八年级数学下第九章9.3平行四边形的性质与判定中档题训练（有答案）

第 1 页，共 13 页 八下第九章 9.3 平行四边形的性质与判定中档题训练 一、选择题 1. 如图，E、F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC、AD 所 在直线上的点，AC、EF 交于点 O，请你添加一个条件， 使四边形 AECF 是平行四边形，下列选项中不能推断四 边形 AECF 是平行四边形的是(    ) A. 퐴퐸 = 퐶퐹 B. 퐸푂 = 퐹푂 C. 퐴퐸//퐶퐹 D. 퐴퐹 = 퐸퐶 2. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于 O，E，F 是对角线上的两点，给出下列 四个条件： 1.푂퐸 = 푂퐹;2.퐷퐸 = 퐵퐹;3．∠퐴퐵퐸 = ∠퐶퐷퐹;4． ∠퐴퐷퐸 = ∠퐶퐵퐹.其中不能判定四边形 DEBF 是平行 四边形的有(    )个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，在□퐴퐵퐶퐷中，对角线 AC，BD 相交于点 O，퐴퐸 ⊥ 퐵퐷于点 E，퐶퐹 ⊥ 퐵퐷于 点 F，连结 AF，CE，则下列结论：①퐴퐹 = 퐶퐸；②푂퐸 = 푂퐹；③퐷퐸 = 퐵퐹；④ 图中共有八对全等三角形.其中正确结论的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图所示，已知 ABCD 与 DCFE 的周长相等，且∠퐵퐴퐷 = 60°，∠퐶퐹퐸 = 110°. 则下列结论；①四边形 ABFE 为平行四边形；② △ 퐴퐷퐸是等腰三角形；③ ABCD 与 DCFE 全等；④∠퐷퐴퐸 = 25°，其中结论正确的个数为(    ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 5. 如图，四边形 ABCD 中，퐴퐶 ⊥ 퐵퐶，퐴퐷//퐵퐶，퐵퐶 = 3， 퐴퐶 = 4，퐴퐷 = 6.푀是 BD 的中点，则 CM 的长为(    ) A. 3 2 B. 2 C. 5 2 D. 3第 2 页，共 13 页 6. 如图，在四边形 ABCD 中，퐴퐷//퐵퐶，且퐴퐷 > 퐵퐶，퐵퐶 = 6푐푚，P，Q 分别从点 A， C 同时出发，点 P 以1푐푚/푠的速度由点 A 向点 D 运动，点 Q 以2푐푚/푠的速度由点 C 向点 B 运动，当四边形 ABQP 是平行四边形时，运动时间为( ) A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s 7. 如图，在给定的 △ 퐴퐵퐶中，动点 D 从点 B 出发沿 BC 方向向终点 C 运动，퐷퐸//퐴퐶 交 AB 于点 E，퐷퐹//퐴퐵交 AC 于点 F，O 是 EF 的中点．在整个运动过程中， △ 푂퐵퐶 的面积的大小变化情况是(    ) A. 不变 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 二、填空题 8. 