山西大同四中联盟2020届高三数学（文）3月模拟试卷（Word版附答案）

大同四中联盟校 2019—2020 学年第二学期 高三年级高考模拟试题 文科数学 本试卷共 6 页 满分：150 分 考试用时：120 分钟 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知圆 ，直线 ，若圆 上总存在到直线 的距离为 的点， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女 子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 尺， 天共 织布 尺， 则该女子织布每天增加（ ） A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺 5．已知直线 与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范 围 为（ ） 1{ | 2 4}4 xA x= ≤ ≤ { | 2 2 }B x y x x= = − + − A B = }2{ }0{ [ 2,2]− [0,2] z (1 ) 1 2z i i+ = + z 2 2: 1O x y+ = : 0l x y m+ + = O l 1 m ( , 2 2] [2 2, )−∞ − +∞ [ 2 2,2 2]− ( , 1] [1, )−∞ − +∞ [ 1,1]− 5 30 390 7 4 29 16 15 8 31 16 xy = )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a xA． B． C． D． 6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的 圆的 半径为 ，则制作该手工表面积为（ ） A． B． C． D． 7．在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． 或 D． 或 8．从某中学抽取 名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在 篇至 篇之间， 频率 分布直方图如图所示，则对这 名学生的阅读量判断正确的为（ ） A． 的值为 B．平均数约为 C．中位数大约为 D．众数约为 9．已知椭圆 左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆上一点，且 ，若 的最小值为 ，则椭圆的离心率为（ ） [ 2, )+∞ (1 2]， ( 2]−∞， ]3,2[ 3 π5 π01 π512 + 24 12π+ ABC∆ 2=∆ABCS 5AB = 1AC = BC = 52 32 32 34 52 24 100 50 350 100 a 0.004 200 183.3 350 )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 1F 2F P 1 2| | | |PF PFλ= λ 2 1A． B． C． D． 10．已知 ，则 取得最小值时 的值为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直．执行如图所示 的程序框图，若输出的 的值为 ，则判断框中 的值可以为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 为 上的奇函数，且满足 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 2 1 2 2 3 1 3 5 ），（ 20 πα ∈ 21 tantan 2tan αα α −+ α 12 π 6 π 4 π 2 π 2( )f x x ax= + 2 1=x 2 0x y+ = k 15 t 13 14 15 14 16 15 17 16 )(xf R ( 2) ( ) 0f x f x− − − = (2019)f e= − (1)f = e− 1 e − e 1 e13．设 ， 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值与最小值分别 为 ， ，则 ． 14． ， ， ， 的夹角为 ，则 与 的夹角为 ． 15．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为 ． 16 ． 已 知 点 到 直 线 的 最 大 距 离 为 ， 则 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）在正项等比数列 中，已知 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 ． 18．（12 分）新高考 最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、 化学、生物、政治、历史、地理这 科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了 解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的 名学生中随机抽取男生，女生各 人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的 人数多 人． （1）请完成下面的 列联表； （2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由； （3）现从这 名学生中已经选取了男生 名，女生 名进行座谈，从中抽取 名代表作问卷 调查，求至少抽到一名女生的概率． x y 1 0 2 3 6 0 3 2 6 0 x y x y x y − + ≤  + − ≤  − + ≥ yxz 2−= M m M m+ = | | 2a = | | 1b = a b 60° b 2a b−  P ABC− PA ⊥ ABC 2PA AB= = 30ACB∠ = ° P ABC− 5 cos ,2 5 s n( )iP θ θ 0: x yl k+ + = 25 k = { }na 1031 =+ aa 4053 =+ aa { }na nn ab 2log= 2( }1){ n nb− 100 100S 3 3+ 6 650 25 10 2 2× 50 3 2 2附： ，其中 ． 