贵州省高三年级防疫期间
“停课不停学”网上测试（二）
文科数学
（2020 年 2 月 22 日 15:00—17:00）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．2．设 z＝
3－i
1＋2i，则|z|＝( )
A.2 B. 3 C. 2 D.1
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
4．函数 的大致图象为（ ）
A. B． C． D．
5.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则等差数列 的公差 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．已知定义在区间[－3，3]上的函数 f(x)＝2x＋m 满足 f(2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数 x，
则使得 f(x)的值不小于 4 的概率为( )
A.
1
6 B.
1
3 C.
1
2 D.
2
3
{ }2 2 0A x x x= − − < { }2log 0B x x= < A B =
( )1,2− ( )0,1 ( ),2−∞ ( )1,1−
( )5,m=a ( )2, 2= −b ( )− ⊥a b b m =
1− 2−
( ) 2sin 2xf x x xx
= + −
{ }na n nS 1 12a = 5 90S = { }na d =
3
27．根据某校 10 位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图 1），其中
左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数
字 表 示 学 生 身 高 的 个 位 数 字 ， 设 计 一 个 程 序 框 图 （ 图 2 ）， 用
表示第 个同学的身高，计算这些同学身高的方差， 则程
序框图①中要补充的语句是（ ）
A． B．
C． D．
8．将函数 图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，再将所得图象上所有
点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的
切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
10．已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所
示，则剩余部分的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 6， ， 分别为抛物
线与圆 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
12．函数 恰有两个整数解，则实数 的取值范围为（ ）
A．
B． C． D．
( )1,2, ,10iA i = ⋅⋅⋅ i
iB B A= + 2
iB B A= +
( )2
iB B A A= + − 2 2
iB B A= +
πsin 2 3y x = +
π
6
πcos 6y x = +
2πsin 4 3y x = + cosy x= sin4y x=
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a b
a b
− = > > 1F 2F 1F 2 2 2x y a+ =
M 1 2 45F MF∠ = °
3 2 5
2
3
3 3+ 9 3
2
+
2 3
( )2 2 0y px p= > ( )5,t P Q
( )2 26 1x y− + = PQ
21 1− 52 5
− 2 5 2 5 1−
( ) 2 ln 0f x x x ax= − + ≤ a
ln 2 2 12 a− < ≤ − 2 1a− < ≤ − 3 1a− < ≤ − ln3 ln 23 23 2a− < ≤ −二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知 ，且 ，则 的值为 ．
14．已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______．
15. 已知函数 f(x)＝(x－1)(x＋b)为偶函数，则 f(3－x)＜0 的解集为________．
16 ． 数 列 且 ， 若 为 数 列 的 前 项 和 ， 则
______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（12 分）如图，△ABC 中 ， ，
E 在边 AC 上，AE=5，EC=2．
（1）求 BE 的长；
（2）求 的面积．
18．（12 分）贵州省有很多名优土特产，闻名于世的“贵州三宝”（贵州茅台、玉屏箫笛、大
方漆器），很多人慕名而来旅游，通过随机询问 60 名不同性别的游客在购买“贵州三宝”时
是否在来贵州省之前就知道“贵州三宝”，得到如下列联表：
男 女 总计
事先知道“贵州三宝” 8
事先不知道“贵州三宝” 4 36
总计 40
2
sin cos 1
41 3cos
α α
α
⋅ =
+
( ) 1tan 3
α β+ = tan β
x y
0
2 3
4 6
x y
x y
x y
− ≤
+ ≤
− ≥ −
2z x y= −
{ }na
2
1 ,
2
πsin ,4
n
n
n na
n n
+=
为奇数
为偶数
nS { }na n 2018S =
AB AC= 2 5sin 5C =
ABE△
n q
m
p t附： ，
（1）写出列联表中各字母代表的数字；
（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为购买“贵州三宝”
和是否“事先知道‘贵州三宝’有关系”？
19．（12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，∠CAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ADC＝30
°，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AC＝2.
(1)求证：AE∥平面 PBC；
(2)若四面体 PABC 的体积为
3
3 ，求△PCD 的面积.
