2019-2020 学年度高二第一学期期末考试
数学试卷（文科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1.命题“若 ，则 ”的逆命题是（ ）
A. 若 ，则 . B. 若 ，则 .
C. 若 ，则 D. 若 ，则 .
2.在等比数列 中，若 成等差数列，则数列 的公比为（ ）
A. 0 或 1 或-2 B. 1 或 2 C. 1 或-2 D. -2
3.已知 ，则下列不等式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
4.命题“存在实数 ,，使 ”的否定是（ ）
A. 对任意实数 , 都有 B. 不存在实数 ，使
C. 对任意实数 , 都有 D. 存在实数 ，使
5.不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
6.设 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数 在定义域内可导， 的图像如图，则导函数 的图像可
能为( )
3
πα = 1cos 2
α =
1cos 2
α =
3
πα =
3
πα = 1cos 2
α ≠
1cos 2
α ≠
3
πα ≠
3
πα ≠ 1cos 2
α ≠
{ }na 4 3 5, ,a a a { }na
0a b< <
2 2a b< 2a ab<
1 1
a b
< 1b
a
<
x 1x >
x 1x > x 1x ≤
x 1x ≤ x 1x ≤
2 23
x
x
− ≤+
{ }8 3x x x< − > −或 { }8 3x x x≤ − > −或
{ }3 2x x− ≤ ≤ { }3 2x x− < ≤
0a > 1a ≠ b a> log 1a b >
( )f x ( )y f x= ( )y f x′=A. B.
C. D.
8.在 中， ，则此三角形解的情况是( )
A. 两解 B. 一解 C. 一解或两解 D. 无解
9.设实数 ，则（ ）
A. B. C. D.
10.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. -2 D. -4
11.已知等差数列 的前 项为 ,且 ，则使 取最小值时
的 为（ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 6 或 7
12.已知 是定义在 上的奇函数, ，当 时， ，则
使得 成立的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 在点 处的切线方程为________.
14.已知不等式 的解集是 ，则 ________．
ABC∆ 4, 5, 4a b A
π= = =
3 1, 5 3, 7 5a b c= − = − = −
b a c> > c b a> > a b c> > c a b> >
,x y
2 2 0
2
2
x y
x y
y
+ − ≥
+ ≤
≤ x y−
{ }na n nS 1 5 914, 27a a S+ = − = − nS
n
( )f x R ( 1) 0f − = 0x < ( ) ( ) 0xf x f x′ + <
( ) 0f x > x
( , 1) (0,1)−∞ − ( 1,0) (1, )− +∞
( , 1) ( 1,0)−∞ − − (0,1) (1, )+∞
5 3xy e= − + (0, 2)−
2 1 0ax bx− − ≥
1 1,2 3
− − a b+ =15.若 ，则 的最小值是________.
16.若点 在双曲线 上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，
则点 与双曲线的左焦点的距离为________
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）已知 ，若 是 的充分不必要
条件，求正实数 的取值范围．
18.（12 分）等比数列 中，已知 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若 分别是等差数列 的第 4 项和第 16 项，求数列 的通项公式及
前 项和 ．
19.（12 分）在锐角 中，内角 所对的边分别是 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积．
20.（12 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千
克 ) 与 销 售 价 格 ( 单 位 ： 元 / 千 克 ) 满 足 关 系 式 ， 其 中
， 为常数．已知销售价格为 7 元/千克时，每日可售出该商品 11 千
克．
（1）求 的值；
（2）若该商品的成本为 5 元/千克，试确定销售价格 的值，使商场每日销售该商
品所获得的利润最大．
21.（12 分）如图， 分别是椭圆 的
左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的另一
0, 0, 1m n m n> > + =
4 1
m n
+
P
2 2
116 12
x y− =
P
2 2 2: 8 20 0, : 2 1 0p x x q x x a− − > − + − > p q
a
{ }na 1 42, 16a a= =
{ }na na
3 5,a a { }nb { }nb
n nS
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 sin 3a B b=
A
8, 10a b c= + = ABC∆
y
x
210( 8)5
ay xx
= + −−
(5,8)x∈ a
a
x
1 2F F、
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
A C B 2AF C个交点, .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）已知 的面积为 ，求 的值.
22.（12 分）已知函数 在 与 时都取得极值．
（1）求 的值与函数 的单调区间；
（2）若对 ,不等式 恒成立，求 的取值范围．
1 2 3F AF
π∠ =
C
1AF B∆ 40 3 ,a b
3 2( )f x x ax bx c= + + +
2
3x = −
1x =
,a b ( )f x
[ ]1,2x∈ − 2( )f x c< c答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
2.【答案】 C
3.【答案】 D
4.【答案】 C
5.【答案】 B
6.【答案】 D
7.【答案】 D
8.【答案】 A
9.【答案】 C
10.【答案】 A
11.【答案】 B
12.【答案】 B
二、填空题
13.【答案】
14.【答案】 -1
15.【答案】 9
16.【答案】 11
三、解答题
17.【答案】解：解不等式 ，得 ∶ ．
解不等式 ，得 ∶
依题意， 能推出 ，但 不能推出 ，说明 ，
则有 ，解得 ，
∴实数 的取值范围是(0,3].
18.【答案】（1）解：∵等比数列{an}中，已知 a1=2，a4=16，
∴2q3=16，解得 q=2，
∴ ．
（2）解：∵a3 ， a5 分别是等差数列{bn}的第 4 项和第 16 项，
∴ ， ，
∴ ，
解得 b1=2，d=2，
∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．
Sn= =n2+n．
19.【答案】 （1）解：由 2asinB= b，利用正弦定理得：2sinAsinB= sinB，
∵sinB≠0，
∴ ，
又 A 为锐角，
则 A=
（2）解：由余弦定理得： ，即 ，
∴bc=12，
又 ，则
20.【答案】解：（1）因为 时， ，
所以 ，
（2）解：由（1）知，该商品每日的销售量 ，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
于是，当 变化时， ， 的变化情况如下表：
（5,6） 6 (6,8)
＋ 0 －
单调增 极大值 单调减
由上表可得， ＝6 是函数 在区间(5,8)内的极大值点，也是最大值点．所以，当 ＝6 时，
函数 取得最大值，且最大值等于 42.
所以，当销售价格为 6 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21.【答案】 （1）解：由题意可知， 为等边三角形， ，所以 .
（2）解：（ 方法一） ， .
直线 的方程可为 ．
将其代入椭圆方程 ，得
所以
由 ，
解得 ， ，
（方法二）设 . 因为 ，所以 ．
由椭圆定义 可知， ．
再由余弦定理 可得， ．
由 知， ， ，
22.【答案】 （1）解： ，f （x）＝3x2+2ax+b
由 解得，
f （x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数 f（x）的单调区间如下表：
x （﹣∞, ） （ ，1） 1 （1，+∞）
f （x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 极大值 极小值
所以函数 f（x）的递增区间是（﹣∞， ）和（1，+∞），递减区间是（ ，1）．
（2）解：因为 ，根据（1）函数 f（x）的单调性，
得 f（x）在（﹣1， ）上递增，在（ ，1）上递减，在（1，2）上递增，
所以当 x 时，f（x） 为极大值，而 f（2）＝ ，所以 f（2）＝2+c 为最大值．
要使 f（x）＜ 对 x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需 ＞f（2）＝2+c ．
解得 c＜﹣1 或 c＞2．
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