2020年新高考数学全真模拟试卷6（解析版）

2020 年新高考数学全真模拟卷 06 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．已知集合   51 2, , 1,1M x x x R P x x Zx           ，则 M P 等于（ ） A． 0 3,x x x Z   B． 0 3,x x x Z   C． 1 0,x x x Z    D． 1 0,x x x Z    【答案】B 【解析】集合  1 2,M x x x R    解绝对值不等式 1 2x  ≤ ,可得  1 3M x x    集合 5 1,1P x x Zx       解分式不等式 5 1,1 x Zx   ,可得  1 4,P x x x Z     则      1 3 1 4, 0 3,M P x x x x x Z x x x Z              故选:B 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题。 2．已知i 为虚数单位， a 、b R ， z a i  ， z iz b  ，则 ab  （ ） A．1 B． 1 C． 1 2 D．2 【答案】C 【解析】 ∵ z iz b  ，∴ ( )z i z b  ，即 ( ) 1 ( )a i i a i b a b i        ，∴ 1 1 a a b      ，解得 1 2 a b     ，∴ 1 12 2 ab   ． 故选：C． 【点睛】本题考查复数的运算与复数相等，解题关键是利用复数相等的定义求出实数 ,a b ． 3．已知函数  f x 的图象如图所示，则函数  f x 的解析式可能是（ ） A．    = 4 4x xf x x B．     24 4 logx xf x x  C．   2( ) 4 4 log | |x xf x x  D．   1 2 ( ) 4 4 logx xf x x  【答案】C 【解析】函数  f x 的图象如图所示，函数是偶函数， 1x  时，函数值为 0．    4 4x xf x x  是偶函数，但是  1 0f  ，     24 4 logx xf x x  是奇函数，不满足题意．     24 4 logx xf x x  是偶函数，  1 0f  满足题意；     1 2 4 4 logx xf x x  是偶函数，  1 0f  ，  0,1x 时，   0f x  ，不满足题意． 故选 C 项． 【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题. 4．已知 (1, )a x ， (2, 4)b   ，若 a  与b  的夹角为锐角，则实数 x 的取值范围为( ) A． 1 2x x     B． 1 2x x     C． {x| 1 2x  且 2x   } D．{x| 1 2x  且 2x   } 【答案】C 【解析】因为向量 (1, )a x ， (2, 4)b   ，又 a  与b  的夹角为锐角， 所以 2 4 0a b x     ，得到 1 2x  ， 又 a  与b  不共线，所以  1 4 2 0x    ，则 2x   ， 所以实数 x 的取值范围为 1{ | 2x x  且 2}x   ； 故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积公式的运用；由数量积公式得到关于 x 的不等式；特别注意数量积大于 0 与夹角为 锐角不等价，属于基础题． 5．在等差数列{ }na 中，已知 1010 1a  ，则该数列前 2019 项的和 2019S  （ ） A．2018 B．2019 C．4036 D．4038 【答案】B 【解析】由题得 2019S  1 2019 1010 2019 ) 2019 20192 a a a  （ . 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的前 n 项和，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力. 6．设随机变量 服从正态分布 动对象 ，若 动 ʹ ܽ 对 动 ʹ ，则 的值为 A． 对 B． 对 C．5 D．3 【答案】A 【解析】由正态曲线的对称性知 动ʹ ܽ 对 动 ʹ ʹ 对 ， 对 ． 考点：正态分布． 7．如图，正方形 ABCD 内接于圆 2 2: 2O x y  ，M,N 分别为边 AB,BC 的中点，已知点  2,0P ，当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时， PM ON  的取值范围是( ) A． 1,1 B． 2, 2   C． 2 2 , D． 2 2,2 2      【答案】C 【解析】如图所示： 连接 OM，由题意圆的半径为 2 ，则正方形的边长为 2，可得 ON OM 1  ， ON OM ，设 NOP α  ，且  α 0,π ，所以由      PM ON PO OM ON PO ON OM ON PO ON cos 0 2cos                           ，由  α 0,π ，可得   0,π   ，所以    cos 1,1    ，则    PM ON 2cos 2,2       . 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量和平面几何知识以及三角函数知识的综合应用，属于 中档题. 8．P 为椭圆 2 2 1100 91 x y  上的一个动点， ,M N 分别为圆 2 2:( 3) 1C x y   与圆 2 2 2:( 3) (0 5)D x y r r     上的动点，若| | | |PM PN 的最小值为17 ，则 r  （ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 【答案】B 【解析】因为 (3,0)C ， ( 3,0)D  恰好为椭圆的两个焦点， 因为| | | | 1,| | | |PM PC PN PD r    ， 所以| | | | | | | | 1 2 1PM PN PC PD r a r        . 因为 2 100a  ，得 10a  ， 所以 20 1 17r   ，则 2r = . 故选：B. 【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值 进行运算求值. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．以下说法错误的是（ ） A．复数 z 满足| | | | 2z i z i    ，则复数 z 在复平面上对应的点的轨迹为直线. B． ( )y f x 为 R 上连续可导的函数，若 ( ) 0f a  ，则 x a 为极值点. C．若| | 2a  ，| | 1b  ， , 3a b   ，则| 2 | 2 3a b  .D． ,A B 为抛物线 2 2y x 的两点， O 为坐标原点，若 2AOB   ，则直线 AB 过定点 (1,0) . 【答案】ABD 【解析】对于 A 选项，设复数 ,( , )z a bi a b R   ，因为| | | | 2z i z i    ， 所以| ( 1) | | ( 1) | 2     a b i a b i ，即 2 2 2 2( 1) ( 1) 2     a b a b ， 表示复平面内的点 ( , )a b 到定点 0, 1 ， 0,1 的距离的和等于定值 2 （与两定点间的距离相等），因此复数 z 在复 平面上对应的点的轨迹为以 0, 1 ， 0,1 为端点的线段，故 A 错； 对于 B 选项，若 3( )f x x ，则 2( ) 3f x x  ，由 ( ) 0f x  得， 0x  ，但函数 3( )f x x 在 R 上为增函数，无极值， 故 B 错； 对于 C 选项，因为| | 2a  ，| | 1b  ， , 3a b   ， 则 22 1| 2 | 4 4 4 4 4 2 1 2 32                a b a b a b .故 C 正确； 对于 D 选项，由题意，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，直线 AB 的方程为： x my n  （ 0n  ）， 由 2 2y x x my n      得 2 2 2 0y my n- - = ，所以 1 2 2y y n= - ，因此 2 2 21 2 1 2 4 y yx x n= = ， 又 2AOB   ，所以OA OB  ，即 1 2 1 2 0OA OB x x y y     ，即 2 2 0 n n ， 所以 2n  ；即直线 AB 过定点 (2,0) ，故 D 错. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查相关命题真假的判定，熟记复数的几何意义、导数的方法研究函数单调性与极值、向量模的 计算公式、以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型. 10．已知函数 2( ) ( )| | 1 xf x x Rx   时，则下列结论正确的是( ) A．     0f x f x   对任意 xR 成立 B．函数  f x 的值域是  2,2C．若 1 2x x ，则一定有    1 2f x f x D．方程  f x 2x 0  有三个实数根． 【答案】ABC 【解析】由题意，函数 2( ) ( )| | 1 xf x x Rx   ， 对于任意 xR ，等式     2 2 0| | 1 | | 1 x xf x f x x x        ，所以 A 是正确的； 当 0x  时，  0 0f  ，当 0x  时， 2 2 2 2 2( ) 2 21 1 1 x xf x x x x         ， 又由 A 可知，函数  f x 为奇函数，所以函数的值域为 2,2 ，所以 B 是正确的； 当 0x  时， 2 2 2 2 2( ) 21 1 1 x xf x x x x        ，所以  f x 为单调递增函数， 结合函数  f x 为奇函数，所以函数  f x 为单调递增函数， 所以当 1 2x x ，一定有    1 2f x f x 是成立的，所以 C 是正确的； 当 0x  时，方程   2 0f x x  显然成立，所以 0x  是方程的解， 当 0x  时，方程   22 22 2 01 1 x xf x x xx x       ，即 22 0x  不成立，方程无解； 当 0x  时，方程   22 22 2 01 1 x xf x x xx x         ，即 22 0x  ，解得 0x  ， 综上可得，方程   2 0f x x  只有一个解，所以 D 不正确。 故选：ABC。 【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性、值域，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记函数的基本性质， 以及合理利用函数的解析式列出方程求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中 档试题。 11．下列说法正确的是（ ）A．椭圆 2 2 2 2 x y a b   1 上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为 2 2 b a  B．过双曲线 2 2 2 2 x y a b   1 焦点的弦中最短弦长为 22b a C．抛物线 y2＝2px 上两点 A（x1，y1）．B（x2，y2），则弦 AB 经过抛物线焦点的充要条件为 x1x2 2 4 p D．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【答案】A 【解析】对于 A 中，椭圆的左右顶点的分别为 ( ,0), ( ,0)A a B a ， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点 ( , )P m n ，则 2 2 2PB PB n n nk k m a m a m a       ， 又因为点 ( , )P m n 在椭圆上，可得 2 2 2 2 1m n a b   ，解得 2 2 2 2(1 )mn ba   ， 所以 2 2PB PB bk k a   ，所以 A 项是正确的； 对于 B 中，设双曲线 2 2 2 2 1x y a b   右焦点 (c,0)F ， （1）当直线与双曲线的右支交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， （i）当直线 AB 的斜率不存在时，则直线 AB 方程为 x c ，则 22bAB a  ， （ii）当直线 AB 的斜率存在时，则直线 AB 方程为 ( )y k x c  ， 联立方程组 2 2 2 2 ( ) 1 y k x c x y a b     ，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b a k x a ck x a k c a b     ， 则 1 2 1 2 0 0 0 x x x x        ，得 bk a  或 bk a   ，由焦半径公式可得 2 2 1 2 2 2 2 2( ) 2 2c a ckAB AF BF e x x a aa a k b         2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2ac k ac c ba a aba k b a aa k         ， 所以当直线 AB 的斜率不存在时， AB 的长最小，最小值为 22b a ． （2）当过 (c,0)F 的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得 AB 的最小值为 2a ． 综上可得，当 22 2b aa  ，即b a ，此时过焦点的弦长最短为 22b a ； 当 22 2b aa  ，即 b a ，此时过焦点的弦长最短为 2a ． 所以 B 项是不正确的； 对于 C 中，充分性：当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 1x x ，此时 1 2x x ， 因为 2 1 2 4 px x  ，所以 1 2 2 px x  ，此时直线 AB 过焦点 ( ,0)2 PF . 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 方程为 y kx b  ， 由 2 2 y kx b y px     ，得 2 2 2(2 2 ) 0k x bk p x b    ， 所以 2 1 2 2 bx x k  ，且 24 8 0p kpb    ， 又因为 2 2 ( 0)y px x  且 2 1 2 4 px x  ，所以 2 2 2 4 b k p ，解得 2bk p  或 2bk p   ， 所以直线 AB 方程为 2by x bp    或 2by x bp   , 当直线 2by x bp    时，取 0y  时， 2 px  ，直线 AB 过焦点 ( ,0)2 P ；当直线 2by x bp   时，取 0y  时， 2 px   ，直线 AB 过焦点 ( ,0)2 PF  ； 所以充分性不成立． 必要性：当直线 AB 过焦点 ( ,0)2 PF 时， 设过焦点的直线 AB 的方程为 2 px my  ，代入 2 2 ( 0)y px x  ， 可得 2 22 0y pmy p   ，则 2 1 2y y p  ， 则 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 4 4 4 y y y y px x p p    . 所以抛物线 2 2 ( 0)y px x  上两点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则弦 AB 经过抛物线的焦点的必要不充分条件是 2 1 2 4 px x  ，所以 C 是不正确的. 对于 D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲 线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即 D 项是不正确的. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判定与应用，以及充要条件的判定，其中解答中要认真审题， 直线方程和抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数   1, 0 xf x x    为有理数 ， 为无理数 成为狄利克雷函数，则关于  f x ，下列说法正确的是（ ） A．   , 1x R f f x   B．函数  f x 是偶函数 C．任意一个非零有理数T ， ( ) ( )f x T f x+ = 对任意 xR 恒成立 D．存在三个点 1 1 2 2 3 3( , ( )), ( , ( )), ( , ( ))A x f x B x f x C x f x ，使得 ABC 为等边三角形 【答案】ABCD【解析】       , 0,1 1x R f x f f x     ， A 正确；    1, 1, 0, 0, x xf x f x x x        为有理数 为有理数 为无理数 为无理数 ，偶函数， B 正确；    1, 1, 0 0 x T xf x T f x x T x        为有理数 为有理数 ， 为无理数 ， 为无理数 ，C 正确； 易知  3 3,0 , 0,1 , ,03 3A B C              三点构成等边三角形， D 正确； 故选： ABCD 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知函数       2 1 3 1 0 log 0 xe x f x x x      ，则 1ln 2f f        __________． 【答案】 1 【解析】   2ln2 ln41ln ln 2 1 1 32f f e e           ，   1 3 1ln 3 log 3 12f f f           . 故答案为： 1 【点睛】本题主要考查了分段函数和对数的运算，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题. 14．函数   2sin 2cosf x x x  在区间 2 ,3      上的最大值为1，则 的值是_____________. 【答案】 2  【解析】 函数   2 2 2sin 2 cos 2 1 ( 1) 2f x x cosx x cosx cosx         又函数   2sin 2f x x cosx  在 2 ,3      上的最大值为 1， cosx ≤0， 又 2 ,3x       , 且 cosy x 在 2[ ,0]3x   上单调递增， 所以 cos 0  即 2    ． 