2020年新高考数学全真模拟试卷5（解析版）

2020 年新高考数学全真模拟卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．已知集合 A = x| x − 8 x + 2 < 0 ,B = x|x − 3 > 0 ，则 A⌒ CRB =A． (3,8) B． [3,8 C． ( − 2,3 D． ( − 2,3)【答案】C 【解析】由题意可得： A = x| − 2 < x < 8 ,B = x|x > 3 ， ∴ CRB = x|x ≤ 3 ， ∴ A⌒ CRB = ( − 2,3 ， 故选：C. 2．在复平面内，复数 (1 i)(2 i)z    对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A． 【解析】 (1 )(2 ) 3z i i i     ，∴对应的点为 (3,1) ，位于第一象限． 考点：复数的乘除和乘方． 3．已知向量 (1,1),2 (4,3), ( , 2)a a b c x       ，若 / /b c   ，则 x 的值为（ ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】B 【解析】  2 2 2,1 ; / / 4 0, 4.b a b a b c x x     ，          故选 B. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力. 4．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8 元，而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用额小于 22 元；设购买 2 只玫瑰花所需费用为 A 元，购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元，则 A B、 的大小关系是（ ）． A． A B B． A B C． A B D． A B、 的大小关系不确定 【答案】A 【解析】设玫瑰与康乃馨的单价分别为 ,x y (单位为：元)，则有 2 8 ,2 ,34 5 22 x y x A y Bx y       .所以有 ,2 3 A Bx y  ，因此 8(1)3 52 22(2)3 BA BA       . (1) 5 (2) ( 1)    可得： 6A  ； (1) 2 (2) ( 1)    可得： 6B  ，因此 A B . 故选：A 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力. 5． ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ， c .已知 3a  ， cos sinb A B ，则 A  （ ） A． 12  B． 6  C． 4  D． 3  【答案】D 【解析】由 cos sinb A B 有 1 sin cos b B A  , 由正弦定理有 sin sin a b A B  , 又 3a  即 3 1 sin cosA A  . 所以 tan 3A  . 因为 A 为 ABC 的内角，则 3A  . 故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档 6．已知曲线 = ෫e + ln 在点 ,෫⺁ 处的切线方程为 = 2 + 晦 ，则（ ） A． ෫ = ⺁,晦 =− B． ෫ = ⺁,晦 = C． ෫ = ⺁ − ,晦 = D． ෫ = ⺁ − ,晦 =− 【答案】D 【解析】 = ෫⺁ + ln + , = |= = ෫⺁ + = 2 ， ෫ = ⺁ − 将 (,) 代入 = 2 + 晦 得 2 + 晦 = ,晦 =− ，故选 D． 【点睛】本题关键得到含有 a，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。 7．已知函数  f x 是定义在 R 上的奇函数，满足    2f x f x   ，且 3 ,02x      时，    2 3 1f x log x   ，则  2019f   （ ） A． 4 B． 2 C． 2 D． 2 5log 【答案】C 【解析】    4 2 ( ( )) ( )f x f x f x f x        ，  f x 周期为 4，且  f x 在 R 上的奇函数，   22019 (1) ( 1) log 4 2f f f         . 故选:C 【点睛】本题考查函数的性质在函数求值中的应用，属于基础题. 8．已知抛物线 2 2y px 上不同三点 A ， B ，C 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（ ） A． A ， B ，C 的纵坐标成等差数列 B． A ， B ，C 到 x 轴的距离成等差数列 C． A ， B ，C 到点  0,0O 的距离成等差数列 D． A ， B ，C 到点 ,02 pF      的距离成等差数列 【答案】D 【解析】设抛物线上三点 A ， B ，C 的坐标分别为 ,a ax y ，  ,b bx y ， ,c cx y ， 则 A ， B ，C 到焦点 ,02 pF      的距离， 根据焦半径公式可得， 2a pAF x  ， 2b pBF x  ， 2c pCF x  ，  ax 、 bx 、 cx 成等差数列 AF ， BF ， CF 也成等差数列 故 D 正确 故选： D 【点睛】本题考查抛物线的性质焦半径公式，等差数列的性质，属于中档题. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．如下的四个命题中真命题的标号为（ ） A．