高三数学模拟试题
2020.2
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.
2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的
集合为
A. B. C. D.
2.若 （其中 是虚数单位），则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．已知函数 的图象大致为
4.《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，
凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 ,乙持钱
,丙持钱 ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 钱，要按个人带钱多少的比例交
税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是
A.甲付的税钱最多 B.乙、丙两人付的税钱超过甲
C.乙应出的税钱约为 D.丙付的税钱最少
5. 若 ，则
A. B. C. D.
6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读
{ 1,2}A = − { | 1}B x ax= = B A⊆ a
11, 2
11, 2
−
11,0, 2
−
10,1, 2
1iz i= + i z
( ) (2 2 )ln | |x xf x x−= +
560
350 180 100
32
( ) 2sin 75 3
α° + = ( )cos 30 2α° − =
5
9
− 4
9
− 5
9
4
9了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁
说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7.若 ， ， ，满足 ， ， ，则
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，圆 与双曲线在
第一象限内的交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为
A.3 B.2 C. D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.下表是某电器销售公司 2019 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类 冰箱类 小家电类 其它类
营业收入占比
净利润占比
则下列判断中正确的是
A. 该公司 2019 年度冰箱类电器营销亏损
B. 该公司 2019 年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C. 该公司 2019 年度净利润主要由空调类电器销售提供
D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2019 年度空调类电器销售净利润占比将会降低
10.已知函数 ，则下列结论正确的是
A. 不是周期函数 B. 奇函数
C. 的图象关于直线 对称 D. 在 处取得最大值
11.设 A,B 是抛物线 上的两点， 是坐标原点，下列结论成立的是
a b c 2 3a = 2log 5b = 3 2c =
c a b< < b c a< < a b c< < c b a< <
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2,F F 2 2 2x y b+ =
M 1 2| | 3| |MF MF=
3 2
90.10% 4.98% 3.82% 1.10%
95.80% 0.48%− 3.82% 0.86%
sin , 4( )
cos , 4
x x
f x
x x
π
π
≤=
>
( )f x ( )f x
( )f x
4x
π= ( )f x 5
2x
π=
2y x= OA. 若 ，则
B. 若 ，直线 AB 过定点
C. 若 ， 到直线 AB 的距离不大于 1
D. 若直线 AB 过抛物线的焦点 F，且 ，则
12.如图，矩形 中， 为 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连结 ， 为
的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
A.存在某个位置，使得 ；
B.翻折过程中， 的长是定值；
C.若 ，则 ；
D.若 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥
的外接球的表面积是 .
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知两个单位向量 的夹角为 ， ， ，则 ______．
14.已知曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离
心率为 .
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．
16. 已知函数 ，
①若 ，则不等式 的解集为__________；
②若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10 分）在① ；② ，这两个条件中任选一个，
补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在 中，内角 的对边分别为 ,设 的面积为 ,已知 .
(1)求 的值;
OA OB⊥ | || | 2OA OB ≥
OA OB⊥ (1,0)
OA OB⊥ O
1| | 3AF = | | 1BF =
,a b 30 (1 )c ma m b= + − 0b c⋅ = m =
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > ( 2, 6)
4
( ) 2
2 ,
,
x x af x
x x a
≤= >
1a = ( ) 2f x ≤
b ( ) ( )g x f x b= − a
( )2 2 23 16 3c S b a= + − 5 cos 4 5b C c a+ =
ABC , ,A B C , ,a b c ABC S
tan B(2)若 ,求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. （12 分）已知在四棱锥 中， ， ， 是
的中点， 是等边三角形，平面 平面 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19.（12 分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ，
.
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，证明： .
20．（12 分）某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性
购进一种食品，每件 200 元，统一零售价每件 300 元，两家超市之间调配食品不计费用，若
进货不足食品厂以每件 250 元补货，若销售有剩余食品厂以每件 150 回收.现需决策每日购进
食品数量，为此搜集并整理了 、 两家超市往年同期各 50 天的该食品销售记录，得到如下
数据：
销售件数 8 9 10 11
频数 20 40 20 20
以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记 表示这两家超市每日共销售食
品件数， 表示销售公司每日共需购进食品的件数.
（1）求 的分布列；
（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在 与 之中选其一，应选哪个？
42, 10S a= = b
P ABCD− / /AD BC 1
2AB BC CD AD= = = G
PB PAD∆ PAD ⊥ ABCD
CD ⊥ GAC
P AG C− −
{ }na n nS 12n nS a a= − ( )*n∈N { }nb 1 6b =
1 4n n
n
b S a
= + + ( )*n∈N
{ }na
1
nb
n nT 1
2nT <
A B
A B
X
n
X
19n = n 20=21. （12 分）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 截直线 所得
的线段的长度为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（ Ⅱ ） 设 直 线 与 椭 圆 交 于 两 点 ， 点 是 椭 圆 上 的 点 ， 是 坐 标 原 点 ， 若
，判定四边形 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，
请说明理由.