19．（12 分）如图，已知四棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形， ， 是 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求点 到平面 的距离． 20．（12 分）已知抛物线 ，其焦点为 ，直线 过点 与 交于 、 两点，当 的斜率为 时， ． （1）求 的值； （2）在 轴上是否存在一点 满足 （点 为坐标原点）？若存在，求 点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（12 分）已知函数 ， ． （1）设函数 ，若 是函数 的唯一极值点，求实数 的取值范 围； （2）若函数 有两个零点 ， ，证明： ． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK ++++ −= dcban +++= P ABCD− CD ⊥ PAD PAD∆ AB CD∥ M PD AM ⊥ PCD 1 22AB AD CD= = = M PBC 2: 2 ( 0)C x py p= > F l F C M N l 1 | | 8MN = p y P OPM OPN∠ = ∠ O P ( ) xef x mx = − )(ln)( xxmxg −= )()()( xgxfxF += 1=x )(xF m )()( xxfxh = 1x 2x 1 2( ) ( ) 0h x h x′ ′+ >22．（10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标 原 点 为 极 点 ， 以 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ． （1）求曲线 的普通方程； （2）已知 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的最大值． 【选修 4-5：不等式选讲】 23．（10 分）已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）设函数 ，若存在 使 成立，求实数 的取值范 围． xOy l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + t x C 2cos 4sin 0ρ θ θ+ − = C (1,2)M l C P Q 2 2| | | |MP MQ+ ( ) | 1| | 2 |f x x x= − + + 03)( ≤−− xxf ( ) ( ) 2 | 2 |g x f x x= − + x 2( ) 2g x λ λ≥ − λ大同四中联盟校 2019—2020 学年第二学期 高三年级高考模拟试题 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1． 【答案】A 【解析】由 ，得 ，即 ， 由 ，得 ，所以 ，所以 ． 2． 【答案】A 【解析】由 ，得 ，所以 在复平面内对应的点位于第一象 限． 3． 【答案】B 【解析】若圆 上只有一点到直线 的距离为 时，圆心 到直线的距离为 ，故要使圆 上 总 存 在 到 直 线 的 距 离 为 的 点 ， 则 圆 心 到 直 线 的 距 离 ， 即 ， 即 ． 4． 【答案】B 【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项 ，前 项的和 ，求公差 ， 由等差数列的前 项公式可得， ，解得 ． 5． 【答案】B 【解析】双曲线的一条渐近线为 ，因为直线 与双曲线无公共点，故有 ， 即 ， ，所以 ，所以 ． 6． 【答案】D 【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 1 2 44 x≤ ≤ 2 2x− ≤ ≤ [ 2,2]A = − xxy −+−= 22 2=x {2}B = {2}A B = (1 ) 1 2z i i+ = + 1 2 3 1 1 2 2 iz ii += = ++ z O l 1 O 2 O l 1 O 2d ≤ | | 2 2 m ≤ 2 2 2 2m− ≤ ≤ 51 =a 30 39030 =S d n 30 29390 30 5 2 d ×= × + 16 29d = xa by = xy = 1≤ a b 2 2 1b a ≤ 2 2 2 2 2 2 1 1b c a ea a −= = − ≤ 22 ≤e 21 ≤< e且圆锥的底面半径为 ，高为 ，故母线长为 ， 故每部分的表面积为 ， 故两部分表面积为 ． 7． 【答案】D 【解析】 ， 所以 ，所以 或 ， 当 时，由余弦定理可得， ， 同理， 时， ． 8．【答案】C 【解析】由 ，解得 ， 故 A 错； 由 A 可知， ，所以平均数为 ，故 B 错误； 居民月用电量在 的频率为 ， 居民月用电量在 的频率为： ， ∴这 户居民月用电量的中位数大约为 ，故 C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为 ，故 D 错误． 9． 【答案】C 【解析】由 ，得 ，当 最小且 最大时， 取得最小值 ， 所以 ，所以 ，所以离心率 ． 10． 