寒假收心考
数学卷
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫
卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木
构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B． C．
D．
4． 是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知曲线 在 处的切线过点 ,则实数 ( )
A．3 B． C． D．
6．已知非零向量 满足 且 ，则 与 的夹角为( )
A． B． C． D．
7．设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知
，a=2，c= ，则 C=( )
{ }2{ | 3 2 0}, 2 1xA x x x B x Z= − + ≤ = ∈ > A B =
(1,2) (1,2] [1,2] {1,2}
(1 ) 3z i i+ = +
2 2 1x y+ ≤ | | | | 2x y+ ≤
( ) (2 1) xf x a e= + 0x = (2,1) a =
3− 1
3
1
3
−
,a b 1, 2a b= = (2 ( )a b a b− ⊥ +) a b
6
π
4
π
3
π
2
π
sin sin (sin cos ) 0B A C C+ − = 2A． B． C． D．
8．已知公差不为零的等差数列 中， 成等比数列，则等差数列
的前 8 项和 为（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
9．已知实数 ， 满足不等式组 ，目标函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 在 处取得极值，则 的最小
值为（ ）
A． B． C．3 D．9
11．已知双曲线 ，过原点作一条倾斜角为 直线分别交双曲线左、
右两支 P，Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆过右焦点 F，则双曲线离心率为
A． B． C．2 D．
12．函数 在 内有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数 且 恒过定点的坐标为______．
14．若函数 ，则
______．
π
12
π
6
π
4
π
3
{ }na 3 5 7 12,a a a+ + = 1 3 6, ,a a a
{ }na nS
x y
2
1
0
x y
x y
y
+ ≤
− ≥
≥
1
3
yz x
+= +
2
3
4
9
5
9
1
3
3 21( ) ( 4) 1( 0, 0)3f x x ax b x a b= + + − + > > 1x = 2 1
a b
+
3 2 2
3
+
3 2 2+
2 2
2 2
x y 1(a 0,b 0)a b
− = > > π
3
( )
2 1+ 3 1+ 5
( ) 1 2 1x xf x e e b x−= − − − ( )0,1 b
( ) ( ),1 1,e e e e− − ∪ − ( ) ( )1 ,0 0, 1e e− ∪ −
( ) ( )1 ,0 0, 1e e− ∪ − ( ) ( )1 , , 1e e e e− − ∪ −
( ) ( )2 log 5 ( 0af x x a= + + > 1)a ≠
1 1
3 2( ) 3 2
x xe ef x x x
− −−= − + 1 2( ) ( )2020 2020f f+ +…
4038 4039( ) ( )2020 2020f f+ + =15．已知函数 的图象经过四个象限，则实数 的取值范围
是 ．
16．已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 的正方形,
若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长
的最大值是 ．
三、解答题
17．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理
念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，
某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治
理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占
．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出 200 人，并将这 200
人按年龄分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4
组 ，第 5 组 ，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出 的值；
（2）现在要从年龄较小的第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3
人进行问卷调查，求第 2 组恰好抽到 2 人的概率.
18．已知△ABC 的面积为 ，且 且 .
(1)求角 A 的大小；
(2)设 M 为 BC 的中点，且 ，∠BAC 的平分线交 BC 于 N，求线段 AN 的长度.
19．如图 1，在梯形 中， ， ，
3 2
80%
[ )15,25 [ )25,35
[ )55,65
a
3
2 1AB AC⋅ = − AB AC>
3
2AM =
ABCD AB CD∥ 3AB =，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，已知 ， ，将梯形
沿 ， 同侧折起，使得平面 平面 ，平面 平面 ，得到
图 2.
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
20．已知椭圆 ： 的离心率为 ，且与抛物
线 交于 ， 两点， （ 为坐标原点）的面积为
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，点 为椭圆上一动点（非长轴端点） ， 为左、右焦点， 的延长线与椭
圆交于 点， 的延长线与椭圆交于 点，求 面积的最大值．
21．设函数 .