已知实数 a ，b ， c 满足 27 4 3b c a a    ， 25 4c b a a    ，则 c b a  B．若 2 2       ，则  的取值范围是 ,  C．如果 ln3 3a  ， ln 4 4b  ， ln5 5c  ，那么 c b a D．若 0a b  ，则不等式 1 1 b b a a   一定成立 【答案】ABCD 【解析】对 A，由 2 24 5 ( 2) 1 0c b a a a       ， c b  ．再由 23 4 7b c a a    ①， 2 4 5c b a a    ②， ① ② 得： 22 2 2b a  ，即 21b a  ． 2 21 31 ( )2 4a a a     ， 21b a a    ， c b a   ，故 A 正确； 对 B， 2 2     ， 2 2      ，        ，故 B 正确； 对 C，由 ln xy x  ，则 ' 2 1 ln xy x  ，当 x e 时，1 ln 0x  ， ln xy x  在 ( , )e  上单调递减， 3 4 5e    ， ln3 ln 4 ln5 3 4 5    ， c b a   ，故 C 正确； 对 D，要证不等式 1 1 b b a a   成立，等价于证明 ( 1) ( 1)a b a b     b a  ， 0a b Q ， | | | |b a  显然成立，故 D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查导数求函数的单调性、不等式性质、配方法、比差法、分析法等比较数、式的大小，综合考 查逻辑推理能和运算求解能力，注意数形结合思想的灵活运用. 10．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，已知平面 1AC  ，则关于 截此正方体所得截面的判断正确的 是（ ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为3 3 【答案】ACD 【解析】如图，显然 A,C 成立，下面说明 D 成立， 如图设截面为多边形GMEFNH ， 设 1AG x ，则 0 1x  ， 则 2 , 2(2 ), 2 2,GH ME NF x MG HN EF x MN        所以多边形GMEFNH 的面积为两个等腰梯形的面积和， 所以 1 2 1 1( ) ( )2 2S GH MN h MN EF h        因为 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 3[ 2(2 )] ( ) ( 2 2) (2 ) (2 )2 2 2 2 xh x x x x         ，2 2 2 2 2(2 ) 2 2 3( 2 ) [ ]2 2 x xh x     ， 所以 2 21 3 1 3( 2 2 2) (2 ) [2 2 2(2 )]2 2 2 2S x x x x        23 2 3 2 3x x    当 1x  时， max 3 3S  ，故 D 成立。 故选：ACD． 【点睛】 本题考查空间几何体的截面问题，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时要注意从动态的角度进行分析问 题和求解问题，属于中档题． 11．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右两个顶点分别是 A1,A2,左、右两个焦点分别是 F1,F2,P 是双曲线 上异于 A1,A2 的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A． 1 2 2PA PA a  B．直线 1 2,PA PA 的斜率之积等于定值 2 2 b a C．使得 1 2PF F 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个 D． 1 2PF F 的面积为 2 1 2tan 2 b A PA 【答案】BC 【解析】在 1 2A PA 中，两边之差小于第三边，即 1 2 1 2 2PA PA A A a   ，所以 A 不是真命题； 设点 2 2( , ), 0,P x y y x a  ，有 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ， 2 2 2 2 )1( xy b a  ， 直线 1 2,PA PA 的斜率之积 1 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1( ) PA PA y y yk k x a x a x a x a xb ba a           ，所以 B 是真命题； 根据双曲线对称性分析：要使 1 2PF F 为等腰三角形，则 1 2F F 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点 P 使 1 22 , 2 2PA c PA c a   ，此时 1 2PF F 为等腰三角形， 也且仅有一个点 P 使 2 12 , 2 2P A c P A c a    ，此时 1 2P F F 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个 象限也有且仅有两个点，一共八个，所以 C 是真命题； 1 2 1 20 2 2 2 A PA F PF     ，根据焦点三角形面积的二级结论 1 2 2 1 2tan 2 PF F b F FS P  ，所以 D 不是真命题. 故选：BC 【点睛】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中 若能记住常见的二级结论，可以简化计算. 12．