20．（12 分）已知椭圆 经过点 ，且右焦点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，当 最大时，求直线 的方程．
( )( )( )( )
2
2 ( )n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
0.001
( )2 2
2 2: 1 0x yE a b
a b
+ = > > 13, 2P −
( )2 3,0F
E
: 2l y kx= + E A B AB l
( )2
0P R k≥ 0.010 0.005 0.001
0k 6.635 7.879 10.82821．（12 分）已知函数 在 处的切线与直线 平行．
（1）求实数 的值，并判断函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）．以原
点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲线 与 的交点，点
是曲线 与 的交点，且 ， 均异于极点 ，且 ，求实数 的值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
若 ， ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）是否存在 ， ，使得 的值为 ？并说明理由．
( ) ( )1lnf x x aax
= + ∈R 1x = 2 1 0x y− + =
a ( )f x
( )f x m= 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x+ >
xOy 1C 2 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
O x 2C 4sinρ θ=
1C 2C
3C ( )0 π,θ α α ρ= < < ∈R A 3C 1C B
3C 2C A B O 2 6AB = a
0a > 0b > ( ) 1a b ab+ =
3 3
1 1
a b
+
a b 1 1
2 3a b
+ 6
3贵州省高三年级防疫期间
“停课不停学”网上测试（二）
文科数学参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的
主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．A。解不等式 ，得 ，即 ，由 ，得 ，即 ，
所以 ，
2．C。 法一：∵ z＝
3－i
1＋2i＝
（3－i）（1－2i）
（1＋2i）（1－2i）＝
1－7i
5 ，∴ |z|＝ (1
5 ) 2
＋(－7
5 )2
＝
2.
法二：|z|＝| 3－i
1＋2i|＝
|3－i|
|1＋2i|＝
10
5 ＝ 2.
3.B。由题意， ， ， ，解得 ．
4．D。 ，排除 B，C，当 时， ，则 时，
， ，排除 A。
5.C。依题意有 ，解之得 。
6．B。 ∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得 m＝2.
由 f(x)≥4，得 2x＋2≥4，即 x≥1，而 x∈[－3，3]，
故根据几何概型的概率计算公式，得 f(x)的值不小于 4 的概率 P＝
3－1
3－（－3）＝
1
3.
2 2 0x x− − < 1 2x− < < ( )1,2A = − 2log 0x < 0 1x< < ( )0,1B =
( )1,2A B = −
( )3, 2m− = +a b ( )− ⊥ a b b ( ) ( )6 2 2 0m∴ − ⋅ = − + =a b b 1m =
( )1 sin1 1 2 sin1 1 0f = + − = − < 0x = sin 0x x= = 0x →
sin 1x
x
→ ( ) 1 0 1f x → + =
902
45125 =×+× d 3=d7．B。由
，
循环退出时 ，知 ．∴ ，
故程序框图①中要补充的语句是
8．A。先将函数 图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，
得 ，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍
（纵坐标不变），得
。
9．A。如图，设切点为 ，连接 ，过 作 ，
垂足为 ，由 ，且 为 的中位线，得 ，
，即有 ，在直角三角形 中，
得 ， 即 有 ， 双 曲 线 的 定 义 可 得
，可得 ，
所以 ，所以
。
10.B。由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 截去三棱锥
和三棱锥 后的剩余部分．其表面为六个腰长为 1 的等腰直角三角形和两个边长为
的等边三角形，所以其表面积为
11.D 。由抛物线 焦点在 轴上，准线方程 ，则点 到焦点的距
离为 ，则 ，所以抛物线方程 ，设 ，圆 ，
( ) ( ) ( )22 2
1 22 nx x x x x xs n
− + − + ⋅⋅⋅ + −=
( )2 2 2 2
1 2 1 22n nx x x x x x x nx
n
+ + ⋅⋅⋅ + − + + ⋅⋅⋅ + +=
2 2 2 2 2 2 2 2
21 2 1 22n nx x x nx nx x x x xn n
+ + ⋅⋅⋅ + − + + + ⋅⋅⋅ += = −
11i =
2
2
1
Ax i
= −
2 2 2
1 2 10B A A A= + + ⋅⋅⋅ +
2
iB B A= +
πsin 2 3y x = +
π
6
2πsin 2 sin 26
π
3
π
3y x x
= + + = +
2πsin sin cos3 2
π
6
π
6
πy x x x = + = + + = +
N ON 2F 2F A MN⊥
A ON a= ON 1 2F F A△ 2 2F A a=
2 2
1F N c a b= − = 1 2F A b= 2MF A
2 2 2MF a= 1 2 2MF b a= +
1 2 2 2 2 2 2MF MF b a a a− = + − = 2b a=
2 2 3c a b a= + = 3ce a
= =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1D ACD−
1 1 1B A B C−
2 ( )221 36 1 2 2 3 32 4
× × + × × = +
( )2: 2 0C y px p= > x 2
px = − ( )5,t
5 62
pd = + = 2p = 2 4y x= ( ),P x y ( )2 2: 6 1M x y− + =圆心为 ，半径为 1，
则 ，当 时， 取得最小值，最小
值为 ，
12． D。函数 恰有两个整数解，即 恰有两个整数解，令
， 得 ， 令 ， 易 知 为 减 函 数 ． 当
， ， ， 单调递增；当 ， ， ，
单调递减． ， ， ．
由题意可得： ，∴ ．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．
∵ ，∴ ，
又 ，解得 ．故答案为 ．
14.
