第 8 章 整式乘法与因式分解
（时间：90 分钟 满分：100 分）
一、选择题(共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分)
1．下列运算中，结果是 a6 的式子是( )
A．a2·a3 B．a12－a6
C．(a3)3 D．(－a)6
2．计算(－xy3)2 的结果是( )
A．x2y6 B．－x2y6
C．x2y9 D．－x2y9
3 ． 科 学 家 使 用 铁 纳 米 颗 粒 以 及 具 有 磁 性 的 钴 和 碳 纳 米 颗 粒 合 成 了 直 径 约 为
0.000000012 米的新型材料，这种材料能在高温下储存信息，具有广阔的应用前景．这里的
“0.000000012 米”用科学记数法表示为( )
A．0.12×10－7 米 B．1.2×10－7 米
C．1.2×10－8 米 D．1.2×10－9 米
4．对于多项式：①x2－y2；②－x2－y2；③4x2－y；④x2－4，能够用平方差公式进行因
式分解的是( )
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．②和④
5．下列各式的计算中正确的个数是( )
①100÷10－1＝10; ②10－4·(2×7)0＝1000；
③(0.1)0÷(－
1
2 )－3
＝8; ④(－10)－4÷(－
1
10 )－4
＝－1.
A．4 个 B．3 个
C．2 个 D．1 个
6．若 2x＝3，8y＝6，则 2x－3y 的值为( )
A.
1
2 B．－2
C.
6
2 D.
3
2
7．下列计算正确的是( )
A．－3x2y·5x2y＝2x2yB．－2x2y3·2x3y＝－2x5y4
C．35x3y2÷5x2y＝7xy
D．(－2x－y)(2x＋y)＝4x2－y2
8．下列因式分解正确的是( )
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋
1
4＝(x－
1
2 ) 2
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
9．已知 ab2＝－1，则－ab(a2b5－ab3－b)的值等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
10．越越是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，
x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2 分别对应城、爱、我、蒙、游、美这六个汉字，现将(x2－y2)a2
－(x2－y2)b2 因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美 B．蒙城游
C．爱我蒙城 D．美我蒙城
二、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分)
11．计算：(12a3－6a2)÷(－2a)＝__________．
12．若代数式 x2－6x＋b 可化为(x－a)2－1，则 b－a 的值是________．
13．若 a－b＝1，则代数式 a2－b2－2b 的值为________．
14．a，b 是实数，定义一种运算@如下：a@b＝(a＋b)2－(a－b)2.有下列结论：①a@b＝
4ab；②a@b＝b@a；③若 a@b＝0，则 a＝0 且 b＝0；④a@(b＋c)＝a@b＋a@c.其中正确的结论
是________(填序号)．
三、解答题(共 2 小题，共 16 分)
15．（5 分）计算：
(1)(a2)3·(a3)2÷(a2)5；(2)(a－b＋c)(a＋b－c)．
16．（5 分）因式分解：
(1)3x4－48; (2)(c2－a2－b2)2－4a2b2.
17（5 分）先化简，再求值：(x2＋3x)(x－3)－x(x－2)2＋(x－y)(y－x)，其中 x＝3，
y＝
－2.18．（5 分）已知 a＋b＝2，ab＝2，求
1
2a3b＋a2b2＋
1
2ab3 的值．
19．（7 分）张老师给同学们出了一道题：当 x＝2018，y＝2017 时，求[(2x3y－2x2y2)＋
xy(2xy－x2)]÷x2y 的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件 y＝2017 是多余的．”小
兵说：“不多余，不给这个条件，就不能求出结果．”你认为他们谁说得有道理？并说明你
的理由．20．（7 分）已知多项式 x2＋nx＋3 与多项式 x2－3x＋m 的乘积中不含 x2 和 x3 项，求 m，
n 的值．
21．（9 分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如
图)，此图揭示了(a＋b)n(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：(a＋
b)0＝1，它只有一项，系数为 1；(a＋b)1＝a＋b，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为
2；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；(a＋b)3＝a3＋3a2b
＋3ab2＋b3，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8……
根据以上规律，解答下列问题：
(1)(a＋b)4 的展开式共有________项，系数分别为____________；
(2)写出(a＋b)5 的展开式：
(a ＋ b)5 ＝
________________________________________________________________________；
(3)(a＋b)n 的展开式共有________项，系数和为________．
22．（12 分）将一张如图①所示的长方形铁皮四个角都剪去边长为 30cm 的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒，如图②.铁盒底面长方形的长是 4acm，宽是 3acm.
