贵州省高三年级防疫期间
“停课不停学”网上测试（二）
理科数学
（2020 年 2 月 22 日 15:00—17:00）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．欧拉公式 ( 是自然对数的底数， 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉
发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变
函数论里占有非常重要的地位，当 时，就有 ．根据上述背景知识试判断
表示的复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
4．函数 的大致图象为（ ）
A. B．
C． D．
5.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则等差数列 的公差 （ ）
{ }2 2 0A x x x= − − < { }2log 0B x x= < A B =
( )1,2− ( )0,1 ( ),2−∞ ( )1,1−
ie cos isinθ θ θ= + e i
πθ = iπe 1 0+ = 3
2020π
i
e
−
( )5,m=a ( )2, 2= −b ( )− ⊥a b b m =
1− 2−
( ) 2sin 2xf x x xx
= + −
{ }na n nS 1 12a = 5 90S = { }na d =A．2 B． C．3 D．4
6．某地环保部门召集 6 家企业的负责人座谈，其中甲企业有 2 人到会，其余 5 家企业各有 1
人到会，会上有 3 人发言则发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．15 B．30 C．35 D．42
7．根据某校 10 位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图 1），其
中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边
的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图 2）， 用
表示第 个同学的身高，计算这些同学身高的方差，
则程序框图①中要补充的语句是（ ）
A． B．
C． D．
8．将函数 图象上所有的点向左平行移动 个单位长
度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函
数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的
切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
10．已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视
图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 6， ， 分别为抛物线与圆
3
2
( )1,2, ,10iA i = ⋅⋅⋅ i
iB B A= + 2
iB B A= +
( )2
iB B A A= + − 2 2
iB B A= +
πsin 2 3y x = +
π
6
πcos 6y x = +
2πsin 4 3y x = + cosy x= sin4y x=
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a b
a b
− = > > 1F 2F 1F 2 2 2x y a+ =
M 1 2 45F MF∠ = °
3 2 5
2
3
3 3+
9 3
2
+
2 3
( )2 2 0y px p= > ( )5,t P Q上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
12．函数 恰有两个整数解，则实数 的取值范围为（ ）
A．
B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知 ，且 ，则 的值为 ．
14．已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______．
15.若二项式 的展开式中的常数项为 ，则 ______．
16 ． 数 列 且 ， 若 为 数 列 的 前 项 和 ， 则
______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（12 分）如图，△ABC 中 ， ，
E 在边 AC 上，AE=5，EC=2．
（1）求 BE 的长；
（2）求 的面积．
( )2 26 1x y− + = PQ
21 1− 52 5
− 2 5 2 5 1−
( ) 2 ln 0f x x x ax= − + ≤ a
ln 2 2 12 a− < ≤ − 2 1a− < ≤ − 3 1a− < ≤ − ln3 ln 23 23 2a− < ≤ −
2
sin cos 1
41 3cos
α α
α
⋅ =
+
( ) 1tan 3
α β+ = tan β
x y
0
2 3
4 6
x y
x y
x y
− ≤
+ ≤
− ≥ −
2z x y= −
6
23 1
3 x x
+
m 2
1
3 d
m
x x =∫
{ }na
2
1 ,
2
πsin ,4
n
n
n na
n n
+=
为奇数
为偶数
nS { }na n 2018S =
AB AC= 2 5sin 5C =
ABE△18．（12 分）贵州省有很多名优土特产，闻名于世的“贵州三宝”（贵州茅台、玉屏箫笛、大
方漆器），很多人慕名而来旅游，通过随机询问 60 名不同性别的游客在购买“贵州三宝”时
是否在来贵州省之前就知道“贵州三宝”，得到如下列联表：
男 女 总计
事先知道“贵州三宝” 8
事先不知道“贵州三宝” 4 36
总计 40
附： ，
（1）写出列联表中各字母代表的数字；
（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为购买“贵州三宝”
和是否“事先知道‘贵州三宝’有关系”？
（3）从被询问的 名事先知道“贵州三宝”的顾客中随机选取 2 名顾客，求抽到的女顾客人
数的分布列及其数学期望．
n q
m
p t
( )( )( )( )
2
2 ( )n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
0.001
q
( )2
0P R k≥ 0.010 0.005 0.001
0k 6.635 7.879 10.82819．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 为
的中点， 交 于点 ， 为 的重心．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，点 在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值．
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD E
AD AC BE F G PCD△
FG∥ PAD
PA AD= H PD 2PH HD= H FG C− −20．（12 分）已知椭圆 经过点 ，且右焦点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，当 最大时，求直线 的方程．
( )2 2
2 2: 1 0x yE a b
a b
+ = > > 13, 2P −
( )2 3,0F
E
: 2l y kx= + E A B AB l21．（12 分）已知函数 在 处的切线与直线 平行．
（1）求实数 的值，并判断函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
( ) ( )1lnf x x aax
= + ∈R 1x = 2 1 0x y− + =
a ( )f x
( )f x m= 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x+ >请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）．以原
点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲线 与 的交点，点
是曲线 与 的交点，且 ， 均异于极点 ，且 ，求实数 的值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
若 ， ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）是否存在 ， ，使得 的值为 ？并说明理由．
xOy 1C 2 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
O x 2C 4sinρ θ=
1C 2C
3C ( )0 π,θ α α ρ= < < ∈R A 3C 1C B
3C 2C A B O 2 6AB = a
0a > 0b > ( ) 1a b ab+ =
3 3
1 1
a b
+
a b 1 1
2 3a b
+ 6
3贵州省高三年级防疫期间
“停课不停学”网上测试（二）
理科数学答题卡
班级 姓名 得分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 _____ _． 2______ __. 3____ __． 4____ __．
三、解答题共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17．
18、19.
