广西钦州市第三中学 2020 届高三理数 3 月份考试试卷
满分：150 分 时间：120 分钟
姓名： 班级： 考号：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷(选择题)
一、单选题(本题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分)
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A．∅ B． C． D．
2．若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设 ， ， ，则( )
A． B． C． D．
4．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从 处到达他所在的班级 处
（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．已知函数 ，则其导函数 的图象大致是( )
A． B． C． D．
6．已知倾斜角为 的直线过抛物线 焦点，且与抛物线相交于
两点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．执行如图所示的程序框图，输出的 （ ）
A．55 B．42 C．33 D．24
8．等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，若 ， ，则
（ ）
{ }2| 2 0M x x x= − < { 2, 1,0,1,2}N = − − M N =
{ }1 {0 }1， { 1 01}− ，，
3(1 )z i= − z =
2 2i− + 2 2i− − 2 2i+ 2 2i−
sin 6a
π= 2log 3b =
2
31
4c =
a c b< < c a b< < b a c< < c b a< <
A B
( ) 21 cos4f x x x= + ( )f x′
6
π ( )2 2 0y px p= >
,A B AB 4= p =
1
2
S =
{ }na n nS q 6 39S S= 5 62S =
1a =A． B．2 C．
D．3
9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．
D．
10. 已 知 双 曲 线 ： 焦 距 为 ，圆 ：
与圆 ： 外切，且 的两条渐近线恰
为两圆的公切线，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实
验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 120 名同学每人随机写
下一个 x，y 都小于 1 的正实数对 ，再统计其中 x，y 能与 1 构成钝角三角形三边的数
对 的个数 m，最后根据统计个数 m 估计 的值．如果统计结果是 ，那么可以
估计 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在 上有两个极值点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 ，则函数 的最小值为_______.
14 ． 已 知 ， 则
________．
15．已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，准线为 ，过 的直线交抛物线
于 ， 两点，交 于点 ，若 ，则 ________.
2 5
36π 27π 27
2
π
25
2
π
E
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2c 1C
2 2 2( ) ( 0)x c y r r− + = > 2C 2 2 2( ) 4 ( )x y m r m+ − = ∈R E
E
2 5 6
2
3
2
π
π
( )x y，
( )x y， π 34m =
π
23
7
47
15
17
15
53
17
2
2( ) ln
xef x a x x x
= + − (0,2) a
( )1,e
2
2,2
e e
( )2,e e
2
, 2
ee
5
4x > 14 4 5y x x
= + −
5 4 3 2
5 4 3 2 0
5
1(2 1)x a x a x a x a x a x a− = + + + + +
5 4 3 2 1 0a a a a a a+ + + + + =
C 2 2y px= 0p > F l F C
P Q l A 3PF FQ=uuur uuur AQ
QF
=16．在 中， ， 为 边上的点，且 ， ，则 面
积的最大值为________.
三、解答题(第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分，共 70 分)
17．已知△ABC 的内角 A，B，C 满足 ．
（1）求角 A；
（2）若△ABC 的外接圆半径为 1，求△ABC 的面积 S 的最大值．
18．已知各项均为正数的数列 的前 项和 满足 （ ）.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
19．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 实验地
分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随
机抽取各 50 株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所
示的频率分布直方图，记综合评分为 80 分及以上的花苗为优质花苗.
（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在 两块实验地随机抽取 3
株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；
（2）填写下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为优质花苗与培育
方法有关.
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20
乙培育法 10
合计
附：下面的临界值表仅供参考.
