安徽2020届高三数学（理）下学期自测试卷（六）（PDF版含答案）

1 2020 届高三年级自测试卷 理科数学（六） 命题人： 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．已知集合 { | 1 3}A x x    ，集合 { | (2 7) 0}B x x x   ，则 ( )RA C B  （ ） A．{ | 1 0}x x   B． }3|{ xx C． 7{ | 1 }2x x   D． 7{ | 0 }2x x  2．设复数 z 满足 3 2z   ， z 在复平面内对应的点为 ( , )M a b ，则 M 不可能为（ ） A．（3,2） B．（5,0） C．（2， 3 ） D．（4,1） 3．已知 0b a  ，则（ ） A． 1 1a b   B． 1 1 2 2 a b          C．lg lga b D． 1 1 a b  4．已知向量 (3,0), ( 3,0),( ) ( )m n q m q n           ，则 q 为（ ） A．7 B．5 C．3 D．1 5．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ） 2.1 πA  2. πB 2 2. π C 2 2.1 π D  6．函数 2sin cos( ) 20 x x xf x x   在   2 ,0 0,2   上的图像大致为 （ ） 7．执行如图所示的程序框图，输出结果是（ ） A．-2 B．-1 C．2 D．3 8．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同2 学参加 , ,A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去 1 人，且甲、乙两人约定去同一个贫 困县，则不同的派遣方案共有（ ） A．24 B．36 C．48 D．64 9．如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰 好与四面体四个面都相切的球 1O ;顶部为球 2O ，其直径与正四面体的棱长 a 相等，则球 1O 与球 2O 的半径之比 1 2:r r  （ ） A．1:6 B．1: 6 C．1:3 D．1: 3 10．设 ,x y 满足约束条件 0 4 3 12 x y x x y       ，则 2 2 4 1 x y x    的取值范围是（ ） A． 4,12 B． 4,11 C． 2,6 D． 1,5 11．如图，已知椭圆 2 2 1 : 14 xC y  ，过抛物线 2 2 : 4C x y 焦点 F 的直线交抛物线于 ,M N 两 点，连接 ,NO MO 并延长分别交 1C 于 ,A B 两点，连接 AB ， OMN 与 OAB 的面积分别 记为 ,OMN OABS S  ,则在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若记直线 ,NO MO 的斜率分别为 1 2,k k ，则 1 2k k 的大小是定值为 1 4  ； ② OAB 的面积 OABS 是定值 1； ③线段 ,OA OB 长度的平方和 2 2OA OB 是定值 5； ④设 OMN OAB S S     ,则 2  ； A.4 个 B．3 个 C.2 个 D.1 个 12．已知函数 24( ) ln 2 , ( ) 2 ,ln axf x x ax g x xx     若方程 ( ) ( )f x g x 恰有三个不相等的实根， 则a 的取值范为（ ） A. 10, 2e      B． 0,e C. ( , )e  D. 10, e      二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．若 6( )mx y 展开式中 3 3x y 的系数为 160 ，则 m  __________． 14．已知 nS 为公差不为零的等差数列 na 的前n 项和，若 4 3 7S S  ，且 2 5 14, ,a a a 成等比数列， 则 10S  __________． 15．已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积为 32， 2 4AB BC  , 1 1E ABB A平面 ,若点 E 到直 线 1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则 1D E 的最小值__________．3 16．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     的左右焦点分别为 1 2,F F ,直线l 是双曲线 C 过第一、三 象限的渐近线，记直线l 的倾斜角为 ，直线 'l ： ' 2tan ,2y x F M l  ，垂足为 M ，若 M 在 双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为__________． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17—21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，满足 2cos cos 2 .bc C c B ab  （1）求 c b 的值； （2）若 6a  ，求 ABC 面积的最大值. 