【答案】C 【解析】 ，当且仅当 ，即 3 4 5 1 1 1 12 4 3 6 5 9 12 62 4 2 4 π π π× × × + × × × + × = + 24 12π+ 1 1sin 5 1 sin 22 2ABCS AB AC A A∆ = ⋅ ⋅ = × × × = 5 4sin =A 5 3cos =A 5 3− 5 3cos =A 2 2 2 cos 2 5AB AC AB BC AC A+ − × × == × 5 3cos −=A 4 2BC = (0.0024 0.0036 0.0060 0.0024 0.0012) 50 1a+ + + + + × = 0.0044a = 0.0044a = 0.0024 50 75 0.0036 50 125 0.0060 50× × + × × + × 175 0.0044 50 225 0.0024 50 275 0.0012 50 325 186× + × × + × × + × × = [50,150) (0.0024 0.0036) 50 0.3+ × = [150,200) 0.0060 50 0.3× = 100 0.5 0.3150 50 183.30.3 −+ × ≈ 175 1 2| | | |PF PFλ= 1 2 | | | | PF PF λ= 1| |PF 2| |PF λ 2 1 1 2 a c a c − =+ ca 3= 3 1== a ce 21 tan 1 1tan (tan ) 12tan 2 tan αα αα α −+ = + ≥ αα tan 1tan = 1tan =α时等号成立，所以 = ． 11． 【答案】B 【解析】 ，则 的图象在 处的切线斜率 ， 由于切线与直线 垂直，则有 ，则 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，由于输出的 的值为 ，故总共循环了 次， 此时 ，故 的值可以为 ． 12． 【答案】C 【解析】由 为 上的奇函数，且 ，得 ， 故函数 的周期为 ，所以 ，所以 ． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】 【解析】 ， 满足约束条件 的可行域如下图， 由 ，得 ；由 ，得 ， 将目标函数化为 ，由图可知，当直线 经过点 时目标函数取得最小 值， α 4 π axxf +=′ 2)( ( )y f x= 2 1=x afk +=′= 1)2 1( 2 0x y+ = 1)1)(2 1( −=+− a 1a = 2( ) ( 1)f x x x x x= + = + 1 11 )( 1 +−= kkkf 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1S k k = − + − + + − + k 15 15 1 1 1 1 1 15(1 ) ( ) ( )2 2 3 15 16 16S = − + − + + − = t 15 14 )(xf R ( 2) ( ) 0f x f x− − − = ( 2) ( )f x f x− = − )(xf 4 (2019) (3) ( 3) (1)f f f f e= = − − = − = − (1)f e= 40 13 − x y 1 0 2 3 6 0 3 2 6 0 x y x y x y − + ≤  + − ≤  − + ≥ 2 3 6 0 3 2 6 0 x y x y + − =  − + = )13 30,13 6(−A 1 0 3 2 6 0 x y x y − + =  − + = )3,4( −−B 22 1 zxy −= 22 1 zxy −= A所以 ； 当直线 经过点 时目标函数取得最大值，所以 ， 所以有 ． 14． 【答案】 【解析】 ，所以 ，设 与 的夹角为 ， 则 ，又因为 ，所以 ． 15．【答案】 【解析】设 外接圆的半径为 ，则 ，∴ ， 设三棱锥 外接球的半径为 ，则 ， 故外接球的表面积 ． 16．【答案】 或 【解析】点 到直线 的距离 ， 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ． 综上， 或 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）在正项等比数列 中，已知 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）设公比为 ，则由题意可知： ， 13 66 min −=z 22 1 zxy −= B 2max =z 66 2 4 3 0 131 −− + = 120° 2 2 2| | | | 4 4 | | 42a b a a b b= −− ⋅ + =     | 2 | 2a b =−  b 2a b−  θ ( 2 ) 1cos 2| || 2 | b a b b a b θ ⋅ −= = − −       [0 ,180 ]θ ∈ ° ° 120θ = ° π20 ABC∆ r 4sin2 AB A Br C∠= = 2r = P ABC− R 2 2 2( ) 52 PAR r= + = 24 20S Rπ π= = 5− 5 P l | 5 cos 2 5 sin | 2 kd θ θ+ += 0k ≥ 5 5 2 2 kd +≤ = 5k = 0k < | 5 | 5 5 2 2 2 k kd − + −≤ = = 5k = − 5k = − 5 { }na 1031 =+ aa 4053 =+ aa { }na nn ab 2log= 2( }1){ n nb− 100 100S q 2 1 2 2 1 (1 ) 10 (1 ) 40 a q a q q  + = + =又 ，所以 ，所以 = ． （2） ，∴ ． 18．