20. 21．
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.23．
贵州省高三年级防疫期间
“停课不停学”网上测试（二）
理科数学
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的
主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：
1 ． 解 不 等 式 ， 得 ， 即 ， 由 ， 得 ， 即
，所以 ，故选 A．
2．由题意，
则 表示的复数在复平面对应的点为 ，位于第二象限，故答案为 B．
3．由题意， ， ， ，解得 ．故选
B．
4 ． ， 排 除 B ， C ， 当 时 ， ， 则 时 ，
， ，排除 A，故选 D．
5.依题意有 ，解之得 ，选 C
6．依题意有 ，选 B
7．由
，
循环退出时 ，知 ．∴ ，
故程序框图①中要补充的语句是 ．故选 B．
8．先将函数 图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，
得 ，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍
2 2 0x x− − < 1 2x− < < ( )1,2A = − 2log 0x < 0 1x< <
( )0,1B = ( )1,2A B = −
iiiie i
2
3
2
1
3sin3cos3
2020sin3
2020cos)3
2020sin()3
2020cos(3
2020
+−=+−=−=−+−=− πππππππ
3
2020π
i
e
−
−
2
3,2
1
( )3, 2m− = +a b ( )− ⊥ a b b ( ) ( )6 2 2 0m∴ − ⋅ = − + =a b b 1m =
( )1 sin1 1 2 sin1 1 0f = + − = − < 0x = sin 0x x= = 0x →
sin 1x
x
→ ( ) 1 0 1f x → + =
902
45125 =×+× d 3=d
303
5
2
5
1
2 =+ CCC
( ) ( ) ( )22 2
1 22 nx x x x x xs n
− + − + ⋅⋅⋅ + −=
( )2 2 2 2
1 2 1 22n nx x x x x x x nx
n
+ + ⋅⋅⋅ + − + + ⋅⋅⋅ + +=
2 2 2 2 2 2 2 2
21 2 1 22n nx x x nx nx x x x xn n
+ + ⋅⋅⋅ + − + + + ⋅⋅⋅ += = −
11i =
2
2
1
Ax i
= −
2 2 2
1 2 10B A A A= + + ⋅⋅⋅ +
2
iB B A= +
πsin 2 3y x = +
π
6
2πsin 2 sin 26
π
3
π
3y x x
= + + = + （纵坐标不变），得 ，故选 A．
9．如图，设切点为 ，连接 ，过 作 ，
垂足为 ，由 ，且 为 的中位线，得 ， ，即
有 ，在直角三角形 中，
得 ，即有 ，双曲线的定义可得 ，
可得 ，
所以 ，所以 ，故选 A．
10．由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 截去三棱锥 和
三棱锥 后的剩余部分．其表面为六个腰长为 1 的等腰直角三角形和两个边长为
的等边三角形，所以其表面积为 ，选 B.
