江苏南通四校2020届高三数学下学期模拟试题（Word版附答案）

江苏省南通市 2020 届四校联盟 高三数学模拟测试卷 一、填空题（共 14 题,每题 5 分,计 70 分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上） 1．已知集合 ， ，则 ▲ ． 2.复数 ，（其中 是虚数单位），则复数 的共轭复数为 ▲ ． 3．设向量 ＝(l， k)， ＝(﹣2，k﹣3)，若 ∥ ，则实数 k 的值为 ▲ ．1 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为　　． 5．函数 f(x) = 的定义域为 ▲.(-3/4,1] 6．已知命题 p：－10 存在零点，则实数 a 的取值范围为▲.[2,+∞) 14．已知 ， ，若同时满足条件： ① ， 或 ；② ， ． 则 的取值范围是　　． 二、解答题（共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分 14 分） 如图，在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是菱形，点 P 是侧棱 C1C 的中 点． （1）求证：AC1∥平面 PBD； （2）求证：BD⊥A1P． （1）证明：连结 交 于 点，连结 ， 因为四边形 是正方形，对角线 交 于点 ， 所以 点是 的中点，所以 ． 又因为点 是侧棱 的中点，所以 ． 在 中， , 所以 ．………………4 分 又因为 ， ， 所以 平面 ．………………7 分 （2）证明：连结 . 因为 为直四棱柱， 所以侧棱 垂直于底面 ， 又 平面 ，所以 ． 因为底面 是菱形，所以 ． 1 2 − { }na 1 2 5, , ,a a a  d 3 865, 524= =a a d ∈ 2 8 1 3 2 xy x x −= +− 7 2 2−+ x ( ) ( 2 )( 3)f x m x m x m= − + + ( ) 2 2xg x = − x R∀ ∈ ( ) 0f x < ( ) 0g x < ( , 4)x∃ ∈ −∞ − ( ) ( ) 0f x g x < m ( 4, 2)− − AC BD O OP ABCD AC BD O O AC AO OC= P 1C C 1CP PC= 1ACC∆ 1 1C PAO OC PC = = 1 / /AC OP OP PBD⊂ 面 1AC PBD⊄ 面 1 / /AC PBD 1 1AC 1 1 1 1ABCD A B C D− 1C C ABCD BD ⊂ ABCD 1CC BD⊥ ABCD AC BD⊥ P D1 C1 B1A1 D C BA O P D1 C1 B1A1 D C BA又 ， ,所以 ．………………10 分 又因为 ,所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 ．………………14 分 16．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cosB＝4 5． （1）若 c＝2a，求sinB sinC的值； （2）若 C－B＝π 4，求 sinA 的值． 解：（1）解法 1： 在△ABC 中，因为 cosB＝4 5，所以a2＋c2－b2 2ac ＝4 5．………………2 分 因为 c＝2a，所以(\F(c,2))2＋c2－b2 2c × c 2 ＝4 5，即b2 c2＝ 9 20，所以b c＝ 3 10．………………4 分 又由正弦定理得sinB sinC＝b c，所以sinB sinC＝ 3 10．………………6 分 解法 2： 因为 cosB＝4 5，B∈(0，π)，所以 sinB＝ 1－cos2B＝3 5．………………2 分 因为 c＝2a，由正弦定理得 sinC＝2sinA， 所以 sinC＝2sin(B＋C)＝6 5cosC＋8 5sinC，即－sinC＝2cosC．………………4 分 又因为 sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得 sinC＝2 5， 所以sinB sinC＝ 3 10．………………6 分 （2）因为 cosB＝4 5，所以 cos2B＝2cos2B－1＝ 7 25．………………8 分 又 0＜B＜π，所以 sinB＝ 1－cos2B＝3 5， 所以 sin2B＝2sinBcosB＝2×3 5×4 5＝24 25．………………10 分 因为 C－B＝π 4，即 C＝B＋π 4，所以 A＝π－(B＋C)＝3π 4 －2B， 所 以 sinA ＝ sin(3π 4 － 2B) ＝ sin3π 4 cos2B － cos3π 4 sin2B ＝ 31 50．………………14 分 1AC CC C= 1 1 1,AC AC CC AC⊂ ⊂面 面 1BD AC⊥ 面 1 1 1 1,P CC CC ACC A∈ ⊂ 面 1 1P ACC A∈面 1 1 1A ACC A∈面 1 1A P AC⊂ 面 1BD A P⊥ x y F P O B A （第 17 题）17 ．（14 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右焦点为 ，且过点 ．过点 且不与 轴重合的直线 与椭圆 交于 两点，点 在 椭圆上，且满足 ． （1）求椭圆 的标准方程；（2）若 ，求直线 的方程． .