18．（本小题满分 12 分） 如图，多面体 ABCDE 中，平面 AEC  平面 ABC , ,AC BC AE CD  ,四边形 BCDE 为平行四 边形. （1）证明： ;AE EC （2）若 2AE EC CB   ,求二面角 D AC E  的余弦值. 19．（本小题满分 12 分） 已椭圆 2 2 2 2: 1( 0)y xE a b a b     的离心率为 2 2 ，且过点 (1,0).C （1）求椭圆 E 的方程； （2）若过点 1( ,0)3  的任意直线与椭圆 E 相交于 ,A B 两点，线段 AB 的中点为 M ,求证：恒有 2AB CM . 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 cos .xf x e x x   （1）当 ( ,0)x  时，求证 ( ) 0;f x  （2）若函数 ( ) ( ) ln( 1),g x f x x   求证： ( )g x 存在极小值.4 21．（本小题满分 12 分） 为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在 A 市与 B 市之间建一 条直达公路，中间设有至少 8 个的偶数个十字路口，记为 2m ，现规划在每个路口处种植杨树 或者木棉树，且种植每种树木的概率均为 1 2 ． （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示： 是否有99.9% 的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性； （2）若从所有的路口中随机抽取 4 个路口，恰有 X 个路口种植杨树，求 X 的分布列以及数学 期望； （3）在所有的路口种植完成后，选取 3 个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为 M ，求 证3 ( 1)( 2)M m m m   ． (二)选考题：共 10 分请考生在 22,23 两题选一题作答. 22.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 2cos 2 sin x y     （ 为参数）．以坐标 原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程 为 2 sin( ) 14     ． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设点 P 的直角坐标为（1,0），若直线l 与曲线C 分别相交于 ,A B 两点，求 1 1 PA PB  的值. 23.（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数   1f x x x   ． （Ⅰ）求不等式   2f x  的解集； （2）若 , ,a b c R ，函数  f x 的最小值为 m ，若 a b c m   ，求证 1 3ab bc ac   .5 2020 届高三年级自测试卷 理科数学（六）参考答案 1. 选 A,因为 7 7:0 , : 0 ,2 2RB x C B x x   或 所以 ( )RA C B  { | 1 0}x x   2. 选 D，因为 ,a b 满足 2 2( 3) 4a b   3. 选 C，因为 lgy x 在 (0, ) 单调增 4. 选 C，因为 22( ) ( ) ( ) 0, 9q m q n q m n q m n q                    5. 选 A，因为 00 sin ( cos ) 2xdx x     阴影部分的概率 2   6. 选 A， 2 2sin( ) ( ) cos( ) sin cos( ) ( )20 20 x x x x x xf x f xx x         偶函数，故关于 y 轴对称， 排除 C， 2 ( ) 020f     排除 B， 2 (2 ) 05f    ，排除 D 7. 选 D， 0, 2; 2, 3; 1, 4; 3, 5s n s n s n s n         退出循环 8. 选 B，先分组再排列，若按照 3:1:1进行分配，则有 1 3 3 3 18C A  ;若按照 2: 2:1进行分配，则有 2 3 3 3 18C A  ,共有36 种 9. 选 B，设内切球 1O 的半径 1r ，正四面体的高为 h ，利用等体积法得 1 1 14 3 3Sr Sh  ，所以 14r h ， 又 2 23 6( )3 3h a a a   ，则 1 6 12r a ， 2O 的半径 2 1 2r a ，所以 1 2: 1: 6r r  10. 选 A, 2 2 4 2( 1) 2( 1) 12 21 1 1 x y x y y x x x           ， 1 1 yk x   的几何意义为平面区域内的点到 定点 ( 1, 1)D   的斜率，1 5,4 2 2 12k k     11. 