11．由抛物线 焦点在 轴上，准线方程 ，则点 到焦点的距离为
，则 ，所以抛物线方程 ，设 ，圆 ，圆心
为 ，半径为 1，
则 ，当 时， 取得最小值，最小
值为 ，
12 ． 函 数 恰 有 两 个 整 数 解 ， 即 恰 有 两 个 整 数 解 ， 令
， 得 ， 令 ， 易 知 为 减 函 数 ． 当
， ， ， 单调递增；当 ， ， ，
单调递减． ， ， ．
由题意可得： ，∴ ．故选 D．
二、填空题：
2πsin sin cos3 2
π
6
π
6
πy x x x = + = + + = +
N ON 2F 2F A MN⊥
A ON a= ON 1 2F F A△ 2 2F A a= 2 2
1F N c a b= − =
1 2F A b= 2MF A
2 2 2MF a= 1 2 2MF b a= + 1 2 2 2 2 2 2MF MF b a a a− = + − =
2b a=
2 2 3c a b a= + = 3ce a
= =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1D ACD−
1 1 1B A B C− 2
( )221 36 1 2 2 3 32 4
× × + × × = +
( )2: 2 0C y px p= > x 2
px = − ( )5,t
5 62
pd = + = 2p = 2 4y x= ( ),P x y ( )2 2: 6 1M x y− + =
( )6,0
( ) ( ) ( )2 2 226 6 4 4 20PM x y x x x= − + = − + = − + 4x = PQ
20 1 2 5 1− = −
( ) 2 ln 0f x x x ax= − + ≤ ln xa xx
≤ −
( ) ln xg x xx
= − ( ) 2
2
1 ln x xg x
x
− −′ = ( ) 21 lnh x x x= − − ( )h x
( )0,1x∈ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )g x
( )1 1g = − ( ) ln 22 22g = − ( ) ln33 33g = −
( ) ( )3 2g a g< ≤ ln3 ln 23 23 2a− < ≤ −13．∵ ，∴ ，
又 ，解得 ．故答案为 ．
14.
画出 ， 满足的可行域，
由 ，解得 ，
当目标函数 经过点 时，
取得最小值为 ．
15.124.
由题意，二项展开式的通项为 ，
由 ，得 ，所以 ，则 ．
16．
数列 且 ， 当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，所以 ，
．故答案为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2 2 2 2
sin cos sin cos tan 1
41 3cos sin 4cos tan 4
α α α α α
α α α α
⋅ ⋅= = =
+ + + tan 2α =
( ) tan tan 2 tan 1tan 1 tan tan 1 2tan 3
α β βα β α β β
+ ++ = = =− − tan 1β = − 1−
5−
x y
2 3
4 6
x y
x y
+ =
− = −
( )1,2A −
2z x y= − ( )1,2A −
z 5−
6 6
2 12 3
1 6 6
3 1 3C C3 3
r rr
r r r
rT x xx
− −
−
+
= ⋅ ⋅ = ⋅
12 3 0r− = 4r =
2
4
6
3 C 53m
= ⋅ =
5
2 2 3 5 3 3
1
1 1
3 d 3 d | 5 1 124
m
x x x x x= = = − =∫ ∫
3028
2019
{ }na
2
1 ,
2
πsin ,4
n
n
n na
n n
+=
为奇数
为偶数
① n 2
1 1 1 1
2 22na n nn n
= = − ++
② n πsin 4n
na = ( ) ( )2018 1 3 5 2017 2 4 6 2018S a a a a a a a a= + + + + + + + + +
( )1 1 1 1 1 1 1009 30281 1 0 1 0 12 3 3 5 2017 2019 2019 2019
= − + − + + − + + − + + = + =
3028
201918．（1）由列联表能求出 ， ， ， ， ．
（2）由计算可得 ，
所以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为购买“贵州三宝”和“事先知道‘贵州三宝’
有关系”.
32m = 16n = 20p = 24q = 60t =
( )2
2 60 8 4 32 16 20 10.82840 20 24 36K
× − ×= = >× × ×
0.001（ 3 ） 的 可 能 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ． ； ；
，
的分布列为：
0 1 2
的数学期望： ．
19．（1）证明：∵ ，∴ ，
∵ 为 中点，∴ ，连接 并延长，交 于 ，连接 ，∵ 为 的
重心，∴ 为 的中点，且 ，∴ ，∵ 平面 ， 平面
，∴ 平面 ．
（2）分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ， ，
∵ ，∴ ，∵ 为 的重心，∴ ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，∴ ，取 ，则 ， ，∴ ．
