平顶山市2020届高三开学检测（线上）
数学（文）试题
满分：150 分 时间：150 分钟
一、选择题、本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 A＝{1，2，3，6}，B＝{x|2x>4}，则 A∩B＝
A.{6} B.{3，6} C.{1，2} D.{2，3，6}
2.若复数 z 满足 z(1－2i)＝10，则复数 z 在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知双曲线 C 的两条渐近线的夹角为 60°，则双曲线 C 的方程不可能为
A. B. C. D.
4.设向量 m，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题：
命题 p：|m－2n|的值可能为 9；
命题 q：“(m－2n)⊥m”的充要条件为“cos＝ ”；
则下列命题中，真命题为
A.p B.p∧q C.(﹁p)∧q D.p∨(﹁q)
5.已知 α∈(0，π)，且 sinα＝ ，则 tan(α＋ )＝
A.－ B.7 C.－ 或－7 D. 或 7
6.函数 在[－2π，2π]上的图象大致为
2
2 13
x y− =
2 2
13 9
x y− =
2 2
13 12
y x− =
2 2
121 7
y x− =
1
3
3
5 4
π
1
7
1
7
1
7
3sin 2( ) x
x xf x
e
+=7.德国数学家莱布尼兹(1646 年－1716 年)于 1674 年得到了第一个关于 π 的级数展开式，该公
式于明朝初年传入我国。在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图
(1692 年－1765 年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736 年)开始，历时近 30 年，证
明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公
式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算 π 开创了先河。如图所示的程序框图可
以用莱布尼兹“关于 π 的级数展开式”计算 π 的近似值(其中 P 表示 π 的近似值)，若输入 n＝10，
则输出的结果是
A. B.
C. D.
8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4＝－3，S 12＝24，若 ai＋aj＝0(i，j∈N *，且 1≤
ic>a B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a
10.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八
分之五。已知三棱锥 A－BCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB⊥底面 BCD，BC⊥CD，且 AB
＝CD＝ ，BC＝2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为
A.30 B. C.33 D.
11.一个圆锥的母线长为 2＋2 ，且母线与底面所成角为 ，则该圆锥内切球的表面积为
A.2π B.8π C. D.(6＋2 )π
12.已知 f'(x)是定义在 R 上的函数 f(x)的导函数，若 f(x)＝f(－x)＋x 3 ，且当 x≥0 时，
，则不等式 2f(x＋1)－2f(x)1，则当其前 n 项的乘积取最大值时，
n 的最大值为 。
3
10 10 12 10
2 4
π
8 2
3
π 2
23( ) 2f x x′ >
1
2
1
2
1
2
1
2
1x −
2
3
3 6
x y
x y
x y
+ ≥
+ ≤
− ≤
2
3三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17.(12 分)
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 。
(1)求角；
(2)若 3a＝b＋c，且△ABC 外接圆的半径为 1，求△ABC 的面积。
18．（本小题满分 12 分）
某农科所为改良玉米品种，对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图（单位：
厘米），设茎高大于或等于 180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米。
（1）请完成以上 2×2 列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过 0．01 的前提下，
认为抗倒伏与玉米矮茎有关?
（2）为改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出 5 株，再从这 5 株
玉米中选取 2 株进行杂交试验，则选取的植株均为矮茎的概率是多少?