选 A, 记 ,M N 两 点 的 坐 标 分 别 为 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， 由 抛 物 线 焦 点 的 性 质 可 得 2 2 1 2 1 24, 14 px x p y y      ，则 1 2 1 2 1 2 1 4 y yk k x x    ，故①对，设 ,A B 两点的坐标分别为 (2cos ,sin ), (2cos ,sin )A B    ，由 1 2k k 1 4   可得： sin sin 1 4cos cos 4       则有 cos cos sin sin 0     ，即 cos( ) 0, ( )2k k Z           ' ',A B 是 ,A B 在 x 轴投影6 ' ' ' ' 1 1 1(sin sin )(2cos 2cos ) ( sin )( 2cos ) ( sin )2cos2 2 2 1 2cos cos 2sin sin sin( ) 12 ABO BB A A OAA OBBS S S S                                  ，故②正确 而 2 2 2 2 2 24(cos cos ) (sin sin ) 4 1 5OA OB            ，故③正确 最后， 1 2 4 2 24cos cos sin 2A B x x x x        ，故④正确 12. 选 A，由题意可知方程 ( ) ( )f x g x 在 (0,1) (1, ) 上恰有三个不相等的实根，即 24ln 2 2ln axx ax xx    在 (0,1) (1, ) 上恰有三个不相等的实根， 又 0x  ，所以两边同时除以 x 可得 ln 42 2ln x axax x    ， 令 ln( ) , (0,1) (1, )xt x xx    ，则上述方程转化为 4( ) 2 2 0( ) at x a t x     ， 即  ( ) 2 ( ) 2 0, ( ) 2 ( ) 2t x t x a t x t x a      或 ， ' ' ' 2 1 ln( ) , (0,1) (1, ) ( ) 0, ( , ) ( ) 0xt x x e t x x e t xx       当 时， 当 时， ( )t x 在 (0,1),(1, )e 上单调递增，且 0, ( )x t x   在 ( , )e  上单调递减，且 , ( ) 0x t x   x e  ( )t x 取得最大值为 1 e ，当 ( ) 2t x   时，仅有一个实数根， ( ) 2t x a  应 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ， ( ) 2t x a  应 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ， 1 10 2 , (0, )2a ae e     13. 2 3 3 6 160, 2m C m    14.100 4 3 47, 7S S a   ，设数列 na 的公差为 ( 0)d d  ，有 1 2 1 1 1 3 7 ( 4 ) ( )( 13 ) a d a d a d a d        解 得 1 1 2 a d    所以 10 10 910 2 1002S     15. 4 因为 1 1 1 1 32, 2 4ABCD A B C DV AB BC    ,所以 1 4AA  ,以 D 为原点， 1, ,DA DC DD 所在 直线分别为 , ,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 (2, , )E y z ，则点 E 到直线 1AA 的距离 为 y ， 点 E 到 直 线 CD 的 距 离 为 24 z ， 故 24y z  ， 而 1(0,0,4),D 故7 2 2 2 1 4 ( 4) 2 8 24 4D E y z z z        16. 5 1 设 2 2 2 2 sin, ,tan , ,sin cos 12 cos b bMOF OF c a a           解 得 sin ,cosb a c c    ，则 cos 2OM c  ，故 2( cos , cos sin ),2 2 2M c c   化简得 ( , )2 2 c a bM  代入双曲线方程可得 5 1e   17.解：（I） 由 2cos cos 2bc C c B ab  ，得 ( cos cos ) 2c b C c B ab  ，由正弦定理知： (sin cos sin cos ) 2 sinc B C C B b A  即： sin( ) 2 sin , sin 2 sinc B C b A c A b A   sin 0, 2A c b   2c b  …………………………………………………………..5 分 （II）由余弦定理知， 2 2 2 2 2 2 62 cos 5 4 cos , 5 4cosa c b bc A b b A b A        则 21 6sinsin sin2 5 4cos AS bc A b A A     ………………………………………..8 分 即： 2 25 4 cos 6sin , 36 16 sin( ) 5 36 16 5S S A A S A S S S         …10 分 解得 2S  ,即面积最大值是 2………………………………………………..12 分 （解法二：构造圆，数形结合求斜率最值）8 19．