2020年新高考数学全真模拟试卷3

2020 年新高考数学全真模拟卷 03 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．设集合  | 1 2 1 3A x x     ，  2| logB x y x  ，则 A B  （） A． 0,1 B． 1,0 C． 1,0 D． 0,1 2．已知复数 2 3 z i   ，则复数 z 的共轭复数 z  （ ） A． 3 1 2 2 i B． 1 3 2 2 i C． 3 1 2 2 i D． 1 3 2 2 i 3．如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是 A．2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B．与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C．2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D．2018 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 4．将余弦函数 y＝cosx 的图象向右至少平移 m 个单位，可以得到函数 y＝－sinx 的图象，则 m＝( ) A． 2  B．π C． 3 2  D． 3 4  5．如图，已知 AP  ＝ 4 3 AB  ，用OA  ，OB  表示 OP  ，则 OP  等于( ) A． 1 3 OA  － 4 3 OB  B． 1 3 OA  ＋ 4 3 OB  C．－ 1 3 OA  ＋ 4 3 OB  D．－ 1 3 OA  － 4 3 OB  6．若 0, 0x y  ，且 2 1 1x y   ， 22 7x y m m   恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A． ( 8,1) B． ( , 8) (1, )    C． ( , 1) (8, )    D． ( 1,8) 7．已知函数 2 2( ) 1 log log (4 )   f x x x ，则（ ） A． ( )y f x 的图像关于直线 2x  对称 B． ( )y f x 的图像关于点 (2,1) 对称C． ( )f x 在 (0,4) 单调递减 D． ( )f x 在 (0,4) 上不单调 8．已知双曲线C ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右焦点为 F ，点 B 是虚轴上的一个顶点，线段 BF 与双曲 线C 的右支交于点 A ，若 2BA AF  ，且 4BF  ，则双曲线C 的方程为（ ） A． 2 2 16 5 x y  B． 2 2 18 12 x y  C． 2 2 18 4 x y  D． 2 2 14 6 x y  二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．下列关于各事件发生的概率判断正确的是（ ） A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 2 3 B．四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三 条线段能构成一个三角形的概率是 1 4 C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选 择一条路径，则它能获得食物的概率为 1 3 D．已知集合 2,3,4,5, 7{ }6,A  ， {2,3,6,9}B  ，在集合 A B 中任取一个元素， 则该元素是集合 A B 中的元素的概率为 3 5 10．设函数    sin 06f x x        ，已知  f x 在 0, 有且仅有 3 个零点，对于下列 4 个说法正确的是 （ ） A．在 0, 上存在 1 2,x x ，满足    1 2 2f x f x  B．  f x 在 0, 有且仅有 1 个最大值点 C．  f x 在 0, 2      单调递增 D． 的取值范围是 13 19,6 6     11．已知函数 2 2 , 0( ) ( 2), 0 x x xf x f x x       ，以下结论正确的是（ ） A． ( 3) (2019) 3f f    B．  f x 在区间 4,5 上是增函数 C．若方程 ( ) 1f x k x  恰有 3 个实根，则 1 1,2 4k       D．若函数 ( )y f x b  在 ( ,4) 上有 6 个零点 ( 1,2,3,4,5,6)ix i  ，则   6 1 i i i x f x   的取值范围是 0,612．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 A ， B 的距离之比为 定值  1   的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直 角坐标系 xOy 中，  2,0A  ，  4,0B ，点 P 满足 1 2 PA PB  .设点 P 的轨迹为C ，下列结论正确的是（ ） A．C 的方程为 2 24 16x y   B．在C 上存在点 M ，使得 2MO MA C．当 A ， B ， P 三点不共线时，射线 PO 是 APB 的平分线 D．在三棱锥中 P ABC ， PA  面 ABC ，且 3PA  ， 6BC  ， 2AC AB ，该三棱锥体积最大值为 12 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．设 nS 是数列{ }na 的前 n 项和，且 1 1a   ， 1 1n n na S S  ，则 nS  __________． 14．已知 (sin ) 2 1f x x  ( [ , ])2 2x    ，那么 (cos10)f  ________ 15．如图，在 ABC 中， 3, 2, 60   AB AC BAC ，D,E 分别边 AB,AC 上的 点, 1AE  且 1 2    AD AE ，则| | AD ______________，若 P 是线段 DE 上的一个动点， 则   BP CP 的最小值为_________________. 16．六棱锥 P ABCDEF 中，底面 ABCDEF 是正六边形， PA  底面 ABCDEF ，给出下列四个命题： ①线段 PC 的长是点 P 到线段 CD 的距离； ②异面直线 PB 与 EF 所成角是 PBC ； ③线段 AD 的长是直线 CD 与平面 PAF 的距离； ④ PEA 是二面角 P DE A  平面角. 其中所有真命题的序号是_______________. 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）等差数列{ na }中， 3 4 5 74, 6a a a a    . （Ⅰ）求{ na }的通项公式； （Ⅱ） 设 [ ]n nb a ，求数列 nb 的前 10 项和，其中[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 18．（本小题满分 12 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 sin A＋cos A＝1－sin 2 A . (1)求 sin A 的值； (2)若 c2－a2＝2b，且 sin B＝3cos C，求 b.19（本小题满分 12 分）．为庆祝党的 98 岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从 参加竞赛的学生中，随机抽取 40 名学生，将其成绩分为六段 70,75 ， 75,80 ， 80,85 ， 85,90 ， 90,95 ，  95,100 ，到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中 a 的值及样本的中位数与众数； （2）若从竞赛成绩在 70,75 与 95,100 两个分数段的学生中随机选取两 名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于 5 分为事件 M ,求事 件 M 发生的概率. （3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在 95,100 内的为一等奖,得分在 90,95 内的为二等 奖, 得分在 85,90 内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设 为获得三等奖的人数,求 的 分布列与数学期望. 20．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2， AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点． (1)证明：BE⊥DC； (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF⊥AC，求二面角 F－AB－P 的余弦值． 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： （ ൐ ൐ ）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点 构成正三角形. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 ࢺ 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q. （i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）； （ii）当 湘ࢺ 湘ࢺ 最小时，求点 T 的坐标. 22．（本小题满分 12 分）设函数    ln (f x a x x a   为常数) . (1)当 1a  时，求曲线  y f x 在 1x  处的切线方程: (2)若函数     xeg x f x x   在 0,1 内存在唯一极值点 0 x x ，求实数 a 的取值范围，并判断 0 x x ，是  f x 在 0,1 内的极大值点还是极小值点.