关于函数   2 lnf x xx   ，下列判断正确的是（ ） A． 2x  是  f x 的极大值点 B．函数  y f x x  有且只有 1 个零点 C．存在正实数 k ，使得  f x kx 恒成立 D．对任意两个正实数 1x ， 2x ，且 2 1x x ，若    1 2f x f x ，则 1 2 4x x  【答案】BD 【解析】（1）  f x 的定义域为 0,  ，  ' 2 2xf x x  ，所以  f x 在 0,2 上递减，在 2, 上递增，所 以 2x  是  f x 的极小值点.故 A 选项错误. （2）构造函数      2 ln 0g x f x x x x xx       ，    2 ' 2 2x x g x x     2 2 1 7 2 4 0 x x            ，所 以  g x 在 0,  上递减.而  1 ln 2 1 0g    ，  2 ln 2 1 0g    ，    1 2 0g g  .所以  g x 有且只有一 个零点.故 B 选项正确. （3）构造函数      2 ln 0, 0h x f x kx x kx x kx        .   2 ' 2 2kx xh x x    ，由于 0k  ， 2 2y kx x    开口向下， 0x  和 x   时， 2 2 0y kx x     ，即   2 ' 2 2 0kx xh x x     ，x   时   0h x  ，故不存在正实数 k ，使得  f x kx 恒成立，C 选项错误. （4）由（1）知，  f x 在 0,2 上递减，在  2, 上递增， 2x  是  f x 的极小值点.由于任意两个正实数 1x ， 2x ，且 2 1x x ，    1 2f x f x ，故 1 20 2x x   .令 2 1 1xt x   ， 2 1x tx .由    1 2f x f x 得1 2 1 2 2 2ln lnx xx x    ，即 2 1 2 1 2 1 2 lnx x x x x x   ，即   1 1 1 12 lnt x tx tx   ，解得   1 2 1 ln tx t t   ，则   2 1 2 1 ln t tx tx t t    . 所以 2 1 2 2 2 ln tx x t t    .要证 1 2 4x x  ，即证 1 2 4 0x x   ，即证 2 22 2 2 2 4 ln4 0ln ln t t t t t t t t       ，由于 1t  ， 所以 ln 0t t  ，故即证  22 2 4 ln 0 1t t t t    ①.构造函数    22 2 4 ln 1h t t t t t    （先取 1t  ），  1 0h  ；  ' 4 4ln 4h t t t   ，  ' 1 0h  ；    '' 4 144 0th t t t     .所以  'h t 在 1, 上为增函数， 所以    ' ' 1 0h t h  ，所以  h t 在 1, 上为增函数，所以    1 0h t h  .故当 1t  时，   0h t  .即证得 ①成立，故 D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转 化的数学思想方法，综合性很强，属于难题. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知 1cos( )3 3x   ，则 2cos(2 ) sin ( )3 3x x    的值为_____________. 【答案】 5 3 【解析】因为 1cos( )3 3x   ，所以 2 22 1 7cos(2 ) cos[(2 ) ] cos2( ) 1 2cos ( ) 1 2 ( )3 3 3 3 3 9x x x x                 ， 2 2 2 21 8sin ( ) 1 cos ( ) 1 cos ( ) 1 ( )3 3 3 3 9x x x            ， 则 2 7 8 5cos(2 ) sin ( )3 3 9 9 3x x       ， 故答案为： 5 3 . 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，重点考查了角的拼凑，属中档题 14．己知数列 na 满足就：  * 1a m m N  ， 1 0.5 3 1 n n n n n a aa a a 为偶数 为奇数    ，若 6 1a  ，写出 m 所有可能的取 值为______. 【答案】 4,5,32【解析】（1）若 1a m 为偶数，则 1 2 a 为偶, 故 2 2 3   a2 2 4 am ma    ①当 4 m 仍为偶数时， 4 68 32 m ma a   故 1 3232 m m   ②当 4 m 为奇数时， 4 3 33 1 14a a m    6 3 14 4 m a    故 3 14 14 m   得 m=4。 （2）若 1a m 为奇数，则 2 13 1 3 1a a m    为偶数，故 3 3 1 2 ma  必为偶数 6 3 1 16 ma   ，所以 3 1 16 m  =1 可得 m=5 15．如图， 1 1 1 1ABCD-A B C D 为正方体，下面结论中正确的是_______.（把你认为正确的结论都填上） ① 1 1AC  平面 1BD ； ② 1BD  平面 1ACB ； ③ 1BD 与底面 1 1BCC B 所成角的正切值是 2 ； ④过点 1A 与异面直线 AD 与 1CB 成 60 角的直线有 2 条. 【答案】①②④ 【解析】 1 1 1 1A C B D ，因为 1BB  面 1 1 1 1A B C D ，所以 1 1 1BB A C ，由此 1 1AC  平面 1BD ，故①对。由三 垂线定理可知， 1 1BD AB ， 1 1BD CB ，所以 1BD  面 1AB C ，故②对。 