ABC∆ AB AC= D AC AC 3AD= 4BD = ABC∆
sin sin sin sin
sin sin sin sin
A B C B
C A B C
− + = + −
{ }na n nS ( )24 1n nS a= + *n N∈
{ }na
2 na
n nb a= + { }nb n nT
,A B
,A B0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（参考公式： ，其中 ）
20.如图， 为矩形，且平面 平面 ， ，
， ， ，点 是线段 上的一点，
且 ．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值．
21．已知定点 ， ，直线 、 相交于点 ，且它们的斜率之积为
，记动点 的轨迹为曲线 。
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的直线与曲线 交于 、 两点，是否存在定点 ，使得直线 与
斜率之积为定值，若存在，求出 坐标；若不存在，请说明理由。
( )2
0P K k
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
ABCD ABCD ⊥ ABE AB AE⊥
2BE AB= 2AB = 2 3AD = P BD
3PD PB=
BD PE⊥
A BE D− −
( )3 0A − , ( )3,0B AM BM M
1
9
− M C
C
( )1,0T C P Q ( )0,0S x SP
SQ S22．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）对任意的 ， 恒成立，请求出 的取值范围．
参考答案
1．B2．A3．B4．C5．A6．A7．B8．B9．C10．C11．B12．D 13．7 14．243 15．2
16．9
17．
（1）设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．
根据 ，可得
，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
（2） ，
所以 ，所以 （ 时取
等号）．
18．
（1）由 知：当 时，有 ， ，解得
由 ， 两式相减，得： ，化
( ) ln af x x xx
= + +
( )f x
1 ,2x ∈ +∞
( ) 2exxf x x< + a
A B C a b c
sin sin sin sin
sin sin sin sin
A B C B
C A B C
− + = + −
2 2 2a b c b a b c bcc a b c
− + = ⇒ = + −+ −
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
+ −= = =
0 A π< <
3A
π=
2 2 sin 2sin 3sin 3
a R a R AA
π= ⇒ = = =
2 23 2b c bc bc bc bc= + − ≥ − = 1 1 3 3 3sin 32 2 2 4S bc A= ≤ × × = b c=
( )24 1n nS a= + ( )*n N∈ 1n = ( )2
1 14 1a a= + 1 0a > 1 1a =
( )24 1n nS a= + ( )2
1 14 1n nS a+ += + ( ) ( )2 2
1 14 1 1n n na a a+ += + − +简得：
变形得： ， 对 ，有 ， ，即
故 数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
（2） ， ，
19．
（1）由频率分布直方图可知,优质花苗的频率为 ,即概率为 .
设所抽取的花苗为优质花苗的株数为 ,则 ,于是
； ；
； .
其分布列为：
0 1 2 3
所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望
（2）频率分布直方图,优质花苗的频率为 ,则样本中优质花苗的株数
为 60 株,列联表如下表所示：
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20 30 50
乙培育法 40 10 50
合计 60 40 100
可得 .
所以,有 99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系
20．（1）证明：由题意知四边形 是矩形， 是以 为直角顶点的等腰直角三角
形，且 ， ， ， ．
， ．
平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ， ，
2 2
1 12 2 0n n n na a a a+ +− − − =
( )( )1 1 2 0n n n na a a a+ ++ − − = *n N∀ ∈ 0na > 1 2n na a+∴ − −
1 2n na a+ − =
{ }na 2 1na n∴ = −
2 na
n nb a= +Q 2 1na n= − 2 12 1 2 n
nb n −∴ = − +
(1 3 2 1)nT n∴ = + + + −L ( )3 5 2 12 2 2 2 n−+ + + + +L
( )2 1 4[1 (2 1)]
2 1 4
nn n −+ −= + −
2 2 4 2
3
n
n
× −= +
2 1 22 3 2
3
n n+ + −=
2 1 22 3 2
3
n
n
nT
+ + −∴ =
(0.04 0.02) 10 0.6+ × = 0.6
X 3
5~ 3,X B
3
0
3
2 8( 0) 5 125P X C = = × =
2
1
3
3 2 36( 1) 5 5 125P X C = = × × =
2
2
3
3 2 54( 2) 5 5 125P X C = = × × =
3
3
3
3 27( 3) 5 125P X C = = × =
X
P 8
125
36
125
54
125
27
125
3 9( ) 3 5 5E X = × =
(0.04 0.02) 10 0.6+ × =
2
2 100(20 10 30 40) 16.667 6.63560 40 50 50K
× − ×= ≈ >× × ×
ABCD ABE∆ A
4BD = 3PD = 3cos 2PDA∠ = 3PA∴ =
2 2 2PA PD AD+ = PA BD∴ ⊥
ABCD ⊥ ABE ABCD ABE AB= AE AB⊥
AE∴ ⊥ ABCD AE BD∴ ⊥， 平面 ．
平面 ， ．
（2）解：由（1）知 ， ， 两两垂直，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 ，
， .
设平面 法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，故 为平面 的一个法向量，
易知平面 的一个法向量为 .
设二面角 的平面角为 ，由题中条件可知 ，
则 ，
二面角 的余弦值为 .