（1）若 且 在 处的切线垂直于 y 轴，求 a 的值；
（2）若对于任意 ，都有 恒成立，求 a 的取值范围.
6CD = A B CD E F 1DE = 3AE =
ABCD AE BF ADE ⊥ ABFE ADE∥ BCF
BE∥ ACD
C AED−
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2
2
2y x= M N OMN∆ O
2 2
C
A 1F 2F 2AF
B AO C ABC∆
2 33 3( ) ( )2 2
xf x e x a= − − −
0a > ( )f x x 0=
[0, )x∈ +∞ ( ) 0f x ≥22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点，x
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ．
求 l 和 C 的直角坐标方程；
设 ，l 和 C 相交于 A，B 两点，若 ，求 的值．
23．已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
{ x 2 tcosα
y tsinα(t
=− +
= ).
( )2 2ρ 4 5sin θ 36+ =
( )1
( )2 ( )P 2,0− PA PB 4⋅ = sinα
( ) 1 2 ,= + − − ∈f x x m x m R
3m = ( ) 1f x >
[ ]1,2x∈ − ( ) 2 1f x x< + m文科数学复习卷答案（一)
一、单选题
1~5 DAAAD 6~10 DBBDC 11~12 BD
二、填空题
13． 14． 15．( ) 16．
三、解答题
17．【答案】（1）0.035（2）
【详解】（1）由 ，得
（2）第 1,2 组抽取的人数分别为 20 人，30 人，从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，
则第 1,2 组抽取的人数分别为 2 人，3 人，分别记为 .
设从 5 人中随机抽取 3 人，为
共 10 个基本事件
其中第 2 组恰好抽到 2 人包含
共 6 个基本事件,
从而第 2 组抽到 2 人的概率
18．【答案】（1） （2）
【详解】（1） ，
又 ，即 ∴ 又
∴
（2）如图所示：在△ABC 中，AM 为中线 ∴
∴
( )4,2− 8078− 2
3
5
10 (0.010 0.015 a 0.030 0.010) 1× + + + + = 0.035a =
1 2 1 2 3, , , ,a a b b b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 1 1 3, , , , , , , , , , , , , ,a a b a a b a a b a b b a b b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3, , , , , , , , , , , , , ,a b b a b b a b b a b b b b b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 3 1 2 3 2 1 2 2 1 3, , , , , , , , , , , , , ,a b b a b b a b b a b b a b b ( )2 2 3, ,a b b
6 3
10 5P = =
2
3
π 7
6
1AB AC⋅ = − | | | | cos cos 1AB AC A bc A⇒ ⋅ ⋅ = = −
1 3sin2 2ABCS bc A∆ = = sin 3bc A = sin sin tan 3cos cos
bc A A Abc A A
= = = −
(0, )A π∈ 2
3A
π=
2AM AB AC= +
2 2 2 2 2 24 | | ( ) | | 2 | |AM AB AC AB AB AC AC c b= + = + ⋅ + = + ∴ .
由（1）知： ，又 ∴ ， ，
由余弦定理可得： ，
，
，又 ，
∴ ，又 ，
∴ ，∴ .
19．【答案】（1）见证明；（2）
【详解】（1）设 ，取 中点 ，连接 ，
∵四边形 为正方形，∴ 为 中点，
∵ 为 中点，∴ 且 ，
因为平面 平面 ，平面 平面
， ，
平面 ，所以 平面 ，
又∵平面 平面 ，∴平面 平面 ，同理， 平面 ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，且 ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，所以
∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.
∴三棱锥的体积公式，可得 .
