是 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的面积． 20.（12 分）如图， 分别是椭圆 的 左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的另一个 交点, . （1）求椭圆 的离心率； （2）已知 的面积为 ，求 的值. 21. （ 12 分 ）如 图：在 四 棱 锥 中 ， . 0, 0, 1m n m n> > + = 4 1 m n + P 2 4y x= F P ( 1,1)A − P 1x = − M (3,2)B PB PF+ N M N+ = 2 2 2: 8 20 0, : 2 1 0p x x q x x a− − > − + − > p q a { }na 1 42, 16a a= = { }na na 3 5,a a { }nb { }nb n nS ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 sin 3a B b= A 8, 10a b c= + = ABC∆ 1 2F F、 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > A C B 2AF C 1 2 3F AF π∠ = C 1AF B∆ 40 3 ,a b P ABCD− PA ABCD⊥ 平面, ， . 点 是 与 的交点，点 在线段 上且 . （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求二面角 的正切值. 22.（12 分）已知抛物线 经过点 . （1）求抛物线 的方程及其准线方程； （2）设 为原点，过抛物线 的焦点作斜率不为 0 的直线 交抛物线 于两点 ，直线 分别交直线 于点 和点 .求证：以 为直径的圆经 过 轴上的两个定点. 3PA AB BC= = = 1AD CD= = 2 3ADC π∠ = M AC BD N PB 1 4PN PB= / /MN PDC平面 MN PAC A PC D− − 2: 2C x py= − (2, 1)− C O C l C ,M N 1y = − ,OM ON A B AB y答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 A 2.【答案】 C 3.【答案】 D 4.【答案】 C 5.【答案】 B 6.【答案】 D 7.【答案】 A 8.【答案】 C 9.【答案】 A 10.【答案】 B 11.【答案】 A 12.【答案】 A 二、填空题 13.【答案】 14.【答案】 -1 15.【答案】 9 16.【答案】 三、解答题 17.【答案】解：解不等式 ，得 ∶ ． 解不等式 ，得 ∶ 依题意， 能推出 ，但 不能推出 ，说明 ， 则有 ，解得 ， ∴实数 的取值范围是(0,3]. 18.【答案】（1）解：∵等比数列{an}中，已知 a1=2，a4=16， ∴2q3=16，解得 q=2， ∴ ． （2）解：∵a3 ， a5 分别是等差数列{bn}的第 4 项和第 16 项， ∴ ， ， ∴ ， 解得 b1=2，d=2， ∴bn=2+（n﹣1）×2=2n． Sn= =n2+n． 19.【答案】 （1）解：由 2asinB= b，利用正弦定理得：2sinAsinB= sinB， ∵sinB≠0，∴ ， 又 A 为锐角， 则 A= （2）解：由余弦定理得： ，即 ， ∴bc=12， 又 ， 则 20.【答案】 （1）解：由题意可知， 为等边三角形， ，所以 . （2）解：（ 方法一） ， . 直线 的方程可为 ． 将其代入椭圆方程 ，得 所以 由 ， 解得 ， . （方法二）设 . 因为 ，所以 ． 由椭圆定义 可知， ． 再由余弦定理 可得， ． 由 知， ， . 21.【答案】 （1）证明：∵在四棱锥 中， 平面 . ， ， .点 是 与 的交点， ， ∴在正三角形 中， ， 在 中，∵ 是 中点， ， ，又 ， ， ， ∵点 在线段 上且 ， ， 平面 ， PD 平面 ， ∴ 平面 （2）解： ， 分别以 为 轴， 轴， 轴建立如图的空间直角坐标系， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，得 ， ， MN  设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 （3）解：由（2）可知， 为平面 的法向量， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，解得 ， 设二面角 的平面角为 ，则 ， 故二面角 的正切值为 . 22.【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程， 得 ，解得 p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为 y=1； （II）过焦点（0，-1）作直线 l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线 l 的斜率存在， 设 l：y=kx-1， ， 将直线方程与抛物线方程联立，得 ， 由韦达定理 ， 则 ， 令 y=-1，则 ， 设以 AB 为直径的圆上点 P（a，b），则 ， ， 整理得 ， 令 a=0，则 ，所以 b=1 或 b=-3， 即以 AB 为直径的圆经过 y 轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.