52 sin( ) cos cos2c A a B b A
π + = +19．（12 分）已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，n∈N*，且﹣2S2，S3，4S4 成等差
数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对于数列 ，若存在一个区间 M，均有 Ai∈M，（i＝1，2，3…），则称 M 为数列
的“容值区间”，设 ，试求数列{bn}的“容值区间”长度的最小值．
20．（本小题满分 12 分）
已知 A（－2，0），B（2，0），直线 PA 的斜率为 k1，直线 PB 的斜率为 k2，且 k1·k2
＝－ ．
（1）求点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）设 F1（－1，0），F2（1，0），连接 PF1 并延长，与轨迹 C 交于另一点 Q，点 R 是 PF2
中点，O 是坐标原点，记△QF1O 与△PF1R 的面积之和为 S，求 S 的最大值．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝alnx﹣（x﹣1）ex，其中 a 为非零常数．
（1）讨论 f（x）的极值点个数，并说明理由；
（2）若 a＞e，（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有 1 个零点；（ii）设 x0 为 f（x）
的极值点，x1 为 f（x）的零点且 x1＞1，求证：x0+2lnx0＞x1．
（二）选考题：共 10 分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修 4--4：坐标系与参数方程]
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
3
4在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程 （β 为参数）．直线 l 的参数方程
（t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线 C 在直角坐标系中的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线 C 截直线 l 所得线段
的中点极坐标为 时，求直线 l 的倾斜角．
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)＝|x－3|－2|x|。
(1)求不等式 f(x)≥2 的解集；
(2)设 f(x)的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝m，证明：a2＋b2＋c2≥3。
高三文数学答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C C D A B C D B B B
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 9 14. 15. 16.1010
三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.【答案】（1） ；（2） .3A = π
2 3【解析】（1）∵ ，
∴ ，…………2 分
由正弦定理得， ，
∴ ，…………4 分
又 ，∴ ，∴ ，…………5 分
又 ，∴ .…………6 分
（2）设 外接圆的半径为 ，则 ， ，…………8 分
由余弦定理得 ，…………9 分
即 ， ，……………10 分
的面积 。…………12 分
18．解：（1）根据统计数据得 2×2 列联表如下：
抗倒伏 易倒伏 总计
矮茎 15 4 19
高茎 10 16 26
总计 25 20 45
…………………………………………………3 分
由于 K2 的观测值
K2 = ， ……………………………………5 分
因此可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.…6 分
（2）根据题意得，抽到的高茎玉米有 2 株，设为 A，B，抽到的矮茎玉米有 3 株，
设为 a,b，c， …………………………………………………………………………8 分
从这 5 株玉米中取出 2 株的取法有 AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，
共 10 种，其中均为矮茎的选取方法有 ab，ac，bc，共 3 种，……………………10 分
因此，选取的植株均为矮茎的概率是
.
………………………………………12 分 19．【分
245
19 26
(15 16 4 10)
25 20
× × − ×
× × × ≈ 7.287 > 6.635
3
10
2 sin( ) cos cos2c A a B b A
5π + = +
2 cos cos cosc A a B b A= +
( )2sin cos sin cos sin cos sin sinC A A B B A A B C= + = + =
2sin cos sinC A C=
0 C< < π sin 0C ≠ 1cos 2A =
0 A< < π
3A = π
ABC△ R 1R = 2 sin 3a R A= =
( )22 2 2 2 cos 33a b c bc b c bc
π= + − = + −
3 27 3bc= − 8bc∴ =
ABC∴∆ 1 1 3sin 8 2 32 2 2S bc A= = × × =析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为 q（q≠0），运用等差数列的中项的性质，以及等比数列的
通项公式，解方程可得 q，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用等比数列的求和公式，讨论 n 为偶数，n 为奇数，结合数列的单调性，以及“容值
区间”的定义，即可得到所求区间的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为 q（q≠0），
由﹣2S2，S3，4S4 成等差数列，
知﹣2S2+4S4＝2S3，
则 ，
化简得 3q2+6q3＝0，解得 ，
则 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，
当 n 为偶数时， ，易知 Sn 随 n 增大而增大，
∴ ，此时 ，
当 n 为奇数时， ，易知 Sn 随 n 增大而减小，
∴ ，此时 ，
又 ，∴ ，
区间长度为 ﹣2＝ ．
故数列{bn}的“容值区间”长度的最小值为 ．
20.解:(1)设 P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),
∴
…………………………………………………………2 分
又 ,
∴点 P 的轨迹 C 的方程为 ……………………………………4 分
(2)由 O,R 分别为 F1F2,PF2 的中点,故 OR∥PF1,故△PF1R 与△PF1O 同底等高,
1 2, ,2 2
y yk kx x
= =+ −
4
3
21 −=⋅ kk
2
2
3 ,4 4
y
x