故答案为： 2  【点睛】本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用同角三角函数平方关系，将函数化为二次型的函数，是解 答本题的关键，属于中档题． 15．设函数 f（x） 2 1 4 2 1 x a x x a x a x       ， ＜ （ ）（ ）， ， ①若 a＝1，则 f（x）的最小值为_____； ②若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_____． 15．设函数 f（x） 2 1 4 2 1 x a x x a x a x       ， ＜ （ ）（ ）， ， ①若 a＝1，则 f（x）的最小值为_____； ②若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_____． 【答案】﹣1 1 2  a＜1，或 a≥2． 【解析】①当 a＝1 时，f（x） 2 1 1 4 1 2 1 x x x x x       ， ＜ （ ）（ ）， ， 当 x＜1 时，f（x）＝2x﹣1 为增函数，f（x）＞﹣1， 当 x  1 时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x 3 2  ）2﹣1，当 1＜x 3 2 ＜ 时，函数单调递减，当 x 3 2 ＞ 时，函数单调递增， 故当 x 3 2  时，f（x）min＝f（ 3 2 ）＝﹣1，故最小值为 1 ②设 h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a） 若在 x＜1 时，h（x）与 x 轴有一个交点， 所以 a＞0，并且当 x＝1 时，h（1）＝2﹣a＞0，所以 0＜a＜2， 而函数 g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以 2a≥1，且 a＜1，所以 1 2  a＜1， 若函数 h（x）＝2x﹣a 在 x＜1 时，与 x 轴没有交点， 则函数 g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点， 当 a≤0 时，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去）， 当 h（1）＝2﹣a≤0 时，即 a≥2 时，g（x）的两个交点满足 x1＝a，x2＝2a，满足题意的 综上所述：a 的取值范围是 1 2  a＜1，或 a≥2． 故答案为：-1； 1 2  a＜1，或 a≥2． 【点睛】本题考查了函数的最值和函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 16．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 3 ，动点 P 在对角线 1BD 上，过 点 P 作垂直于 1BD 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为 y ， 设 BP x ， 则当   1,5x 时，函数  y f x 的值域__________． 【答案】 3 6,6 6   【解析】如图： ∵正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 3 ， ∴正方体的对角线长为 6， ∵  1,5x（i）当 1x  或 5 时，三角形的周长最小. 设截面正三角形的边长为t ，由等体积法得： 2 21 3 1 1 2 213 4 3 2 2 2t t t           ∴ = 6t ∴ min 3 6y  ， （ii） 2x  或 4 时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为 2 6 ， ∴ 6 6y  （iii）当 2 4x  时，截面六边形的周长都为 6 6 ∴ max 6 6y  ∴当  1,5x 时，函数  y f x 的值域为 3 6,6 6   . 【点睛】本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直，关键在于结合图形分析截面的三种情况，进而得出 BP 与截 面边长的关系. 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题共计 10 分）已知公差不为零的等差数列{ }na 满足 5 35S  ，且 2a ， 7a ， 22a 成等比数列. （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若    4 1 3n n n b a a    ，且数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求证： 3 4nT  . 【答案】(1) 2 1na n  .(2)见详解. 【解析】(1)设等差数列{ }na 的公差为 d ( 0d  ).由题意得 5 2 7 2 22 35, , S a a a    则    1 2 1 1 1 5 45 35,2 ( 6 ) 21 , a d a d a d a d         化简得 1 1 2 7, 2 3 , a d a d     解得 1 3, 2, a d    （3 分） 所以  3 2 1 2 1na n n     .（4 分） (2)证明：        4 4 1 1 1 1 1 3 2 2 4 2 2 2n n n b a a n n n n n n             ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n                 1 1 1 1 3 1 1 1 312 2 1 2 4 2 1 2 4n n n n                     .（10 分） 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如   1 1 1 1 na n n d d n n d        的数列，可由裂项相消法求和. 18．（本题共计 12 分）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． （1）若 73B b ABC  ， ， 的面积 3 3 2S  ，求 a+c 值； （2）若 2cosC（ BA BC  + AB AC  ）=c2，求角 C． 