如图，四边形 ABCD 中，퐴퐷//퐵퐶，作퐴퐸//퐷퐶交 BC 于 퐸. △ 퐴퐵퐸的周长是 25cm，四边形 ABCD 的周长是 37cm， 那么퐴퐷 = ______ cm． 9. 如图，在□ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，AD 上，四位同学想通过添加一个条 件，使四边形 AECF 成为平行四边形.他们添加的条件分别是：甲，퐵퐸 = 퐷퐹；乙， 퐴퐸//퐶퐹；丙，퐴퐸 = 퐶퐹；丁，∠퐸퐴퐹 = ∠퐴퐹퐶.添加正确的同学是_____． 10. 如图所示，□ABCD 中，∠퐴퐵퐶 = 60°，E、F 分别在 BC、CD 的延长线上， 퐸퐹 ⊥ 퐵퐸，퐴퐹//퐵퐷，且퐴퐵 = 2，则 EF 的长为________．第 3 页，共 13 页 11. 如图，有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 DEF 部 分打碎，现在只测得퐴퐵 = 60푐푚，퐵퐶 = 80푐푚，∠퐴 = 120∘，∠퐵 = 60∘，∠퐶 = 150∘，根据测得的数据求出 AD 的 长为______________cm． 12. 如图，在3 × 3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠2−∠1 = ________°． 13. 如图，将平行四边形 ABCD 沿 EF 对折，使点 A 落在点 C 处．若∠퐴 = 60°， 퐴퐷 = 4，퐴퐵 = 8，则퐴퐸 = ______． 三、解答题 14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，퐴푀  ⊥ 퐵퐷于 M，퐶푁 ⊥ 퐵퐷于 M，连接 CM、AN (1)求证：四边形 AMCN 是平行四边形； (2)若∠퐶퐵퐷 = 30°，∠퐴퐵퐷 = 45°，퐴푀 = 2.求平行四边形 ABCD 的周长．第 4 页，共 13 页 15. 如图 1，已知 △ 퐴퐵퐶是等边三角形，点 D、F 分别在线段 BC、AB 上， ∠퐸퐹퐵 = 60°，퐸퐹 = 퐷퐶． (1)求证：四边形 EFCD 是平行四边形． (2)如图 2，连结 BE，若퐵퐸 = 퐸퐹，求证：퐴퐸 = 퐴퐷． 16. 如图①，在 △ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 = 퐴퐶，点 D 在边 BC 所在的直线上，过点 D 作퐷퐸//퐴퐶 交直线 AB 于点 E，퐷퐹//퐴퐵交直线 AC 于点 F。 (1)当点 D 在边 BC 上时，如图①，求证：퐷퐸 + 퐷퐹 = 퐴퐶 (2)当点 D 在边 BC 的延长线上时，如图②;当点 D 在边 BC 的反向延长线上时，如 图③请分别写出图②、图③中 DE，DF，AC 之间的数量关系，不需要证明第 5 页，共 13 页 (3)若퐴퐶 = 6，퐷퐸 = 4，直接写出 DF 的长。 17. 如图 1，在 △ 퐴퐵푂中，∠푂퐴퐵 = 90°，∠퐴푂퐵 = 30°，푂퐵 = 2.