画出 ， 满足的可行域，
由 ，解得 ，
当目标函数 经过点 时，
取得最小值为 ．
15. (2，4)
解析：由函数 f(x)＝x2＋(b－1)x－b 是偶函数，得 b－1＝0，b＝1，f(x)＝x2－1.f(3－x)＜0，
即(3－x)2－1＜0，解得 2＜x＜4.因此，不等式 f(3－x)＜0 的解集是(2，4).
16．
数列 且 ， 当 为奇数时， ；
( )6,0
( ) ( ) ( )2 2 226 6 4 4 20PM x y x x x= − + = − + = − + 4x = PQ
20 1 2 5 1− = −
( ) 2 ln 0f x x x ax= − + ≤ ln xa xx
≤ −
( ) ln xg x xx
= − ( ) 2
2
1 ln x xg x
x
− −′ = ( ) 21 lnh x x x= − − ( )h x
( )0,1x∈ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )g x
( )1 1g = − ( ) ln 22 22g = − ( ) ln33 33g = −
( ) ( )3 2g a g< ≤ ln3 ln 23 23 2a− < ≤ −
1−
2 2 2 2
sin cos sin cos tan 1
41 3cos sin 4cos tan 4
α α α α α
α α α α
⋅ ⋅= = =
+ + + tan 2α =
( ) tan tan 2 tan 1tan 1 tan tan 1 2tan 3
α β βα β α β β
+ ++ = = =− − tan 1β = − 1−
5−
x y
2 3
4 6
x y
x y
+ =
− = −
( )1,2A −
2z x y= − ( )1,2A −
z 5−
3028
2019
{ }na
2
1 ,
2
πsin ,4
n
n
n na
n n
+=
为奇数
为偶数
① n 2
1 1 1 1
2 22na n nn n
= = − ++ 当 为偶数时， ，所以 ，
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
② n πsin 4n
na = ( ) ( )2018 1 3 5 2017 2 4 6 2018S a a a a a a a a= + + + + + + + + +
( )1 1 1 1 1 1 1009 30281 1 0 1 0 12 3 3 5 2017 2019 2019 2019
= − + − + + − + + − + + = + = 18．（1）由列联表能求出 ， ， ， ， ．………………6 分
（2）由计算可得 ，所以在犯错误的概率不超过 的
前提下，认为购买“贵州三宝”和“事先知道‘贵州三宝’有关系”. …………12 分
19．(1)证明：如图，取 CD 的中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥PC，
又易知∠BCD＝∠AFD＝120°，∴AF∥BC，
又 EF∩AF＝F，PC∩BC＝C，∴平面 AEF∥平面 PBC.
又 AE⊂平面 AEF，∴AE∥平面 PBC. ………………6 分
(2)由已知得，V 四面体 PABC＝
1
3·
1
2AB·BC·PA＝
3
3 ，可得 PA＝2.
过 A 作 AQ⊥CD 于 Q，连接 PQ，在△ACD 中，AC＝2，∠CAD＝90
°，∠ADC＝30°，
∴CD＝4，AD＝2 3，AQ＝
2 × 2 3
4 ＝ 3，则 PQ＝ 22＋3＝ 7.∵PA⊥平面 ABCD，∴
PA⊥CD.
