2019～2020 学年度高二寒假第三次检测
数 学
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．）
1．若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， 是虚数单位，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4． ， ， ， ， 五名同学站成一排，若要求 与 相邻，则不同的站法有（ ）.
A．72 B．48 C．24 D．12
5．甲、乙等 人排一排照相，要求甲、乙 人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
6．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相
邻，不同的排法共有（ ）种
A．48 B．72 C．78 D．84
7．排一张 5 个独唱和 3 个合唱的节目单，如果合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻，则这种事件发生
的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有
A．56 个 B．57 个 C．58 个 D．60 个
9．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 （边长
为 2 个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的
单位，如果掷出的点数为 ，则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循
环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 处的所有不同走法有（ ）
A．22 种 B．24 种 C．25 种 D．27 种
10．（多选题）关于函数 ，下列判断正确的是（ ）
A． 是 的极大值点
B．函数 有且只有 1 个零点
C．存在正实数 ，使得 成立
D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则 .
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
11．对于给定的复数 ，若满足 的复数对应的点的轨迹是椭圆，则 的取值范围是
z (1 ) 4 2i z i+ = + z
i i− 1− 1
,m n R∈ i (1 )(1 )mi i n+ − = m ni+
2 3 5
*n N∈ ( )( ) ( )20 21 100n n n− − −
80
100 nA −
20
100
n
nA −
−
81
100 nA −
81
20 nA −
A B C D E A B
5 2
36 24 18 12
1
4
1
144
1
8
1
14
ABCD
A
( 1,2, ,6)i i = ⋅⋅⋅ i
A
( ) 2 lnf x xx
= +
2x = ( )f x
( )y f x x= -
k ( )f x kx>
1x 2x 1 2x x> ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 4x x+ >
0z 02 4z i z z− + − = 0z______
12．某办公楼前有 7 个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概
率是__________．
13．已知函数 ，若 是函数 的唯一一个极值点，
则实数 的取值范围是__________．
14．设 ，有 ，
， ，根据以上规律，则函数 ， 的极小
值之积为__________．
三解答题（本题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分．）
15．从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？
（答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示．）
16．如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与 BD 焊接而成，焊接点 D 把杆 AC 分成 AD， CD
两段，其中两固定点 A，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60° ，杆 AC
长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，
制作杆 BD 成本是 3a 元/米. 设 ∠ADB = α ，则制作整个支架的总成本记为 S
元.
（1）求 S 关于α 的函数表达式，并求出α的取值范围；
（2）问 段多长时，S 最小？
3 22( ) 4e ( 1) ( 2 )3
xf x x k x x= + − + 2x = − ( )f x
k
( ) xf x xe= ( ) ( ) ( )1 1 ,xg x f x x e′= = + ( ) ( ) ( )2 1 2 xg x g x x e′= = +
( ) ( ) ( )3 2 3 xg x g x x e′= = + ⋅⋅⋅ ( ) ( ) ( )1 2 3, , ,g x g x g x ⋅⋅⋅ ( )10g x
BD数学参考答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．A 7．D 8．C 9．D 10．BD
11． 12． 13． （B） 14．
15．（1）先选后排，分别选完三个偶数四个奇数再排列 个． 5 分
(2)先选后排，分别选完三个偶数四个奇数再排列，三个偶数相邻，所以三个偶数捆绑 ，当
一个整体再和另四个数一起为 5 个数的全排列： 个． 5 分
(3)选从 5 个奇数当中选 4 个进行全排列，再从 4 个偶数当中选 3 个，在五个空档中选 3 个插
入， 个． 5 分
16．(1)在△ABD 中,由正弦定理得 ， 2 分
所以 ，
则 ，
由题意得 . 7 分
（2）令 ， ，设 ，
－ 0 ＋
单调递减 极大值 单调递增
所以当 时，S 最小，此时 14 分
∴ 当 时 S 最小. 15 分
[ )0 6， 4
7
[0 2e]， 65
1
e
3 4 7
4 5 7 100800C C A =
3
3A
3 4 5 3
4 5 5 3 14400C C A A =
4 3 3
5 4 5 28800A C A =
1
2sin sin sin3 3
BD AD
π πα α
= = −
3 3cos 1,2sin 2sin 2BD AD
α
α α= = +
3cos 1 3cos 1 32 1 32sin 2 2sin 2 2sinS a a a
α α
α α α
= + + − + +
3 3 3cos 3
2sin 2a
α
α
−= +
2,3 3
π πα ∈
2
1 3cos3 02sinS a
α
α
−=′ = 1cos 3
α = 0
1cos 3
α = 0
2,3 3
π πα ∈
α 0,3
π α
0
α 0
2
3
πα
，
S′
S
1cos 3
α = 2 2 3 3 6sin ,3 2sin 8BDα α= = =
3 6
8BD =
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