以 OB 为一边，在 △ 푂퐴퐵外作等边三角形 OBC，D 是 OB 的中点，连接 AD 并延长交 OC 于 E． (1)求点 B 的坐标； (2)求证：四边形 ABCE 是平行四边形； (3)如图 2，将图 1 中的四边形 ABCO 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 FG，求 OG 的长．第 6 页，共 13 页 答案和解析 1.A 解：퐴.不能判定四边形 AECF 是平行四边形，本选项错误； B. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 퐴퐷//퐵퐶，即퐴퐹//퐶퐸， ∵ 퐸푂 = 퐹푂， 易推 △ 퐴퐹푂≌CEO， ∴ 퐴퐹 = 퐶퐸， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形， 故本选项正确； C.添加퐴퐸//퐶퐹，由已知四边形 ABCD 为平行四边形，得出퐴퐹//퐶퐸，能判定四边形 AECF 为平行四边形，本选项正确； D.添加퐴퐹 = 퐸퐶由已知四边形 ABCD 为平行四边形，得出퐴퐹//퐶퐸，能判定四边形 AECF 为平行四边形，本选项正确． 2.B 解：① ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ 푂퐷 = 푂퐵，푂퐴 = 푂퐶， 又 ∵ 푂퐸 = 푂퐹， ∴ 四边形 DEBF 为平行四边形； ②不能判定四边形 DEBF 是平行四边形； ③ ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ ∠퐷퐶퐹 = ∠퐵퐴퐸，퐴퐵 = 퐶퐷，퐴푂 = 퐶푂， 又 ∵ ∠퐴퐵퐸 = ∠퐶퐷퐹， ∴△ 퐴퐵퐸≌ △ 퐶퐷퐹， ∴ 퐴퐸 = 퐶퐹， ∴ 퐴푂−퐴퐸 = 퐶푂−퐶퐹，即푂퐸 = 푂퐹， 同①可得四边形 DEBF 为平行四边形； ④ ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ ∠퐷퐴퐸 = ∠퐵퐶퐹，퐴퐷 = 퐵퐶，퐴푂 = 퐶푂， 又 ∵ ∠퐴퐷퐸 = ∠퐶퐵퐹， ∴△ 퐴퐷퐸≌ △ 퐶퐵퐹， ∴ 퐴퐸 = 퐶퐹，第 7 页，共 13 页 ∴ 퐴푂−퐴퐸 = 퐶푂−퐶퐹，即푂퐸 = 푂퐹， 同①可得四边形 DEBF 为平行四边形； 只有①③④可以． 所以不能判断的有 1 个， 3.B 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 퐴퐵 = 퐶퐷，퐴퐷 = 퐵퐶，푂퐵 = 푂퐷，푆△ 퐵퐶퐷 = 푆△ 퐴퐵퐷， ∵ 퐴퐸 ⊥ 퐵퐷于点 E，퐶퐹 ⊥ 퐵퐷于点 F， ∴ 퐶퐹//퐴퐸，푆△ 퐵퐶퐷 = 1 2퐵퐷 ⋅ 퐶퐹，푆△ 퐴퐵퐷 = 1 2퐵퐷 ⋅ 퐴퐸， ∴ 퐶퐹 = 퐴퐸， ∴ 四边形 CFAE 是平行四边形， ∴ 퐴퐹 = 퐶퐸，퐸푂 = 퐹푂，故①②正确； ∵ 푂퐵 = 푂퐷， ∴ 퐷퐸 = 퐵퐹，③正确； 由以上可得出： △ 퐶퐷퐹≌ △ 퐵퐴퐸， △ 퐶퐷푂≌ △ 퐵퐴푂， △ 퐶퐷퐸≌ △ 퐵퐴퐹， △ 퐶퐹푂≌ △ 퐴퐸푂， △ 퐶퐸푂≌ △ 퐴퐹푂， △ 퐴퐷퐹≌ △ 퐶퐵퐸， △ 퐷푂퐴≌ △ 퐶푂퐵等，故④错 误． 故正确的有 3 个． 