【答案】（1）5（2） 3  【解析】（1）∵ 73B b ABC  ， ， 的面积 3 3 2S  ， ∴ 3 3 2 = 1 2 acsinB= 3 4 ac，可得：ac=6，（3 分） ∵由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18， 解得：a+c=5．（5 分）（2）∵2cosC（ BA BC  + AB AC  ）=c2， ∴2cosC（accosB+bccosA）=c2，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，（8 分） ∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即 2cosCsinC=sinC， ∵sinC≠0， ∴cosC= 1 2 ，（11 分） ∵C∈（0，π）， ∴C= 3  ．（12 分） 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应 用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19．（本题共计 12 分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生， 2019 年 1 月 1 日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为 5000 元；（2）每 月应纳税所得额（含税）  收入  个税起征点  专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育 费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除 2000 元②子 女教育费用：每个子女每月扣除 1000 元．新个税政策的税率表部分内容如下： 级数 一级 二级 三级 四级  每月应纳税所得额 （含税） 不超过 3000 元的 部分 超过 3000 元至 12000 元的部分 超过 12000 元至 25000 元的部分 超过 25000 元至 35000 元的部分  税率 (%) 3 10 20 25  （1）现有李某月收入 29600 元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应 缴纳的个税金额为多少？ （2）为研究月薪为 20000 元的群体的纳税情况，现收集了某城市 500 名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知， 有一个孩子的有 400 人，没有孩子的有 100 人，有一个孩子的人中有 300 人需要赡养老人，没有孩子的人中有 50 人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的 500 人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的 月收入均为 20000 元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额 X 的分布列与期望．【答案】（1）李某月应缴纳的个税金额为 2910 元，（2）分布列详见解析，期望为 1150 元 【解析】（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600 元 不超过 3000 的部分税额为 3000×3%＝90 元（1 分） 超过 3000 元至 12000 元的部分税额为 9000×10%＝900 元，（2 分） 超过 12000 元至 25000 元的部分税额为 9600×20%＝1920 元（3 分） 所以李某月应缴纳的个税金额为 90＋900＋1920＝2910 元，（4 分） （2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000 元， 月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990 元 有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000 元， 月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390 元； 没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000 元， 月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190 元； 没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000 元， 月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590 元；（6 分） 3( 990) ,5 1( 1190) ,10 1( 1390)  ,5 1( 1590) 10 P X P X P X P X         ． 所以随机变量 X 的分布列为： X 990 1190 1390 1590 P 3 5 1 10 1 5 1 10 3 1 1 1E(x) 990 1190 1390 1590 11505 10 5 10          ．（12 分） 【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题． （本题共计 12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ABC＝60°，AC 与 BD 交于点 O， PO⊥平面 ABCD，E 为 CD 的中点连接 AE 交 BD 于 G，点 F 在侧棱 PD 上，且 DF 1 3  PD．（1）求证：PB∥平面 AEF； （2）若 2 4cos BPA  ，求三棱锥 E﹣PAD 的体积． 