由①②可知， 1 1C BD 为 1BD 与面 1 1BCC B 的所成角，所以 1 1 1 1 1 C D 2tan C BD BC 2    ，所以③错。 在正方体中 1 1A DCB  ，所以过 1A 与异面直线 1CB 所成角为与直线 1A D 所成角。将图形抽象出来如下图所示。 由于 1AA D 4   ，所以如下图，有上下两条直线分别直线 1A D ， AD 所成角为 60 ，故与异面直线 AD 和 1CB 成 60 ，所以④对。 【点睛】本题考查线线垂直，线面垂直，判断定理和性质定理， 以及异面直线所成角， 综合性很强，题目偏难。在使用线线垂直，线面垂直的性质定 理时，三垂线定理学生要熟练掌握。求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解。 16．在平面直角坐标系 xOy 中 ，已知椭圆   2 2 : 1 44 y xC mm m    ，点 ( 2,2)A  是椭圆内一点， (0, 2)B  ，若椭圆上存在一点 P ，使得 8PA PB  ，则 m 的范围是______；当 m 取得最大值时，椭圆的离心率为_______. 【答案】6 2 5,25  2 5 【解析】因为点 ( 2,2)A  是椭圆内一点，故 4 4 14m m   ， 由 4 4 14 4 m m m       可得 6 2 5m   . (0, 2)B  为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为 F ，则 2PA PB m PA PF    ， 而 2PA PF AF   ，当且仅当 , ,P A F 三点共线时等号成立， 故 2 2 2 +2m PA PB m    ，所以 2 2 8 2 +2m m   ， 所以 4 25m  ，故 6 2 5 25m   . m 的最大值为 25 ，此时椭圆方程为 2 2 : 125 21 y xC   ，故其离心率为 25 21 2 5 5   ， 故分别填： 6 2 5 25m   ， 2 5 . 【点睛】点  P m n, 与椭圆的位置关系可通过 2 2 2 2 m n a b  与1的大小关系来判断，若 2 2 2 2 1m n a b   ，则 P 在椭圆的 内部；若 2 2 2 2 1m n a b   ，则 P 在椭圆上；若 2 2 2 2 1m n a b   ，则 P 在椭圆的外部．椭圆中与一个焦点有关的线段和、 差的最值问题，可以利用定义转化到另一个焦点来考虑． 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题共计 10 分）已知等差数列 na 满足 1 2 4a a  且 18 20 12a a  ，等比数列 nb 的首项为 2，公比 为 q. （1）若 3q  ，问 3b 等于数列 na 中的第几项？ （2）若 2q = ，数列 na 和 nb 的前 n 项和分别记为 nS 和 nT ， nS 的最大值为 M ，试比较 M 与 9T 的大小. 【答案】(1) 16 (2) 9M T 【解析】(1) 因为等差数列 na 满足 1 2 4a a  即 2 1 4a a   ,所以等差数列 na 的公差 4d   又 18 20 12a a 得 1 117 19 12a d a d    ,代入可得 1 78a  所以     1 1 78 1 4 4 82na a n d n n          （2 分） 当等比数列 nb 的首项为 2,公比为 q. 当 3q  时 1 1 1 2 3n n nb b q     所以 2 2 3 1 2 3 18b b q    （4 分） 所以当18 4 82n   时 解得 16n  即 3q  时 3b 等于数列 na 中的第 16 项（5 分） (2) 等比数列 nb 的首项为 2,若 2q = 由  1 1 1 n n a q T q    可得  9 10 9 2 1 2 2 2 10221 2T       （6 分） 又等差数列 na 中   1 1 2n n n dS na   代入可得    21 478 2 802n n nS n n n        22 20 800n    （9 分） 所以当 20n  时, nS 的最大值为 800M  所以 9M T （10 分） 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用,等差数列前 n 项和的最值求法,属于基础 题. 18．（本题共计 12 分）在 ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，且  2 2 23 sin sin 4 2 sin sin 3sinB C B C A   . （1）求 tan A 的值； （2）若 3 2 sin sin c B a A  ，且 ABC 的面积 2 2ABCS  ，求 c 的值. 【答案】（1） 2tan 4A  ；（2） 2 2c  .【解析】（1）因为  2 2 23 sin sin 4 2 sin sin 3sinB C B C A   ，故 2 2 2 4 2 3b c a bc   ，（2 分） 2 2 2 2 2cos 2 3 b c aA bc     ，故 2 8 1sin 1 cos 1 9 3A A     ，（4 分） 因此， sin 1 3 2tan cos 3 42 2 AA A     ；（5 分） （2）因为 3 2 sin sin c B a A  ，故 3 2c b a a  ，即 3 2 2b c ，（7 分）  ABC 的面积为 1 sin 2 22ABCS bc A   ，即 21 3 1 2 22 32 c   ，故 2 8c  ， 解得 2 2c  .