4.B 解： ∵ ▱ABCD 中，퐴퐵//퐶퐷且퐴퐵 = 퐶퐷， 同理퐶퐷//퐸퐹且퐶퐷 = 퐸퐹． ∴ 퐴퐵//퐸퐹且퐴퐵 = 퐸퐹， ∴ 四边形 ABFE 是平行四边形． 故①正确； ∵ ▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且퐴퐵 = 퐶퐷 = 퐸퐹， ∴ 퐴퐷 = 퐴퐸，即 △ 퐴퐷퐸是等腰三角形． 故②正确； ∵ ∠퐵퐴퐷 = 60°，平行四边形 ABCD 中，퐴퐵//퐶퐷， ∴ ∠퐴퐷퐶 = 180°−∠퐵퐴퐷 = 180°−60° = 120°， 则▱ABCD 与▱DCFE 的角都不相等，故不全等． 故③错误； ∵ ▱DCFE 中，∠퐶퐷퐸 = ∠퐶퐹퐸 = 110°， ∴ ∠퐴퐷퐸 = 360°−∠퐴퐷퐶−∠퐶퐷퐸 = 360°−120°−110° = 130°， 又 ∵ 퐴퐷 = 퐷퐸， ∴ ∠퐷퐴퐸 = 180°−∠퐴퐷퐸 2 = 180°−130° 2 = 25°．第 8 页，共 13 页 故④正确． 5.C 解：延长 BC 到 E 使퐵퐸 = 퐴퐷，又퐴퐷//퐵퐶，则四边形 ACED 是平行四边形， ∵ 퐵퐶 = 3，퐴퐷 = 6， ∴ 퐶是 BE 的中点， ∵ 푀是 BD 的中点， ∴ 퐶푀 = 1 2퐷퐸 = 1 2퐴퐵， ∵ 퐴퐶 ⊥ 퐵퐶， ∴ 퐴퐵 = 퐴퐶2 + 퐵퐶2 = 42 + 32 = 5， ∴ 퐶푀 = = 1 2퐴퐵 = 5 2 ． 6.B 解：设 x 秒后，四边形 ABQP 是平行四边形， ∵ 푃以1푐푚/푠的速度由 A 向 D 运动，Q 以2푐푚/푠的速度由 C 出发向 B 运动， ∴ 퐴푃 = 푥푐푚，퐶푄 = 2푥푐푚， ∵ 퐵퐶 = 6푐푚， ∴ 푄퐵 = (6−2푥)푐푚， 当퐴푃 = 퐵푄时，四边形 ABQP 是平行四边形， ∴ 푥 = 6−2푥， 解得：푥 = 2． 7.A 解： ∵ 퐷퐸//퐴퐶，퐷퐹//퐴퐵， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形， ∵ 푂是 EF 的中点，第 9 页，共 13 页 ∴ 푂也是 AD 的中点， ∴ 在整个运动过程中，O 的轨迹是 △ 퐴퐵퐶的中位线， 根据同底等高的三角形面积相等可知：在整个运动过程中， △ 푂퐵퐶的面积不变， 8.6 解： ∵ 퐴퐷//퐵퐶，퐴퐸//퐷퐶， ∴ 四边形 AECD 是平行四边形， ∴ 퐴퐸 = 퐶퐷，퐴퐷 = 퐸퐶， 又 ∵△ 퐴퐵퐸的周长 = 퐴퐵 + 퐵퐸 + 퐴퐸 = 25푐푚， 梯形 ABCD 的周长 = 퐴퐵 + 퐵퐶 + 퐶퐷 + 퐴퐷 = 37푐푚， ∴ 2퐴퐷 = 梯形 ABCD 的周长− △ 퐴퐵퐸的周长 = 12푐푚， 9.