2020年新高考数学全真模拟试卷4

2020 年新高考数学全真模拟卷 4 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．设集合 { | 1 }A x y x   ， { | ( 1)( 3) 0}B x x x    ，则 R A B ð （ ） A．[1,3) B． (1,3) C． ( 1,0] [1,3)  D． ( 1,0] (1,3)  2． 是虚数单位,复数 ?⌻ 厐 为纯虚数,则实数 ⌻ 为( ) A． B． 厐 C． 厐 D． 3．“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）是现在商家一种常见促销手段.今 年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前， 甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”. 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学 是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．已知曲线 2 34 xy lnx  的一条切线的斜率为 1 2  ，则切点的横坐标为（ ） A．3 B．2 C．1 D． 1 2 5．2019 年 10 月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检 了 16 款(德国 4 款，法国 8 款，荷兰 4 款)，其中 8 款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴 幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A 地区闻讯后，立即组织相关检测员对这 8 款品牌的奶粉进 行抽检，已知该地区有 6 家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙 3 名检测员分别负责 进行检测，每人至少抽检 1 家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员检测 2 家商店的概率为 （ ） A． 11 18 B． 7 18 C． 5 12 D． 7 12 6．若函数    sin ( 0, 0, )f x A x A         局部图象如图所示，则函数  y f x 的解析 式为 ( )A． 3 sin 22 6y x      B． 3 sin 22 6y x      C． 3 sin 22 3y x      D． 3 sin 22 3y x      7．过坐标原点 O 作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4 的两条切线，切点为 A，B．直线 AB 被圆截得弦 AB 的长度为（ ） A． 13 B．12 13 13 C． 6 13 13 D． 5 13 13 8．三棱锥 P ABC 中，PA  平面 ABC ， 30ABC  ， APC 的面积为 2，则三棱锥 P ABC 的 外接球体积的最小值为( ) A． 8 3  B．16 3  C． 32 3  D． 64 3  二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．下列命题中，是真命题的是（ ） A．已知非零向量 ,a b   ，若 ,a b a b      则 a b  B．若  : 0, , 1 ln ,p x x x     则  0 0 0: 0, , 1 lnp x x x      C．在 ABC 中，“sin cos sin cosA A B B   ”是“ A B ”的充要条件 D．若定义在 R 上的函数  y f x 是奇函数，则   y f f x 也是奇函数 10．下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% ﹣0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是（） A．该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B．该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C．该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 11．椭圆 2 2: 14 xC y  的左右焦点分别为 1 2,F F ，O 为坐标原点，以下说法正确的是（ ）A．过点 2F 的直线与椭圆C 交于 A ， B 两点，则 1ABF 的周长为8 . B．椭圆C 上存在点 P ，使得 1 2 0PF PF   . C．椭圆C 的离心率为 1 2 D． P 为椭圆 2 2 14 x y  一点，Q 为圆 2 2 1x y  上一点，则点 P ，Q 的最大距离为 3 . 12．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1， ,M N 为线段 BC ， 1CC 上的动点，过点 1, ,A M N 的平面 截该正方体的截面记为 S，则下列命题正确的是（ ） A．当 0BM  且 0 1CN  时，S 为等腰梯形 B．当 M , N 分别为 BC ， 1CC 的中点时，几何体 1 1A D MN 的体积为 1 12 C．当 M 为 BC 中点且 0 1CN„ „ 时，S 为五边形 D．当 M 为 BC 中点且 3 4CN  时，S 与 1 1C D 的交点为 R，满足 1 1 6C R  三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知        2 * 0 1 21 1 1 nn nx a a x a x a x n N       …+ 对任意 xR 恒成立，则 0a  __________；若 4 5 0a a  ，则 n _________________。 14．在△ ABC 中，三个内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 2 3a  ， 2c  ， 120A  ， 则 ABCS  ________ 15．已知函数   sinf x x x  ，若正实数 ,a b 满足    4 9 0f a f b   ，则 1 1 a b  的最小值为 ______________. 16．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且数列 nS n     是首项为 3，公差为 2 的等差数列，若 2nnb a ， 数列 nb 的前 n 项和为 nT ，则使得 268n nS T  成立的 n 的最小值为__________. 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题共计 10 分）已知数列{ }na 中， 1 1a  ，其前 n 项的和为 nS ，且当 2n  时，满足 2 1 n n n Sa S   ． （1）求证：数列 1 nS       是等差数列；（2）证明： 2 2 2 1 2 7 4nS S S    ． 18（本题共计 12 分）．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边 AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心， 1AB  ， 2BC  ，现要将此铁皮剪出一个三角形 PMN ，使得 ，MN BC . (1)设 30MOD   ，求三角形铁皮 PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形 PMN 的面积的最大值. 19．（本题共计 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA  底面 ABCD ， PA AB ， E 为线段 PB 的中点，若 F 为线段 BC 上的动点（不含 B ）. （1）平面 AEF 与平面 PBC 是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）求二面角 B AF E  的余弦值的取值范围. 20．（本题共计 12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠 随机分成 ,A B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小 鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的 百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到  P C 的估计值为 0.70 . （1）求乙离子残留百分比直方图中 ,a b 的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.21．（本题共计 12 分）已知椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角 形的三个顶点，直线l ： 3y x   与椭圆 E 有且只有一个公共点 T． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程及点T 的坐标； （Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l 平行于 OT ，与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ，且与直线l 交于点 P ， 证明：存在常数  ，使得 2| | | | | |PT PA PB  ，并求  的值． 22．（本题共计 12 分）已知函数 厐 厐 ⌻ ? ln ， ⌻ . （1）若 存在极小值，求实数 ⌻ 的取值范围； （2）设 是 的极小值点，且 ，证明： 厐 .