22.（12 分）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 ，当 时，求 的最大值.
高三数学模拟题二参考答案
一、CDBB ABAC
二、9.ACD 10.AC 11.ACD 12.BD
三、13. 14. 2 15. 16. (1). (2).
17.解: 17.解:
(1)选择条件①.
由題意得 .即
整理可得 ，…………4 分
又 .所以 ,所以 .…………5 分
选择条件②.
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2
2
C 1y =
2 2
C
l C ,A B D C O
OA OB OD+ = OADB
2( ) 2ln ( )f x x ax x a R= − + ∈
( )f x
( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< 22a e
e
≥ + ( ) ( )2 1f x f x−
4 2 3+ 8π ( , 2]−∞ ( ,2) (4, )−∞ ∪ +∞
( )2 2 28 3acsin B a c b= + −
2 2 2
4sin 3 2
a c bB ac
+ −=
3 4 4 cosB sinB sin B− =
0sin B > 0cos B > sin 3
cos 4
Btan B B
= =因为 ，
由正弦定理得， ，
，
即 ，…………3 分
在 中， ，所以 ，
,所以 .…………5 分
(2)由 ，得 ,又
则 ,解得 .…………7 分
将 代入 中，
得 ，
解得 .…………10 分
18.（Ⅰ）证明：取 的中点为 ，连结 ， ， ，设 交 于 ，连结 .
因为 ， ，
四边形 与四边形 均为菱形，
， ， ，…………2 分
因为 为等边三角形， 为 中点，
，
因为平面 平面 ，且平面 平面 .
平面 且 ，
平面 ，…………4 分
因为 平面 ，
，
因为 H， 分别为 ， 的中点，
，
.………………5 分
又因为 ，
5 cos 4 5b C c a+ =
5sin cos 4sin 5sinB C C A+ =
5sin cos 4sin 5sin( )B C C B C+ = +
sin (4 5cos ) 0C B− =
ABC sin 0C ≠ 4cos 5B =
2 3sin 1 cos 5B B= − = 3tan 4B =
3
4tan B = 3
5sin B = 42, 10S a= = ，
1 1 3 10 422 2 5S acsin B c= = × × = 14c =
42, 10, 14S a c= = = ( )2 2 2 26 16 3 6c S c a= + + −
( )2 2 2 26 14 16 42 3 14 10b× = × + + −
6 2b =
AD O OP OC OB OB AC H GH
//AD BC 1
2AB BC CD AD= = =
ABCO OBCD
OB AC∴ ⊥ / /OB CD CD AC⊥
PAD O AD
PO AD∴ ⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ∩ ABCD AD=
PO ⊂ PAD PO AD⊥
PO∴ ⊥ ABCD
CD ⊂ ABCD
PO CD∴ ⊥
G OB PB
/ /GH PO∴
GH CD∴ ⊥
GH AC H∩ =平面 ，
平面 .…………6 分
（Ⅱ）取 的中点为 ，以 为空间坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 ， ， ， ，
， ，…………8 分
设平面 的一法向量 .
由 .令 ，则 .
由（Ⅰ）可知，平面 的一个法向量 ，…………10 分
二面角 的平面角的余弦值为 .…………12 分
19.解析：（I）由 ，
当 时， ，
两式相减得 ，…………3 分
因为 ，
所以 ，解得 ，……4 分
所以数列 是公比为 2， 的等比数列，
的通项公式为 .…………6 分
（Ⅱ）由 ，
,AC GH ⊂ GAC
CD\ ^ GAC
BC E O , ,OE OD OP x y
z O xyz−
4=AD ( )0,0,2 3P ( )0, 2,0A − ( )3,1,0C ( )0,2,0D 3 1, , 32 2G
−
(0,2,2 3)AP = 3 3( , , 3)2 2AG =
PAG ( ), ,n x y z
→
=
0
0
n AP
n AG
⋅ =
⋅ =
2 2 3 0
3 3 3 02 2
y z
x y z
+ =⇒
+ + =
3y z
x z
= −⇒ = 1z = (1, 3,1)n = −
AGC ( 3,1,0)CD = −
15cos , 5| || |
n CDn CD
n CD
⋅< >= = −
∴ P AG C− − 15
5
−
12n nS a a= −
2n ≥ 1 1 12n nS a a− −= −
12n na a −=
1 4n n
n
b S a
= + +
1
1
16 4a a
= + + 1 1a =
{ }na 1 1a =
{ }na 12n
na −=
12 2 1n
n nS a a= − = −得 ，……7 分
即 ，………………9 分
所以
. ……………………12 分
20.解：（1）由已知一家超市销售食品件数 8,9,10,11 的概率分别为 .