又 AQ∩PA＝A，∴CD⊥平面 PAQ，CD⊥PQ.∴S△PCD＝
1
2×4× 7＝2 7.………………12
分
20．（1）设椭圆 的左焦点 ，则 ，
又 ，所以椭圆 的方程为 ．………………6 分
（2）由 ，设 ， ，………8 分
由 ，且 ， ，
．
32m = 16n = 20p = 24q = 60t =
( )2
2 60 8 4 32 16 20 10.82840 20 24 36K
× − ×= = >× × × 0.001
E ( )1 3,0F − 1 22 4 2a PF PF a= + = ⇒ =
2 2 23 1c b a c= ⇒ = − = E
2
2 14
x y+ =
( )2 2
2 2
2 1 4 8 2 4 0
4 4
y kx k x kx
x y
= + ⇒ + + + =
+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
( )2 2 2 1128 16 1 4 0 4Δ k k k= − + > ⇒ > 1 2 2
8 2
1 4
kx x
k
+ = −
+ 1 2 2
4
1 4
x x
k
=
+
( )
2
22 2
1 2 1 2 2 2
8 2 41 4 1 4
1 4 1 4
kAB k x x x x k
k k
= + ⋅ + − = + ⋅ − − ⋅ + + 设 ，则 ， ，
当 ，即 时， 有最大值 ，此时 ．………………12 分
21．（1）函数 的定义域： ， ，解得 ，………………2 分
∴ ，∴ ，
令 ，解得 ，故 在 上是单调递减；
令 ，解得 ，故 在 上是单调递增．………………6 分
（2）由 ， 为函数 的两个零点，得 ， ，两式相减，
可 得 ， 即 ， ， 因 此 ，
，
令 ， 由 ， 得 ． 则 ， 构 造 函 数
，
则 ， ∴ 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 故 ， 即
，可知 ．
故命题 得证．………………12 分
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（1） ， ．………………5 分
（2） ，联立极坐标方程 ，得 ， ，
， ， ， ∴ 或
2
1
1 4
t
k
=
+
10, 2t ∈
2
2 1 25 5 62 6 1 2 6 12 24 6AB t t t = − + + = − − + ≤
1
12t = 11
2k = ± AB 5 6
6
11: 22l y x= ± +
( )f x ( )0,+∞ ( ) 1 11 1 2f a
= − =′ 2a =
( ) 1ln 2f x x x
= + ( ) 2 2
1 1 2 1
2 2
xf x x x x
−=′ = −
( ) 0f x′ < 10 2x< < ( )f x 10, 2
( ) 0f x′ > 1
2x > ( )f x 1 ,2
+∞
1x 2x ( )f x m= 1
1
1ln 2x mx
+ = 2
2
1ln 2x mx
+ =
1 2
1 2
1 1ln ln 02 2x x x x
− + − = 1 1 2
2 1 2
ln 2
x x x
x x x
−= 1 2
1 2
1
2
2ln
x xx x x
x
−=
1
2
1
1
2
1
2ln
x
xx x
x
−
=
2
1
2
1
2
1
2ln
x
xx x
x
−
=
1
2
xt x
= 1 2x x< 0 1t< < 1 2
1 111
2ln 2ln 2ln
tt t tx x t t t
− −−+ = + =
( ) ( )1 2ln 0 1h t t t tt
= − − < <
( ) ( )2
2 2
11 21 0th t tt t
−= + − = >′ ( )h t ( )0,1 ( ) ( )1h t h<
1 2ln 0t tt
− − <
1
12ln
t t
t
−
>
1 2 1x x+ >
( )2 2
1 : 2 4C x y− + = ( )22
2 : 2 4C x y+ − =
1 : 4cosC ρ θ= θ α= 4cosAρ α= 4sinBρ α=
4 2sin 2π 64A Bρ ρ α ∴ − = − =
3sin 4 2
πα ∴ − = 0 πα< 0b > ( ) 2a b ab∴ + ≥
a b=
1 2 ab
ab
∴ ≥ 1
2ab∴ ≤ 3 3 3 3
1 1 1 1 22 4 2
a b a b ab ab
∴ + ≥ ⋅ = ≥
3 3
1 1 4 2
a b
∴ + ≥ a b=
0a > 0b > 1 1 1 1 2 2 322 3 2 3 36a b a b ab
∴ + ≥ ⋅ = ≥
6 2 3
3 3
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