21．（1）设动点 ，则 ，
，
，即 ，
化简得： 。
由已知 ，故曲线 的方程为 。
（2）由已知直线 过点 ，设 的方程为 ，
则联立方程组 ，消去 得 ，
PA AE A= BD∴ ⊥ PAE
PE ⊂ APE BD PE∴ ⊥
AB AE AD
A AB AE AD x y z
(0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2 3)A B E D
( 2,2,0)BE = − ( 2,0,2 3)BD = −
BED ( , , )n x y z= 2 2 0
2 2 3 0
x y
x z
− + =− + =
1x = 1y = 3
3z =
31,1, 3n
=
BED
ABE ( )0,0,1m =
A BE D− − θ 0, 2
πθ ∈
30 0 3| | 7cos 7| || | 11 1 13
m n
m n
θ
+ +
⋅= = =
+ + ×
∴ A BE D− − 7
7
( ),M x y ( )33MA
yk xx
= ≠ −+
( )33MB
yk xx
= ≠−
1
9MA MBk k⋅ = −
1
3 3 9
y y
x x
⋅ = −+ −
2
2 19
x y+ =
3x ≠ ± C ( )2
2 1 39
x y x+ = ≠ ±
l ( )1,0T l 1x my= +
2
2
1,
19
x my
x y
= + + =
x ( )2 29 2 8 0m y my+ + − =设 ， ，则
又直线 与 斜率分别为 ，
，
则 。
当 时， ， ；
当 时， ， 。
所以存在定点 ，使得直线 与 斜率之积为定值。
22．解：（1） ，
若 ，则 ，所以函数 在 上递增；
若 ，方程 的判别式为 ，
所以方程有两根分别为 ， ，
所以当 时， ；
当 时， ，
所以函数 在 上递减；在 上递增.
（2）不等式 ，对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立．
令 ，则 ，
令 ，则 ，
易知 在 上单调递增，
因为 ， ，且 的图象在 上不间断，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，则 ．
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
1 2 2
1 2 2
2 ,9
8 .9
my y m
y y m
+ = − +
= − +
SP SQ 1 1
1 0 1 01SP
y yk x x my x
= =− + −
2 2
2 0 2 01SQ
y yk x x my x
= =− + −
( )( ) ( ) ( )
1 2
22 2
1 0 2 0 0 0
8
1 1 9 9 1SP SQ
y yk k my x my x x m x
−⋅ = =+ − + − − + −
0 3x = m R∀ ∈ ( )2
0
8 2
99 1SP SQk k
x
−⋅ = = −
−
0 3x = − m R∀ ∈ ( )2
0
8 1
189 1SP SQk k
x
−⋅ = = −
−
( )3,0S ± SP SQ
2
2 2
1( ) 1 ( 0)a x x af x xx x x
′ + −= − + = >
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a > 2 0x x a+ − = 1 4 0a+ >
1
1 1 4 02
ax
− − += < 2
1 1 4 02
ax
− + += >
( )20,x x∈ ( ) 0f x′ <
( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x 1 1 40, 2
a − + +
1 1 4 ,2
a − + + +∞
2( ) exxf x x< + 1 ,2x ∈ +∞
lnxa e x x< − 1 ,2x ∈ +∞
( ) lnxv x e x x= − ( ) ln 1xv x e x′ = − −
( ) ln 1xx e xϕ = − − 1( ) xx e x
ϕ′ = −
( )xϕ′ 1 ,2
+∞
1
21 2 02 eϕ ′ = − ( )xϕ′ 1 ,12
0
1 ,12x ∈ 0( ) 0xϕ′ = 0
0
1 0xe x
− =
0 0lnx x= −当 时， 单调递减；当 时， 单调递增．
则 在 处取得最小值，
且最小值为 ，
所以 ，即 在 上单调递增，所以 .
所以 ．
0
1 ,2x x ∈ ( )xϕ 0( , )x x∈ +∞ ( )xϕ
( )xϕ 0x x=
0
0 0 0 0
0 0
1 1( ) ln 1 1 2 1xx e x x xx x
ϕ = − − = + − > ⋅ − 1 0= >
( ) 0v x′ > ( )v x 1 ,2
+∞
1
2
2) n 2( 1 1lv x e −>
1
2 1 1ln2 2a e≤ −
微信/支付宝扫码支付