（I）由题意知 1b ， 2 2 c a  .…………………………………………………….…1 分 又因为 2 2 2a b c  解得， 2a  . ………………………………………………….……3 分 所以椭圆方程为 2 2 12 y x  . ……………………………………………………………….4 分 （Ⅱ） 设过点 1( , 0)3  直线为 1 3x ty  ，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y 由 2 2 1 3 12 x ty xy       得 2 29 18 12 16 0t tyy    ，且   . 则 1 2 2 1 2 2 12 ,9 18 .............................................................. 616 ,9 18 tyy y y t t           分 又因为  1 11,CA x y  ，  2 21,CB x y  ，    2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 16( 1)( 1) 13 3 3 9CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y                       2 2 2 16 4 12 161 09 18 3 9 18 9 t tt t t        ，……………………………..…10 分 所以 C A C B  . 因为线段 AB 的中点为 M，所以| | 2| |AB CM .…………………………………12 分 20.(I)依题意， ' ( ) 2 sinxf x e x   …………………………………………………1 分 0 1,sin 1 0xe e x    故 ' ( ) 0f x  ……………………………………………….3 分 故函数 ( )f x 在 ( ,0) 上单调递减，故 ( ) (0) 0f x f  ………………………...4 分 (II)解法一：依题意， ( ) 2 cos ln( 1), 1xg x e x x x x       令 ' 1( ) ( ) sin 2, (0) 01 xh x g x e x hx       而 ' 2 1( ) cos( 1) xh x e xx    ，可知当 '(0, ), ( ) 02x h x  …………………….6 分 故函数 ( )h x 在 (0, )2  上单调递增，故当 ' '(0, ), ( ) ( ) (0) 02x h x g x g    ……8 分 当 ( 1,0)x  时，函数 ' ( )h x 单调递增，而 ' (0) 1h  又 9 ' 109 9( ) cos( ) 100 010 10h e        ，故 0 9( ,0)10x   ，使得 ' 0( )h x =0 故 0( ,0)x x  ，使得 ' ( ) 0h x  ，即函数 ( )h x 单调增，使得 ' ( )g x 单调递增；9 故当 ' ' 0( ,0), ( ) (0) 0x x g x g   …………………………………………………..11 分 当函数 ( )g x 在 0( ,0)x 单调递减，在 (0, )2  单调递增 故当 0x  时，函数 ( )g x 有极小值 (0) 0g  ………………………………………12 分 解法二：依题意： ( ) 2 cos ln( 1), 1xg x e x x x x       ' 1( ) ( ) sin 2, (0) 01 xh x g x e x hx       ………………………………….5 分 而 ' 2 1( ) cos( 1) xh x e xx    ，可知当 '(0, ), ( ) 02x h x  ,故 ( )h x 在 (0, )2  上单调递增，故 '( ) (0) 0, ( ) 0h x h g x   …………………….6 分 当 ( 1,0)x  时，令 2 2( ) ( 1) , ( ) ( 1) cosxs x x e t x x x    则 ' ( ) ( 1)( 3) 0xs x x x e    ，故 ( )s x 是 ( 1,0) 上的增函数 所以 ( 1) ( ) (0),0 ( ) 1s s x s s x     故存在区间 1( ,0) ( 1,0)x   ，使 2 1 1( ) ,2 2( 1) xs x e x    ……………………………….8 分 又 20 ( 1) 1,cos1 cos 1,0 ( ) 1x x t x       故存在区间 2 2 1 1( ,0) ( 1,0), ( ) ,cos2 2( 1)x t x x x      …………………………………10 分 设 1 2 0( ,0) ( ,0) ( ,0)x x x ，则在区间 0( ,0)x 上 ' 2 1( ) cos 0( 1) xh x e xx     ，故 ( )h x 是 0( ,0)x 上的增函数，即在区间 0( ,0)x 上 ' 1( ) sin 2 01 xg x e xx      ……………11 分 故当 0x  时，函数 ( )g x 有极小值 (0) 0g  …………………………………………….12 分1011