甲和乙 解 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 퐴퐵 = 퐶퐷，퐴퐵//퐶퐷，∠퐵 = ∠퐷，퐴퐷//퐵퐶，퐴퐷 = 퐵퐶， 又 ∵ 퐵퐸 = 퐷퐹， ∴△ 퐴퐵퐸≌ △ 퐶퐷퐹， ∴ 퐴퐸 = 퐶퐹， ∴ 퐵퐶−퐵퐸 = 퐴퐷−퐷퐹， ∴ 퐴퐹 = 퐶퐸， ∵ 퐴퐹//퐶퐸， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形，故甲正确； ∵ 퐴퐸//퐶퐹， 又 ∵ 퐴퐹//퐶퐸， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形，故乙正确； 当添加퐴퐸 = 퐶퐹或∠퐸퐴퐹 = ∠퐴퐹퐶时，无法证明四边形 AFCE 是平行四边形， 10.2 3 解： ∵ 四边形 ABDC 是平行四边形， ∴ 퐴퐵//퐶퐷，퐴퐵 = 퐶퐷 = 2， 又퐴퐹//퐵퐷， ∴ 四边形 AFDB 是平行四边形， ∴ 퐴퐵 = 퐷퐹 = 2， ∵ 在平行四边形 ABCD 中，퐴퐵//퐶퐷，∠퐴퐵퐶 = 60°， ∴ ∠퐹퐶퐵 = 180°−60° = 120°， ∴ ∠퐹퐶퐸 = 180°−120° = 60°，第 10 页，共 13 页 ∴ ∠퐶퐹퐸 = 180°−90°−60° = 30°， ∵△ 퐶퐹퐸是直角三角形， ∴ 퐶퐸 = 1 2 퐶퐹 = 4 × 1 2 = 2， ∴ 在푅푡 △ 퐶퐸퐹中，퐸퐹 = 퐶퐹2−퐶퐸2 = 42−22 = 2 3． 11.140 解： 过 C 作퐶푀//퐴퐵，交 AD 于 M， ∵ ∠퐴 = 120°，∠퐵 = 60°， ∴ ∠퐴 + ∠퐵 = 180°， ∴ 퐴푀//퐵퐶， ∵ 퐴퐵//퐶푀， ∴ 四边形 ABCM 是平行四边形， ∴ 퐴퐵 = 퐶푀 = 60푐푚，퐵퐶 = 퐴푀 = 80푐푚，∠퐵 = ∠퐴푀퐶 = 60°， ∵ 퐴퐷//퐵퐶，∠퐶 = 150°， ∴ ∠퐷 = 180°−150° = 30°， ∴ ∠푀퐶퐷 = 60°−30° = 30° = ∠퐷， ∴ 퐶푀 = 퐷푀 = 60푐푚， ∴ 퐴퐷 = 60푐푚 + 80푐푚 = 140푐푚． 12.45° 解：连接 AC，BC， 根据勾股定理，퐴퐶 = 퐵퐶 = 5，퐴퐵 = 10， ∵ ( 5)2 + ( 5)2 = ( 10)2， ∴ ∠퐴퐶퐵 = 90°，∠퐶퐴퐵 = 45°． ∵ 퐴퐷//퐶퐹，퐴퐷 = 퐶퐹， ∴ 四边形 ADFC 是平行四边形， ∴ 퐴퐶//퐷퐹， ∴ ∠퐸퐷퐹 = ∠퐷퐴퐶(两直线平行，同位角相等)， 在푅푡 △ 퐴퐵퐷中， ∠1 + ∠퐷퐴퐵 = 90°(直角三角形中的两个锐角互余)；第 11 页，共 13 页 又 ∵ ∠퐷퐴퐵 = ∠퐷퐴퐶 + ∠퐶퐴퐵， ∴ ∠1 + ∠퐶퐴퐵 + ∠퐷퐴퐶 = 90°， ∴ ∠1 + ∠퐷퐴퐶 = 45°， ∵ ∠2 = 90°−∠퐸퐷퐹 = 90°−∠퐷퐴퐶 = 90°−(45°−∠1) = 45° + ∠1， ∴ ∠2−∠1 = 45° 13.5.6 解：过 C 作 EB 的延长线的垂线于 M 点，因为四边形 ABCD 为平行四边形， 所以퐴퐷 = 퐵퐶， 所以퐴퐸 = 퐶퐸，令퐴퐸 = 푥， 在푅푡 △ 퐸푀퐶中，利用∠퐵퐶푀 = 300， 퐴퐷 = 퐵퐶 = 4，可得퐵푀 = 2， 所以퐶푀 = 2 3， 利用勾股定理可得(10−푋)2 +퐶푀2 = 푋2， 解得퐴퐸 = 5.6 14.