20．【答案】（1） （2）
2 2 5b c+ =
sin 3bc A = 2bc⇒ = c b> 2c = 1b =
2 2 2 2 cos 5 2 7a b c bc A= + − = + = ⇒ 7a =
1 1| | sin | | sin2 2ANCS AN b CAN AN CAN∆ = ⋅ ∠ = ∠
1 | | csin | | sin2BANS AN BAN AN BAN∆ = ⋅ ∠ = ∠ CAN BAN∠ = ∠
| | 1
| | 2B
N
AN
A CS CN
S BN∆
∆ = = | | | | 7CN BN a+ = =
7| | 3CN = 1 7 7 7| | | | | | | |2 2 3 6MN CM CN a CN= − = − = − =
3
2C AEDV − =
AF BE O= AC M OM
ABFE O AF
M AC 1
2OM CF
1
2OM CF=
ADE ⊥ ABFE ADE
ABFE AE= DE AE⊥
DE Ì ADE DE ⊥ ABFE
ADE∥ BCF BCF ⊥ ABFE CF ⊥ ABFE
1DE = 2FC = 1 1,2 2DE CF DE CF=
OM DE OM DE= DEOM DM OE
DM ⊂ ADC BE ⊄ ADC BE∥ ADC
CF DE DE Ì ADE CF ⊄ ADE CF∥ ADE
C ADE F ADE
1 1 33 1 33 2 2C AED F AEDV V− −= = × × × × =
2 2
18 4
x y+ = 4 2【详解】（1）椭圆 与抛物线 交于 ， 两点，可设
， ，
∵ 的面积为 ，∴ ，解得 ，∴ ， ，
由已知得 ，解得 ， ， ，∴椭圆 的方程为 .
（2）①当直线 的斜率不存在时，不妨取 ， ， ，故
；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程 ，化简得 ，
则 ， ， ，
，
点 到直线 的距离 ，
因为 是线段 的中点，所以点 到直线 的距离为 ，
∴
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2y x= M N
( , )M x x ( , )N x x−
OMN∆ 2 2 2 2x x = 2x = (2, 2)M (2, 2)N −
2 2
2 2 2
2
2
4 2 1
c
a
a b
a b c
=
+ =
= +
2 2a = 2b = 2c = C
2 2
18 4
x y+ =
AB (2, 2)A (2, 2)B − ( 2, 2)C − −
1 2 2 4 4 22ABC∆ = × × =
AB AB ( 2)y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 2
( 2)
18 4
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 22 1 8 8 8 0k x k x k+ − + − =
( )( ) ( )2 2 2 264 4 2 1 8 8 32 1 0k k k k∆ = − + − = + > 2
1 2 2
8
2 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
8 8
2 1
kx x k
−⋅ = +
( ) ( )22
1 2 1 2| | 1 4AB k x x x x = + ⋅ + − ⋅ ( ) 22 2
2
2 2
8 8 81 42 1 2 1
k kk k k
−= + ⋅ − ⋅ + +
2
2
14 2 2 1
k
k
+= ⋅ +
O 2 0kx y k− − =
2 2
| 2 | 2 | |
1 1
k kd
k k
−= =
+ +
O AC C AB 2
4 | |2
1
kd
k
=
+
1 | | 22ABCS AB d∆ = ⋅
2
2 2
1 1 4 | |4 22 2 1 1
k k
k k
+= ⋅ ⋅ ⋅ + +
( )
( )
2 2
22
1
8 2
2 1
k k
k
+
= ⋅
+∵ ，又 ，所以等号不成立.
∴ ，
综上， 面积的最大值为 .
21．【答案】（1）1；（2） .