【答案】（1）证明见解析（2） 3 6 【解析】（1）证明：四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60ABC   ， AC 与 BD 交于点O ， PO  平面 ABCD ，（1 分） E 为 CD 的中点连接 AE 交 BD 于G ，点 F 在侧棱 PD 上，且 1 3DF PD ， 以O 为原点， OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 PO a ，则 (0,0, )P a ， (0, 1,0)A  ， ( 3,0,0)B ， (0,1,0)C ， ( 3,0,0)D  ， 3 1( , ,0)2 2E  ， 2 3( ,0, )3 3 aF  ， ( 3,0, )PB a  ， 3 3( , ,0)2 2AE   ， 2 3( ,1, )3 3 aAF   ，（3 分） 设平面 AEF 的法向量 ( , , )n x y z ， 则 3 3· 02 2 2 3· 03 3 n AE x y an AF x y z              ，取 3x  ，得 3( 3,1, )n a  ，（6 分）  3 0 3 0PB n      ， PB  平面 AEF ， //PB 平面 AEF ；（7 分） （2）解： (0, 1, )PA a   ， ( 3,0, )PB a  ，  2cos 4BPA  ， 2 2 2 | | 2 4| | | | 1 3 PA PB a PA PB a a           ，（10 分） 由 0a  ，解得 1a  ， 1PO  ， 三棱锥 E PAD 的体积：1 3E PAD P ADE ADEV V S PO      1 1 1 3 2 2CD AE AO      1 12 4 1 16 2       3 6  ．（12 分） 【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 21．（本题共计 12 分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     过点 ( 2,0)A ，离心率为 2 2 ，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设 , ,P Q R 为椭圆C 上的三点，OQ 与 PR 交于点 M ，且 3OQ OM uuur uuur ，当 PR 的中点恰为点 M 时，判断 OPR△ 的面积是否为常数，并说明理由． 【答案】（1） 2 2 12 x y  ；（2） OPR△ 的面积是常数为 4 9 ，理由见解析. 【解析】（1）由已知易得 2 2 1 2, 2 1 2 a a c c a         解得 ， ∴ 2 2 2 1b a c   ， 故椭圆C 的标准方程为： 2 2 12 x y  .（3 分） （2）①若点Q 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则  2,0Q ， ∵ 3OQ OM  ， M 在线段OQ 上， ∴ 2 ,03M       ，此时 PR x 轴，求得 4 2 3PR  ， ∴ OPR 的面积等于 1 4 2 2 4 2 3 3 9    .（5 分） ②若点Q 不是椭圆的左、右顶点，则设直线 PR 的方程为：  0y kx m m   ，  1 1,P x y ，  2 2,R x y ， 由 2 22 2x y y kx m       得 2 2 22 1 4 2 2 0k x kmx m     ，则 1 2 2 4 2 1 kmx x k     ， 2 1 2 2 2 2 2 1 mx x k   ，∴ PR 的中点 M 的坐标为 2 2 2 ,2 1 2 1 km m k k      ，（7 分） ∴点Q 的坐标为 2 2 6 3,2 1 2 1 km m k k      ，将其代入椭圆方程，化简得 2 22 1 9k m  ． ∴  22 1 2 1 21 4PR k x x x x    2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 8 1 2 1 9 k k m k k m      ．  点O 到直线 PR 的距离 21 md k   ，（10 分） ∴ OPR 的面积 2 2 1 1 8 1 4 2 2 9 91OPR mkS PR d m k        ． 综上可知， OPR 的面积为常数 4 9 ．（12 分） 【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，熟记椭圆的简单几何性质，准确计算弦 长，距离及面积公式是关键，是中档题 22．（本题共计 12 分）已知：函数 f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中 a∈R． （1）若 f（1）＝2，求函数 f（x）的最大值； （2）若 a＝﹣1，正实数 x1，x2 满足 f（x1）+f（x2）＝0，证明： 1 2 3 17 2x x    ． 【答案】（1）f（x）max＝2ln2+2（2）证明见解析 【解析】（1）∵f（1）＝2，∴﹣a+3＝2，∴a＝1，∴f（x）＝2lnx﹣x2+3x，（1 分） ∴f'（x） 2 x   2x+3 2 1 2x x x   （ ）（ ），（2 分） 由 f'（x）＞0 得，0＜x＜2，有 f'（x）＜0 得，x＞2， ∴f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+∞）为减函数， ∴f（x）max＝f（2）＝2ln2+2；（5 分） （2）证明：当 a＝﹣1，f（x）＝2lnx+x2+3x， ∵f（x1）+f（x2）＝2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x2＝0，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）＝2（x1x2﹣lnx1x2），（7 分） 令 h（t）＝t﹣lnt，∴h'（t）＝1 1 1t t t   ，（8 分） 由 h'（x）＞0 得，t＞1，由 h'（x）＜0 得，0＜t＜1， ∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数， ∴h（x）min＝h（1）＝1，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2， ∴（x1+x2）2+3（x1+x2）﹣2≥0， 解得： 1 2 3 17 2x x    ．（12 分） 【点睛】 本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数   lnh t t t  是解题的关键.