高三数学试题
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.
2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
第Ⅰ卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
1.已知集合 ， ，则
A． B. C. D.
2.设 （ 为虚数单位），其中 ， 是实数，则 等于
A．5 B． C． D．2
3.已知 a,b 都是正数，则“ ”是 “ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3 人作出如下预测：甲说：
我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙 3 人的预测结果有且
只有一个正确，由此判断获得第三名的是
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法预测
5.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，
问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算
方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4,在此问题中，扇形的圆
心角的弧度数是
A. B. C. D.120
6.若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
A.210 B.180 C.160 D.175
7.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉
标”的正西方向的点 处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点 向北偏东 前进 到达点
，在点 处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为
A. B. C. D.
8.已知函数 满足 ，且 的图象交点为
则 的值为
A.20 B.24 C.36 D.40
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
{ }| 2 , 0xA y y x−= = <
1
2|B x y x
= =
A B =
[ )1,+∞ ( )1,+∞ ( )0,+∞ [ )0,+∞
( )( ) ( )2 i 3 i 3 5 ix y+ − = + + i x y ix y+
13 2 2
3log3log ba < 333 >> ba
15
4
4
15
8
15
n
xx ）（ 2
2−
A 45o A 30o 100m
B B 30o
50m 100m 120m 150m
)(xf 2
13)(,6)2()-2( −
−==++
x
xxgxfxf )()( xgxf 与
),,(),,(),,( 882211 yxyxyx 1 2 8 1 2 8x x x y y y+ + + + + + + 题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个
焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 A（离地面最近的
点）距地面 m 千米，远地点 B（离地面最远的点）距地面 n
千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R
千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2c， 则
A.a-c=m+R B.a+c=n+R
C.2a=m+n D.b=
10.甲箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球.先从
甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球
的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论
正确的是
A. P(B)= B. P
C. 事件 B 与事件 相互独立 D. 、 、 两两互斥
11.已知点 P 是双曲线 的右支上一点， 为双曲线 E 的左、右焦点，
的面积为 20，则下列说法正确的是
A.点 P 的横坐标为 B. 的周长为
C. D. 的内切圆半径为
12.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 2，侧棱 AA1=1，P 为上底面 A1B1C1D1 上的
动点，给出下列四个结论中正确结论为
A.若 PD=3，则满足条件的 P 点有且只有一个
B.若 PD= ，则点 P 的轨迹是一段圆弧
C.若 PD//平面 ACB1，则 PD 长的最小值为 2
D.若 PD//平面 ACB1，且 PD= ，则平面 BDP 截正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的外接球所得平
面图形的面积为
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知向量 ＝(1， ＋1)， ＝( ，2)，若满足 // ，且方向相同，则 ＝ .
14.已知 m 是 2 与 8 的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是_____________.
)(m RnR ++ ）（
321 ,, AAA
5
2
11
5A|B 1 =）（
1A 1A 2A 3A
1916E
22
=− yx： 21, FF
21FPF∆
3
20
21FPF∆
3
80
321
π小于PFF∠ 21FPF∆
4
3
3
3
4
9π
a x b x a b x
1x
2
2 =−
m
y15.对于函数 f(x),若在定义域内存在实数 满足 ，则称函数 f(x)为“倒戈函数”，
设 是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”，则实数 m 的取值范围
是 .
16. 已知函数 是这两个函数图象的
交点，且不共线.
① 面积的最小值为 ;
②若存在 是等腰直角三角形，则 的最小值为 .
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10 分）数列
（1）求 的通项公式；
（2）若数列
18. （12 分）在锐角 中，内角 所对的边分别为 .已知
.
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
19.（12 分）如图，三棱柱 中， ， ，平面 平面
.
（1）求证： ；
（2）若 ，直线 与平面 所成角为 ， 为 的中点，求二面角
的余弦值.
20.（12 分）为提高城市居民生活幸福感,某城市 公 交 公
司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候 车 时 间 .
为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计. 乘 客 候
车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日 人 流 量
增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥 堵 情 况
正常、非节假日的情况下,乘客候车时间随机变量 X 满足正态分布 ·在公交车准点率正
常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,调查了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图频
率分布直方图.
（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计 μ， 的值；
（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事
件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次
试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况
0x )()(f 00 xfx −=−
)0,(123)(f ≠∈−+= mRmmx x
( ) 2 sin , ( ) 2 cos 0, , ,f x x g x x A B Cω ω ω= = >，其中
1 ABCω = ∆当 时，
ABC∆ ω
).13(2
1}{ 321 −=++++ n
nn aaaaa 满足：
}{ na
.T}{,3}{ n项和的前求满足： nbab n
ba
nn
nn=
ABC∆ A B C， ， , ,a b c sinb A
sin( )3a B
π= +
B
a
c正常、非节假日的某天，随机调查了该站的 10 名乘客的候车时间，发现其中有 3 名乘客候
车时间超过 15 分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.
(参考数据： ≈4.38， ≈4.63， ≈5.16，0.8413 7≈0.2898，0.8413 6≈0.3546，
0.15873≈0.0040 ， 0.15874≈0.0006 ， ，
， )
21. （ 12 分 ） 已 知 抛 物 线 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 焦 点 F 到 直 线
的距离为 ，焦点 F 到抛物线
（1）抛物线 C 的标准方程；
（2）若在 轴上存在点 M，过点 M 的直线 l 与抛物线 C 相交于 P,Q 两点，
且 为定值，求点 M 的坐标.
22.（12 分）已知函数
（1）讨论函数 的极值点的个数；
（2）若函数 有两个极值点
( + ) 0.6826P Xµ δ µ δ− < < =
( 2 +2 ) 0.9544P Xµ δ µ δ− < < = ( 3 +3 ) 0.9973P Xµ δ µ δ− < < =
FppxyC 点),0(2: 2 >=
0343 =+− yx 1d 1
2
2
3.
5
, d
d
C d =的准线的距离为 且
x
2 2
1 1
|PM| | |QM
+
).0(ln)( 2 ≥+−−= axaxxxf
)(xf
)(xf .2ln23)()(,, 2121 −>+ xfxfxx 证明：答案订正
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