【详解】（1） 则
∴ ∵ 且 在 处的切线垂直于 y 轴
∴ ∴ ,又 ∴
（2）对于任意 ,都有 恒成立
则 所以
, 得 ,所以 ,
即
下面证明 成立
∴ ,令 ,
∴令 ,
∴
∴函数 在 上单调递增
由 ∴
∴ 在 上单调递增
. 时,
∴ ,函数 在 上单调递增
∴ 成立
故
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 22 2 2
1 1
2 1 1
k k k k
k k k
+ +
=
+ + +
( )
( )
2 2
2 2
1 1
44 1
k k
k k
+
=
+ 2 2 1k k≠ +
( )
( )
2 2
22
1
8 2 4 2
2 1ABC
k k
S
k
∆
+
= ⋅ <
+
ABC∆ 4 2
0 1a≤ ≤
2 33 3( ) ( )2 2
xf x e x a= − − − 2 2( ) 3 3( )xf x e x a′ = − −
2(0) 3 3f a′ = − 0a > ( )f x 0x =
23 3 0a− = 1a = ± 0a > 1a =
[ )0,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥
3 33 3(0) ( ) 02 2f a a= − − − = ≥ 0a ≥
2 2( ) 3 3( )xf x e x a′ = − − [0, )x∈ +∞ 2(0) 3 3 0f a′ = − ≥ 2 1a ≤ 1 1a− ≤ ≤
0 1a≤ ≤
0 1a≤ ≤
0a ≥ ( ) ( ) ( )22' 3 3xg x f x e x a= = − − [ )0,x∈ +∞
( ) ( ) ( )26 6xh x g x e x a′= = − − [0, )x∈ +∞
2( ) 12 6 (0) 12 6 6 0xh x e h′ ′= − ≥ = − = >
( )h x [0, )x∈ +∞
( ) ( )0h x h≥ ( ) ( )' 0 6 6 0g x g a′≥ = + >
2 2( ) 3 3( )xf x e x a′ = − − [0, )x∈ +∞
( ) 2' 0 3f a= − 0 1a≤ ≤ (0) 0f ′ ≥
( )' 0f x ≥ ( )f x [0, )x∈ +∞
3( ) (0) 0 f x f a≥ = ≥
0 1a≤ ≤22．【答案】（1）l 的直角坐标方程为 ，或 ；C 的直角坐标方程为
；（2） .
【详解】解：
，
由
综上，l 的直角坐标方程为 ，或
由 C 的极坐标方程 得 ，
将 代入 ，得
， 在 l 上，
23．【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）当 时， ，
由 ，得 或 或 ，
解得： 或 ，故不等式的解集是 ；
（2）当 ]时， ，
x 2= − ( )y x 2 tanα= +
2 2
19 4
x y+ = 5
5
±
( ) π1 α kπ,k Z ,l x 22
= + ∈ = −当 时 ：
πα kπ,k Z2
≠ + ∈当 时
( )x 2 tcosα y, tanα,l y x 2 tanαy tsinα x 2
得 ：
= − + = = + = +
x 2= − ( )y x 2 tanα= +
( )2 2ρ 4 5sin θ 36+ = ( )2 2 24 x y 5y 36+ + =
2 2x yC 19 4
∴ + =的直角坐标方程为
( )2 ( )x 2 tcosα , ty tsinα
为参数
= − +
=
2 2x y 19 4
+ = ( )2 24 5sin α t 16tcosα 20 0+ − − =
1 2 2
20t t P( 24 5sin α
−∴ = −+ 0)
1 2 2
20PA PB t t 44 5sin α
−∴ = = =+
5sinα 5
∴ = ±
3 ,32
1
3m >
3m = ( ) 1 3 2f x x x= + − −
( ) 1f x > 1
2 7 1
x
x
< −
− >
1 2
4 5 1
x
x
− ≤ ≤
− >
2
2 7 1
x
x
>
− + >
3 22 x< ≤ 2 3x< < 3 ,32
[ ]1,2x∈ − ( ) 1 (2 )f x x m x= + − −因此 恒成立，即 恒成立，整理得： ，
当 时， 成立，
当 时， ，
令 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故 ，
故 ．
( ) 2 1f x x< + 1 (2 ) 2 1x m x x+ − − < + (2 )m x x− > −
2x = 0 2> −
[ )1,2x∈ − 212 2
xm x x
−> = −− −
2( ) 1 2g x x
= − −
1 2x− ≤ < 0 2 3x< − ≤ 1 1
2 3x
≥−
2 11 2 3x
− ≤− max
1( ) 3g x =
1
3m >
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