(1)请用含有 a 的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；
(2)若要在铁盒的外表面涂上某种油漆，每 1 元钱可涂油漆的面积为
a
50cm2，则在这个
铁盒的外表面涂上油漆需要多少钱(用含有 a 的代数式表示)?
参考答案与解析
1．D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B 9.C 10.C
11．－6a2＋3a 12.5 13.1
14．①②④ 解析：因为 a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝(a＋b＋a－b)(a＋b－a＋b)＝2a·2b
＝4ab，①正确；因为 a@b＝4ab，b@a＝(b＋a)2－(b－a)2＝(b＋a＋b－a)(b＋a－b＋a)＝
2b·2a＝4ab，所以 a@b＝b@a，②正确；因为 a@b＝4ab＝0，所以 a＝0 或 b＝0 或 a＝0 且 b
＝0，③错误；因为 a@(b＋c)＝(a＋b＋c)2－(a－b－c)2＝(a＋b＋c＋a－b－c)(a＋b＋c－a
＋b＋c)＝2a·(2b＋2c)＝4ab＋4ac，a@b＝4ab，a@c＝(a＋c)2－(a－c)2＝(a＋c＋a－c)(a
＋c－a＋c)＝2a·2c＝4ac，所以 a@(b＋c)＝a@b＋a@c，④正确．故答案为①②④.
15．解：(1)原式＝a6·a6÷a10＝a2.(4 分)
(2)原式＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]＝a2－(b－c)2＝a2－b2＋2bc－c2.
16．解：(1)原式＝3(x4－16)＝3(x2＋4)(x2－4)＝3(x2＋4)(x＋2)(x－2)．
(2)原式＝(c2－a2－b2＋2ab)(c2－a2－b2－2ab)＝[c2－(a－b)2][c2－(a＋b)2]＝(c＋a－b)(c－a＋b)(c＋a＋b)(c－a－b)．
17．解：原式＝x3－3x2＋3x2－9x－x(x2－4x＋4)－(x－y)2＝x3－9x－x3＋4x2－4x－x2＋
2xy－y2＝3x2－13x＋2xy－y2.当 x＝3，y＝－2 时，原式＝3×32－13×3＋2×3×(－2)－(－
2)2＝－28.
18．解：原式＝
1
2ab(a2＋2ab＋b2)＝
1
2ab(a＋b)2.当 a＋b＝2，ab＝2 时，原式＝
1
2×2×22
＝4.
19．解：小明说得有道理．理由如下：原式＝[2x3y－2x2y2＋2x2y2－x3y]÷x2y＝x3y÷x2y
＝x.所以该式子的结果与 y 的值无关，即小明说得有道理．
20．解：(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)＝x4－3x3＋mx2＋nx3－3nx2＋mnx＋3x2－9x＋3m＝x4＋
(n－3)x3＋(m－3n＋3)x2＋(mn－9)x＋3m.因为不含 x2 和 x3 项，所以{n－3＝0，
m－3n＋3＝0，所以
{m＝6，
n＝3.
21．(1)5 1，4，6，4，1 (2)a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5(8 分)
(3)(n＋1) 2n
22．解：(1)原长方形铁皮的面积是(4a＋60)(3a＋60)＝(12a2＋420a＋3600)(cm2)．
(2)这个铁盒的表面积是 12a2＋420a＋3600－4×30×30＝(12a2＋420a)(cm2)，则在这
个铁盒的外表面涂上油漆需要的钱数是(12a2＋420a)÷
a
50＝(600a＋21000)(元)．
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