取值为 16，17，18，19，20，21，22. ………………1 分
， ；
； ；
；
，………………5 分
所以 的分布列为
16 17 18 19 20 21 22
………………6 分
（2） 当 时，记 为 销售该食品利润，则 的分布列为
1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050
.
………………9 分
当 时，记 为 销售该食品利润，则 的分布列为
1400 1550 1700 1850 2000 2050 2100
1
12 32
n
n nb −= + +
( )( )
1
1
1 2
2 1 2 1
n
n n
nb
−
−
=
+ + 1
1 1
2 1 2 1n n−= −+ +
0 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nT − −
= − + − + + − + + + + + +
1 1 1
2 2 1 2n
= − 19n =
2 2
2 2 2
2
2
2 1 1
c
a
a b
a b c
=
+ =
= +
2, 2a b c= = =
C
2 2
14 2
x y+ =
l AB 1x = − 1x =
OADB 6
l l y kx m= +
2 2
14 2
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m⇒ + + + − =
( )2 28 4 2 0k m∆ = + − > 2
1 2 1 22 2
4 2 4,1 2 1 2
km mx x x xk k
− −+ = =+ +
( )1 2 1 2 2
22 1 2
my y k x x m k
+ = + + = +
2 2
2
2
2 2 4 21 1 2
k mAB k k
+ −= + +
O AB 21
md
k
=
+
OA OB OD+ =
2 2
4 2,1 2 1 2D D
km mx yk k
−= =+ +
D C
2 2
2 2
4 2
1 2 1 2 14 2
km m
k k
− + + + =
2 21 2 2k m+ =由题意四边形 为平行四边形，所以四边形 的面积为
由 得 , 故四边形 的面积是定值，其定值为 ．
………………12 分
22.解：（1）由 得 ；
因为 ，所以 ；
因此，当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调
递增；………………2 分
当 时，由 得 ，解得 或
；由 得 ；
所以 在 ， 上单调递增；在
上单调递减；………………4 分
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增；在
上单调递减. ………………5 分
（2）若 有两个极值点 ，
由（1）可得， 是方程 的两不等实根，
所以 ， ，………………6 分
因此
OADB OADB
2 22 2
2
2 22
2 2 4 22 2 4 21 1 2 1 21OADB
m m k mk mS AB d k k kk
+ −+ −= = + × =+ ++
2 21 2 2k m+ = 6OADBS = OADB 6
2( ) 2lnf x x ax x= − + 2( ) 2f x x a x
′ = − +
0x > 22 4x x
+ ≥
4a ≤ 2( ) 2 0f x x a x
′ = − + ≥ (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞
4a > 2( ) 2 0f x x a x
′ = − + > 22 2 0x ax− + >
2 16
4
a ax
+ −>
2 160 4
a ax
− −< < 2( ) 2 0f x x a x
′ = − + < 2 216 16
4 4
a a a ax
− − + −< <
( )f x
2 160, 4
a a − −
2 16 ,4
a a + − +∞
2 216 16,4 4
a a a a − − + −
4a ≤ ( )f x (0, )+∞
4a > ( )f x
2 160, 4
a a − −
2 16 ,4
a a + − +∞
2 216 16,4 4
a a a a − − + −
( )f x ( )1 2 1 2,x x x x<
1 2,x x 22 2 0x ax− + =
1 2 2
ax x+ = 1 2 1x x =
( ) ( ) 2 2
2 1 2 2 2 1 1 1( 2ln ) ( 2ln )f x f x x ax x x ax x− = − + − − +，…7 分
令 ，则 ；
由（1）可知 ，
当 时，
，
所以 ，………………10 分
令 ， ，
则 在 上恒成立；
所以 在 上单调递减，
故 .
即 的最大值为 .………………12 分
2 2 2 2 2 2
2 1 1 2 1 2 1 2 2 2
2 2
21 1
2
12( )( ) 2ln 2ln 2lnx xx x x x x x x x x xx xx
− + + = − + = − += + −
2
2t x= 2 2
22 22
2
1
1 1( ) ( ) 2ln 2lnf x f x t tx xx t
− = − + = − +
2
2
16
4
a ax
+ −=
22a e
e
≥ +
2
2
2 42 4
4
616
4
8 1e
x eea a e e
+ + + + −+ −= ≥ =
[ )2
2 ,et x ∈= +∞
1( ) 2lng t t tt
= − + [ ),t e∈ +∞
2 2
2 2 2
1 2 2 1 ( 1)( ) 1 0t t tg t t t t t
− + −′ = − − + = − = − < [ ),t e∈ +∞
1( ) 2lng t t tt
= − + [ ),t e∈ +∞
max
1( ) ( ) 2g t g e ee
= = − +
( ) ( )2 1f x f x− 1 2ee
− +
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