（12 分） 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于 中等题. 19．（本题共计 12 分）如下图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 和侧面 1 1BCC B 都 是矩形， E 是CD 的中点， 1D E CD ， 2 2AB BC  . （1）求证： 1BC D E （2）求证： 1 //B C 平面 1BED ； （3）若平面 1 1BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为 3  ，求线段 1D E 的长度. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1. 【解析】（1）因为底面 ABCD和侧面 1 1BCC B 是矩形， 所以 BC CD ， 1BC CC ， 又因为 1 CD CC C ， 所以 BC  平面 1 1DCC D ，（3 分） 因为 1D E  平面 1 1DCC D ， 所以 1BC D E ；（4 分） （2）因为 1 1//BB DD ， 1 1BB DD ， A B A1 B1 D C E D1 C1所以四边形 1 1D DBB 是平行四边形. 连接 1DB 交 1D B 于点 F ，连接 EF ，则 F 为 1DB 的中点. 在 1B CD 中，因为 DE CE ， 1DF B F ， 所以 1//EF B C .（6 分） 又因为 1 B C 平面 1BED ， EF 平面 1BED ， 所以 1 //B C 平面 1BED ；（7 分） （3）由（1）可知 1BC D E ， 又因为 1D E CD ， BC CD C ， 所以 1D E  平面 ABCD .（8 分） 设 G 为 AB 的中点，以 E 为原点， EG 、 EC 、 1ED 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 如图建立空间直角坐标系， 设 1D E a ，则  0,0,0E 、  1,1,0B 、  1 0,0,D a 、  0,1,0C 、  1 1,2,B a 、  1,0,0G ， 设平面 1BED 法向量为  , ,n x y z ， 因为  1,1,0EB  ，  1 0,0,ED a ， 由 1 0 0 n EB n ED          ，得 0 0 x y z     （10 分） 令 1x  ，得  1, 1,0n   . 设平面 1 1BCC B 法向量为  1 1 1, ,m x y z ， 因为  1,0,0CB  ，  1 1,1,CB a ， 由 1 0 0 m CB m CB          得 1 1 1 1 0, 0. x x y az      令 1 1z  ，得  0, , 1m a  . 由平面 1 1BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为 3  ， A B A1 B1 D C E D1 C1 z y x F G得 2 | |cos , cos 32 1 m n am n m n a           ， 解得 1a  .（12 分） 考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行；3.二面角；4.空间向量法 20．（本题共计 12 分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 40 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段  40,50 ， 50,60 … 90,100 后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格）和平均分； （3）从成绩是 40～50 分及 90～100 分的学生中选两人，记他们的成绩为 x，y，求满足“| | 10x y  ”的概率． 【答案】（1）第四小组的频率为 0．3，补全的频率分布直方图详见试题解析；（2）估计这次考试的及格率为 0．75 和平均分为 71；（3）满足“| | 10x y  ”的概率为 8 15 ． 【解析】 （1）由频率分布直方图可知第 1、2、3、5、6 小组的频率分别为：0．1、0．15、0．15、0．25、0．05，所以 第 4 小组的频率为：1-0．1-0．15-0．15-0．25-0．05=0．3．（2 分） ∴在频率分布直方图中第 4 小组的对应的矩形的高为 0.3 0.0310  ，对应图形如图所示： 0.03 （4 分） （2） 考试的及格率即 60 分及以上的频率∴及格率为 0．15+0．3+0．25+0．05=0．75 又由频率分布直方图有平均分为： 0.1 45 0.15 55 0.15 65 0.3 75 0.25 85 0.05 95 71            （6 分） （3）设“成绩满足| | 10x y  ”为事件 A 由频率分布直方图可求得成绩在 40～50 分及 90～100 分的学生人数分别为 4 人和 2 人，记在 40～50 分数段的 4 人的成绩分别为 , , ,a b c d ，90～100 分数段的 2 人的成绩分别为 ,e f ，则从中选两人，其成绩组合 ( , )x y 的所 有情况有：( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，共 15 种，且 每种情况的出现均等可能。（9 分） 若这 2 人成绩要满足“| | 10x y  ”，则要求一人选自 40～50 分数段，另一个选自 90～100 分数段，有如下情 况：( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a e a f b e b f c e c f d e d f ，共 8 种，所以由古典概型概率公式有 8( ) 15P A  ，即 所取 2 人的成绩满足“| | 10x y  ”的概率是 8 15 ．