（12 分）新高考 最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、 化学、生物、政治、历史、地理这 科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了 解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的 名学生中随机抽取男生，女生各 人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的 人数多 人． （1）请完成下面的 列联表； （2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由； （3）现从这 名学生中已经选取了男生 名，女生 名进行座谈，从中抽取 名代表作问卷 调查，求至少抽到一名女生的概率． 附： ，其中 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题意可得列联表： 0q >    = = 2 21 q a 1 1 −= n n qaa n2 nb n= 2 2 2 2 2 2 100 1 2 3 4 99 100S b b b b b b= − + − + − − + 2 2 2 2 2 21 2 3 4 99 100 3 7 11 195 199= − + − + − − + = + + + + +  50(3 199) 50502 += = 3 3+ 6 650 25 10 2 2× 50 3 2 2 ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK ++++ −= dcban +++=（2） ， ∴ 的把握认为选择全理与性别有关． （3）设 名男生分别为 ， ， ，两名女生分别为 ， ． 从 名 学 生 中 抽 取 名 所 有 的 可 能 为 ， ， ， 共 种， 不包含女生的基本事件有 ，共 种，故所求概率 ． 19．（12 分）如图，已知四棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形， ， 是 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求点 到平面 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， ∵ ， 是 的中点，∴ ， 又 ，∴ 平面 ． （2）∵ ， 平面 ，∴ 平面 ， ∴ ，∴ ． 同理在 中， ，在梯形 中，易得 ． 2 2 50 (20 15 10 5) 8.333 7.87930 20 25 25K × × − ×= ≈ >× × × 99.5% 3 1 2 3 4 5 5 2 (1,2),(1,3) (1,4),(1,5) (2,3),(2,4) (2,5),(3,4),(3,5),(4,5) 10 (1,2),(1,3),(2,3) 3 3 71 10 10P = − = P ABCD− CD ⊥ PAD PAD∆ AB CD∥ M PD AM ⊥ PCD 1 22AB AD CD= = = M PBC CD ⊥ PAD AM ⊂ PAD AM CD⊥ AP AD= M PD AM PD⊥ PD CD D∩ = AM ⊥ PCD AB CD∥ CD ⊥ PAD AB ⊥ PAD AB PA⊥ 2 2 2 2PB PA AB= + = Rt PCD∆ 52=PC ABCD 2 2BC =所以等腰 底边 上的高为 ，所以 ， 又 ，∵ ， 平面 ，∴ 平面 ， ∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离， ∵ ，∴ ． 设点 到平面 的距离为 ，则由 ，得 ， 所以 ． ∵点 为 的中点，∴点 到平面 的距离为 ． 20．（12 分）已知抛物线 ，其焦点为 ，直线 过点 与 交于 、 两点，当 的斜率为 时， ． （1）求 的值； （2）在 轴上是否存在一点 满足 （点 为坐标原点）？若存在，求 点的 坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1） ，当直线 的斜率为 时，其方程为 ， 设 ， ，由 ，得 ， 把 代入抛物线方程得 ， 所以 ，所以 ，所以 ． （2）由（1）可知，抛物线 ， ，由题意可知，直线 的斜率存在， 设其方程为 ，将其代入抛物线方程为 ， 则 ， ， PBC∆ PC 3 153522 1 =××=∆PBCS 1 4 2 42PCDS∆ = × × = AB CD∥ CD ⊂ PCD AB∥ PCD B PCD A PCD 3AM = 1 1 4 34 33 3 3B PCD PCDV S AM− ∆= ⋅ = × × = D PBC d D PBC B PCDV V− −= 15 4 3 3 3d = 4 5 5d = M PD M PBC 2 5 2 5 d = 2: 2 ( 0)C x py p= > F l F C M N l 1 | | 8MN = p y P OPM OPN∠ = ∠ O P (0, )2 pF l 1 2 pxy += ),( 11 yxM ),( 22 yxN 2 pxy += 2 pyx −= 2 pyx −= 2 2 3 04 py py− + = pyy 321 =+ 1 2| | 4 8MN y y p p= + + = = 2p = 2: 4C x y= (0,1)F l 1+= kxy 0442 =−− kxx kxx 421 =+ 421 −=xx假设在 轴上存在一点 满足 ， 则 ，即 ，即 ， 所以 ，即 ， 由 于 ， 所 以 ， 即 ， 即 在 轴 上 存 在 点 满 足 ． 21．（12 分）已知函数 ， ． （1）设函数 ，若 是函数 的唯一极值点，求实数 的取值范 围； （2）若函数 有两个零点 ， ，证明： ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】由 ，可得 ， ∵函数 有唯一极值点 ，∴ ，即 恒成立， 设 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，所以 ，即实数 的取值范围是 ． （2） ，∵ ， 是函数 的两个零点， ∴ ， ，∴ ， ∴ ． 