∴ = −−
2 2
1( 2),4 3
x y x∴ + = ≠ ±
2 2
1( 2).4 3
x y x+ = ≠ ±故 ,
当直线 PQ 的斜率不存在时,其方程为
此时 S△PQO= ………………………………………………6 分
当直线 PQ 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x+1),
设 显然直线 PQ 不与 x 轴重合,即 k≠0;
联立
解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, Δ=144(k2+1)>0 ,
……………………………………………………………8 分
故
点 O 到直线 PQ 的距离 d=
……………………………………………10 分
令 u=3+4k2∈(3,+∞),故
故 S 的最大值为 . ……………………………………………………………12 分
21．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对 a 进行分类讨论即可求解
函数的单调性，进而可确定极值，
（2）（i）转化为证明 f′（x）＝0 只有一个零点，结合函数与导数知识可证；
（ii）由题意可得， ，代入可得， ，结合函数的性质
可证．
1 1PF R PF OS S∆ ∆=
1 11 1
,PF R PF OQF O QF O PQOS S S S S S∆ ∆∆ ∆ ∆∴ = + = + =
1,x = −
1 3 3 31 ( ) ;2 2 2 2
× × − − =
1 1 2 2( , ), ( , ),P x y Q x y
2 2
( 1),
1,4 3
y k x
x y
= + + =
∴
∴
2
1 2 2
2
1 2 2
8 ,3 4
4 12 ,3 4
kx x k
kx x k
+ = − +
−= +
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2
12(1 )| | 1 | | 1 ( ) 4 ,3 4
kPQ k x x k x x x x k
+= + − = + + − = +
2
| | ,
1
k
k+
2 2
2 2
1 ( 1)| | 6 ,2 (3 4 )
k kS PQ d k
+= = +
2 2
3 1
3 3 2 34 46 1 (0, ),2 2
u u
S u u u
− +⋅
= = − − + ∈
3
2【解答】解：（1）解：由已知，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵ ，
①当 a＜0 时，a﹣x2ex＜0，从而 f′（x）＜0，
所以 f（x）在（0，+∞）内单调递减，无极值点，
②当 a＞0 时，令 g（x）＝a﹣x2ex，
则由于 g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（0）＝a＞0， ，
所以存在唯一的 x0∈（0，+∞），使得 g（x0）＝0，
所以当 x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即 f′（x）＞0；当 x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即 f′
（x）＜0，
所以当 a＞0 时，f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极值点．
（2）证明：（i）由（1）知 ．
令 g（x）＝a﹣x2ex，由 a＞e 得 g（1）＝a﹣e＞0，
所以 g（x）＝0 在（1，+∞）内有唯一解，从而 f′（x）＝0 在（0，+∞）内有唯一解，
不妨设为 x0，则 f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
所以 x0 是 f（x）的唯一极值点．
令 h（x）＝lnx﹣x+1，则当 x＞1 时， ＜0，
故 h（x）在（1，+∞）内单调递减，
从而当 x＞1 时，h（x）＜h（1）＝0，所以 lnx＜x﹣1．
从而当 a＞e 时，lna＞1，且 f（lna）＝aln（lna）﹣（lna﹣1）elna＜a（lna﹣1）﹣（lna﹣1）
a＝0
又因为 f（1）＝0，故 f（x）在（1，+∞）内有唯一的零点．
（ii）由题意， 即 ，
从而 ，即 ．
因为当 x1＞1 时，lnx1＜x1﹣1，又 x1＞x0＞1，
故 ，即 ，两边取对数，得 lne ，
于是 x1﹣x0＜2lnx0，
整理得 x0+2lnx0＞x1．
（二）选考题：共 10 分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修 4--4：坐标系与参数方程]
22．【分析】（I）由曲线 C 的参数方程 ，（β 为参数）．利用平方关系即可得
出．
（II）解法一：中点极坐标 化成直角坐标为 ．设直线 l 与曲线 C 相交于 A
（x1，y1），B（x2，y2）两点， ．
把 A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入椭圆方程化简，可得直线的斜率．
解法二：中点极坐标 化成直角坐标为 ，将 分别代入
，得 ，
利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．
【解答】解：（I）由曲线 C 的参数方程 ，（β 为参数）．
得：
∴曲线 C 的参数方程化为普通方程为： ．
（II）解法一：中点极坐标 化成直角坐标为 ．
设直线 l 与曲线 C 相交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ．则
②﹣①得 ，
化简得： ．
即 ．
又∵α∈（0，π），
∴直线 l 的倾斜角为 ．
解法二：中点极坐标 化成直角坐标为 ，
将 分别代入 ，
得 ．
∴ ，
∴ ，
即 ．
∴ ，即
又∵α∈（0，π），
∴直线 l 的倾斜角为 ．
23.【解析】（1）当 时， ，由 ，
得 ，
解得 ，此时 ；
0x ≤ ( ) ( )3 2 3 2 3f x x x x x x= − − = − + = + ( ) 2f x ≥
3 2x + ≥
1x ≥ − 1 0x− ≤ ≤当 时， ，由 ，得 ，
解得 ，此时 ；
当 时， ，此时不等式 无
解.
综上所述，不等式 的解集为 ；…………5 分
（2）由（1）可知 .
当 时， ；当 时， ；当 时，
.
所以，函数 的最大值为 ，则 .
由柯西不等式可得 ，即 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立.
因此， 。…………10 分
0 3x< < ( ) ( )3 2 3 2 3 3f x x x x x x= − − = − − = − ( ) 2f x ≥ 3 3 2x− ≥
1
3x ≤ 10 3x< ≤
3x ≥ ( ) ( )3 2 3 2 3 6f x x x x x x= − − = − − = − − ≤ − ( ) 2f x ≥
( ) 2f x ≥ 11, 3
−
( )
3, 0
3 3 ,0 3
3, 3
x x
f x x x
x x
+ ≤
= − <
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