华南师大附中 2020 届高三年级月考（二）
数 学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填
涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求。
1．设 为虚数单位，已知 ，则复数 在复平面内对应的点的坐标是（***）
（A） （B） （C） （D）
2．已知 ， ，则 的值是（***）
（A） （B） （C） （D）
3．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，
°，则边 （***）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）6
4．已知 是等差数列 的前 项和， ，则
（***）
（A）66 （B）55 （C）44 （D）33
5．已知集合 ， ，且 ，则实数
的取值范围是（***）
（A） （B） （C） （D）
6．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （***）
（A） （B）
（C） （D）
7．若存在正数 使 成立，则 的取值范围是（***）
i 2zi i= − z
( 1, 2)− − ( 1, 2)− (1, 2)− (1, 2)
3sin 2 4
α =
4 2
π πα< < sin cosα α−
1
2
1
2
− 1
4
1
4
−
ABC A B C a b c 13=a 3=b
60=A =c
nS { }na n 1 3 5 8 102( ) 3( ) 36a a a a a+ + + + = 11S =
{ | 2 5}= − < ≤A x x { | 1 2 1}= + ≤ ≤ −B x m x m =A B A m
[2, 3] (2, 3] ( , 3]−∞ (2, )+ ∞
ABC AD BC E AD =EB
3 1
4 4
− AB AC 1 3
4 4
− AB AC
3 1
4 4
+ AB AC 1 3
4 4
+ AB AC
x 2 ( ) 1− a 1>b 1)( =+− baab
ba + )12(2 + ba + 322 +
ab 12 + ab 12 +
a b e e a e 3
π b
2
4 3 0− ⋅ + = b e b | |− a b
3 1− 3 1+ 2 3−
1 3, ( 1, 0]( ) 1
, (0,1]
xf x x
x x
− ∈ −= +
∈
( ) ( )g x f x mx m= − − ( 1, 1]−
m
9 1, 2 0,4 2
− −
11 1, 2 0,4 2
− −
9 2, 2 0,4 3
− −
11 2, 2 0,4 3
− −
23( ) 22f x x ax= − 0a > 2( ) lng x a x b= +
b
2
1
2e
21
2 e 1
e 2
3
2e
−
x y
2 0
1 0
5 0
− ≥
− + ≥
+ − ≤
y
x y
x y
y
x
2 1, 0( )
2 , 0
+ ≤= − >
x xf x
x x
( ) 10=f x =x
( ) sin 3 cosf x x xω ω= − 0ω > ( ) 1f x = − (0, )π
ω
{ }na 1 1a = − 1 2 3 1n na a n+ = + − *n N∈ n nS =__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．已知数列 的前 项和为 ，且满足 （ ）．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求证： ．
18．已知直三棱柱 中， °， ， ，
是 的 中 点 ， 是 上 一 点 ， 且
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 余弦值的大小．
19．如图，椭圆 （ ）的离心率 ，且椭圆 的短轴长为
2．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 过点 ，且与椭圆 相交于 ， 两点，又点 是椭圆 的上
顶点，求△ 面积的最大值．
20．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中
按分层抽样的方法抽取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时
间的情况将学生分成三类： 类（不参加课外阅读）， 类（参加课外阅读，但平均每周参加
课外阅读的时间不超过 3 小时）， 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过
3 小时）．调查结果如下表：
类 类 类
男生 5 3
女生 3 3
{ }na n nS 2 3 1= −n nS a *∈n N
{ }na
3 2log += n
n
n
ab a nT { }nb n 15
4
>a b 3
2
=e C
C
l 10, 2
− D C M N P C
PMN
A B
C
A B C
x
y
C1
B1
A1
F
E
C
B
A（1）求出表中 ， 的值；
（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“参加课
外阅读与否”与性别有关；
男生 女生 总计
不参加课外阅读
参加课外阅读
总计
（3）从抽出的女生中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 为抽取的这 3 名女生中
类人数和 类人数差的绝对值，求 的数学期望．
附： ，
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
21．已知函数 ， ，其中 ， ．
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围；
（3）若存在唯一的整数 ，使得 ，求 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做
的第一题计分。
22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ ），
以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 与曲线 两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ，直线 与 轴的交点为 ，与曲
线 相交于 ， 两点，求 的值．
23．已知函数 （ ）．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若对于任意的 ， ， 恒成立，求实数 的取值范围.