要证 ，即证 ． y ),0( tP OPM OPN∠ = ∠ 0=+ PNPM kk 1 2 1 2 0y t y t x x − −+ = 1 2 2 11 ) 1 ) 0kx t x kx t x+ − + + − =（ （ 0))(1(2 2121 =+−+ xxtxkx 0)1( =+tk Rk ∈ 1−=t )1,0( −P y )1,0( −P POM PON∠ = ∠ ( ) xef x mx = − )(ln)( xxmxg −= )()()( xgxfxF += 1=x )(xF m )()( xxfxh = 1x 2x 1 2( ) ( ) 0h x h x′ ′+ > ( ) (ln ) xeF x m m x xx = − + − 1( ) ( )( 0) xx eF x m xx x −′ = − > )(xF 1=x 0≥− mx e x mx e x ≥ )0()( >= xx exc x 2 )1()( x xexc x −=′ 10 x ( ) 0c x′ > )(xc ecxc == )1()( min em ≤ m ],( e−∞ ( ) ( ) ( 0)xh x xf x e mx x= = − ≠ 1x 2x )(xh 1 1 mxe x = 2 2 mxe x = 1 2 1 2 x xe em x x −= − 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2x x x xh x h x e m e m e e m′ ′+ = − + − = + − = 1 2 1 2 1 2 2 x x x x e ee e x x −+ − × − 1 2( ) ( ) 0h x h x′ ′+ > 1 2 1 2 1 2 2 0 x x x x e ee e x x −+ − × >−设 ，则 等价于 ， 即证 ， 令 ，且 ，即证 ，则 ， 则 ,令 ，则 ， 故 在 上单调递增，故 ， 所以函数 在 上单调递增，所以 ． 即 对任意 恒成立，所以 ． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22．（10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标 原 点 为 极 点 ， 以 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ． （1）求曲线 的普通方程； （2）已知 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ∴ ，即 ． （ 2 ） 将 直 线 的 参 数 方 程 （ 为 参 数 ） 代 入 的 普 通 方 程 ，得 ，则 ， ， 所以 ， 所以 ，即 的最大值为 ． 1 2x x> 1 2 1 2 1 2 2 0 x x x x e ee e x x −+ − × >− 1 2 1 2 1 2( )( ) 2( ) 0x x x xx x e e e e− + − − > 1 2 1 2 1 2( )( 1) 2 1) 0x x x xx x e e− −− + − − >（ 1 2t x x= − 0t > ( 1) 2( 1) 0t tt e e+ − − > )0)(1(2)1()( >−−+= teettm tt 0,1)1()( >+−=′ tettm t 1)1()( +−= tettϕ ( ) 0tt teϕ′ = > )()( tmt ′=ϕ (0, )+∞ ( ) (0) 0m t m′ ′> = )(tm (0, )+∞ ( ) (0) 0m t m> = ( 1) 2( 1) 0t tt e e+ − − > 0t > 1 2( ) ( ) 0h x h x′ ′+ > xOy l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + t x C 2cos 4sin 0ρ θ θ+ − = C (1,2)M l C P Q 2 2| | | |MP MQ+ 2cos 4sin 0ρ θ θ+ − = 2 2 cos 4 sin 0ρ ρ θ ρ θ+ − = 04222 =−++ yxyx 5)2()1( 22 =−++ yx l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + t C 5)2()1( 22 =−++ yx 2 4cos 1 0t tα+ − = αcos421 −=+ tt 121 −=tt 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | ( ) 2 16cos 2 18MP MQ t t t t t t α+ = + = + − = + ≤ 2 2| | | | 3 2MP MQ+ ≤ 2 2MP MQ+ 3 2【选修 4-5：不等式选讲】 23．（10 分）已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）设函数 ，若存在 使 成立，求实数 的取值范 围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）当 时，原不等式可化为 ，无解； 当 时，原不等式可化为 ，从而 ； 当 时，原不等式可化为 ，从而 ． 综上，原不等式的解集为 ． （2）由 得 ，又 ， 所以 ，即 ，解得 ，所以 的取值范围为 ． ( ) | 1| | 2 |f x x x= − + + 03)( ≤−− xxf ( ) ( ) 2 | 2 |g x f x x= − + x 2( ) 2g x λ λ≥ − λ 2−x 02 ≤−x 21 ≤< x [0,2] 2( ) 2g x λ λ≥ − 2 max( ) 2g x λ λ≥ − ( ) ( ) 2| 2| | 1| | 2| 3g x f x x x x= − + = − − + ≤ 2 2 3λ λ− ≤ 2 2 3 0λ λ− − ≤ 31 ≤≤− λ λ [ 1,3]−