(1)证明： ∵ 퐴푀 ⊥ 퐵퐷于点 M，퐶푁 ⊥ 퐵퐷于点 N， ∴ ∠퐴푀푁 = ∠퐶푁푀 = 90°， ∴ 퐴푀//퐶푁(内错角相等，两直线平行)， 在平行四边形 ABCD 中，퐴퐵 = 퐶퐷，퐴퐵//퐶퐷， ∴ ∠퐴퐵푀 = ∠퐶퐷푁， 在 △ 퐴퐵푀与 △ 퐷퐶푁中，{∠퐴퐵푀 = 퐶퐷푁 ∠퐴푀푁 = ∠퐶퐹퐸 = 90° 퐴퐵 = 퐶퐷 ， ∴△ 퐴퐵푀≌ △ 퐶퐷푁(퐴퐴푆)， ∴ 퐴푀 = 퐶푁， ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形； (2)解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 퐴퐷//퐵퐶， ∴ ∠퐴퐷퐵 = ∠퐶퐵퐷 = 30°， ∵ 퐴푀 ⊥ 퐵퐷，∠퐴퐵푀 = 45°，퐴푀 = 2， ∴ 퐴퐵 = 2퐴푀 = 2 2，퐴퐷 = 2퐴푀 = 4， ∴ ▱ABCD 的周长 = (2 2 +4) × 2 = 4 2 +8． 15.证明：(1) ∵△ 퐴퐵퐶是等边三角形， ∴ ∠퐴퐵퐶 = 60°， ∵ ∠퐸퐹퐵 = 60°，第 12 页，共 13 页 ∴ ∠퐴퐵퐶 = ∠퐸퐹퐵， ∴ 퐸퐹//퐷퐶(内错角相等，两直线平行)， ∵ 퐷퐶 = 퐸퐹， ∴ 四边形 EFCD 是平行四边形； (2)连接 BE， ∵ 퐵퐸 = 퐸퐹，∠퐸퐹퐵 = 60°， ∴△ 퐸퐹퐵是等边三角形， ∵ 퐷퐶 = 퐸퐹， ∴ 퐸퐵 = 퐷퐶， ∵△ 퐴퐵퐶是等边三角形， ∴ ∠퐴퐶퐵 = 60°，퐴퐵 = 퐴퐶， ∴ ∠퐸퐵퐹 = ∠퐴퐶퐵， ∴△ 퐴퐸퐵≌ △ 퐴퐷퐶， ∴ 퐴퐸 = 퐴퐷． 16.解：(1)证明： ∵ 퐷퐹//퐴퐶，퐷퐸//퐴퐵， ∴ 四边形 AFDE 是平行四边形． ∴ 퐴퐹 = 퐷퐸， ∵ 퐷퐹//퐴퐶， ∴ ∠퐹퐷퐵 = ∠퐶 又 ∵ 퐴퐵 = 퐴퐶， ∴ ∠퐵 = ∠퐶， ∴ ∠퐹퐷퐵 = ∠퐵 ∴ 퐷퐹 = 퐵퐹 ∴ 퐷퐸 + 퐷퐹 = 퐴퐵 = 퐴퐶； (2)图②中：퐴퐶 + 퐷퐸 = 퐷퐹， 图③中：퐴퐶 + 퐷퐹 = 퐷퐸； (3)当如图①的情况，퐷퐹 = 퐴퐶−퐷퐸 = 6−4 = 2； 当如图②的情况，퐷퐹 = 퐴퐶 + 퐷퐸 = 6 + 4 = 10． 17.解：(1)在 △ 푂퐴퐵中，∠푂퐴퐵 = 90°，∠퐴푂퐵 = 30°，푂퐵 = 2， ∴ 퐴퐵 = 푂퐵 = 1，푂퐴 = 푂퐵2−푂퐴2 = 4−1 = 3， ∴ 点 B 的坐标为( ，1)； (2)证明： ∵ ∠푂퐴퐵 = 90°， ∴ 퐴퐵 ⊥ 푥轴， ∵ 푦轴 ⊥ 푥轴， ∴ 퐴퐵//푦轴，即퐴퐵//퐶퐸， ∵ ∠퐴푂퐵 = 30°， ∴ ∠푂퐵퐴 = 60°， ∵ 퐷퐵 = 퐷푂 = 1， ∴ 퐷퐵 = 퐴퐵 = 1， 3第 13 页，共 13 页 ∴ ∠퐵퐷퐴 = ∠퐵퐴퐷 = 120° ÷ 2 = 60°， ∴ ∠퐴퐷퐵 = 60°， ∵△ 푂퐵퐶是等边三角形， ∴ ∠푂퐵퐶 = 60°， ∴ ∠퐴퐷퐵 = ∠푂퐵퐶，即퐴퐷//퐵퐶， ∴ 四边形 ABCE 是平行四边形； (3)解：设 OG 的长为 x， ∵ 푂퐶 = 푂퐵 = 2， ∴ 퐶퐺 = 2−푥，由折叠的性质可得：퐴퐺 = 퐶퐺 = 8−푥，在푅푡 △ 퐴푂퐺中，퐴퐺2 = 푂퐺2 +푂 퐴2，即(2−푥)2 = 푥2 +( )2，3