x y
X A
C X
2
2 ( )
( )( )( )( )
−= + + + +
n ad bcK a b c d a c b d
2
0( )≥P K k
0k
( ) (3 2)= −xf x e x ( ) ( 2)= −g x a x a ∈x R
( )=y f x (1, )e
∈x R ( ) ( )≥f x g x a
0x 0 0( ) ( )f x
[1, 2]∈t [ 1, 3]∈ −x ( ) ≥ +f x a x a数学（理科）参考答案
一、选择题：
1—4：AACD 5—8：CADD 9—12：AAAA
二、填空题
13．2． 14． ．
15． ． 16． ．
三、解答题：
17．【解答】：（1）当 时， ，
当 时， ， ，两式相减得 ，
故 是以 3 为公比的等比数列，且 ，
所以 ．
（2）由（1）得 ，由错位相减法
，①
，②
两式相减得 ，
所以 ，
所以 ．
18．【解答】：（1）连接 ， ，在△ 中，
，
3−
7 25,2 6
2
2 3 72 4 2
n n n+ +− −
1=n 1 1=a
2≥n 2 3 1= −n nS a 1 12 3 1− −= −n nS a 13 −=n na a
{ }na 1 1=a
13 −= n
na
1
1
3 −
+=n n
nb
0 1 1
1 1 12 3 ( 1)3 3 3 −= × + × + + +n nT n
1 1
1 1 1 12 ( 1)3 3 3 3−= × + + × + +n n nT n n
2 1
2 1 1 1 1 5 2 523 3 3 3 3 2 2 3−
+ + = + + + + − = − × n n n n
n nT
1
15 2 5
4 4 3 −
+= − ×n n
nT
15
4
= = =
⋅ ×
n nn n
n n
1 1
− −B A E B 2 5
5
C1
B1
A1
F
E
C
B
A
z
y x
A
B
C
E
F
A1
B1
C119．【解答】：（1）由已知得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程是 ；
（2）由已知可知直线 的斜率定存在，设直线 的方程为 ， ，
，
由 ，得 ，所以 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
令 ， ，
所以 ，
令 （ ），则 ，
所以 在 上单调递增，所以当 时，此时 ， 有最小值
，此时 有最大值 ．
2 2 2
2 2
3
2
=
=
= +
b
c
a
a b c
2
1
3
=
=
=
a
b
c
C
2
2 14
+ =x y
l l 1
2
= −y kx 1 1( , )M x y
2 2( , )N x y
2
2 14
1
2
+ =
= −
x y
y kx
2 2(1 4 ) 4 3 0+ − − =k x kx 1 2 2
4
1 4
+ = +
kx x k 1 2 2
3
1 4
−= +x x k
2
2 2
1 2 1 2 1 2 2 2
4(16 3)| | ( ) 4 (1 4 )
+− = + − = +
kx x x x x x k
3| | 2
=PD
2
1 2 2
1 3 16 3| | | |2 2(1 4 )∆
+= ⋅ − = +PMN
kS PD x x k
216 3 3= + ≥m k
2
2 3
16
−= mk
2
3 6
132 1 4 16
∆ = = − ++ ⋅
PMN
mS
m m m
1( ) = +g m m m 3≥m 2
1'( ) 1 0= − >g m m
( )g m [ 3, )+ ∞ 3=m 0=k ( )g m
4 3
3 ∆PMNS 3 3
220 ．【解 答 】 ： （ 1 ） 设 抽 取 的 20 人 中 ， 男 ， 女 生 人 数 分 别 为 ， ， 则
， ，
所以 ， ；
（2）列联表如下：
男生 女生 总计
不参加课外阅读 4 2 6
参加课外阅读 8 6 14
总计 12 8 20
的观测值 ，
所以没有 90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；
（3） 的可能取值为 0，1，2，3，
且 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
从而 的数学期望为 ．
21．【解答】：（1）依题意，得 ，所以 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）由题意，对任意 有 恒成立，
① 当 时，有 恒成立，故 ，
1n 2n
1
20 1200 122000
×= =n 2
20 800 82000
×= =n
12 5 3 4= − − =x 8 3 3 2= − − =y
2K
220(4 6 2 8) 10 0.159 2.70612 8 14 6 63
× − ×= = ≈ f x 1 5| ,2 2
< > 或x x x
( ) ≥ +f x a x ( )≤ −a f x x ( ) ( )= −g x f x x
1 1− ≤ ≤x ( ) 1 3= + −g x t x min( ) (1) 2= = −g x g t
1<
微信/支付宝扫码支付