（12 分） 考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（频率及平均数）；3、古典概型． 【思路点晴】本题主要考查的是频率分布直方图和古典概型问题，属于中档题；读图一定要认真，先根据图中 的信息得出第一问；频率分布直方图中，平均数的求法为每一组的中位数乘以频率，然后再求和，此处是易错 点；古典概型一定要列举出所有可能性，以及满足条件的可能性，比值即为满足条件的概率． 21．（本题共计 12 分）已知 ln( ) x af x x  ， ( ) 1xg x e  . （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 0x  时，    g x f x 恒成立，求实数 a 的最大值. 【答案】（1） 1(0, )ae  递增， 1( , )ae   递减.；（2）1 【解析】(1)∵ ( )f x 的定义域为 (0, ) , 2 1 ln'( ) a xf x x   （1 分） 由 '( ) 0f x  得, ln 1x a  , 1 ax e  ,可得到下表： x 1(0, )ae  1 ae  1( , )ae   '( )f x 正 0 负 ( )f x ↑ 极大值 ↓ 即 ( )f x 在 1(0, )ae  上递增,在 1( , )ae   上递减（4 分） (2)当 0x  时, ( ) ( )g x f x 即 ln1x x ae x   化简可得 ( 1) lnxa x e x   （5 分） 令 ( ) ( 1) lnxF x x e x   （ 0x  ）,只需 min( )a F x ∵   1'( ) 1 xF x x e x       （6 分）令   1xh x e x   （ 0x  ）,由于 2 1'( ) 0xh x e x    ,所以  h x 在 0,  上递增 ∵ 1 21( ) 2 02h e   , (1) 1 0h e   （8 分） ∴存在唯一的 0 (0, )x   ,使得 0 0 0 1( ) 0xh x e x    易知 ( )F x 在区间 0(0, )x 上递减,在区间 0( , )x  上递增 ∴ 0 0 min 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( 1) ln ( ln )x xF x F x x e x x e x x       （10 分） 由 0 0 1 0xe x   得 0 0 1xx e  ,两边取对数得 0 0ln 0x x  ∴    0min 1F x F x  ∴ 1a  ,即 a 的最大值为 1（12 分） 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,根据导函数研究函数的极值与最值,不等式中参数取值范围的求 法,构造函数求最值形式,综合性强,属于难题. 22．（本题共计 12 分）已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     过点 71 2       ， ，且离心率 3 2e  ． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知斜率为 1 2 的直线l 与椭圆C 交于两个不同点 A B， ，点 P 的坐标为  2 1， ，设直线 PA 与 PB 的倾斜 角分别为 ， ，证明：    ． 【答案】（1） 2 2 18 2 x y  （2）详见解析 【解析】（1）由题意得 2 2 2 2 7 1 4 1 31 2 a b be a            ， ， 解得 2 28 2a b ， ， 所以椭圆的方程为 2 2 18 2 x yC  ： ．（4 分） （2）设直线 1 2l y x m ： ，由 2 2 1 2 18 2 y x m x y       ， ， 消去 y 得 2 22 2 4 0x mx m    ， 2 24 8 16 0m m     ， 解得 2 2m   ． 设    1 1 2 2A x y B x y， ， ， ， 则 2 1 2 1 22 2 4x m x m     x ， x ，（6 分） 由题意，易知 PA 与 PB 的斜率存在，所以 2   ， ． 设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 1 2k k， ， 则 1tan k  ， 2tan k  ， 要证    ，即证  tan tan tanB      ， 只需证 1 2 0k k  ，（8 分） ∵ 1 1 1 1 2 yk x   ， 2 1 2 1 2 yk x   ， 故          1 2 2 11 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 2 2 y x y xy y x x x xk k           ，（9 分） 又 1 1 1 2y x m  ， 2 2 1 2y x m  ， 所以         1 2 2 1 1 2 2 1 1 11 2 1 2 1 2 1 22 2y x y x x m x x m x                               2 1 2 1 22 4 1 2 4 2 2 4 1 0x x m x x m m m m m               ，（11 分） ∴ 1 2 0k k  ，    ．（12 分） 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形 的面积等问题．