解：（1）由题意可知， ，且 ，又因为 ， 解得 ，………2 分 所以椭圆 的标准方程为 ………4 分； （2）若直线 的斜率不存在，则易得 ， ， 得 ，显然点 不在椭圆上，舍去………5 分； 因此设直线 的方程为 ，设 ， 将 直 线 的 方 程 与 椭 圆 的 方 程 联 立 ， 整 理 得 ………7 分， 因为 ，所以 ………8 分， 则由 ， 得 ………10 分 将 点坐标代入椭圆 的方程，得 ………11 分 ;将 带入等式 得 ， ………12 分， 因此所求直线 的方程为 ………14 分 设直线 的方程为 求解亦可 xOy ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = ＞ ＞ ( )1,0F F x l C ,A B P ( )0OA OB tOP t+ =   ＞ C 3(1, )2 2 2t = AB 1c = 2 2 1 9 14a b + = 2 2 2a b c= + 2, 3a b= = C 2 2 14 3 x y+ = AB 3 3(1, ), (1, )2 2A B − 2(2,0) 2OA OB OP∴ + = =  (2 2,0)P P l ( )1y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y l C ( ) 2 2 1 14 3 y k x x y  = −  + = 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 2 2 1,2 2 4 6 1 3 4 k kx k ± += + 2 1 2 2 8 3 4 kx x k + = + ( )( )1 2 1 2 2,k 2 2OA OB x x x x OP+ = + + − =   1 2 1 2( 2( ), 2 ( 2))P x x k x x+ + − P C 2 2 2 1 2 1 23( ) 4 ( 2) 6x x k x x+ + + − = ( )∗ 2 1 2 2 8 3 4 kx x k + = + ( )∗ 2 3 4k = 3 2k∴ = ± AB ( )3 12y x= ± − l 1x my= +18．（16 分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示， 为地面， 为路灯灯杆， ， ，在 处安装路灯，且路灯的照明张角 ．已知 ． （1）当 重合时，求路灯在路面的照明宽度 ； （2）求此路灯在路面上的照明宽度 的最小值． 解：（1）当 重合时， 由 余 弦 定 理 知 ， ， 所以 ……2 分， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，……4 分 因为 ，所以 ……6 分 在 中，由正弦定理可知， ，解得 ……8 分； （2）易知 到地面的距离 ，……10 分 由三角形面积公式可知， ， 所以 ,……12 分 又由余弦定理可知， ，……13 分 当且仅当 时，等号成立，所以 ，解得 ……14 分； AB ,CD CE CD AB⊥ 2π 3DCE∠ = E π 3MEN∠ = 4m, 2mCD CE= = ,M D MN MN ,M D 2 2 2 cos 2 7ME DE CD CE CD CE DCE= = + − ⋅ ⋅ ∠ = 2 2 2 5 7cos 2 14 CD DE CECDE CD DE + −∠ = =⋅ π 2CDE EMN∠ + ∠ = 5 7sin cos 14EMN CDE∠ = ∠ = cos 0EMN∠ ＞ 2 21cos 1 sin 14EMN EMN∠ = − ∠ = π 3MEN∠ = 2πsin sin 3ENM EMN ∠ = − ∠   2π 2π 2 7sin cos cos sin3 3 7EMN EMN= ∠ − ∠ = ∴ EMN∆ sin sin MN EM MEN ENM =∠ ∠ 7 3 2MN = E 2π π4 2sin 5m3 2h  = + − =   1 1 π5 sin2 2 3EMNS MN EM EN= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅△ 10 3 MN EM EN= ⋅ 2 2 2 π2 cos 3MN EM EN EM EN EM EN= + − ⋅ ⋅ ⋅≥ EM EN= 2 10 3 MN MN≥ 10 3 3MN≥ NM E C D BA （第 18 题）答：（1）路灯在路面的照明宽度为 ； （2）照明宽度 的最小值为 .……16 分 19．（本小题满分 16 分）已知函数 （ ）的图象为曲线 ． （1）求曲线 上任意一点处的切线的斜率的取值范围； （2）若曲线 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线 的切点的横坐标 的取值范围； （3）试问：是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件 的所有直线方程；若不存在，说明理由． 【解】（1） ，则 ， ----------4 分 （2）由（1）可知， ---------------------------------------------------------6 分 得： ；-------------------------------9 分 （3）设存在过点 A 的切线曲线 C 同时切于两点，另一切点为 B ， ， 过 A 的切线方程是： ，-----------------11 分 同理：过 B 的切线方程是 ， 则有： ，得 ，----------------------13 分 又由 ， 即 ，即 即 ， 得 ，由 得 ，这与 矛盾，所以不存在----------16 分 20．