设平面 的法向量 ， ，
则 ，∴ ，则 ，
取 ，则 ，∴ ．
∴ ，
由图可知，该二面角为钝角，
ξ ( ) 2
8
2
24
C 70 69C
P ξ = = = ( ) 1 1
8 16
2
24
C C 321 69C
P ξ = = =
( ) 2
16
2
24
C 30 102 69 23C
P ξ = = = =
ξ∴
ξ
P
7
69
32
69
10
23
ξ∴ 7 32 10 920 1 269 69 23 69Eξ = × + × + × =
AE BC∥ AEF CBF△ ∽△
E AD 2CF AF= CG PD M AM G PCD△
M PD 2CG GM= FG AM∥ AM ⊂ PAD FG ⊄
PAD FG∥ PAD
AB AD AP x y z
3PA AD= = ( )3,3,0C ( )0,3,0D ( )0,0,3P ( )1,1,0F
2PH HD= ( )0,2,1H G PCD△ ( )1,2,1G
FGC ( )1 1 1 1, ,x y z=n ( )2,2,0FC = ( )0,1,1FG =
1
1
0
0
FC
FG
⋅ = ⋅ =
n
n
2 2 0
0
x y
y z
+ =
+ = 1x = 1y = − 1z = ( )1 1, 1,1= −n
FGH ( )2 2 2 2, ,x y z=n ( )1,1,1FH = −
2
2
0
0
FH
FG
⋅ = ⋅ =
n
n
0
0
x y z
y z
− + + =
+ = 0x =
1y = 1z = − ( )2 0,1, 1= −n
1 2
1 2
1 2
6,cos 3
⋅= = −n nn n n n∴二面角 的余弦值为 ．
20．（1）设椭圆 的左焦点 ，则 ，
又 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）由 ，设 ， ，
由 ，且 ， ，
．
设 ，则 ， ，
当 ，即 时， 有最大值 ，此时 ．
21．（1）函数 的定义域： ， ，解得 ，∴ ，
∴ ，
令 ，解得 ，故 在 上是单调递减；
令 ，解得 ，故 在 上是单调递增．
（2）由 ， 为函数 的两个零点，得 ， ，两式相减，
可 得 ， 即 ， ， 因 此 ，
，
令 ， 由 ， 得 ． 则 ， 构 造 函 数
，
H FG C− − 6
3
−
E ( )1 3,0F − 1 22 4 2a PF PF a= + = ⇒ =
2 2 23 1c b a c= ⇒ = − = E
2
2 14
x y+ =
( )2 2
2 2
2 1 4 8 2 4 0
4 4
y kx k x kx
x y
= + ⇒ + + + =
+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
( )2 2 2 1128 16 1 4 0 4Δ k k k= − + > ⇒ > 1 2 2
8 2
1 4
kx x
k
+ = −
+ 1 2 2
4
1 4
x x
k
=
+
( )
2
22 2
1 2 1 2 2 2
8 2 41 4 1 4
1 4 1 4
kAB k x x x x k
k k
= + ⋅ + − = + ⋅ − − ⋅ + +
2
1
1 4
t
k
=
+
10, 2t ∈
2
2 1 25 5 62 6 1 2 6 12 24 6AB t t t = − + + = − − + ≤
1
12t = 11
2k = ± AB 5 6
6
11: 22l y x= ± +
( )f x ( )0,+∞ ( ) 1 11 1 2f a
= − =′ 2a = ( ) 1ln 2f x x x
= +
( ) 2 2
1 1 2 1
2 2
xf x x x x
−=′ = −
( ) 0f x′ < 10 2x< < ( )f x 10, 2
( ) 0f x′ > 1
2x > ( )f x 1 ,2
+∞
1x 2x ( )f x m= 1
1
1ln 2x mx
+ = 2
2
1ln 2x mx
+ =
1 2
1 2
1 1ln ln 02 2x x x x
− + − = 1 1 2
2 1 2
ln 2
x x x
x x x
−= 1 2
1 2
1
2
2ln
x xx x x
x
−=
1
2
1
1
2
1
2ln
x
xx x
x
−
=
2
1
2
1
2
1
2ln
x
xx x
x
−
=
1
2
xt x
= 1 2x x< 0 1t< < 1 2
1 111
2ln 2ln 2ln
tt t tx x t t t
− −−+ = + =
( ) ( )1 2ln 0 1h t t t tt
= − − < ′ ( )h t ( )0,1 ( ) ( )1h t h<
1 2ln 0t tt
− − <
1
12ln
t t
t
−
>
1 2 1x x+ >
( )2 2
1 : 2 4C x y− + = ( )22
2 : 2 4C x y+ − =
1 : 4cosC ρ θ= θ α= 4cosAρ α= 4sinBρ α=
4 2sin 2π 64A Bρ ρ α ∴ − = − =
3sin 4 2
πα ∴ − = 0 πα< 0b > ( ) 2a b ab∴ + ≥
a b=
1 2 ab
ab
∴ ≥ 1
2ab∴ ≤ 3 3 3 3
1 1 1 1 22 4 2
a b a b ab ab
∴ + ≥ ⋅ = ≥
3 3
1 1 4 2
a b
∴ + ≥ a b=
0a > 0b > 1 1 1 1 2 2 322 3 2 3 36a b a b ab
∴ + ≥ ⋅ = ≥
6 2 3
3 3
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