数学（理科）
（时间 120 分钟，分值 150 分）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．不等式 的解集为( )
A． B．
C． ∪[1，＋∞) D． ∪[1，＋∞)
3. 已知命题甲：动点 到两定点 的距离之和 ，其中 为大于
0 的常数；命题乙： 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
4.记等差数列 的前 项和为 .若 则 ( )
A．16 B．24 C． 36 D． 48
5.在 ，则∠ 等于( )
A．30°或 150° B．60° C．60°或 120° D．30°
6. 已知一个等比数列的前 项和为 48，前 项和为 60，则前 项和为( )
A． 63 B． 108 C． 75 D． 83
7. 已 知 锐 角 的 内 角 的 对 边 分 别 为
等于( )
{ } { }821|,02| 12 ≤≤=>−−= −xxNxxxM =NM
( ]4,1− [ ]4,1 ( ]4,2 [ )+∞,4
012
1 ≤+
−
x
x
− 1,2
1
− 1,2
1
−∞−
2
1,
−∞−
2
1,
P BA, aPBPA 2=+ a
P
{ }na n nS ,20,2
1
41
== Sa =6S
°=∠==∆ 45,22,32 BbaABC中， A
n n2 n3
ABC∆ CBA 、、
bcaAAcba 则、、 ,6,7,02coscos23, 2 ===+A． 10 B． 9 C． 8 D． 5
8. 若抛物线 上有两点 ，且 垂直于 轴，若 ，则抛物
线的焦点到直线 的距离为( )
A． B． C． D．
9.一只蜂巢里有 1 只蜜蜂，第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天，6 只蜜蜂
飞出去，各自找回了 5 个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6 天所
有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A．55986 只 B．46656 只 C．216 只 D． 36 只
10.已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的两点， ,则线
段 的中点 到 轴的距离为 （ ）
A． B． C． D．
11.已知 是双曲线 的左、右焦点，点 在 上， 与 轴垂直，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12.已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准
线分别交于 两点， 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2， 的面积为 ，则
等于( )
A．1 B． C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分.）
13． 命题“若 则 ”的逆否命题为______________.
xy 22 = BA, AB x 22=AB
AB
2
1
4
1
6
1
8
1
F xy =2 BA, 3=+ BFAF
AB D y
4
3 1 4
5
4
7
21 FF、 1: 2
2
2
2
=−
b
y
a
xE M E 1MF x
3
1sin 12
=∠ FMF E
2 2
3 3
( )0,012
2
2
2
>>=− bab
y
a
x )0(22 >= ppxy
BA, O AOB∆ 3
p
2
3
,022 =+ yx 0== yx14．已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 中 ， ， 则 的 值 为
______________.
15．设集合 S＝{ || | }，T＝{ }，S∪T＝R，则 的取值范围是
____________．
16．过双曲线 ： 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交
于点 ，若点 的横坐标为 ，则 的离心率为________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 12 分）在锐角 中，内角 所对的边分别为 .已
知 .
(1)求角 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值．
18.（本小题满分 12 分）求适合下列条件的曲线的标准方程．
(1)经过点 ，且一条渐近线方程为 的双曲线；
(2)两个焦点坐标分别为 ，并且经过点 的椭圆.
19.已知正项等比数列 ， ， 与 的等比中项为 .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）令 ，数列 的前 项和为 .
20.（本小题满分 12 分）如图所示，港口 在港口 正东方向 120 海里处，小岛 在
港口 北偏东 60°方向，且在港口 北偏西 30°方向上，一艘科学考察船从港口 出
发，沿北偏东 30°的 方向以 20 海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口 出发，以 60
海里/时的速度驶向小岛 ，在 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，
补给物资的装船时间为 1 小时，则快艇驶离港口 后，最少要经过
多少小时才能和考察船相遇？
21.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的离
{ }na 3)lg( 1383
=aaa 151aa
x 2−x 3> 8+>=− bab
y
a
x C
P P a2 C
ABC∆ CBA 、、 cba 、、
Aca sin23 =
C
7=c 2
33=∆ABCS ba +
3,4
15 034 =+ yx
( ) ( )0,2,0,2−
−
2
3
2
5，
{ }na 1
1
2a = 2a 4a 1
8
{ }na na
n nb na= { }nb n nS
B O C
O B O
OA B
C C
B
( )01: 2
2
2
2
>>=+ bab
y
a
xC心率为 ， 的面积为 1.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点
.求证： 为定值．
22.（本小题满分 12 分）设函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求 的取值范围．
2
3 ( ) ( ) ( ) AOBObBaA ∆.0,0,00, 、、
C
P C PA y M PB x
N BNAN ⋅
( ) 25 −−+−= xaxxf
1=a ( ) 0≥xf
( ) 1≤xf a参考答案（理科）
一、选择题：(每小题 5 分，共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D C A D A B C A B
二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分)
13.若 中至少有一个为 0，则
14. 100 15. 16.