（本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 ，且 7 3 m2 MN 10 3 m3 xxxxf 323 1)( 23 +−= Rx ∈ C C C C 34)( 2 +−=′ xxxf 2( ) ( 2) 1 1k f x x′= = − − ≥ −    −≥− −≥ 11 1 k k ( ] [ )+∞+−∞−∈ ,22)3,1(22, x ),( 11 yx ),( 22 yx 21 xx ≠ ),( 11 yx )23 2()34( 2 1 3 11 2 1 xxxxxy +−++−= ),( 22 yx )23 2()34( 2 2 3 22 2 2 xxxxxy +−++−= 3434 2 2 21 2 1 +−=+− xxxx 421 =+ xx 2 2 3 2 2 1 3 1 23 223 2 xxxx +−=+− 0))((2))((3 2 2121 2 221 2 121 =+−+++−− xxxxxxxxxx 04)(3 1 2 221 2 1 =+++− xxxx 012)( 2 2211 =−++ xxxx 0124)4( 2 22 =−+×− xx 044 2 2 2 =+− xx 22 =x 421 =+ xx 21 =x 21 xx ≠ { }na n nS 1 1a = 1 1 1 λ+ + +− = −n n n n n na S a S a a对一切 都成立． （1） ， ①求数列 的通项公式； ②若 求数列 的前 项的和 （2）是否存在实数 λ，使数列 是等差数列.如果存在，求出 的值；若不存在， 说明理由. 【详解】(1)①若 ，因为 则 ， . 又∵ ， ，∴ ， ∴ ， 化简，得 . ① ∴当 时， . ② ②－①，得 ，∴ . ∵当 时， ，∴ 时上式也成立， ∴数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， .………………4 分 ②因为 ，∴ 所以 所以 将两式相减得： *n∈N 时；当 1=λ { }na ,)1( nn anb += { }nb n ;nT { }na λ 1λ = 1 1 1n n n n n na S a S a aλ+ + +− = − ( ) ( )1 11 1n n n nS a S a+ ++ = + 1 1 1a S= = 0na > 0nS > 1 11 1 n n n n S a S a + ++ =+ 3 1 3 12 2 1 2 1 2 1 11 1 1 1 n n n n S S a aS a S S S a a a + ++ ++ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅+ + + 1 11 2n nS a+ ++ = 2n ≥ 1 2n nS a+ = 1 2n na a+ = ( )1 2 2n n a na + = ≥ 1n = 2 2a = 1n = { }na 12n na -= ( )1n nb n a= + ( ) 11 2n nb n −= + ⋅ 0 1 2 2 12 2 3 2 4 2 2 ( 1) 2n n nT n n− −= × + × + × + + × + + × 1 2 3 12 2 2 3 2 4 2 2 ( 1) 2n n nT n n−= × + × + × + + × + + × 1 2 12 2 2 2 ( 1) 2n n nT n−− = + + + + − + × 12(1 2 )2 ( 1) 2 21 2 n n nn n −−= + − + × = − ×−所以 ………………8 分 (2)令 ，得 .令 ，得 . 要使数列 是等差数列，必须有 ，解得 . 当 时， ，且 .………………10 分 当 时， ， 整理，得 ， ， 从而 ， 化简，得 ，所以 . 综上所述， ， 所以 时，数列 是等差数列. ………………16 分 数学附加试卷 （满分 40 分，考试时间 30 分钟） 21A．（本小题满分 10 分） 己知矩阵 ，其中 ，点 P(2，2)在矩阵的变换下得到的点 Q(2，4)· （1)求实数 a，b 的值： （2）求矩阵 A 的逆矩阵． 解：（1）因为 ， 所以 所以 ．………………5 分 （2） ， 2n nT n= ⋅ 1n = 2 1a λ= + 2n = ( )2 3 1a λ= + { }na 2 1 32a a a= + 0λ = 0λ = ( )1 11n n n nS a S a+ += + 2 1 1a a= = 2n ≥ ( ) ( )( )1 1 11n n n n n nS S S S S S+ − +− = + − 2 1 1 1n n n n nS S S S S+ − ++ = + 1 1 1 1 n n n n S S S S + − + =+ 3 3 12 4 1 2 1 2 3 1 11 1 1 1 n n n n S S S SS S S S S S S S + − + ++ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅+ + + 11n nS S ++ = 1 1na + = ( )*1 Nna n= ∈ 0λ = { }na    =        − 4 2 2 2 1 1 b a    =+ =− 422 222 b a    = = 1 2 b a 311 12)det( =−=A．………………10 分 21B．在极坐标系中，已知 1， ， 9， ，线段 的垂直平分线 与极轴交于点 ，求 的极坐标方程及 的面积． 解：由题意，线段 的中点坐标为 ， 设点 为直线 上任意一点， 在直角三角形 中， ， 所以， 的极坐标方程为 ，………………5 分 令 ，得 ，即 ．（8 分） 所以， 的面积为： ．………………10 分 22.(本小题満分 10 分) （1）求实数 m，n 的值： （2）若对任意实数 x，都有 成立.求实数的取值范围.           − =           − −− =− 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 1A (A 3 π ) (B 3 π ) AB l C l ABC∆ AB (5, )3 π ( , )P ρ θ l OMP cos( ) 53 πρ θ − = l cos( ) 53 πρ θ − = 0θ = 10ρ = (10,0)C ABC∆ 1 (9 1) 10 sin 20 32 3 π× − × × = 1( ) 2, 0, ( ) 12( ) , 0 m x xxf x x n xx  + − >=   + +