三、解答题：
17.解：【解析】解 (1)由 a＝2csinA 及正弦定理，
得＝ ＝ .
∵sinA≠0，∴sinC＝ .
又∵△ABC 是锐角三角形，∴C＝ .…………………………………………5 分
(2) c＝ ，C＝ ，
由面积公式，得 absin ＝ ，
即 ab＝6，①…………………………………………7 分
由余弦定理，得 a2＋b2－2abcos ＝7，
即 a2＋b2－ab＝7，②…………………………………………9 分
由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7，③
将①代入③得(a＋b)2＝25，故 a＋b＝5.………………………………12 分
18.解：（1）因渐近线为 4x＋3y＝0，故可设双曲线的方程为 16x2－9y2＝k，
将 代入得，k＝225－81＝144.
代入①并整理得 － ＝1.故所求双曲线的标准方程为 － ＝1
……………………………6 分
（2）因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 .
由椭圆的定义知 ，所以
yx, 022 ≠+ yx
( )1,3 −− 32 +
x ( )012
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
1022 =a 10=a又因为 .
因此，所求椭圆标准方程为 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．12
19.（1）因为正项等比数列 ，所以 ，设公比为 ，则 .
又因为 与 的等比中项为 ，所以 ，即 ，由 ，得 ，
于是，数列 的通项公式为 .…………………………………………………
4 分
（2）由题可知， ，……………………………………………………5 分
于是， ——①
—②………………………………………6 分
由① ②，得
…………………………………………8 分
.……………………………………………10 分
解得 ………………………………………………………………12 分
20 解 设快艇驶离港口 B 后，经过 x 小时，在 OA 上的点 D 处与考察船相遇.如图
所示，连接 CD，则快艇沿线段 BC，CD 航行.在△OBC 中，由题意得∠BOC＝30°，∠CBO
＝60°，
所以∠BCO＝90°.………………………………………………………3 分
因为 BO＝120，所以 BC＝60，OC＝60 .
故 快 艇 从 港 口 B 到 小 岛 C 需 要 1 小 时 ， 所 以
x>1.………………6 分
在△OCD 中，由题意得∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x
－2).
6,2 222 =−== cabc 所以
1610
22
=+ yx
{ }na 0na > q 0q >
2a 4a 1
8 3
1
8a = 2
1
1
8a q = 1
1
2a = 1
2q =
{ }na 1
2n na =
2n n
nb =
2 3
1 2 3
2 2 2 2n n
nS = + + + +…
2 3 4 1
1 1 2 3
2 2 2 2 2n n
nS += + + + +…
−
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2n n n
nS += + + + + + −…
1
1 1(1 )2 2
1 21 2
n
n
n
+
−
= −
−
1
11 2 2n n
n
+= − −
22 2n n
nS
+= −由余弦定理，得 CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，
所以 602(x－2)2＝(20x)2＋(60 )2－2×20x×60 ×cos 30°.
解得 x＝3 或 x＝ ，因为 x>1，所以 x＝3.…………10 分
所以快艇驶离港口 B 后，至少要经过 3 小时才能和考察船相遇.………………………
12 分
21.(1)解 由题意，得 解得
所以椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1.…………………………………………5 分
(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设 P(x0，y0)，则 ＋4 ＝4.
当 x0≠0 时，直线 PA 的方程为 y＝ (x－2)．………………………6 分
令 x＝0，得 yM＝－ ，
从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋ |.
直线 PB 的方程为 y＝ x＋1.…………………………………………8 分
令 y＝0，得 xN＝－ ，
从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋ |.
所以|AN|·|BM|＝|2＋ |·|1＋ |＝
＝ ＝4.…………………………………………10 分
当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2.
所以|AN|·|BM|＝4.…………………………………………11 分
综上，|AN|·|BM|为定值．…………………………………………12 分
22.解：（本小题满分 12 分）
（1）解析：当 时， 可得 的解集为
+=
=
=
222
2
2
3
cba
ab
a
c
1=a ( )
>+−
≤
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